1.
(Unifesp 2018) Em uma classe de 16 alunos, todos são fluentes em
português. Com relação à fluência em línguas estrangeiras, 2 são fluentes em
francês e inglês, 6 são fluentes apenas em inglês e 3 são fluentes apenas em
francês.
a)
Dessa classe, quantos grupos compostos por 2 alunos podem ser formados sem alunos fluentes em francês?
b)
Sorteando ao acaso 2 alunos dessa classe, qual é a probabilidade de que ao
menos um deles seja fluente em inglês?
De acordo com o enunciado:
a) Calculando: C11,2 = 11!/2!9! = 55
grupos
b) Calculando: P(x) = 1 – C8,2/C16,2
= 1 - 28/120 = 92/120 = 23/30
2.
(Unifesp 2018) Em um tapete retangular decorado com círculos idênticos,
o círculo de centro C tangencia as laterais do tapete em P e Q O ponto R
pertence à circunferência desse círculo e está à distância de 18 cm e de 25 cm
das laterais do tapete, como mostra a figura.
a)
Calcule a distância de R até o canto superior do tapete, indicado por S. Deixe
a resposta indicada com raiz quadrada.
b)
Calcule o raio dos círculos que compõem a decoração do tapete.
Conforme
enunciado:
a) Calculando: RS2 = 182
+ 252 → RS = √949
b) Calculando: r2 = (r -
18)2 + (r - 25)2 → r2 = r2 – 36r +
324 + r2 – 50r + 625
r2 - 86r + 949 = 0 → r = 13(não convém) ou r = 73
3.
(Unifesp 2018) Um estudo médico recrutou 160 pacientes homens com
histórico de alterações no antígeno prostático específico (PSA). Os pacientes
foram submetidos aos exames laboratoriais de PSA total e de PSA livre e, em
seguida, a uma biópsia da próstata. A biópsia apontou, em cada caso, se a patologia
era maligna ou benigna. A tabela apresenta os resultados das médias dos exames laboratoriais
do grupo de pacientes com patologia maligna e do grupo de pacientes com
patologia benigna.
|
PSA (média)
|
Biópsia com
indicação de patologia maligna
|
Biópsia com
indicação de patologia benigna
|
|
PSA total (ng/ml)
|
10
|
8
|
|
PSA livre (ng/ml)
|
1,9
|
2
|
|
PSA livre ÷
PSA total
|
0,19
|
0,25
|
Pedro
foi um dos pacientes que participou do estudo e seus exames indicaram PSA total
= 9,5 ng/ml e PSA livre = 2,28 ng/ml.
a)
Calcule o quociente entre o PSA livre e o PSA total de Pedro. Usando esse
indicador como referência na comparação com os dados da tabela, indique se o
resultado do exame de Pedro está numericamente mais próximo ao resultado médio
do exame de quem tem a patologia maligna ou de quem tem a patologia benigna.
b)
Sabendo que 40% dos pacientes foram diagnosticados com patologia maligna,
calcule a média do PSA total dos 160 pacientes que participaram do estudo.
a) Calculando: PSAtotal/ PSAtotal
= 2,28/9,5 = 0,24
Como 0,24 é
mais próximo de 0,25, então Pedro está numericamente mais próximo ao resultado
médio do exame de quem tem a patologia maligna ou de quem tem a patologia
benigna.
b) Calculando: [10.(160.0,4) +
8.(160.0,6)]/160 = 8,8
4.
(Unifesp 2018) Uma chapa retangular metálica, de área igual a 8,132
m2, passa por uma máquina que a transforma, sem nenhuma perda de
material, em uma telha ondulada. A figura mostra a telha em perspectiva.
A
curva que liga os pontos A e B, na borda da telha, é uma senóide.
Considerando
um sistema de coordenadas ortogonais com origem em A, e de forma que as
coordenadas de B, em centímetros, sejam (195, 0), a senóide apresentará a
seguinte configuração:
a)
Calcule o comprimento da senóide indicada no gráfico, do ponto A até o ponto B.
b)
Determine a expressão da função cujo gráfico no sistema de coordenadas é a senóide
de A até B. Determine o domínio, a imagem e o período dessa função.
a) Se a chapa possui área igual 8132
m2, então o comprimento da senoide
será: Área = 4x → 8132 = 4x → x = 2033 m
b) Calculando: f = 6; T = 195/6; A =
2 e f(x) = A . sen kx
195/6 = 2π/|k| → k = 4π/65 → f(x) = 2 . sen (4πx/65)
D(f) = {x ɛ R / 0 ≤ x ≤ 195} e Im(f) = {y ɛ R / -2 ≤ y ≤ 2} .
5.
(Unifesp 2018) Raquel imprimiu um número x de fotografias ao custo
unitário de 54 centavos. Cada foto foi vendida ao preço de 75 centavos
sobrando, no final do período de vendas, y fotografias sem vender, o que
resultou em um prejuízo de 12 reais em relação ao custo total das impressões.
a)
Calcule quantas fotografias foram impressas, para o caso em que y = 100.
b)
Determine a expressão de y em função de x para a situação descrita no
enunciado.
Calculando: Custo impressão = 0,54 ; Preço venda = 0,75;
Fotos vendidas = x – y → 0,75(x - y) – 0,54x = - 12
a) Calculando: Vendas – Custos = Lucro/Prejuízo
0,75(x - y) – 0,54x = - 12 → 0,75(x - 100) – 0,54x = - 12 →
0,75x - 75 – 0,54x = - 12 → 0,21x = 63 → x = 300
b) Isolando y; 0,75(x - y) – 0,54x = - 12 → 0,75x – 0,75y – 0,54x = - 12
→
0,21x – 0,75y = - 12 → y = (-0,21x - 12)/-0,75 → y = 0,28x + 16
