QUESTÕES DO VESTIBULAR Efomm 2016 - COMENTADAS

1. De acordo com conceitos administrativos, o lucro de uma empresa é dado pela expressão matemática L = R – C, onde L é o lucro, C o custo da produção e R a receita do produto. Uma indústria produziu x peças e verificou que o custo de produção era dado pela função C(x) = x² – 500x + 100 e a receita representada por R(x) = 2000x – x². Com base nessas informações, determine o número de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo.

a) 625   

b) 781150   

c) 1000   

d) 250   

e) 375   

  

2.  Determine a imagem da função f, definida por f(x) = ││x + 2 │-│ x – 2 ││ para todo x ϵ R, conjunto dos números reais.

a) Im(f) = R   

b) Im(f) = { y ϵ R │y ≥ 0 }   

c) Im(f) = { y ϵ R │0 ≤ y ≤ 4 }      

d) Im(f) = { y ϵ R │y ≤ 0 }      

e) Im(f) = { y ϵ R │y > 0 }      

  

3. Seja um quadrado de lado 2. Unindo os pontos médios de cada lado, temos um segundo quadrado. Unindo os pontos médios do segundo quadrado, temos um terceiro quadrado, e assim sucessivamente. O produto das áreas dos dez primeiros quadrados é

a) 2^-9/2   

b) 2^-25/2      

c) 2^-45/2     

d) 2^-45      

e) 2^-25      

  

4. Numa progressão geométrica crescente, o 3⁰ termo é igual à soma do triplo do 1⁰ termo com o dobro do 2⁰ termo. Sabendo que a soma desses três termos é igual a 26, determine o valor do 2⁰ termo.

a) 6   

b) 2   

c) 3   

d) 1   

e) 26/7   

  

5.  Um garrafão contém 3 litros de vinho. Retira-se um litro de vinho do garrafão e acrescenta-se um litro de água, obtendo-se uma mistura homogênea. Retira-se, a seguir, um litro da mistura e acrescenta-se um litro de água, e assim por diante. A quantidade de vinho, em litros, que resta no garrafão, após 5 dessas operações, é aproximadamente igual a

a) 0,396   

b) 0,521   

c) 0,676   

d) 0,693   

e) 0,724   

  

6. A quantidade de anagramas da palavra MERCANTE que não possui vogais juntas é

a) 40320   

b) 38160   

c) 37920   

d) 7200   

e) 3600   

  

7.  Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a,b,c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a e que c seja sucessor de b ou que a, b e c sejam primos?

a) 4/216   

b) 27/216   

c) 108/216   

d) 31/216

e) 10/216   

  

8. Seja uma esfera de raio R e um cubo de aresta A ambos com a mesma área de superfície. A razão entre o volume do cubo e o volume da esfera é igual a

a) 1/√¶   

b) √¶/12   

c) √2¶/3   

d) √¶/3   

e) √¶/6   

  

9.  Quanto à posição relativa, podemos classificar as circunferências

 (x-2)² + (y-3)² = 9 e x² + y² - 8x + 15

a) secantes.   

b) tangentes internas.   

c) tangentes externas.   

d) externas.   

e) internas.   

  

10. Seja o número complexo z = -1 - √3 i, onde i é a unidade imaginária. O valor de z⁸ é:

a) z = 256( cos4¶/3 + isen 4¶/3 )   

b) z = 256( cos¶/3 + isen ¶/3 )      

c) z = 256( cos5¶/3 + isen 5¶/3 )      

d) z = 256( cos2¶/3 + isen 2¶/3 )      

e) z = 256( cos2¶ + isen 2¶ )      

  

11.  O número complexo, z = │z│ ( cos θ+ i . sen θ ), sendo  a unidade imaginária e 0 ≤ θ ≤ 2¶, que satisfaz a inequação │z + 3i │ ≤ 2 e que possui o menor argumento θ é :

a) z = -5/3 – 2i√5/3   

b) z = -5/3 + 2i√5/3      

c) z =  – 2√5/3 – 5i/3     

d) z =  – 2√5/3 + 5i/3     

e) z =  – 2√5 – 5i       

  

12.  A solução do sistema:

x + y + z + w = 7

xy + xz + xw + yz + yw + zw = 4

xyz + xyw + xzw + yzw = 6

xyzw = 1

pode ser representada pelas raízes do polinômio:

a) x³  + 6x² + 4x + 7   

b) x³  + 6x² + 4x - 7   

c) 2x⁴ – 14x³  + 8x² - 12x + 2   

d) 7x⁴ - 4x³  + 6x² + x   

e) x⁴ + 7x³  + 4x² + 6x   

  

13. Seja o polinômio p(x) = x⁶ – 26x⁴ – 32x³ – 147x² – 96x – 180.

A respeito das raízes da equação p(x) = 0, podemos afirmar que

a) todas as raízes são reais.   

b) somente duas raízes são reais, sendo elas distintas.   

c) somente duas raízes são reais, sendo elas iguais.   

d) somente quatro raízes são reais, sendo todas elas distintas.   

e) nenhuma raiz é real.   

  

14. Sabendo que 5/2 é uma raiz do polinômio P(x) = 2x³ – 3x² - 9x + 10, a soma das outras raízes é igual a:

a) -2   

b) 0   

c) 10   

d) 1   

e) -1   

  

15. O valor de lim_t→0^(2-√4-t)/t é:

a) 1   

b) 1/4 

c) 1/3   

d) 1/2   

e) 2 

  

16. O valor da integral ʃ [√2 . tg³(2x).sec(2x)]² dx, sendo  uma constante, é:

a) sec²(2x) + tg²(2x) + c   

b) [sec²(2x) + tg²(2x) + c] / tg(2x)     

c) arctg(ln x) + c   

d) tg⁷(2x)/7  +  c   

e) √tg(2x) + sen(2x)  +  c   

  

  

17.  Dado os pontos A(-2,5), B(1,1) e C(-1,-1),  o valor da altura do triângulo ABC em relação à base AC é igual a:

a) √37   

b)  5   

c) √8   

d) 14√37/37   

e) 7  

                               GABARITO COMENTADO

Resposta da questão 1:
 [A]

De acordo com as informações, temos: L(x) = 2000x – x² – ( x² – 500x + 100 ) → L(x) = -2x² + 2500x – 100

Então, o lucro é máximo  ocorre quando x_v = -b/2a = - 2500/2.(-2) = 625  

Resposta da questão 2:
 [C]

Tem-se que:

│x + 2 │= x + 2 , se x ≥ - 2 ou │x + 2 │ = –x – 2 , se x < - 2   e

│x - 2 │= x - 2 , se x ≥  2 ou │x - 2 │ = –x + 2 , se x < 2

Logo, podemos definir g : R → ,R dada por:

g(x) = │x + 2 │ - │x – 2 │ = -4, se x < - 2 ; 2x, se -2 < x < 2 ; 4, se x ≥ 2

Em consequência, temos f(x) = │g(x) │ apresenta imagem toda positiva e compreendida entre 0 e 4. Portanto, segue que Im ( f ) = { y є R │ 0 ≤ y ≤ 4 }

  

Resposta da questão 3:
 [E]

Tem-se que as áreas dos quadrados constituem a progressão geométrica ( 4 , 2 , 1 , ... ). Por conseguinte, a resposta é 4¹⁰ . (1/2)^10(10-1)/2 = 2²⁰ . 2^-45 = 2^-25  

Resposta da questão 4:
 [A]

Seja ( x/q , x , xq, ... ) a progressão geométrica, com x > 0 e q > 1. Tem-se que xq = 3x/q + 2x → q² – 2q – 3 = 0 → q = 3

Portanto : x/q + x + xq = 26 → x(1/3 + 1 + 3 ) = 26 → x = 6

  

Resposta da questão 5:
 [A]

Como o volume retirado da mistura é sempre igual a 1/3 do volume presente, segue que a quantidade de vinho diminui segundo uma progressão geométrica de razão 2/3 e primeiro termo igual a 2. Logo, a resposta é 2.(2/3)⁴ = 32/81 ≈ 0,395 litros  

Resposta da questão 6:
 [D]

Considere o diagrama, no qual cada espaço em branco pode ser ocupado por no máximo uma vogal.

 _ M _ R _ C _ N _ T _

Para que não haja vogais juntas, deve-se escolher 3 dos 6 espaços disponíveis para inserir as vogais E,E e A. Isso pode ser feito de C_6,3 = 6!/3!3! =20 maneiras. Definidos os espaços que serão ocupados pelas vogais, ainda podemos permutá-las de P₃² = 3!/2! = 3 modos. Ademais, também é possível permutar as consoantes de P₅ = 5! = 120 maneiras.

Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 20.3.120=7200

  

Resposta da questão 7:
 [D]

Existem  6 . 6 . 6 = 216 resultados possíveis para a sequência (a,b,c). Por outro lado, as sequências em que b  é sucessor de a e c   é sucessor de b  são: (1,2,3), (2,3,4), (3,4,5) e (4,5,6). Ademais sendo 2 , 3 e 5 os primos entre 1 e 6, segue que o número de sequências com a, b e c primos é 3.3.3 = 27. Em consequência, o número de casos favoráveis é 4 + 27 = 31 e, portanto, o resultado é 31/216.

   

Resposta da questão 8:
 [E]

Tem-se que 6A² = 4¶R² → A = √2¶R/3 , Portanto, a resposta é ;

A³ /(4¶R³/3) = (√2¶R/3)³ / (4¶R³/3) = √¶/6

  

Resposta da questão 9:
 [A]

Sejam ƛ₁ : (x – 2)² + (y-3)² = 9  e ƛ₂ ; x² + y² - 8x + 15 = 0. É imediato que C₁ = (2,30 e r₁ = 3. Ademais, completando os quadrados na equação de ƛ₂, encontramos ƛ₂ ; (x – 4)² + (y – 0)² = 1. Daí, vem C₂ = (4,0) e r₂ = 1.

A distância entre os centros de ƛ1 e ƛ₂ é dada por ;√(4-2)² + (0-3)² = √13

Logo, como r₁ + r₂  = 4 e r₁ – r₂ = 2, temos : │ r₁ – r₂ │ < d(C_1,C₂) < r₁ + r₂  

Portanto, podemos concluir que  ƛ₁ e ƛ₂  são secantes.  

Resposta da questão 10:
 [D]

O módulo de z é p = √(-1)² + (-√3)² = 2 . Logo, se α é o argumento de z, então cos α = -1/2 e sem α = -√3 / 2. Em consequência, temos α = 4¶/3 rad. Daí, a forma trigonométrica de z é

Z = 2( cos4¶/3  + i.sen 4¶/3 )

Portanto, pela Primeira Fórmula de Moivre, segue que :

 Z⁸ = 2⁸[ cos (8.4¶/3)  + i.sen (8.4¶/3) ] = 256(cos2¶/3 + i.sen2¶/3)

  

Resposta da questão 11:
 [C]

Seja z = x + yi, com x, y є Z. Tem-se que │z + 3i │≤ 2 → x² + ( y + 3)² ≤ 4

Logo, os números complexos que satisfazem a desigualdade pertencem ao disco de centro A(0, -3) e raio 2. Em particular, a imagem do complexo z, de menor argumento α, que pertence a esse disco, é a extremidade de um  vetor OP, sendo O o centro do plano de Argand Gauss e P a interseção entre as duas circunferências.

Desde que AO = 3 e AP = 2,  pelo Teorema de Pitágoras, vem OP = √5.

 Assim, temos ; cos AOP = OP/OA → cos(3¶/2 – α) = √5/3 → sen α = - √5/3    e

Sen AOP = PA/OA →  sen(3¶/2 – α) = 2/3 → cos α = -2/3

Portanto, a resposta é Z = √5.[-2/3 + i.(-√5/3) ] = -2√5/3 – 5i/3

  

Resposta da questão 12:
 [C]

Seja p(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e o polinômio procurado. Pelas Relações de Girard, vem

x + y + z + w = -b/a = 7

xy + xz + xw + yz + yw + zw = c/a = 4

xyz + xyw + xzw + yzw = -d/a = 6

xyzw = e/a = 1

Logo, supondo a > 0 temos b < 0, c > 0, d < 0 e e > 0. O único polinômio que satisfaz essas condições é 2x⁴ + -14x³ + 8x² - 12x + 2

Resposta da questão 13:
 [B]

Pelo Teorema das Raízes Racionais, segue que as possíveis raízes racionais pertencem ao conjunto dos divisores inteiros de 180 (coeficiente independente, pois a = 1 )

{  ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±9, ±10, ±12, ±15, ±18, ±20, ±30, ±36, ±45, ±60, ±90, ±180 }

Assim, por inspeção, concluímos que x = -5 e x = 6 são raízes da equação. Daí, aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, vem ;

-5    │    1     0     -26     -32     -147  │   -96  │   -180

       │                                                │          │

 6    │    1     -5     -1      -27      -12   │  -36   │     0

       │    1      1      5         3         6          0

Em consequência, temos

x⁶ – 26x⁴ – 32x³ – 147x² – 96x – 180 = (x+5)(x-6)(x⁴+x³+5x²+3x+6)

Sendo A, B, C e D є Z, podemos escrever : (x⁴+x³+5x²+3x+6) = (x²+Ax+B)(x²+Cx+D) = x⁴ + (A + C) x³ + (B + D + AC)x² + (AD + BC)x +BD

Logo, vem : A + C = 1 ; B + D + AC = 5 ; AD + BC = 3 ; BD = 6

Mas BD = 6  e B, D є Z implicam em

(B,D) є { ( -6,-1), ( -3,-2), (-2,-3), (-1,-6), (1,6), (2,3) (3,2) (6,1) }

Por inspeção, concluímos que (BD) = (2,3) ou (B,D) = (3,2)  resultando em (AC)=(1,0) ou (AC) = (0,1), respectivamente. Em qualquer caso, encontramos x⁴+x³+5x²+3x+6 = (x²+3)(x²+x+2)

Portanto, como x²+3 = 0 e x²+x+2 = 0  não têm raízes reais, segue o resultado.  

Resposta da questão 14:
 [E]

Sejam a e b as outras raízes de P(x). Pelas Relações de Girard, temos:

a + b + 5/2 = - (- 3/2 ) → a + b = -1. Portanto, segue o resultado.  

Resposta da questão 15:
 [B]

Tem-se que lim_{t →0}^{(2 - √4-t) / t} = 0/0.  Logo, racionalizando o numerador, vem

lim_{t →0}^{(2 - √4-t) / t}  ₌  lim_{t →0}^{(2 - √4-t) / t . (2 + √4-t) / 2 +√4-t)} = lim_t→0 ^{1 /(2+√4-t)} = 1/4

  

Resposta da questão 16:
 [D]

Tem-se que ʃ [√2 . tg³(2x).sec(2x)]² dx = ʃ [ tg⁶(2x).2sec²(2x)] dx

Lembrando que ∫ uⁿ du = uⁿ⁺¹/u+1 + C, com  n ≠ 1 temos u = tg(2x), Du = 2sec² (2x) dx e n = 6 e  Portanto, segue que ʃ [ tg⁶(2x).2sec²(2x)] dx = ∫ u⁶du = u⁷/7 + C = tg⁷(2x) / 7 + C

  

Resposta da questão 17:
 [D]

Se H é o pé da altura conduzida por B, CB = (2,2) e CA = (-1,6), e  então

CH = proj _CA^CB = ( CB . CA ) . CA / ( │CA │² = 10/37 . (-1.6) = ( -10/37, 60/37 )

Logo, sendo H = ( α , β ), temos: CH = ( -10/37, 60/37 ) → ( α , β ) – (-1,-1 ) = ( -10/37, 60/37 ) → ( α , β ) = ( -47/37, 23/37 ). Em consequência, vem

HB = ( 84/37 , 14/37 ) e, portanto, segue que o resultado é:

│HB │= √ ( 84/37)² + (14/37)² = 14√37/37