QUESTÕES VESTIBULAR UNIC 2018.1 – COMENTADAS

1. Dados fornecidos ao setor responsável pelo controle de saúde infantil, em determinada escola, indicam que 32 crianças já tiveram caxumba, 25 tiveram catapora e 37, rubéola.

Sabendo-se que 12 crianças tiveram exatamente duas dessas doenças e que 4 já tiveram todas, é correto concluir que o número de crianças que já teve, pelo menos, uma delas está no intervalo :

01) [50, 56]

02) [57, 63]

03) [64, 69]

04) [70, 76]

05) [77, 83]

Vejamos :

Observando o diagrama, podemos notar que :

● 32 crianças tiveram caxumba → x + a + b + 4 = 32 → x + a + b = 28 (eq. I)

● 25 tiveram catapora → y + b + c + 4 = 25 → y + b + c = 21 (eq. II)

● 37, rubéola → z + a + c + 4 = 37 → z + a + c = 33 (eq. III)

● 12 crianças tiveram exatamente duas dessas doenças → a + b + c = 12

Somando as equações I , II e III, obtemos :

x + y + z + 2.(a + b + c) = 28 + 21 + 33 → x + y + z + 2.12 = 28 + 21 + 33 →

x + y + z + 24 = 82 → x + y + z  = 82 – 24 → x + y + z  = 58

● o número de crianças que já teve, pelo menos, uma das doenças →

x + y + z + a + b + c + 4 = 58 + 12 + 4 = 74

2. Em uma Comunidade de Cuiabá, durante uma campanha de vacinação, que durou N dias, foram vacinadas 2142 crianças. Sabendo-se que a média diária de crianças vacinadas é um número inteiro, que no dia mais movimentado foram vacinadas 91 crianças, e, no menos movimentado, 56 crianças, é correto afirmar que o valor de N é : 

01) 34

02) 48

03) 56

04) 63

05) 72

Vejam :

Sabendo que o número de crianças vacinadas é "inteiro"

e através das alternativas abaixo podemos notar que,

● 2142 crianças : 34 dias = 63 crianças por dia

● 2142 crianças: 48 dias = 44,625 crianças por dia (não convém)

● 2142 crianças: 56 dias = 38,25 crianças por dia (não convém)

● 2142 crianças: 63 dias = 34 crianças por dia

● 2142 crianças: 72 dias = 29,75 crianças por dia (não convém)

Como no dia de menor movimento tiveram 56 crianças e no de

maior movimento, 91crianças, então a única alternativa correta

é N = 34 dias, cujo número de crianças é 63.

3. Admitindo-se os dados recolhidos em laboratórios de Cuiabá, da

análise desse gráfico, pode-se concluir:

01) A maior despesa de um paciente é de R$ 2056,00.

02) Existem 20 pacientes com despesas superiores a R$ 900,00.

03) Existem, apenas, 11 pacientes com despesas inferiores a R$ 900,00.

04) Apenas um terço do total de pacientes tem despesas inferiores a

R$ 1000,00.

05) A receita total dos laboratórios, por esses pacientes, corresponde a R$ 33200,00.

Vejamos :

01) FALSO, a maior despesa de um paciente é de R$ 1750,00.

02) FALSO, existem 18 pacientes com despesas superiores a R$ 900,00.

03) FALSO, existem, apenas, 14 pacientes com despesas inferiores a R$ 900,00.

04) FALSO, apenas um terço(?) do total de pacientes(32) tem despesas inferiores a R$ 1000,00(14)

05) VERDADEIRO, a receita total dos laboratórios, por esses pacientes, corresponde a R$ 33200,00.

Receita = 4x1700 + 6x800 + 8x600 + 14x1200 = 6800 + 4800 + 4800 + 16800 = R$ 33200,00.

4. Após um paciente, com uma febre de 40,2°C, ser medicado, sua temperatura diminuiu a uma taxa constante de 0,1°C a cada 5min.

Se m(T) = aT + b, em que a e b são constantes, é a função que descreve quantos minutos se passaram, a partir da medicação, até a temperatura chegar ao valor T, então o valor de a é igual a :

01) − 50

02) − 25

03) 0,02

04) 25

05) 50

           Vejamos :

           Segundo a situação apresentada,

  40,2   →   40,1   →   40   →   39,9   →   39,8   →   39,7   →   39,6   =   ...

             0              5             10          15              20             25            30         .....

  Seja F(T) = aT + b, a função que descreve, então,

           (0; 40,2⁰) → 40,2 = a.0 + b → 40,2 = b

  (5, 40,1⁰) → 40,1 = a.5 + b → 40,1 = 5a + 40,2

           Resolvendo o sistema, obtemos 5a = - 0,1 → a = -1/50 → F(T) = -1/50 .T + 40,2

           Fazendo  F(T) = -1/50 .T + 40,2, como y = (-1/50).x + 40,2 então sua inversa    

           será x = (-1/50).y + 40,2 →  50x = - y + 2010 → y = - 50x + 2010 → a = - 50

5.   Substância   Concentração em mol/litros

              I                       16.10^-4

              II                      27.10^-4

              III                     12.10^-4

A acidez de uma substância é medida pelo valor de seu pH, o qual é definido como o logaritmo decimal do inverso da concentração de íons de hidrogênio medido em moles por litro (mol/l).

Na tabela, estão indicadas as concentrações de três substâncias.

Indicando-se por A, B e C o pH de I, II e III e considerando-se log 2 = 0, 30 e log 3 = 0,47, pode-se afirmar que :

01) A < B < C

02) A < C < B

03) B < A < C

04) B < C < A

05) C < A < B

Vejamos :

A acidez de uma substância é medida pelo valor de seu pH, o qual é

definido como o logaritmo decimal do inverso da concentração de íons de

hidrogênio medido em moles por litro (mol/l), ou seja PH = log 1/(H+)

● Substância I → PH = log 1/(H+) → A = log 1/16.10^-4 →

A = log 1 – [log 16 + (-4).log 10] → A = 0 - (4 log 2 - 4) = - 4.0,30 + 4 = 2,8

● Substância II → PH = log 1/(H+) → B = log 1/27.10^-4 →

B = log 1 – [log 27 + (-4).log 10] → B = 0 - (3 log 3 - 4) = - 4.0,47 + 4 = 2,12

● Substância III → PH = log 1/(H+) → C = log 1/12.10^-4 →

C = log 1 – [log 12 + (-4).log 10] → C = 0 - (2 log 2 + log 3 - 4) =

- 2.0,30 – 0,47 + 4 = 2,93. Portanto B < A < C

6. Atualmente, a rede pública de saúde de um município realiza 180 cirurgias por ano, a um custo médio de R$8000,00 por cirurgia. Investimentos em medicina preventiva devem reduzir gradualmente o número anual de cirurgias, em 3 unidades, a cada ano. Por outro lado, a adoção de novas tecnologias deve elevar o custo médio por cirurgia em R$400,00, a cada ano. O gasto anual do município com cirurgias deve atingir um máximo igual a :

01) R$1.640.000,00

02) R$1.710.000,00

03) R$1.860.000,00

04) R$1.920.000,00

05) R$2.060.000,00

Vejamos :

● A rede pública de saúde realiza 180 cirurgias por ano, a um custo médio de R$8000,00 por cirurgia → Custo anual = 180 x 8000 = R$ 1.440.000,00.

● Investimentos devem reduzir o número anual de cirurgias, em 3 unidades, a cada ano. Por outro lado, a adoção de novas tecnologias deve elevar o custo médio por cirurgia em R$400,00, a cada ano →

Custo anual = (180 - 3).(8000 + 400) = R$ 1.486.800,00.

● Portanto de uma maneira geral o custo anual deverá apresentar  o seguinte comportamento, Custo anual = (180 – 3x).(8000 + 400x), onde "x" é dado em anos. Portanto C(x) = 3(60 – x).400(20 + x) →

C(x) = 1200(60 – x).(20 + x) → C(x) = 1200(1200 + 60x – 20x – x²) →

C(x) = 1200(- x² + 40x + 1200) → C(x) = - 1200 x² + 48000x + 1440000

● O gasto anual do município com cirurgias deve atingir um máximo igual

ao y_Vértice = - ∆/4a = - (b² – 4.ac)/4a = - (48000² – 4.(-1200).1440000)/4(- 1200)

= - (2304000000 + 6912000000)/(- 4800) = = - (23040000 + 6912000)/(- 48) =

= 92160000/48 = R$ 1.920.000,00.

7. Considerando-se P(x) um polinômio do quarto grau, com coeficientes reais, é correto concluir que P(x) pode ter como raízes os números :

01) – 3, – 2i, – 1, 0.

02) – 3i, – 2, 0, 3i.

03) – 2, –Ö3 , i, 1.

04) – 1, i,Ö3 , 3i.

05) – 2i, – 1, 0,Ö2i.

Vejamos :

Como P(x) um polinômio do quarto grau, com coeficientes reais, então

apresenta 4 raízes.

Levando em consideração que as raízes complexas veem sempre aos

pares, ela e seu conjugado, então a única alternativa correta é a 02.

8. Os segmentos PQ e ML, na figura, representam um prédio e um poste, respectivamente, situados em lados opostos de uma rua, de tal modo que do ponto P, na base do prédio, se visualiza uma lâmpada L colocada

no topo do poste, segundo um ângulo de 15º com a horizontal e do ponto Q, no topo do prédio, se visualiza o ponto L, segundo um ângulo de 30º com o prédio. Desprezando-se as alturas dos observadores e sabendo-se que sen²15^o = (2 - Ö3)/4, pode-se concluir que a altura do poste é, aproximadamente, igual a :

01) 2,8m

02) 3,6m

03) 4,0m

04) 4,5m

05) 5,6 m

Vejamos :    

  

Observando o ∆QPL notamos que como os ângulos QPL e QLP

apresentam a mesma medida, 75⁰, então QL mede 30 m.

Observando o ∆QL'L notamos que é retângulo, com hipotenusa 30 m e

cateto QL' = 30 – h, então cos 30⁰ = (30 - h)/30 → Ö3/2 = (30 - h)/30 →

30Ö3/2 = 30 - h → 15Ö3 = 30 - h → h = 30 - 15Ö3 → h = 30 – 25,5 → h = 4,5 m

9. Considerando-se M (2x2) tal que m₁₁ = 1 ; m₁₂ = x ; m₂₁ = x e m₂₂ = 1 uma matriz real, é correto afirmar que o conjunto-solução da inequação

[det (M²  - M)] < 3x² é o intervalo :

01) (- ¥, - 4]

02) (- 4, - 2]

03) (- 2, 2)

04) [2, 4]

05) (4, + ¥)

Vejamos :

Como det (M² - M) `< 3x² , então x².x² – x.x < 3x² → x⁴ – x² < 3x² →

x⁴ – 4x² < 0 → x²(x² – 4) < 0 → x² > 0 e (x² – 4) < 0 → x² > 0, sempre e

x² – 4 < 0  ----- -2 ---- 2 ----  - 2 < x < 2

10. Em uma comunidade, o número aproximado de pessoas que toma conhecimento de determinado fato, t meses após ele ter ocorrido, pode ser estimado através do modelo matemático definido pela função

f(x) = 1800/(3 + 5.2^-t). A partir dessa expressão, considerando-se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, para que 375 pessoas tomem conhecimento de um fato, após a sua ocorrência, estima-se que o número de dias necessários é igual a :

01) 36

02) 44

03) 52

04) 60

05) 72

Vejamos :

Como o modelo matemático foi definido pela função f(x) = 1800/(3 + 5.2^-t),

então para 375 pessoas, vem 375 = 1800/(3 + 5.2^-t) → 3 + 5.2^-t = 1800/375 →

3 + 5.2^-t = 24/5 → 15 + 25.2^-t = 24 → 25.2^-t = 24 - 15 → 25.2^-t = 9 → 2^-t = 9/25

log 2^-t = log 9/25 → - t . log 2 = log 9 – log 25 → - t . log 2 = 2 log 3 – 2 log 5

- t . 0,30 = 2 . 0,48 – 2 log 10/2 → - 0,30t = 0,96 – 2(log 10 – log2) →

- 0,30t = 0,96 – 2(1 – 0,30) → - 0,30t = 0,96 – 1,4 → - 0,30t = – 0,44 →

30t = 44 → t = 44/30 meses → t = 44/30 . 30 = 44 dias.

11. As retas de equações r₁: y + 2x - 4 = 0, r₂: 3y + 4x - 12 = 0 e r₃: y + x - 4 = 0 determinam com os eixos coordenados regiões triangulares, respectivamente, R₁, R₂ e R₃, contidas no 1º quadrante do plano xOy.

Girando-se R₁, R₂ e R₃, 360º em torno do eixo Oy, obtêm-se sólidos S₁, S₂ e S₃, cujos volumes V₁, V₂ e V₃

01) são iguais.

02) são tais que V₁ = 4 V₂ - 2 V₃.

03) são tais que V₁/2 = V₂/3 = V₃/4

04) formam uma progressão aritmética.

05) formam uma progressão geométrica.

Vejam :

r₁: y + 2x - 4 = 0 → y = - 2x + 4                                                               

                                                                              

r₂: 3y + 4x - 12 = 0 → y = -4x/3 + 4                                                              

                                                                                                                    

r₃: y + x - 4 = 0 → y = - x + 4                                                                       

                                                                               

                                                                                             

                                                                                                   

V₁ = πr²h/3 = π2².4/3 = 16π/3

V₂ = πr²h/3 = π3².4/3 = 12π

V₃ = πr²h/3 = π4².4/3 = 64π/3

Portanto V₁ = 4 V₂ - 2 V₃ → V₁ = 4.12π – 2.64π/3 → V₁ = 48π – 128π/3 →

V₁ = (144π – 128π)/3 → V₁ = 16π/3

12. Considere um trapézio isósceles de área S = 28cm², lados paralelos medindo 4cm e 10cm, respectivamente, e P, um ponto qualquer interior ao trapézio. Se n cm é a soma das distâncias de P aos quatro vértices desse quadrilátero, então o menor valor inteiro de n é :

01) 7

02) 9                          QUESTÃO INCOERENTE

03) 10

04) 11

05) 13

Vejamos :

Note que esse valor de "n" poderá variar a depender da posição do ponto P, acarretando numa questão incoerente.

Vamos imaginar, como exemplo, que o ponto P esteja localizado no ponto médio de sua base média, conforme a figura.

Como a área é igual a 28, então S = (b + B).h/2 → (4 + 10).h/2 = 28 →

7h = 28 → h = 4 cm.

Segundo o ∆AQP → AP² = AQ² + QP² → AP² = 2² + 2² → AP = 2Ö2cm = BP

Segundo o ∆MDP → PD² = PM² + MD² → PD² = 2² + 5² → PD = Ö29cm = PC

Se n cm é a soma das distâncias de P aos quatro vértices desse

quadrilátero → n = AP + BP + CP + DP → n = 2Ö2 + 2Ö2 + Ö29 + Ö29 →

n = 4Ö2 + 2Ö29 → n » 5,65 + 10,77 → n » 16,42 cm

13. Os pontos A = (− 4, 0), B = (0, 2) e C são vértices de um triângulo.

A área do maior triângulo que se pode obter, considerando C um ponto da circunferência de centro na origem e raio r = Ö5 u.c., é igual, em u.a., a :

01) 9

02) 10

03) 11

04) 12

05) 13

Vejamos :                     

                                      

                                                                  

                

Observando as condições apresentadas, notamos que para a área do

∆ABC seja máxima é necessário que a altura em relação à base AB, seja

 também máxima.

Como as retas r e s são paralelas então a_s = a_r = (y_B - y_A)/(x_B - x_A) =

= (2 - 0)/(0 - (-4)) →  a_s = a_r = 1/2 → "s": y = x/2 + b.

Portanto o ponto C deverá ser obtido através da interseção

das equações no sistema "x² + y² = 5 Ç y = x/2 + b" . Como a reta é

tangente à circunferência, então o discriminante será nulo, ou seja

x² + (x/2 + b)² = 5 → x² + x²/4 + xb + b² = 5 → 5x²/4 + xb + b² = 5 →

5x² + 4bx + 4b² – 20 = 0 → ∆ = (4b)² – 4.(5).( 4b² – 20) =  16b² – 80b² + 400 

∆ = - 64b² + 400 = 0 → - 64b² = - 400 → 4b² = 25 → b² = ± 25/4 → b = ± 5/2 →

Se a reta "s" intercepta o eixo y abaixo da origem, então b = - 5/2 e

"s" apresentará a equação  y = x/2 - 5/2.

Resolvendo o sistema "x² + y² = 5 Ç y = x/2 - 5/2" → x² + (x/2 - 5/2)² = 5 →

x² + x²/4 – 2 . x/2 . 5/2 + 25/4 = 5 → 4x² + x² – 10x + 25 = 20 →

5x² – 10x + 5 = 0 → x² – 2x + 1 = 0 → x_C = 1 e y_C = - 2 → C(1, -2)

Finalmente a área do ∆ ABC poderá ser obtida através do valor absoluto

do dispositivo prático :

A_∆ABC = ½ .  ( -4 . 2 + 0 . (-2) + 1 . 0 - (-4) . (-2) – 1 .2 – 0 .0 )                                    

A_∆ABC = ½ .  ( - 8 – 8 – 2 ) = 9 u.a., em valor absoluto                                   

MENSAGEM CODIFICADA DO RÉVEILLON - por CRISTIANO

QUESTÕES VESTIBULAR UNESP 2018 - COMENTADAS

1. (Unesp 2018)  A sequência de figuras, desenhadas em uma malha quadriculada, indica as três primeiras etapas de formação de um fractal. Cada quadradinho dessa malha tem área de 1 cm².

Dado que as áreas das figuras, seguindo o padrão descrito por esse fractal, formam uma progressão geométrica, a área da figura 5, em cm², será igual a :

a) 625/81   

b) 640/81      

c) 125/827      

d) 605/81      

e) 215/27      

  

Resposta da questão 1:[A]

Calculando:

PG → 81, 45, 25, ... → q = 45/81 = 5/9 → a₅ = 81.(5/9)⁴ = 625/81

2. (Unesp 2018)  Dois dos materiais mais utilizados para fazer pistas de rodagem de veículos são o concreto e o asfalto. Uma pista nova de concreto reflete mais os raios solares do que uma pista nova de asfalto; porém, com os anos de uso, ambas tendem a refletir a mesma porcentagem de raios solares, conforme mostram os segmentos de retas nos gráficos.

                        

Mantidas as relações lineares expressas nos gráficos ao longo dos anos de uso, duas pistas novas, uma de concreto e outra de asfalto, atingirão pela primeira vez a mesma porcentagem de reflexão dos raios solares após :

a) 8,225 anos.   

b) 9,375 anos.   

c) 10,025 anos.   

d) 10,175 anos.   

e) 9,625 anos.   

  

Resposta da questão 2: [B]

Calculando:

Concreto : m = (35 - 25)/(0 - 6) = - 5/3 → y = - 5x/3 + 35.

Asfalto : m = (16 - 10)/(6 - 0) = 1 → y = x + 10.

x + 10 = - 5x/3 + 35 → x + 5x/3 = 35 – 10 → 8x/3 = 25 → x = 9,375 anos

3. (Unesp 2018)  Os pontos P e Q(3,3) pertencem a uma circunferência centrada na origem do plano cartesiano. P também é ponto de intersecção da circunferência com o eixo y.

              

Considere o ponto R, do gráfico de y = Öx que possui ordenada y igual à do ponto P. A abscissa x de R é igual a :

a) 9   

b) 16   

c) 15   

d) 12   

e) 18   

  

Resposta da questão 3: [E]

Calculando:

Q(3, 3) → raio = 3Ö2 → P(0 , 3Ö2)

R(x, 3Ö2) → y = Öx → 3Ö2 = Öx → x = 18

  

4. (Unesp 2018)  Renata escolhe aleatoriamente um número real de -4 a 2 e diferente de zero, denotando-o por x. Na reta real, o intervalo numérico que necessariamente contém o número (2 - x)/x é :

   

Resposta da questão 4: [B]

Calculando:

f(x) = (2 - x)/x → f(x) = 2/x - 1 → {x ϵ R*/ - 4 ≤ x ≤ 2}

Através de (2 - (-4))/-4 = - 1,5   ;   (2 - (-3))/-3 = - 1,6667   ;   (2 - (-2))/-2 = - 2

(2 - (-1))/-1 = - 3   ;   (2 - 1)/1 = 1   ;   (2 - 2)/2 = 0, podemos observar que

- 1,5 ≤ f(x) ≤ 0

5. (Unesp 2018)  A figura indica um trapézio ABCD no plano cartesiano.

                

A área desse trapézio, na unidade quadrada definida pelos eixos coordenados, é igual a :

a) 160    

b) 175    

c) 180    

d) 170    

e) 155    

  

Resposta da questão 5:[C]

Sendo O a origem e E o ponto (20, 0) a área do trapézio OBCE menos a

área dos triângulos OAD e DCE será igual a área do trapézio ABCD.

Assim:

S_OBCE = (15 + 9).20/2 = 240

S_OAD = 10.3/2 = 15

S_DCE = 10.9/2 = 45

S_ABCD = 240 – 15 – 45 = 180

6. (Unesp 2018)  Os estudantes 1, 2 e 3 concorreram a um mesmo cargo da diretoria do grêmio de uma faculdade da UNESP, sendo que 1 obteve 6,25% do total de votos que os três receberam para esse cargo. Na figura, a área de cada um dos três retângulos representa a porcentagem de votos obtidos pelo candidato correspondente. Juntos, os retângulos compõem um quadrado, cuja área representa o total dos votos recebidos pelos três candidatos.

                       

Do total de votos recebidos pelos três candidatos, o candidato 2 obteve

a) 61,75%   

b) 62,75%      

c) 62,50%      

d) 62,00%      

e) 62,25%      

  

Resposta da questão 6:[C]

Se (4,5 . 2) cm² → 6,25% então x cm² → 100% portanto x = 4,5.2.100/6,25 →

x = 144 cm², quadrado de lado 12 cm

Candidato 3 → (12 - 2).4,5 = 45 cm²

Candidato 2 → (12 – 4,5).12 = 90 cm²

Se 144 cm² → 100% então 90 cm² → y, portanto y = 9000/144 = 62,5%

7. (Unesp 2018)  O ibuprofeno é uma medicação prescrita para dor e febre, com meia-vida de aproximadamente 2 horas. Isso significa que, por exemplo, depois de 2 horas da ingestão de 200 mg de ibuprofeno, permanecerão na corrente sanguínea do paciente apenas 100 mg da medicação. Após mais 2 horas (4 horas no total), apenas 50 mg permanecerão na corrente sanguínea e, assim, sucessivamente.

Se um paciente recebe 800 mg de ibuprofeno a cada 6 horas, a quantidade dessa medicação que permanecerá na corrente sanguínea na 14ª hora após a ingestão da primeira dose será :

a) 12,50 mg    

b) 456,25 mg    

c) 114,28 mg    

d) 6,25 mg    

e) 537,50 mg    

  

Resposta da questão 7: [B]

Calculando:

Ingestão : 800 mg

2hs depois → 400 mg

4hs depois → 200 mg

6hs depois → 100 mg + 800 mg

8hs depois → 50 mg + 400 mg

10hs depois → 25 mg + 200 mg

12hs depois → 12,5 mg + 100 mg + 800 mg

14hs depois → 6,25 mg + 50 mg + 400 mg → 456,25 mg

8. (Unesp 2018)  A figura indica os gráficos das funções I, II e III. Os pontos A(72⁰; 0,309), B(x_B; - 0,309), e C(x_C; 0,309), são alguns dos pontos de intersecção dos gráficos.

                

Nas condições dadas, x_B + x_C é igual a :

a) 538⁰   

b) 488⁰     

c) 540⁰     

d) 432⁰     

e) 460⁰     

Resposta da questão 8:[C]

O gráfico representa a função cosseno. Os pontos x_B e x_C estão

respectivamente no terceiro e quarto quadrantes. Assim, se cos 72⁰ =

0,309, então:

3Q → cos(x_B) = - 0,309 → x_B = 72 + 180 = 252⁰

4Q → cos(x_C) =  0,309 → x_C = 360 - 72 = 288⁰

Portanto 252⁰ + 288⁰ = 540⁰