QUESTÕES VESTIBULAR FGV 2017 – TIPO ANALÍTICA – COMENTADAS

 1. (Fgv 2017)  

a) Determinar a soma dos 20 primeiros termos da sequência (a₁, a₂, ... , a_n, ... ) definida por: a_n = 2 + 4n se n é ímpar e a_n = 4 + 6n  se n é par.

b) Considere a sequência (1, 10, 11, ... , 19, 100, 101, ..., 199, ... ) formada por todos os números naturais que têm 1 como primeiro algarismo no sistema decimal de numeração, tomados em ordem crescente. Se a soma dos seus n primeiros termos é 347, qual é o valor de n e o valor numérico de a_n ?

  

Resposta da questão 1:
 

a) Calculando:

   n ímpar → a_n = 2 + 4n → (6, 14, 22, ... , 78)

   n par → a_n = 4 + 6n → (16, 28, 40, ... , 124)

   S₂₀ = (6 + 78).10/2 + (16 + 124).10/2 →   S₂₀ = 1120

 b) Calculando:

   1 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 = 18 + 19 + 100 + 101 = 347

   a₁₃ = 101 → n = 13

  

2. (Fgv 2017) 

a) Escreva um pequeno texto para verificar se a proposição: |x| > 2^x/x, para todo número real x < 0, é verdadeira ou falsa.

b) O lucro obtido por uma livraria foi x por cento mais em 2014 do que em 2013 e y por cento menos em 2015 do que em 2014. É correto afirmar que o lucro da livraria em 2015 foi maior do que em 2013, sabendo que  x – y > xy/100 ? Justifique a sua resposta.

  

Resposta da questão 2:
 

a) Verdadeira,

Calculando: Se x < 0 entao |x| > 0 e 2^x/x < 0 → |x| > 2^x/x

b) Sim, é correto afirmar que o lucro da livraria em 2015 foi maior do que em 2013.

 Calculando: L₂₀₁₄ = L₂₀₁₃ . (100 + x)/100  e  L₂₀₁₅ = L₂₀₁₄ . (100 - y)/100 

  L₂₀₁₅ = L₂₀₁₃ . [(100 + x)/100] . [(100 - y)/100] →

  L₂₀₁₅ = L₂₀₁₃ . [1 + 100.(x - y))/100² - (xy)/100²]

  Mas, x – y > xy/100 → 100(x – y) > xy.

  Logo, 100.(x - y))/100² - (xy)/100² > 0 →  L₂₀₁₅ > L₂₀₁₃

 

3. (Fgv 2017)  Uma fábrica decide distribuir os excedentes de três produtos alimentícios A, B e C a dois países da América Central, P₁ e P₂. As quantidades, em toneladas, são descritas mediante a matriz Q :

                            

Para o transporte aos países de destino, a fábrica recebeu orçamentos de duas empresas, em reais por toneladas, como indica a matriz P :

                            

a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que for possível. Que elemento da matriz produto indica o custo de transportar o produto A, com a segunda empresa, aos dois países?

b) Para transportar os três produtos aos dois países, qual empresa deveria ser escolhida, considerando que as duas apresentam exatamente as mesmas condições técnicas? Por quê?

  

Resposta da questão 3:
 

a) Calculando:

b) A empresa 2. Calculando:

Empresa 1 → 130000 + 95000 + 135000 = 360000

Empresa 2 → 100000 + 70000 + 100000 = 270000

Portanto C_E2 < C _E1

4. (Fgv 2017) 

a) Um terreno de forma retangular foi dividido em quatro lotes retangulares. As áreas de três lotes são 4 m², 8 m² e 13 m². Qual é a área total do terreno?

                         

b) Na figura ao lado, PQR e STU são triângulos equiláteros congruentes e PQ = 6 cm. Qual é o perímetro do polígono PQWTUVR se o triângulo SWV tem perímetro 9 cm ?

                     

  

Resposta da questão 4:
 

a) Calculando:

Como ac = 4 ; bc = 8 ; ad = 13 entao → ac/bc = 4/8 → b = 2a e

ac/ad = 4/13 → d = 13c/4.

Portanto bd = 2a . 13c/4 = 13ac/2 = 13.4/2 → bd = 26 m².

Finalmente A = 4 + 8 + 13 + 26 = 51 m²

   b) Calculando: PQWTUVR = (PQR + STU) – SWV = 3.6 + 3.69 – 9 = 27 cm

   

5. (Fgv 2017)  a) De forma consecutiva extraímos de uma urna três bolas numeradas de 1 a 9, repondo a bola retirada após cada extração, formando um número de três algarismos. O primeiro algarismo sorteado é o algarismo das centenas; o segundo, o das dezenas; e o terceiro, o das unidades.

a)Calcule a probabilidade de que saia um número

I. com três algarismos repetidos;

II. sem nenhum algarismo repetido;

III. com exatamente dois algarismos exatamente iguais.

b) Em uma caixa com 10 lapiseiras, 4 delas estão com defeito. Se um cliente compra 2 lapiseiras escolhidas aleatoriamente, é certo afirmar que a probabilidade de que nenhuma lapiseira esteja com defeito é maior que 30% ?

  

Resposta da questão 5:
 

a) Calculando:

[I] P(x) = 9/9 . 1/9 . 1/9 = 1/81

[II] P(x) = 9/9 . 8/9 . 7/9 = 56/81

[III] P(x) = 1 - 1/81 . 56/81 = 24/81 = 8/27

b) Calculando:

    P(x) = 6/10 . 5/9  = 1/3 ≈ 33% > 30%   

6. (Fgv 2017)  a) Sabendo que x é um inteiro e 2^x + 2^-x = √(k + 2) podemos afirmar que 4^x + 4^-x = k ? Justifique a sua resposta.

b) Se x e y são dois números reais positivos, x < y e xy = 121, podemos afirmar que x < 11 < y ? Justifique a sua resposta

Resposta da questão 6:
 

a) Sim. Calculando:

    2^x + 2^-x ≥ 2, Ɐx ɛ R  ;  √(k+2) ≥ 2 → k ≥ 2

    2^x + 2^-x = √(k+2) → (2^x + 2^-x)² = [√(k+2)]² → (2^x + 2^-x)² = (k + 2) →

    (2^x)² + 2 . 2^x . 2^-x + (2^-x)² = k + 2 → 4^x + 2 + 4^-x = k+2 → 4^x + 4^-x =

  b) Para y = 121/x , tem-se:

    Assim, pelo gráfico conclui-se que x < 11 < y.  

7. (Fgv 2017)  a) O volume do cubo da figura é 64 cm³. O ponto V é o ponto de encontro das diagonais do cubo.

Qual é o volume da pirâmide de vértice V ?

                                 

 

 b) Uma bola de vidro que é uma esfera de centro O se encaixou num copo exatamente como mostra a figura. O raio da bola mede 13 cm e OC = 5 cm. O segmento AC é o raio do cilindro. O que tem o maior volume: a bola ou o copo?

                                       

Resposta da questão 7:
 

a) Calculando:

  Se a³ = 64 → a = 4, como h = a/2 → h = 2 cm.

  

   V = 1/3 . a² . h = 1/3 . 4² . 2 → V = 32/3 cm³

b) Calculando:

AC = r = raio d base do cilindro → r² + 5² = 13² → r = 12

V_bola = 4/3 .π . 13³ ≈ 2929,33 π cm³  e  V_cilindro = π . 12². 20 ≈ 2880 π cm³

Portanto V_bola  > V_cilindro