QUESTÕES VESTIBULAR MEDICINA FASA 2016.2 – COMENTADAS

1.Um laboratório, preocupado com o desempenho de um grupo de 900 universitários calouros nas competições esportivas realizadas após o vestibular, patrocinou uma pesquisa quanto à ingestão de vitaminas B e C, com seus integrantes. Observou que, ao longo de um mesmo período, 565 usaram a vitamina B e 365 usaram a vitamina C. Se, nesse grupo, apenas 55 integrantes não usaram vitaminas, pode-se concluir que o número de universitários do grupo que ingeriu apenas uma das vitaminas, é:

01) 365

02) 420

03) 535

•04) 760

05) 845

Observando os dados: n(universo) = 900 ; n(B) = 565 ; n(C) = 365 ;

n(BUC) = 850 e não usaram B nem C = 55.

Através da lei de Morgan : n(BUC) = n(B) + n(C) – n(B∩C)

850 = 565 + 365 – n(B∩C) → n(B∩C) = 80

Portanto ingeriu apenas B = n(B) – n(B∩C) = 565 – 80 = 485 ;

Ingeriu apenas C = n(C) - n(B∩C) = 365 – 80 = 285.

Então apenas B ou apenas C = 485 + 285 = 760

2.   Variação Trimestral do Número de Casos de dengue, na Região

               1⁰ Trimestre = 50%                  2⁰ Trimestre = -40%

               3⁰ Trimestre = 25%                  4⁰ Trimestre = -20%

Certa região do país registrou, nos dois primeiros trimestres de determinado ano, aumentos nos casos de Dengue. Após mudar os procedimentos no tratamento, conseguiu obter reduções nos dois trimestres seguintes, conforme ilustração. Com base nesses dados, que mostra a variação em cada trimestre, é correto concluir que, naquele ano, o total de casos registrados, na região, teve :

01) uma redução de 5%.

•02) uma redução de 10%.

03) variação nula.

04) um aumento de 5%.

05) um aumento de 10%.

Vamos imaginar uma quantidade inicial igual a 100, então:

1⁰ trimestre = 100 + 50% de 100 = 150

2⁰ trimestre = 150 + 25% de 150 = 187,5

3⁰ trimestre = 187,5 – 40% de 187,5 = 112,5

4⁰ trimestre = 112,5 -  20% de 112,5 = 90

Portanto de 100 para 90 houve uma redução de 10%.

3.Um laboratório atende, diariamente, à demanda de 35 hospitais, levando a cada um deles 12 caixas de determinado produto, durante um mês.

Considerando-se o mês de 30 dias, se fossem 20 hospitais e cada um recebesse 15 caixas por dia, o laboratório poderia abastecê-los durante:

01) 28 dias.

02) 34 dias.

•03) 42 dias.

04) 56 dias.

05) 63 dias.

Esta questão poderá ser resolvida através de uma regra de três composta

              ↑  35 hospitais       ↑ 12 caixas       ↓ 30 dias

                  20 hospitais          15 caixas          x dias

 30 / x = 20 / 35 . 15 / 12 → 30 / x = 300 / 420→ 30 / x = 5 / 7 → 5x = 210

X = 42 dias

4.O comportamento das bactérias, em suas muitas espécies, é variável. Considere as bactérias α e β, presentes em um ambiente de cultura, e observadas, quantitativamente, durante uma semana, de comportamento em função do dia, registrado na tabela:

                        segunda  terça  quarta  quinta   sexta     sábado    domingo 

bactéria α         350          300    1480       650        910        300           720

bactéria β        1250        1100    280        850      1250       1050         1380

Nessas condições, tem-se que o dia dessa semana em que o total de bactérias atingiu a quantidade máxima foi :

01) Domingo.

02) Segunda.

03) Quarta.

04) Quinta.

•05) Sexta.

Neste caso basta efetuar as somas das duas quantidades, dia a dia, a que apresentar maior valor é a resposta correta.

                     segunda  terça    quarta  quinta   sexta     sábado    domingo 

bactéria α         350          300    1480       650        910        300           720

bactéria β        1250        1100    280        850      1250       1050         1380

Total                 1600        1400   1760      1500     2160       1350         2100

5.Considere-se os polinômios P1 (x) = 0,004x² + 0,9x + 8 e P2 (x) = – 0,006x² + 0,8x + 14, como modelos matemáticos que representam, em porcentagem, as intenções de votos, durante a quinzena x, de dois candidatos à prefeito de uma importante cidade. Sabendo-se que x é um número real tal que 0 £ x £ 36 e que a ordem de preferência das intenções de voto, em P1 e em P2, sofreu alterações em determinada quinzena x, desse intervalo, é correto afirmar que o valor de x é :

01) 12

02) 16

•03) 20

04) 24

05) 28

Considerando que : “...que a ordem de preferência das intenções de voto, em P1 e em P2, sofreu alterações em determinada quinzena x...”então é possível obter esta quinzena igualando os dois modelos.

P₁ = P₂ → 0,004x² + 0,9x + 8 = -0,006x² + 0,8x + 14 →

0,004x² + 0,006x² + 0,9x – 0,8x + 8 – 14 = 0 → 0,01x² + 0,1x – 6 = 0 (.100)

x² + 10x – 600 = 0 → x = [-10 ± √10²-4.1.(-600)] / 2 → x = (-10±50) / 2

x = 20 ou x = -30( não convém)

6.Sabe-se que um Posto de Saúde gasta, mensalmente, 150 ampolas de certo medicamento e que, em janeiro de 2015, cada ampola custava R$6,00 mas, desde então, esse valor tem aumentado R$0,15 a cada mês.

Assim, é correto concluir que, no ano de 2015, o gasto total do Posto com essas ampolas foi de :

01) R$12.140,00

•02) R$12.285,00

03) R$12.660,00

04) R$12.915,00

05) R$13.165,00

Observando o aumento percebe-se uma PA de a₁ = 6 e r = 0,15, então

a₁₂ = a₁ + (n-1)r → a₁₂ = 6 + (12-1).0,15 = 7,65.

Em janeiro: 150 ampolas . R$6,00 = R$900,00

Em dezembro : 150 ampolas . R$7,65 = R$1147,50

Portanto o gasto total será : S₁₂ = (a₁ + a₁₂).n/2 = (900+1147,5).12/2→

S₁₂ = 2047,5 . 6 = R$12285,00

7.Sabe-se que no ano de 2006, em determinada região, 2% dos mosquitos estavam infectados com o vírus da Dengue. A cada ano, a população de mosquitos diminuiu 10%, mas o número de mosquitos infectados caiu apenas 1%. Nessas condições, usando-se 1,1⁹  ≈  2,35, se preciso, é correto calcular que, em 2015, a porcentagem de mosquitos infectados foi de, aproximadamente,

01) 4,1%

•02) 4,7%

03) 5,3%

04) 5,8%

05) 6,2%

Observando a redução da população de mosquitos, infectados ou não, encontramos uma PG.

Vamos imaginar uma quantidade inicial de mosquitos ; exemplo 10000

mosquitos não infectados : 9800 – 10% de 9800 = 8820 ( em 2007 )

mosquitos infectados : 200 – 1% de 200 = 198 ( em 2007 )

Como as duas seq            uências são PG(s), vem;

mosquitos não infectados : a₁₀ = a₁ . q^n-1→ a₁₀ = 9800.0,9⁹ ( em 2015 )

mosquitos infectados : a₁₀ = a₁ . q^n-1→ a₁₀ = 200.0,99⁹ ( em 2015 )

Agora com uma regra de três ;

9800.0,9⁹ → 100%

200.0,99⁹ → x

x = (200.0,99⁹.100%) / (9800.0,9⁹) = (200/9800).(0,99/0,9)⁹.100% = (1/49).(1,1)⁹.100% = (1/49).2,35.100% = 235/49% = 4,79%

8. Considere-se que a concentração C de um medicamento no sangue de um paciente, t horas após ser injetado, é dada por C(t) = C₀ . 10^-kt , em que C₀ é a concentração inicial e k é uma constante real. Se são necessárias 8h para que a concentração caia a 1% do valor inicial, então o valor de k é:

01) 0,05

02) 0,1

03) 0,125

04) 0,2

•05) 0,25

Vejamos :

“...Se são necessárias 8h para que a concentração caia a 1% do valor inicial... “C(t) = C₀ . 10^-kt →  1% C₀ = C₀ . 10^-kt→ 1/100 .C₀ = C₀ . 10^-8k

10^-2 = 10^-8k → -2 = -8k → k = 2/8 → k = 1/4 → k = 0,25

9.Em um laboratório, são realizados testes experimentais com o cruzamento de quatro casais de Hamsters, dispostos em torno de uma mesa redonda. Sabendo-se que cada casal deve permanecer sempre junto, é correto afirmar que o número de maneiras distintas que se pode acomodar esses Hamsters, nessa mesa, é:

•01) 96

02) 192

03) 480

04) 5068

05) 10136

O número de permutações circulares é dado por P_C = n!/n = (n-1)!

Cada casal deverá permanecer junto = 2!

Para os 4 casais = 2!.2!.2!.2!

Portanto : 2!.2!.2!.2!.P_C4 = 2.2.2.2.4!/4 = 16.24/4 = 96

10.O conjunto-solução para a equação sen3x + sen2x = 0, x ϵ R é :

01) { x = k¶/5 ou x = 2k¶, k ϵ Z }

02) { x = 2k¶/5 ou x = k¶/2, k ϵ Z }

•03) { x = 2k¶/5 ou x =(2k + 1)¶, k ϵ Z }

04) { x = 5k¶/2 ou x = (2k + 1)¶, k ϵ Z }

05) { x = k¶/5 ou x = k¶, k ϵ Z }

Sabendo que sen3x = 3senx – 4sen³x  e sen2x = 2senxcosx , vem:

3senx – 4sen³x + 2senxcosx = 0 → senx(3 – 4sen²x + 2cosx) = 0

senx(-4sen²x+2cosx+3) = 0 → senx[-4(1-cos²x)+2cosx+3] = 0 →

senx(4cos²x + 2cosx -1) = 0 → senx = 0 ou 4cos²x + 2cosx -1 = 0

sen x = 0 → x = k¶, k ϵ Z

4cos²x + 2cosx -1 = 0 → cosx = [-2 ± √ (2)²-4.4.(-1)] / 8 = (-2 ± 2√5) / 8 =

(-1±√5 ) / 4 → cosx = (-1+√5)/4 ou cosx = (-1-√5)/4

Se cosx = (-1+√5)/4, então x = 2¶/5 + 2k¶, com kϵZ

Se cosx = (-1-√5)/4, então x = 4¶/5 + 2k¶, com kϵZ

11. Admitindo-se que uma colônia de bactérias se encontre dividida para estudos em quatro grupos, cujos tamanhos são s₁ = 50, s₂= 80, s₃ = 120 e s₄ = 240, respectivamente, e que, após uma amostragem proporcional, sejam retirados do s₂, 16 elementos, é correto estimar que o número total de elementos do s₄ passará a ser :

01) 48

02) 72

03) 96

04) 144

•05) 192

Como a amostragem é proporcional, então : s₁ / a ↔ s₂ / b ↔ s₃ / c ↔ s₄ / d

Ou seja 50/a = 80/b = 120/c = 240/d.

Entre b e d temos : 80/b = 240/d → 1/b = 3/d → d = 3b

Retirados de s₂ 16 elementos, vem d = 3.16 = 48

Então de s₄ iremos retirar 48, ficando 240 – 48 - 192

12.Um laboratório escolheu para rótulo de seus produtos a forma de um triângulo acutângulo, de vértices D,N,A, de altura DH e cujos lados DA e DN, AN e o segmento AH medem , 10cm, 16cm e 4cm, respectivamente.

Considerando-se M , P e Q, pontos médios dos lados DN, DA e AN, respectivamente, é correto afirmar que o perímetro do quadrilátero MQHP, em cm, é :

01) 20

•02) 22

03) 28

04) 30

05) 32

Construindo o triângulo notamos que o quadrilátero MQHP é um trapézio

de base menor 4cm.  Como  M , P e Q, são pontos médios dos lados DN,

DA e AN, então PM será paralelo a NA  e terá como medida a sua metade

( PM = NA/2 = 8cm). Analogamente MQ = AD/2 = 5cm e PH = DN/2 = 5cm.

Portanto o perímetro do quadrilátero será ; HG + QM + PM + PH =

4 + 5 + 8 + 5 = 22cm.

13.Sabe-se que as células têm capacidade distinta de absorção de nutrientes que é proporcional à sua área superficial A, mas sua necessidade de nutrientes é proporcional ao seu volume V. Certa célula esférica só consegue se manter desde que A / V ³ < 200, com A e V em unidades de mm² e mm³, respectivamente. Nesse caso, o raio dessa célula deve ser no máximo:

•01) 0,015mm

02) 0,012mm

03) 0,025mm

04) 0,05mm

05) 0,1mm

Superfície da esfera : A = 4¶R²  e  Volume da esfera : V = 4¶R³/3

A/V  < 200 → (4¶R²) / (4¶R³/3) < 200 → 3R²/R³ < 200 → (3R²/R³) -200) < 0

(3R² – 200R³)/R³ < 0 → R²(3 – 200R ) / R³ < 0 ( inequação fracionária )

Como R representa o raio da esfera, então necessariamente será positivo,

Portanto : R² > 0 ; R³ > 0 e 3 – 200R  < 0 → -200R < -3 → R > 3/200 →

R > 0,0015, então o raio deve ser no máximo igual a 0,0015mm

 14.O prédio de uma clínica tem o formato de um hexágono regular, no centro do qual há um jardim também nesse formato. Se cada parede exterior mede 50m, e cada parede interior 20m, é correto afirmar que a distância d, entre elas :

01) 10√2 m

02) 15√2 m

03) 20√2 m

•04) 15√3 m

05) 20√3 m

Como sabemos um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de altura h = lado√3/2.

Chamaremos de L o lado do maior, l o do menor, H a altura do maior e h a do menor. Analisando a situação, através de semelhança, podemos determinar a distância d fazendo a diferença entre H e h, ou seja:

D = H – h = L√3/2 - l√3/2 = 50√3/2 - 20√3/2 = 30√3/2 = 15√3m

15. Considere-se, com uma conveniente escala, em um sistema de coordenadas cartesianas, o planejamento de localização de três unidades de saúde: um hospital H, um ambulatório A e um posto médico P, representados pelos pontos de intersecção das retas de equações

r: y = 6x + 4, s: y = 4 e t: 2y – 3x + 1 = 0. Nessas condições, é correto afirmar que os pontos que representam H, A e P estão contidos no menor círculo de centro na origem e que pode ser definido pelo conjunto

01) { (x, y) ϵ R²; x² + y² < 9 }

02) { (x, y) ϵ R²; x² + y²  = 16 }

03) { (x, y) ϵ R²; x² + y² < 16 }

04) { (x, y) ϵ R²; x² + y² = 25 }

•05) { (x, y) ϵ R²; x² + y² < 25 }

Vamos determinar as coordenadas dos pontos H, A e P.

r ∩ s : y = 6x + 4 e y = 4 → H(0,4)

r ∩ t : y = 6x + 4 e 2y – 3x + 1 = 0 → A(-1,-2)

s ∩ t : y = 4 e 2y – 3x + 1 = 0 → P(3,4)

Se “...H, A e P estão contidos no menor círculo de centro na origem...”,

então o raio deste círculo deverá ser OP ( OP > OH > AO ), pois irá conter

no seu interior os pontos H e A. Como a distância entre O e P mede 5 ,

então o círculo será representado por x² + y² < 25.