QUESTOES VESTIBULAR Espm 2017 - COMENTADAS

1. (Espm 2017)  Uma função f é definida apenas para núme­ros naturais, de modo que f(0) = 8, f(1) = 2 e f(n) = f(n - 1)/f(n - 2) para n > 1. O valor de f(50) é:

a) 1/8   

b) 1/4   

c) 8   

d) 2   

e) 1   

Resposta da questão 1:[B]

Dado que f(0) = 8, f(1) = 2 e f(n) = f(n - 1)/f(n - 2), para n > 1, vem :

f(2) = 1/4, f(3) = 1/8, f(4) = 1/2, f(5) = 4, f(6) = 8, f(7) = 2 e f(8) = 1/4 .

Logo, podemos concluir que : f(0) = f(6) = ... = f(6k) ;

f(1) = f(7) = ... = f(6k+1) ;

f(2) = f(8) = ... = f(6k+2) ;

f(3) = f(9) = ... = f(6k+3) ;

f(4) = f(10) = ... = f(6k+4) e

f(5) = f(11) = ... = f(6k+5) com k ɛ N.

Portanto, como 50 = 6.8 + 2, temos f(50) = f(2) = 1/4.

2. (Espm 2017)  O lucro de uma pequena empresa é dado por uma função quadrática cujo gráfico está representado na figura abaixo:

                             

Podemos concluir que o lucro máximo é de:

a) R$ 1280,00   

b) R$ 1400,00   

c) R$ 1350,00   

d) R$ 1320,00   

e) R$ 1410,00   

  

Resposta da questão 2:[C]

Seja L = ax² + bx + c,  L sendo o lucro obtido com a venda de x unidades

Como a parábola contém a origem, c = 0.

Como a parábola passa pelos pontos (10, 1200) e (20, 1200), temos :

100a + 10b = 1200  e  400a + 20b = 1200 →  a = - 6 e b = 180   

Portanto, segue que L = - 6x² + 180x .

O lucro máximo ocorre para x_Vértice = - b/2a = -180/2.(- 6) = 180/12 = 15 e é  

igual a L = - 6(15)² + 180.15 = R$ 1350,00.

   

3. (Espm 2017)  O gráfico abaixo mostra a variação da tem­peratura no interior de uma câmara frigo­rífica desde o instante em que foi ligada. Considere que essa variação seja linear nas primeiras 2 horas.

                        

O tempo necessário para que a temperatura atinja – 18⁰C é de:

a) 90 min   

b) 84 min   

c) 78 min   

d) 88 min   

e) 92 min   

  

Resposta da questão 3:[B]

Seja T = at + b, com T sendo a temperatura após t minutos. É imediato que

b = 24. Como o gráfico de T passa pelo ponto (48, 0) temos 0 = a.48 + 24 →

48a = - 24 → a = - 1/2 .

Queremos calcular o valor de t para o qual se tem T = - 18⁰C. Desse modo,

vem : –18 = -t/2 + 24 → t/2 = 24 + 18 → t/2 = 42 → t = 84 min

  

4. (Espm 2017)  Na progressão geométrica (1, 2, 4, 8, ... ) sendo a_n o n-ésimo termo e S_n a soma dos n primeiros termos, podemos concluir que:

a) S_n = 2.a_n   

b) S_n = a_n + 1   

c) S_n = a_n+1 + 1   

d) S_n = a_n+1 - 1     

e) S_n = 2a_n+1   

  

Resposta da questão 4:[D]

Desde que a_n+1 = 1.2ⁿ → a_n+1 = 2ⁿ, temos S_n = 1.(2ⁿ-1)/(2-1) → S_n = a_n+1 - 1

  

5. (Espm 2017)   Considere o sistema x/y + y/z = 6 ; x/y + z/x = 5/2 e

y/z + z/x = 9/2 onde x, y e z são reais não nulos.

O valor da expressão (x²z + y²x + z²y)/xyz é:

a) 15/2   

b) 17/2   

c) 15/4   

d) 13/2   

e) 17/4   

  

Resposta da questão 5:[D]

Somando as equações, temos 2x/y + 2y/z + 2z/x = 13 →

2(x²z + y²x + z²y)/xyz = 13 → (x²z + y²x + z²y)/xyz = 13/2

  

6. (Espm 2017)  As placas de automóveis no Brasil são for­madas por 3 letras do alfabeto completo (26 letras), seguidas por 4 algarismos do siste­ma decimal de numeração. A quantidade de placas em que as 3 letras e os 4 algarismos são consecutivos (por exemplo: ABC 0123, MNP 4567) é igual a:

a) 168   

b) 216   

c) 184   

d) 156   

e) 244   

Resposta da questão 6: [A]

Existem 26 – 2 = 24 ternas de letras consecutivas e 10 – 3 = 7 quadras de algarismos consecutivos. Assim, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 24 . 7 = 168.  

7. (Espm 2017)  Uma senhora foi ao shopping e gastou a me­tade do dinheiro que tinha na carteira e pa­gou R$ 10,00 de estacionamento. Ao voltar para casa parou numa livraria e comprou um livro que custou a quinta parte do que lhe havia sobrado, ficando com R$ 88,00.

Se ela tivesse ido apenas à livraria e comprado o mesmo livro, ter-lhe-ia restado:

a) R$ 218,00   

b) R$ 186,00   

c) R$ 154,00   

d) R$ 230,00   

e) R$ 120,00   

  

Resposta da questão 7:[A]

Seja x a quantia que a senhora dispunha ao sair de casa. Logo, sabendo

que a quantia que restou após as despesas é igual a R$ 88,00 temos

(4/5).(x/2 - 10) = 88 → R$ 240,00.

Portanto, como o livro custava (1/5).(240/2 - 10) = R$ 22,00, se ela tivesse

ido apenas à livraria, teria restado 240 – 22 = R$ 218,00.  

8. (Espm 2017)  A soma das raízes da equação (1/x) - 1/(x+1) = 1/6  é igual a:

a) 1   

b) 4   

c) - 3   

d) 0   

e) - 1   

  

Resposta da questão 8:[E]

Sendo x ǂ - 1 e x ǂ 0, temos (1/x) - 1/(x+1) = 1/6 → 6(x + 1) – 6x = x(x + 1)

6x + 6 – 6x = x² + x – 6 = 0

Portanto, pelas Relações de Girard, a soma das raízes = - b/a = - 1/1 = - 1

9. (Espm 2017)  Sabe-se que, se x² = 4, então y² – 3y = 0. Podemos afirmar que:

a) Se x = 2, então y = 0.   

b) Se x = - 2, então y = 3.   

c) Se y = 2, então x ǂ 2 e x ǂ - 2.   

d) Se y = 2, então x ǂ 2 ou x ǂ - 2.   

e) Se y = 3, então x = 2 ou x = - 2.   

  

Resposta da questão 9:[C]

A contrapositiva de (x² = 4) → (y² – 3y = 0) é

(y² – 3y ǂ 0 → x² ǂ 0) ↔ ((y ǂ 0 ʌ y ǂ 3) → (x ǂ - 2 ʌ x ǂ 2))

Portanto, se y = 2, então x ǂ 2 e x ǂ - 2  

10. (Espm 2017)  Dividindo-se o número natural N por 13, ob­tém-se quociente Q e resto R. Aumentando­-se 2 unidades no dividendo e mantendo-se o divisor, o quociente aumenta de 1 uni­dade e a divisão é exata.

Sabendo-se que Q + R = 16, podemos afirmar que os diviso­res primos de N são:

a) 2 e 19   

b) 2, 3 e 13   

c) 3 e 17   

d) 3, 5 e 7   

e) 5 e 11   

Resposta da questão 10:[A]

Como  R = 16 - Q e N = 13Q + R, temos N = 13Q + 16 – Q → N = 12Q + 16.

Se N + 2 = 13(Q + 1), então 12Q + 16 + 2 = 13Q + 13 → Q = 5

Portanto, vem R = 11 e N = 76.

 

Escrevendo 76 = 2².19, podemos concluir que os divisores primos de N

são 2 e 19.  

11. (Espm 2017)  Três emissoras de TV apresentam progra­mação infantil durante o dia. Na emisso­ra A, o horário dessa programação vai de 11h 40min até 18h 30min. Na emissora B, vai de 9h 30min até 16h 40min e na emis­sora C, vai de 10h 50min até 13h 20min e de 14h 50min até 17h10min. O tempo em que as três emissoras apresentam essa programa­ção simultaneamente é de:

a) 3h 20min   

b) 3h 30min   

c) 3h 40min   

d) 3h 50min   

e) 4h   

  

Resposta da questão 11: [B]

O tempo em que as três emissoras apresentam a programação

simultaneamente é dado por :

(13h 20min – 11h 40min) + (16h 40min – 14h 50min) =

1h 40min + 1h 50min = 3h 30min

12. (Espm 2017)  O conjunto imagem de uma função inversí­vel é igual ao domínio de sua inversa. Sendo f : A → B tal que f(x) = (2x-1)/(x+1) uma função real inversível, seu conjunto imagem é:

a) R - {1} 

b) R - {-1} 

c) R -  {-2} 

d) R - {0} 

e) R- {2} 

  

Resposta da questão 12: [E]

Lembrando que é possível definir tantas funções quanto queiramos por meio da lei f(x) = (2x-1)/(x+1), vamos supor que o domínio de f seja o conjunto dos números reais x, tal que x ɛ R - {-1}. Assim, temos

y= (2x-1)/(x+1) → yx + y = 2x – 1 → x(y - 2) = -(y + 1) → x = (y+1)/(2-y)

Portanto, sendo f^-1(x) = (x+1)/(2-x) a lei da inversa de f, podemos afirmar que a imagem de f é o conjunto dos números reais y tal que y ɛ R - {2}.  

13. (Espm 2017)  Em uma competição de vôlei de praia parti­ciparam n duplas. Ao final, todos os adversá­rios se cumprimentaram uma única vez com apertos de mãos. Sabendo-se que foram contados 180 apertos de mãos, podemos concluir que n é igual a:

a) 8   

b) 9   

c) 10   

d) 11   

e) 12   

  

Resposta da questão 13:[C]

Se todos os atletas se cumprimentassem, então o número de apertos de mãos seria igual a C_2n,2. Mas, como apenas adversários se cumprimentam, devemos descontar desse total o número de apertos de mãos trocados entre atletas de uma mesma dupla, qual seja n.

Portanto, segue que o resultado é tal que C_2n,2 – n = 180 →

(2n)!/2!(2n-2)! – n = 180 → n² – n – 90 = 0 → n = 10

  

14. (Espm 2017)  Em uma classe há 25 alunos. Podemos afir­mar, com certeza, que:

a) Algum aluno faz aniversário em janeiro.   

b) Em algum mês haverá 4 aniversários.   

c) Pelo menos 3 alunos fazem aniversário no mesmo mês.   

d) Pelo menos 2 alunos aniversariam em de­zembro.    

e) No máximo 4 alunos fazem aniversário em um mesmo mês.   

  

Resposta da questão 14:[C]

Sabemos, pelo Princípio das Gavetas de Dirichlet, que em pelo menos um mês há (25 - 1)/12 + 1 = 3 aniversariantes.  

15. (Espm 2017)  A taxa de crescimento populacional de um país é de 2% ao ano. Utilizando os dados da tabela abaixo e considerando que essa taxa permanecerá constante, podemos afirmar que a população desse país dobrará em:

Obs.: log 2 = 0,3010 ; log 2,02 = 0,3054 e log 2,04 = 0,3096

a) 15 anos   

b) 20 anos   

c) 25 anos   

d) 30 anos   

e) 35 anos   

  

Resposta da questão 15: [E]

Seja a função p : R+ → R, dada por p(t) = p₀.(1,02)^t, com p(t) sendo a população do país após t anos. Logo, como queremos calcular t para o qual se tem p(t) = 2.p₀, vem :

2p₀ = p₀.(1,02)^t  → 2 = (1,02)^t → log2 = log(1,02)^t → log2 = t.log(1,02)

t = log2/log1,02 → t ≈ 0,301/0,0086 → t = 35

  

16. (Espm 2017)  Em uma família, sabe-se que três filhos fa­zem curso de inglês, dois praticam natação e só um deles faz as duas atividades. As men­salidades do curso de inglês e da natação são, respectivamente, R$ 240,00 e R$ 180,00 por pessoa. A despesa total dessa família apenas com essas atividades dos filhos é de:

a) R$ 1500,00   

b) R$ 1080,00   

c) R$ 1210,00   

d) R$ 1380,00   

e) R$ 1460,00   

  

Resposta da questão 16:[B]

O resultado pedido é 240 . 3 + 180 . 2 = R$ 1080,00  

17. (Espm 2017)  Dadas, num plano, duas figuras de áreas A₁ e A₂ cujas distâncias de seus centros de gravi­dade a um eixo desse plano são x₁ e x₂, a dis­tância x (do centro de gravidade CG desse conjunto ao mesmo eixo) é a média ponde­rada entre x₁ e x₂, com pesos A₁ e A₂, respec­tivamente. Considerando-se que cada qua­drícula da malha mostrada abaixo tem lado medindo 1, a distância x será igual a:

                           

a) 8/3   

b) 9/4   

c) 13/5   

d) 17/6   

e) 11/4   

  

Resposta da questão 17:[D]

Sendo A₁ = 2 e A₂ = 1 temos x = (x₁.A₁ + x₂.A₂)/(A₁ + A₂) =

 (3,5. 2 + 1,5.1)/(2 + 1) = 8,5/3 = 17/6

18. (Espm 2017)  Um município de 250 km² de área total tem uma população estimada de 30000 habitan­tes, dos quais 40% moram na zona rural, que abrange 60% de sua superfície. A densida­de demográfica da zona rural desse municí­pio é de:

a) 80 hab/km²   

b) 60 hab/km²      

c) 70 hab/km²      

d) 90 hab/km²      

e) 50 hab/km²      

  

Resposta da questão 18:[A]

A densidade demográfica da zona rural é dada por

(0,4 . 30000)/(0,6 . 250) = 80 hab/km²

  

19. (Espm 2017)  Na câmara dos vereadores de uma cidade, uma proposta recebeu 42% de aprovação, 48% de rejeição e 5 vereadores se abstive­ram de votar. Após intensa negociação, hou­ve uma nova votação em que 4 dos vereado­res que haviam rejeitado a proposta e 3 dos que se abstiveram passaram a aprová-la. Dessa forma, a proposta foi aprovada com um percentual de:

a) 53%   

b) 54%   

c) 55%   

d) 56%   

e) 57%   

  

Resposta da questão 19: [D]

O percentual correspondente aos cinco vereadores que se abstiveram na primeira votação é igual a 100% - (42% + 48%) = 10%. Logo, podemos concluir que o número total de vereadores da câmara é 5/0,1 = 50. Assim, é imediato que 0,42.50 = 21 vereadores aprovaram a proposta.

Portanto, se na votação seguinte o número de vereadores favoráveis à proposta foi igual a 21 + 4 + 3 = 28, então a resposta é 28/50 . 100% = 56%  

20. (Espm 2017)  Quanto ao estado civil das funcionárias de um escritório, é verdade que:

- Ou Laura não é casada ou Maria é casada.

- Se Maria é casada, então Paula é divorcia­da.

- Se Paula não é divorciada, então Laura é casada.

Com base no exposto, pode-se afirmar que:

a) Laura é casada.    

b) Maria é solteira.    

c) Paula é casada.    

d) Laura é solteira.    

e) Paula é divorciada.   

Resposta da questão 20:[E]

Sendo verdadeiras as proposições “Se Maria é casada, então Paula é divorciada” e “Se Paula não é divorciada, então Laura é casada”, usemos o fato de que as proposições, respectivamente, equivalentes “Maria não é casada ou Paula é divorciada” e “Paula é divorciada ou Laura é casada” também são verdadeiras.

A proposição “Ou Laura não é casada ou Maria é casada” é uma disjunção exclusiva. Logo, sendo verdadeira essa proposição, as proposições “Laura não é casada” e “Maria é casada” não podem ser ambas verdadeiras e nem ambas falsas.

Supondo que “Laura não é casada” é falsa e “Maria é casada” é verdadeira, podemos concluir de “Maria não é casada ou Paula é divorciada” que “Paula é divorciada” é verdadeira, pois, caso contrário, tal disjunção seria falsa.   

Por outro lado, supondo que “Laura não é casada” é verdadeira e “Maria é casada” é falsa, podemos concluir de “Paula é divorciada ou Laura é casada” que “Paula é divorciada” é verdadeira.

Em consequência, Paula deve ser divorciada.