Professor Luiz Bolinha: QUESTOES VESTIBULAR Fgvrj 2017

1. (Fgvrj 2017) Seis bolas brancas e seis bolas pretas estão distribuídas em três caixas e nenhuma caixa contém bolas de uma só cor. A primeira caixa contém 3 bolas, a segunda 4 bolas e a terceira 5 bolas.

Sabe-se que a segunda caixa é a única em que o número de bolas pretas é maior do que o número de bolas brancas.

Retirando uma bola de cada caixa, determine a probabilidade de que sejam da mesma cor.

Resposta da questão 1:

Pelo enunciado, pode-se inferir :

Caixa 1 = Preta, Branca, Branca

Caixa 2 = Preta, Preta, Preta, Branca

Caixa 3 = Preta, Preta, Branca, Branca, Branca

Calculando:

P(brancas) = 2/3 . 1/4. 3/5 = 6/60 = 1/10

P(pretas) = 1/3 . 3/4. 2/5 = 6/60 = 1/10

Entao, 1/10 + 1/10 = 2/10 = 1/5

2. (Fgvrj 2017) A figura abaixo mostra dois quadrados e um triangulo equilátero entre eles.

Determine os angulos internos do triangulo ABC.

Resposta da questão 2:

Desenhando:

Calculando: BAD = ABD = 45⁰ → ADC = 360⁰ – 90⁰ – 90⁰ – 45⁰ = 120⁰

DAC = DCA = (180⁰ – 120⁰)/ 2 = 30⁰ → BDC = 60⁰ + 90⁰ = 150⁰

DBC = DCB = (180⁰ – 150⁰)/2 = 15⁰

Assim:

ABC = 15⁰ + 45⁰ = 60⁰ ; BAC = 45⁰ + 30⁰ = 75⁰ e BCA = 15⁰ + 30⁰ = 45⁰

3. (Fgvrj 2017) As grandezas P, T e V são tais que P é diretamente proporcional a T e inversamente proporcional a V. Se T aumentar 20% e V diminuir 20%, determine a variação percentual de P.

Resposta da questão 3:

Calculando: P = T/V → P' = 1,2T/0,8V → P' = 1,5 T/V → P' = 1,5 P

Ou seja, P aumentou 50%.

4. (Fgvrj 2017) Os números naturais, a partir do 1, foram escritos em ordem e arrumados em duas colunas, A e B, como no quadro a seguir:

	A	B
Linha1	1	2
Linha2	3, 4	5, 6
Linha3	7, 8, 9	10, 11, 12
Linha4	13, 14, 15, 16	17, 18, 19, 20
Linha5	21,22,23,24,25	26,27,28,29,30
Linha ..

Na linha n, o conjunto dos elementos da coluna A será representado por L_nA , e o da coluna B, por L_nB.

a) Mostre que o último elemento de L_nA é um quadrado perfeito.

b) Calcule a soma dos elementos de L_10B

Resposta da questão 4:

a) Sendo a_n o último elemento de L_nA, pode-se escrever:

a_n = [2.(1 + n - 1).(n - 1)]/2 + (n) = n.(n - 1) + n = n² – n + n = n²

b) Calculando:

a_n = n² = 10² = 100 → L_10B = {101, 102, 103, ..., 110}

S_L10B = (101 + 110).10/2 = 1055

5. (Fgvrj 2017) João colocou para carregar seu celular que estava completamente descarregado e, em seguida, anotou diversas vezes o tempo decorrido de carregamento, em minutos, e a porcentagem correspondente da carga total que estava acumulada naquele instante. O tempo até o final do carregamento durou exatamente duas horas.

João representou suas observações como pontos no plano cartesiano, onde, no eixo horizontal, assinalou o tempo decorrido após o início do carregamento e, no vertical, a correspondente carga acumulada. Esses pontos sugeriram que uma boa aproximação para a relação entre essas duas grandezas era o arco da parábola de eixo r representado no gráfico abaixo:

a) Determine a expressão da função que fornece, para cada valor x do tempo de carregamento (em minutos), a porcentagem y da carga total acumulada até aquele instante.

b) Determine a porcentagem da carga total acumulada após 1 hora de carregamento.

Resposta da questão 5:

a) Calculando:

No vértice → x_Máx. = 2h = 120 min e y_Máx = 100%

Raizes → x = 0 e x = 240 → y = a(x - 0).(x - 240) → y = ax.(x - 240)

Portanto y_Máx. = ax_Máx.(x_Máx - 240) → 100 = 120a(120 - 240) → a = - 1/144

Finalmente, y = ax.(x - 240) → y = (- x/144).(x - 240) para 0 ≤ x ≤ 120

b) Calculando: y = (- x/144).(x - 240) → y = (- 60/144).(60 - 240) → y = 75%

6. (Fgvrj 2017) Um fazendeiro compra semanalmente um saco de farelo de milho, um saco de farelo de soja e um saco de farelo de cevada, mas compra também um saco extra de um desses três produtos. Quando o saco extra é o de milho, o peso total dos quatro sacos é de 110 kg, quando o saco extra é o de soja, o peso total dos quatro sacos é de 106 kg, e quando o saco extra é o de cevada, o peso total dos quatro sacos é de 104 kg. Os pesos dos sacos de cada produto são sempre iguais.

Determine o peso de um saco de cada produto.

Resposta da questão 6:

Supondo: x = peso milho ; y = peso soja e z = peso cevada

2x + y + z = 110 ; x + 2y + z = 106 e x + y + 2z = 104

Somando as 3 equações, obtemos 4x + 4y + 4z = 320 → x + y + z = 80

Se 2x + y + z = 110 → x + (x + y + z ) = 110 → x + 80 = 110 → x = 30

Se x + 2y + z = 106 → y + (x + y + z ) = 106 → y + 80 = 106 → y = 26

Se x + y + 2z = 104 → z + (x + y + z ) = 104 → z + 80 = 104 → z = 24

7. (Fgvrj 2017) As cinco faces de uma pirâmide quadrangular regular serão pintadas e cada face terá uma só cor. Tintas de 5 cores diferentes estão disponíveis e duas faces vizinhas da pirâmide não poderão ter a mesma cor.

De quantas maneiras diferentes a pirâmide poderá ser pintada?

Obs.: pinturas que coincidem por rotação da pirâmide são consideradas iguais.

Resposta da questão 7:

1) Usando 3 cores → Bases = 5 possibilidades

Faces laterais opostas = C_4,2 = 4!/2!2! = 4.3/2 = 6 possibilidades

Total = 5.6 = 30

2) Usando 4 cores → Bases = 5 possibilidades

2 Faces laterais opostas = 4 possibilidades

2 Faces laterais opostas = 3 possibilidades

Total = 5.4.3 = 60

3) Usando 5 cores → Bases = 5 possibilidades

2 Faces laterais = 3! = 6 possibilidades

Total = 5.6 = 30

Total de possibilidadex = 30 + 60 + 30 = 120

8. (Fgvrj 2017) No plano cartesiano são dados os pontos A= (-3, 1) e

B = (4, 5). A reta r de equação kx – y + 2 = 0 é variável, pois sua posição depende do coeficiente real k.

a) Determine para que valores de k os pontos A e B ficam de um mesmo lado da reta r.

b) Determine para que valor de k os pontos A e B ficam equidistantes da reta r.

Resposta da questão 8:

a) Calculando:

r : kx – y + 2 = 0 → y = kx + 2

Supondo A e B abaixo de r : 1 < - 3k + 2 e 5 < 4k + 2 →

k < 1/3 e k > 3/4 → impossível.

Supondo A e B acima de r : 1 > - 3k + 2 e 5 > 4k + 2 →

k > 1/3 e k < 3/4 → 1/3 < k < 3/4

b) Calculando:

Caso 1: r perpendicular a reta AB → coeficiente angular = k = 4/7

Caso 2: r divide o segmento AB no ponto médio M(1/2, 3) e M ɛ r

então 3 = k/2 + 2 → k = 2.

9. (Fgvrj 2017) Em uma experiência de Física, para cada valor da variável contínua x, obteve-se, no laboratório, um resultado y. A tabela a seguir mostra os resultados de cinco medidas realizadas para valores inteiros de x :

x	y
1	2,97
2	9,05
3	26,8
4	81,6
5	241

Os resultados sugeriram que, para os valores de x do intervalo [1, 5], uma função adequada para modelar essa experiência é exponencial, ou seja, da forma y = a^x. De fato, para certo valor inteiro de a, os valores encontrados na experiência e os valores dados por essa função diferem muito pouco.

Usando essa função, determine, aproximadamente, para que valor de x encontra-se y = 100.

Utilize o que for necessário: log 2 = 0,301 ; log 3 = 0,477 e log 5 = 0,699

Resposta da questão 9:

A variável y se aproxima das potências de 3, como se pode perceber na tabela a seguir:

x	y	Aprox. y = 3^x
1	2,97	3
2	9,05	9
3	26,8	27
4	81,6	81
5	241	243

Assim, pode-se calcular:

y = 100 ≈ 3^x = 100 → xlog3 = log100 → 0,477x = 2 → x ≈ 4,2

10. (Fgvrj 2017) A figura abaixo representa o símbolo utilizado para materiais radioativos. Nesse símbolo, aparecem duas circunferências de centro A, estando a externa dividida em seis arcos iguais. Todos os segmentos que aparecem no desenho estão contidos em raios da circunferência externa e os três pequenos arcos possuem, também, centro A.

Na figura, os pontos A, B, C e D são colineares e AB = 2, BC = 1 e CD = 6