Introdução
É muito freqüente ouvirmos dizer que estudar matemática desenvolve o raciocínio lógico. Apesar de esta relação não ser direta nem imediata, a percepção da estreita relação entre a matemática e a Lógica, entre a linguagem e o pensamento contribui bastante para esclarecer muitas das razões pelas quais estudamos certos assuntos, sobretudo a matemática.
O pensamento lógico teve forte presença no ceme da civilização grega. Aristóteles é tido como o primeiro sistematizador do conhecimento lógico da época. A partir de uma análise das discussões, que eram comuns no seu tempo, o filósofo teria procurado caracterizar um instrumento de que serviria a razão, na busca da verdade.
“ A lógica é a parte da filosofia que estuda a arte do pensar.”
Proposições ou sentenças
Toda frase à qual podemos atribuir o valor verdadeiro ou falso é chamada de proposição ou sentença.
Exemplos:
a) Ontem choveu.
b) 2 + 2 = 5.
c) 7 é um número racional.
d) – 3 < – 8.
Conectivos
A linguagem matemática desenvolve-se pela construção de novas proposições a partir de outras mais simples. Isto é feito através dos conectivos. Cada conectivo possui uma regra bem definida para determinar a veracidade ou falsidade da nova proposição a partir dos valores lógicos das sentenças que a compõem.
Conjunção – conectivo “e” (˄)
Dadas duas proposições p e q, podemos formar a nova proposição p ˄ q (lê-se “p e q”, ou “conjunção de p e q”), cujo valor lógico é verdadeiro se ambas as proposições p e q forem verdadeiras e falso caso contrário. A definição do valor lógico de p ˄ q a partir dos valores lógicos de p e q pode ser melhor expressa através da seguinte tabela, denominada tabela verdade:
p q p ˄ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Observe que, na tabela-verdade, foram consideradas todas as 4 possibilidades diferentes para atribuição dos valores V (verdadeiro) e F (falso) às duas sentenças básicas p e q.
Exemplo:
A proposição (2>1) ˄ (3 é irracional) é falsa, pois “3 é irracional” é uma sentença falsa.
Disjunção – conectivo “ou” (˅)
Dadas duas sentenças p e q, podemos formar a nova proposição p ˅ q (lê-se “p ou q”, ou “disjunção de p e q”) que fica definida pela seguinte tabela-verdade:
p q p ˅ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Em outras palavras, p ˅ q é falsa quando ambas as proposições p e q são falsas e verdadeira nos demais casos.
Exemplo:
A proposição (2 > 1) ˅ (3 é irracional) é verdadeira, pois “2 > 1” é uma sentença verdadeira.
Negação – Conectivo “não” ( ~ )
Dada uma proposição p, definimos a nova proposição ~ p (lê-se não p, ou negação de p), como sendo a de valor lógico contrário ao de p. Portanto, sua tabela verdade é a seguinte:
p ~p
V F
F V
Condicional – Conectivo “se, então” (→)
Dadas duas sentenças p e q, a sentença p→q (lê-se “p implica q” ou “se p, então q”) está definida pela seguinte tabela verdade:
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
No condicional p→q, p é chamada antecedente ou hipótese e q, conseqüente ou tese. Assim, a implicação só é falsa quando a hipótese é verdadeira e a tese, falsa. Nos demais casos, a implicação é verdadeira.
Bicondicional – Conectivo “se, e somente se” (↔)
Dadas duas sentenças p e q, a sentença p↔q (lê-se “p equivale a q”, ou “p se, e somente se q”) é verdadeira quando p e q têm exatamente o mesmo valor lógico, ou seja, ambas são verdadeiras ou ambas são falsas. Vejamos a tabela verdade
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Tautologia e contradição
Tautologia é uma sentença sempre verdadeira, independente dos valores lógicos das sentenças mais simples que a constituem.
Contradição é uma sentença sempre falsa, independente dos valores lógicos das sentenças mais simples que a constituem.
Sentenças Abertas
A sentença x – 1 = 3 é verdadeira ou falsa dependendo do valor atribuído à variável x . De modo geral, sentenças abertas são proposições cujo valor lógico depende do valor de uma ou mais variáveis.
Sentenças Gerais
São obtidas utilizando variáveis acompanhadas dos chamados quantificadores. Há dois tipos de quantificadores:
Quantificador Universal- “para todo” (Ʉ)
Ʉ x, x – 1 = 3 ( F )
Quantificador Existencial – “ existe “ (Ǝ)
Ǝ x / x – 1 = 3 ( V )
Negação
Negação do conectivo e (˄)
~ ( p ˄ q ) ↔ ~ p ˅ ~ q
Negação do conectivo ou (˅)
~ ( p ˅ q ) ↔ ~ p ˄ ~ q
Negação do conectivo “se, então” (→)
~ ( p →q ) ↔ p ˄ ~ q
Negação do conectivo “se, e somente se “ (↔)
~ ( p ↔q ) ↔ ~ p ↔ q
ou
~ ( p ↔q ) ↔ p ↔ ~ q
Negação dos quantificadores
Universal : p : Ʉx,x+8 = 20
~ p : Ǝx│x+8 ǂ 20
Existencial : p : Ǝx,x+8 = 20
~ p : Ʉx,x+8 ǂ 20 ou Ɇx│x+8 = 20
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO:
1. Quais das sentenças abaixo são proposições? No caso das proposições dê o valor lógico.
a) p : zero é um número par
b) q : - 22 = 4
c) r : H2O representa a água
d) w : - x + y = 7
e) s : 7 – 7 : 7 + 7
2. Considere as proposições :
r : Existe algum mamífero com 7 pernas
s : O número zero neutraliza a multiplicação.
Dê o valor lógico de cada proposição composta abaixo:
a) ( ) r ˄ s
b) ( ) r ˅ s
c) ( ) r → s
d) ( ) r ↔ s
e) ( ) ~ r → s
f) ( ) ( r ˄ ~ s ) → ( ~ r ˄ s )
3. Sendo p : 6, 143143143... ϵ Q
q : Todo número racional possui inverso.
A única proposição falsa é :
a) p ˅ q
b) p ˄ ~ q
c) p → q
d) ( p ˄ q ) → p
e) ~ ( - p )
4. Negue as seguintes proposições:
a) 3 é ímpar ou 7 é composto.
b) Se o Flamengo é ótimo então é o campeão.
c) Corre ou não chuta a bola.
d) Se a criança está viva então ela mama.
e) Bolinha foi trabalhar se, e somente se, foi à escola.
f) {3 } C { 3, 4 } → 3 ϵ Z
5. A negação da proposição (Ʉx)(x + 1 = 6) é eqüivalente a :
a) (Ǝx)(x + 1 = 6)
b) (Ʉx)(x + 1 ǂ 6)
c) (Ǝx)(x + 1 ǂ 6)
d) (Ʉx)(x - 1 = 6)
e) (Ǝx)(x - 1 = 6)
6. A proposição ~ p ˅ q → q ˄ r é verdadeira, se :
a) p e q são verdadeiras e r é falsa.
b) p e q são falsas e r é verdadeira.
c) p e r são falsas e q é verdadeira
d) p, q e r são falsas.
7. Considerando as proposições
p : O conjunto das partes de A = {4, 6 } é {{4}, {6}}
q : Se A C B, então A ∩ B = A
conclui-se que a proposição que tem valor lógico verdade é
a) p˄q
b) p˅~q
c) q→p
d) ~p˅q
e) p↔q
8. A negação da sentença “Se estou feliz, então canto e danço” é:
a) Se não estou feliz, então não canto nem danço.
b) Se danço ou canto, então não estou feliz.
c) Estou feliz e não canto nem danço.
d) Estou feliz e não canto ou não danço.
e) Estou infeliz e não canto nem danço.
9. A sentença (Ǝx | x – a = b) é a negação de:
a) Ǝx | x – a b
b) Ǝx | x – a > b
c) Ǝx | x – a < b
d) Ʉx, x – a = b
e) Ʉx, x – a b
10. A negação da proposição: Se x > 2, então 3x > 32, é
a) Existe x, x > 2 e 3x ≤ 32
b) Existe x, x> 2 ou 3x > 32
c) x > 2 e 3x ≤ 32
d) x ≤ 2 e 3x ≤ 32
e) Se x ≤ 2, então 3x ≤ 32
11. Sejam p e q duas proposições. A negação de p ˄ q equivale a:
a) ~ p ˅ ~ q
b) ~ p ˄ ~ q
c) ~ p ˅ q
d) ~ p ˄ q
e) p ˄ ~ q
12. Chama-se tautologia a toda proposição composta que é sempre verdadeira, independentemente do valor das proposições que a compõem.
Das proposições a seguir, a única tautologia é:
a) p ˄(p˅q)
b) (p˄~q)˅(~p˄q)
c) p→(p˅q)
d) p→(p˄q)
e) (p˅q)↔(p˄q)
13. A negação de x ≥-2 é :
a) x≥2
b) x≤-2
c) x<-2
d) x<2
e) x≤2
14. Considere as sentenças
p: 28 é múltiplo de 7
q: 7 é divisor de 15
r: 9 é um número primo
Assim sendo, pode-se afirmar que a proposição com valor lógico verdade é :
a) (p˅q)→r
b) (p˅r)→q
c) p→(q˄r)
d) (q˄r)→p
e) p→(q˅r)
15. A negação da proposição xϵ(AUB) é :
a) x não pertence a (A∩B)
b) x não pertence A ou x ϵ B
c) x não pertence A e x ϵ B
d) x ϵ A ou x não pertence B
e) x não pertence A e x não pertence B
Gabarito:
1. p(V) ; q(F) ; r(V)
2. r(F) ; s(F) ; F,F,V,V,V
3. C
4. a) 3 não é ímpar e 7 não é composto.
b) Flamengo é ótimo e não é o campeão.
c) Não corre e chuta a bola.
d) A criança está viva e não mama.
e) Bolinha foi trabalhar se, e somente se, não foi à escola ou Bolinha não foi trabalhar se, e somente se, foi à escola
f) {3 } C { 3, 4 } ˄ 3 não pertence a Z
5. C
6. D
7. D
8. D
9. E
10. C
11. A
12. B
13. C
14. D
15. E
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