Treinamento Funções Trigonométricas para o Enem

                            

1. A relação y = A + 0,6sen[ w(t - 7)] exprime a profundidade y do mar, em metros, em uma doca, às t horas do dia, 0 £ t £ 24, na qual o argumento é expresso em radianos.

a) Dado que na maré alta a profundidade do mar na doca é 3,6m, obtenha o valor de A.

b) Considerando que o período das marés é de 12 horas, obtenha o valor de w .

2. A temperatura, em graus celsius (ºC), de uma câmara frigorífica, durante um dia completo, das 0 hora às 24 horas, é dada aproximadamente pela função:

F(t) = cos π.t/12 - cos π.t/6 , 0 £ t £ 24 com t em horas. Determine:

a) a temperatura da câmara frigorífica às 2 horas e às 9 horas (use as aproximações Ѵ2 = 1,4 e Ѵ3 = 1,70);

b) em quais horários do dia a temperatura atingiu 0ºC.

3. Do solo, você observa um amigo numa roda gigante. A altura h em metros de seu amigo em relação ao solo é dada pela expressão

H(t) = 11,5 + 10 sen ( t – 26)π/12 onde o tempo t é dado em segundos e a medida angular em radianos.

a) Determine a altura em que seu amigo estava quando a roda começou a girar (t = 0).

b) Determine as alturas mínima e máxima que seu amigo alcança e o tempo gasto em uma volta completa (período).

4. No hemocentro de um certo hospital, o número de doações de sangue tem variado periodicamente. Admita que, neste hospital, no ano de 2001, este número, de janeiro (t = 0) a dezembro (t = 11), seja dado, aproximadamente, pela expressão

S(t) = l - cos (t – 1)π/6

com l uma constante positiva, S(t) em milhares e t em meses, 0 £ t £ 11. Determine:

a) a constante l, sabendo que no mês de fevereiro houve 2 mil doações de sangue;

b) em quais meses houve 3 mil doações de sangue.

5. O número de turistas de uma cidade pode ser modelado pela função         f(x) = 2,1 + 1,6sen xπ/6, onde x representa o mês do ano (1 para janeiro, 2 para fevereiro, 3 para março, e assim sucessivamente) e f(x) o número de turistas no mês x (em milhares).

a) Determine quais são os meses em que a cidade recebe um total de 1300 turistas.

b) Determine a diferença entre o maior e o menor número de turistas da cidade em um ano.

Gabarito:

1.    a) 3  b) +_ou _π/6

2.    a) 0,35 e -0,7

b) 0 ; 8 ; 16 ; 24

     3.   a) 6,5

           b) 21,5  ;  1,5  ;  24

     4.   a) 3

           b) 4 ( maio ) e 10 ( novembro )

      5. a ) julho e novembro

          b) 0,8

Entenda a Teoria de Respostas ao Item (TRI), utilizada no Enem

Usualmente, quando desejamos medir a proficiência de um aluno em determinada área do conhecimento, fazemos uso do escore (número de acertos) do aluno em um teste com um determinado número de itens (questões). Esta forma de avaliação, conhecida como a Teoria Clássica dos Testes (TCT), apresenta limitações quando se pretende comparar desempenhos de alunos submetidos a provas diferentes. Isso ocorre devido a dependência que existe entre a avaliação das características do teste e a amostra de respondentes. O índice de discriminação (grau com que o item diferencia pessoas com níveis distintos de proficiências) e a dificuldade do item depende fundamentalmente do grupo de respondentes, ou seja, o item discrimina mais ou menos, ou é mais ou menos difícil de acordo com o grupo de respondentes. Um grupo de pessoas com menos proficiência submetido a um teste fácil pode obter como resultado um mesmo escore que um grupo de indivíduos de maior proficiência submetidos a um teste difícil. A comparação dos percentuais de acerto indicará que os grupos possuem a mesma profiência, sendo que na verdade os grupos possuem proficiências diferentes.
Para contornar estas dificuldades e também para permitir uma medida mais apropriada da proficiência do aluno, foi desenvolvida a TRI, cujo foco principal é o item e não o teste como um todo. Dentro do contexto da TRI, as características dos itens e dos testes são estimadas independentemente das proficiências dos alunos.
Para exemplificar, suponha que desejemos medir a altura de uma pessoa, em metros, por meio de um questionário utilizando a TRI. Uma pergunta (item) que poderia ser feita é “Você consegue guardar sua bagagem de mão no avião sem pedir ajuda?”. Uma pessoa que responda “sim” a este item deve ter, no mínimo, 1,65m. Esta seria então a “altura” do item. Um outro item: “Você acha que se daria bem em um time de basquete?”. A altura deste item seria algo em torno de 1,90m. Ao final de um conjunto de perguntas como esta, seria possível saber, com uma certa precisão, a altura do respondente.
Não existe um único conjunto de itens capazes de medir a altura. É possível obter a altura de maneira isonômica a partir de provas diferentes, ou seja, a partir de um conjunto diferente de questões. Itens de mesma “altura” serão respondidos de
maneira igual por pessoas de mesma altura. O mesmo ocorre com o Enem que, ao invés de medir altura, mede proficiência.
A decisão de implementar no Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) a Teoria de Resposta ao Item (TRI) teve duas finalidades principais: (1) permitir a comparabilidade dos resultados entre os anos e (2) permitir a aplicação do Exame várias vezes ao ano.
O uso da TRI em avaliações educacionais teve início no Brasil com o Sistema de Avaliação da Educação Básica (SAEB) em 1995 e, posteriormente, foi implementado também no ENCCEJA, Prova Brasil e ENEM. No âmbito internacional, a TRI vem sendo utilizada largamente por diversos países: Estados Unidos, França, Holanda, Coreia do Sul, China, sem falar nos países participantes do PISA (Programa Internacional de Avaliação de Estudantes).
Um dos grandes exemplos de avaliação utilizando a TRI é o exame de proficiência em língua inglesa (TOEFL). Este exame surgiu em 1964 e é amplamente utilizado em todo o mundo. Desde o ano de sua origem, este exame já avaliou mais de 25 milhões de alunos e tem sido administrado por mais de 4.500 centros em 165 países do mundo. No TOEFL, os alunos marcam o horário em um dos centros credenciados e podem realizá-lo várias vezes ao ano. A prova é adaptativa, realizada no computador, e cada candidato responde a um conjunto de itens (questões) diferentes. Apesar de em cada aplicação o candidato receber uma prova distinta, todos os resultados são comparáveis e considerados isonômicos.
Outro exame bastante importante e mais semelhante ao ENEM é o SAT (Scholastic Aptitude Test ou Scholastic Assessment Test). Este é um exame educacional padronizado dos Estados Unidos, aplicado a estudantes do Ensino Médio, que serve de critério para admissão nas universidades norte-americanas. O exame é aplicado sete vezes ao ano, em outubro, novembro, dezembro, janeiro, março (ou abril), maio e junho. Novamente, apesar de aplicações realizadas em momentos distintos e com provas diferentes, a existência de uma escala padrão possibilita a comparabilidade de desempenhos.
O modelo utilizado no ENEM é o modelo logístico de três parâmetros que além dos parâmetros de discriminação e de dificuldade, também faz uso de um parâmetro para controlar o acerto casual O parâmetro de dificuldade representa a proficiência mínima que um respondente deve possuir para que sua probabilidade de acerto seja alta, ou seja, a “proficiência do item”. O parâmetro de discriminação deve ser um valor
mínimo de modo a garantir que respondentes com proficiências diferentes tenham probabilidades diferentes de acerto.
A elaboração de uma boa prova exige o conhecimento dos parâmetros dos itens. Isto é conseguido através de pré-testagens de itens em amostras apropriadas de alunos nas quais estimamos os parâmetros dos itens em uma mesma escala de proficiência. Deste modo, posicionamos os itens em uma escala de acordo com o nível de proficiência que eles exigem.
O conjunto desses itens passa a formar um banco de itens na escala de proficiência desejada e a partir dele podemos construir um ou mais testes, de acordo com as necessidades. O importante é que as proficiências dos alunos submetidos a esses diferentes testes são medidas na mesma escala e, portanto, comparáveis entre si. Da mesma forma, as medidas de proficiência de um aluno submetido a dois testes construídos com itens desse banco serão iguais.
Por último, vale a pena ressaltar que em avaliações onde o acerto casual é possível, caso do ENEM, a medida de proficiência da TRI leva em conta não só o número de acertos, mas também o padrão de respostas do aluno. Em outras palavras, dois alunos com o mesmo escore podem receber da TRI diferentes valores de proficiência. Receberá maior proficiência aquele aluno que apresentar respostas aos itens de forma mais coerente com o construto que está sendo medido.

                                                                                                    Camila Akemi Karino
                                                                                                    Dalton Francisco de Andrade

Exercícios envolvendo Teoria dos Conjuntos

1. Assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada uma das afirmações a seguir.

(     ) A letra grega ╥ representa o número racional que vale 3,14159265.

(    ) O conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais são subconjuntos dos números reais e possuem apenas um ponto em comum.

(     ) Toda dízima periódica provém da divisão de dois números inteiros, portanto é um número racional.

A sequência correta é

a) F - V - V.   

b) V - V - F.   

c) V - F - V.   

xd) F - F - V.   

e) F - V - F.   

  

2. Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(A ⋃ B) = 8, n(A ⋃ C) = 9, n(B ⋃ C) = 10, n(A ⋃ B ⋃ C) = 11 e n(A ⋂ B ⋂ C) = 2. Então, n(A) + n(B) + n(C) é igual a

a)  11.   

b)  14.   

c)  15.   

xd)  18.   

e)  25.   

  

3. Se os conjuntos A e B são tais que A = {x ∈ IR │ (x² - 25)³ = 0} e B = {x ∈ IN │ 4/3 < x < 20/3},  então é verdade que

a) A ⊂ B   

b) A = B   

c) A ⋂ B = ∅   

xd) A ⋂ B = {5}   

e) A ⋃ B = A   

  

4. Considere os conjuntos:

IN, dos números naturais,

Q, dos números racionais,

Q₊, dos números racionais não negativos,

lR, dos números reais.

O número que expressa

a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q₊, mas não de IN.   

b) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de IN.   

c) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não de Q₊.   

xd) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q₊.   

e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q.   

  

5. A e B são dois conjuntos tais que A - B tem 30 elementos, A ⋂ B tem 10 elementos e A ⋃ B tem 48 elementos. Então o número de elementos de B - A é:

xa) 8   

b) 10   

c) 12   

d) 18   

e) 22   

  

6. Dados os conjuntos

A = {x ∈ IN/x é impar},

B = {x ∈ Z/-2 < x ≤ 9} e

C = {x ∈ IR/x ≥ 5},

o produto dos elementos que formam o conjunto (A ⋂ B) - C é igual a

a)  1   

xb)  3   

c)  15   

d)  35   

e)  105   

  

7.Se A = {-2,3,m,8,15} e B = {3,5,n,10,13} são subconjuntos de Z (números inteiros), e A ⋂ B = {3,8,10}, então

xa) n - m ∈ A   

b) n + m ∈ B   

c) m - n ∈ A ⋃ B   

d) mn ∈ B   

e) {m + n, mn} ⊂ A   

  

8.Sejam A, B e C 3 conjuntos finitos. Sabendo-se que A ⋂ B tem 20 elementos, B ⋂ C tem 15 elementos e A ⋂ B ⋂ C tem 8 elementos, então o número de elementos de (A ⋃ C) ⋂ B é:

xa)  27   

b)  13   

c)  28   

d)  35   

e)  23   

  

9.Considere três conjuntos A, B e C, tais que: n(A) = 28, n(B) = 21, N(C) = 20, n(A ⋂ B) = 8, n(B ⋂ C) = 9, n(A ⋂ C) = 4 e n(A ⋂ B ⋂ C) = 3. Assim sendo, o valor de n((A ⋃ B) ⋂ C) é:

a)  3   

xb)  10   

c)  20   

d)  21   

e)  24   

  

10. Considere os seguintes subconjuntos de números naturais:

            N = { 0,1,2,3,4,...}

            P = { x ∈ │N / 6  ≤ x ≤ 20 }

            A = { x ∈ P / x é par }

            B = { x ∈ P / x é divisor de 48 }

            C = { x ∈ P / x é múltiplo de 5 }

O número de elementos do conjunto (A - B) ⋂ C é:

xa)  2   

b)  3   

c)  4   

d)  5   

e)  6   

  

11.Se A e B são subconjuntos de U e A' e B' seus respectivos complementares em U, então (A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ B') é igual a:

a)  A'   

b)  B'   

c)  B   

xd)  A   

e)  A' - B'   

  

12. Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 8, 9} e a relação R, de A em B, definida por R = {(x,y) ∈ A x B │ x é divisor de y}. Nestas condições, R é o conjunto

a) {(0,2), (0,8), (0,9), (1,2), (1,8), (1,9), (2,2), (2,8), (3,9), (4,8)}   

xb) {(1,2), (1,8), (1,9), (2,2), (2,8), (3,9), (4,8)}   

c) {(2,1), (2,2), (8,1), (8,2), (8,4), (9,1), (9,3)}   

d) {(0,2), (0,8), (0,9), (2,2)}   

e) {(2,0), (2,2), (2,4)}   

  

13.Se A e B são conjuntos, A - (A - B) é igual a:

a)  A   

b)  B   

c)  A - B   

d)  A ⋃ B   

xe)  A ⋂ B   

Problemas de Raciocínio Lógico

1.  O trekking é uma atividade do turismo de aventura que consiste em uma caminhada por ambientes naturais.

Ao realizar um trekking por uma trilha estreita à beira de um abismo, um grupo de cinco amigos decidiu, por segurança, andar em fila indiana.

Nessa fila, os amigos se distribuíram da seguinte forma:

- Isabela estava à frente de Marcos e de Carol;

- Carol estava à frente de Álvaro;

- Vera estava à frente de Isabela, e

- Álvaro não era o último da fila.

Assim sendo, a pessoa que ocupou a posição central na fila foi

a) Álvaro.   

b) Carol.   

c) Isabela.   

d) Marcos.   

e) Vera.   

  

  

2. João, Pedro e Carlos são atletas. João tem 16 anos e joga vôlei, Pedro tem 17 anos e joga basquete e Carlos tem 15 anos e joga futebol. Considere que uma pessoa alta tem mais de 1,80m de altura e que somente uma das afirmativas abaixo é verdadeira.

1 – Exatamente um dos rapazes é alto.

2 – Exatamente dois dos rapazes mencionados são altos.

3 – Exatamente três dos rapazes mencionados são altos.

4 – Pelo menos dois dos rapazes mencionados são altos.

A soma dos números dos itens cujas afirmações são falsas é:

a) 1   

b) 2   

c) 8   

d) 9  

3.  Em uma rua, a lan house fica entre o shopping e a escola, e o shopping fica entre a escola e a livraria. Logo:

a) A livraria fica entre a escola e a lan house.   

b) A escola fica entre o shopping e a lan house.   

c) O shopping fica entre a lan house e a escola.   

d) A lan house fica entre a livraria e o shopping.   

e) O shopping fica entre a livraria e a lan house.   

  

               4.  Três técnicos: Amanda, Beatriz e Cássio trabalham no Banco Central    – um deles no complexo computacional, outro na administração e outro na segurança do sistema financeiro, não necessariamente nesta ordem. A praça de    lotação de cada um deles é São Paulo, Rio de Janeiro e Porto Alegre. Sabe-se que:

- Cássio trabalha na segurança do sistema financeiro.

- O que esta lotado em São Paulo trabalha na administração.

- Amanda não esta lotada em Porto Alegre e não trabalha na administração.

É verdade que quem esta lotado em São Paulo e quem trabalha no complexo computacional são, respectivamente:

a)                Cássio e Beatriz.

b)                Beatriz e Cássio.

c)                Cássio e Amanda.

d)                Beatriz e Amanda

e)                Amanda e Cássio.

5.  Os 61 aprovados em um concurso, cujas notas foram todas distintas, foram distribuídos em duas turmas, de acordo com a nota obtida no concurso: os 31 primeiros foram colocados na Turma A e os 30 seguintes na Turma B. As médias das duas turmas no concurso foram calculadas.Depois, no entanto, decidiu-se passar o último colocado da Turma A para a Turma B. Com isso:

a)        A média da turma A melhorou, mas a da B piorou.

b)        A média da turma A piorou, mas a da turma B melhorou.

c)        As médias de ambas as turmas melhoraram.

d)        As médias de ambas as turmas pioraram.

e)        As médias das turmas podem melhorar ou piorar, dependendo das notas dos candidatos.

6.Mauro, José e Lauro são três irmãos. Cada um deles nasceu em um estado diferente: um é mineiro, outro é carioca, e outro é paulista (não necessariamente nessa ordem). Os três têm, também, profissões diferentes: um é engenheiro, outro é veterinário, e outro é psicólogo (não necessariamente nessa ordem). Sabendo que José é mineiro, que o engenheiro é paulista, e que Lauro é veterinário, conclui-se corretamente que:

a) Lauro é paulista e José é psicólogo.

b) Mauro é carioca e José é psicólogo.

c) Lauro é carioca e Mauro é psicólogo.

d) Mauro é paulista e José é psicólogo.

e) Lauro é carioca e Mauro é veterinário.

7.  Em um dia de trabalho no escritório, em relação aos funcionários Ana, Cláudia, Luiz, Paula e João, sabe-se que:

           - Ana chegou antes de Paula e Luiz.

           - Paula chegou antes de João

           - Cláudia chegou antes de Ana.

           - João não foi o último a chegar.

       Nesse dia, o terceiro a chegar no escritório para o trabalho foi:

a)            Ana

b)            Cláudia

c)            João

d)            Luiz

e)            Paula

GABARITO : CDEDCDE

Olimpíada Brasileira de Matemática divulga o calendário de 2015

A Comissão Nacional de Olimpíadas de Matemática da SBM divulgou, nesta quinta-feira (5), as datas de realização das provas da 37ª Olimpíada Brasileira de Matemática de 2015. No calendário deste ano, constam ainda as competições internacionais, com destaque para a Olimpíada Internacional de Matemática (IMO, da sigla em inglês), a ser realizada na cidade de Chiang Mai, na Tailândia, durante o mês de julho.

A temporada internacional começa já neste mês com a 7ª Romanian Master of Mathematics (RMM), a ser realizada entre os dias 25 de fevereiro a 1º de março na cidade de Bucareste, na Romênia. Durante o ano serão realizadas outras competições internacionais, cujos representantes brasileiros serão selecionados a partir dos vencedores da Olimpíada Brasileira de Matemática do ano passado.

37ª Olimpíada Brasileira de Matemática

A competição nacional será disputada novamente em três fases eliminatórias. Os alunos que participam da disputa estão divididos em quatro níveis: alunos do 6º e 7º anos do Ensino Fundamental fazem a prova do nível 1; os alunos do 8º e 9º anos do Ensino Fundamental fazem a prova do nível 2; os alunos do 1º, 2º e 3º anos do Ensino Médio fazem a prova do nível 3, enquanto os estudantes de graduação participam do nível universitário.

Período de inscrições para escolas
2 de abril a 31 de maio de 2015 (apenas no site www.obm.org.br)

NÍVEIS 1 - 2 e 3
Primeira Fase: sexta-feira, 12 de junho de 2015
Segunda Fase: sexta-feira, 18 de setembro de 2015
Terceira Fase: sábado, 17 de outubro, (níveis 1, 2 e 3)
domingo, 18 de outubro, para os níveis 2 e 3 (segundo dia de prova)

NÍVEL UNIVERSITÁRIO
Primeira Fase: sexta-feira, 18 de setembro de 2015
Segunda Fase: sábado, 17 e domingo 18 de outubro de 2015

Sobre a OBM

A OBM é uma iniciativa conjunta do Instituto Nacional de Matemática Pura Aplicada (IMPA), da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) e conta com o apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq/MCTI), da Secretaria de Ciência e Tecnologia para Inclusão Social (Secis), do Ministério da Educação (MEC) por intermédio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes), do Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE) e do Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia de Matemática (INCT-Mat).

Para outras informações, acesse: www.obm.org.br