TREINAMENTO ESTILO ENEM 2016 – GEOMETRIA ESPACIAL - COMENTADO

1. Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, feitas de um mesmo material. Por ter recebido de seus clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura em 1/8 , preservando suas espessuras. A fim de manter o custo com o material de cada porta, precisou reduzir a largura.
A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é

a) 1/8

b) 7/8

c) 8/7

d) 8/9

e) 9/8

Resolução

Alternativa correta: D

Supondo que a primeira porta tenha as dimensões: x , y e z, então a segunda terá 9x/8, k e z.

Como a espessura é a mesma e devemos manter o custo com o material temos que ;

X . y . z = 9x/8 . k . z → k = 8y/9 . Dessa forma, a razão desejada é  r = (8y/9) / y = 8/9 

2. Um barco navegou 10 km para o oeste, depois 5 km para o sul, depois 13 km para o leste, e finalmente 9 km para o norte. O barco parou relativamente ao ponto de partida

a) 5 km ao norte.

b) 3 km a sudeste.

c) 4 km ao sul.

d) 3 km a sudoeste.

e) 5 km a nordeste.

Resolução

Alternativa correta: E

Vejamos : 10km para oeste e 13km para leste → 13 – 10 = 3km ( para leste )

                  5km para sul e 9km para norte → 9 – 5 = 4km ( para norte )

Portanto para obter a posição do barco basta determinar a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 3 e 4, ou seja : x² = 3² + 4² → x = 5km, a nordeste ( entre leste e norte )

 3. Antigamente, os pneus de carros possuíam uma câmara de ar interna, como a da figura seguinte. Esse sólido geométrico é denominado toroide e pode ser obtido pela rotação completa de uma figura plana em torno de um eixo de rotação. Qual figura plana pode ser rotacionada em torno desse eixo para gerar o toroide?

a) Triângulo.

b) Semicírculo.

c) Quadrado.

d) Icoságono.

e) Círculo.

Resolução

Alternativa correta: E

A figura plana que pode ser rotacionada em torno do eixo para gerar o toroide é o círculo.

4. A siderúrgica "Metal Nobre" produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões 2,5m , 0,5m e 1,3m. O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza

a) massa.

b) volume.

c) superfície.

d) capacidade.

e) comprimento.

Resolução

Alternativa correta: B

Volume = 2,5 · 0,5 · 1,3 = 1,625 m³

 5. Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, obtido a partir de cortes nos vértices de um cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas menores do que metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então, é pintada usando uma cor distinta das demais faces. Com base nas informações, qual é a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura das faces do troféu?

a) 6

b) 8

c) 14

d) 24

e) 30

Resolução

Alternativa correta: C

Para descobrirmos a quantidade de cores, devemos inicialmente descobrir o número de faces do sólido formado. Vejamos o cubo possui 6 faces. Cada corte gera uma nova face, então 8 vértices, 8 cortes e 8 novas faces. O total de faces do novo sólido será 6 + 8 = 14.
Então, o total de cores (cor distinta das demais faces) que serão utilizadas na pintura será  14.

6. Duas paredes e o teto de um quarto encontram-se formando ângulos retos em P. Uma mosca no ar dista um metro de uma parede, oito metros de outra parede e nove metros do ponto P. A mosca está a quantos metros de distância do teto?

a) √13

b) √14

c) √15

d) √16

e) √17

Resolução

Alternativa correta: D

Vamos imaginar que a mosca está posicionada em um dos cantos do quarto, portanto 1metro, 8 metros e um certo x metros, indicam as dimensões deste quarto.

Observando que a mosca no ar dista nove metros do ponto P, então esta distância representa a diagonal de um paralelepípedo

 Como sabemos a diagonal pode ser expressa por : D = √ a² + b² + c², assim sendo

9 = √1²+8²+x² → 81 = 1 + 64 + x² → x = √16 = 4m

 7. Considere um trapézio retângulo cujos vértices estão nos pontos A(0, 0), B(5, 0), C(2, 4) e D(0, 4). Ao girar essa figura 360º em torno do eixo y, obtém-se um tronco de cone sólido. Qual a área lateral desse tronco?

a) 28π

b) 31π

c) 33π

d) 35π

e) 38π

Resolução

Alternativa correta: D

A rotação do trapézio gera o tronco de cone. Para calcular a área lateral desse tronco, é necessário determinar a sua geratriz G por meio do Teorema de Pitágoras, o que dá G = 5. Desse modo, a área lateral é A_ℓ = π ∙ (r + R) ∙ G = π ∙ (2 + 5) ∙ 5 = 35π.

8. É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las. Muitas pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores. Mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em dias quentes, precisa trocar a água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode até matá-la. Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-flores. O copo tem formato cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro. A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é cerca de (utilize π = 3)

a) 20 mL.

b) 24 mL.

c) 100 mL.

d) 120 mL.

e) 600 mL.

Resolução

Alternativa correta: C

1 parte de açúcar para 5 partes de água.
Em dias quentes, trocar a água de duas a três vezes.

Volume = πR²h = π ^. 22 ^. 10 = 3 ^. 4 ^. 10 = 120 cm³

Água = 5 ^.  120/6 = 100 cm³ = 100ml

9. Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a

a) 5 cm.

b) 6 cm.

c) 12 cm.

d) 24 cm.

e) 25 cm.

Resolução

Alternativa correta: B

Volume do paralelepípedo : V = a . b . c = 3 . 18 . 4 = 216 cm³

Volume do cubo ; V = a³

Como ambos possuem o mesmo volume, então a³ = 216 → a = 6cm

10. Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de espessura desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura. Supondo que cada metro cúbico de concreto custa R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de ¶, então o preço dessa manilha é igual a

a) R$ 230,40.

b) R$ 124,00.

c) R$ 104,16.

d) R$ 54,56.

e) R$ 49,60.

Resolução

Alternativa correta: D

Portanto, o volume pedido será: V_pedido  = V_maior – V_menor  = ¶R²h - ¶r²h = ¶h(R²-r²) =

= 3,1 . 4 ( 1,2² – 1² ) = 3,1 . 4 . 0,44 = 5,456 m³. 

 Como 1m³ custa R$10,00, então 5,456m³ custarão R$ 54,56

 11. Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10 mm de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado.
Um medicamento é produzido em pílulas com 5 mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4 mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da máquina que produz essas pílulas.
Use 3 como valor aproximado para ¶. A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a

a) 168.

b) 304.

c) 306.

d) 378.

e) 514.

Resolução

Alternativa correta: E

Sabendo que a pílula é formada por duas semiesferas e um cilindro, então seu volume será

V = ¶.R²h + 4¶R³/3, portanto:

Pílula Maior : V = 3 . 5² . 10 + 4 . 3 . 5³/3 = 750 + 500 = 1250mm³

Pílula Menor : V = 3 . 4² . 10 + 4 . 3 . 4³/3 = 480 + 256 = 736mm³

Redução = 1250 – 736 = 514mm³

 12. O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento construa um armário em sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1 : 100, foi disponibilizado aos interessados já com as especificações das dimensões do armário, que deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais a 3 cm, 1 cm e 2 cm.
O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será

a) 6.

b) 600.

c) 6 000.

d) 60 000.

e) 6 000 000.

Resolução

Alternativa correta: E

V = 300 . 100 . 200 = 6.000.000 cm³

13. Um especialista em Geologia encontrou, em uma de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro convexo de nove vértices com quatro ângulos triédricos e cinco ângulos tetraédricos. Então, o número de faces desse poliedro é

a) 12.

b) 11.

c) 10.

d) 9.

e) 8.

Resolução

Alternativa correta: D

Poliedro convexo de nove vértices → V = 9

4 ângulos triédricos→ 12 arestas

5 ângulos tetraédricos → 20 arestas

Então 32 = 2A→ A = 16, logo: V + F = A + 2 → 9 + F = 16 + 2 → F = 9

14. Em uma gráfica, há uma pilha de papel no formato A4 com 1 m de altura. O papel A4 tem a forma retangular com 21 cm de largura por 30 cm de comprimento. Assim sendo, o volume ocupado pela pilha de papel é de

a) 630 cm³.

b) 51 cm³.

c) 151 cm³.

d) 51 000 cm³.

e) 63 000 cm³.

Resolução

Alternativa correta: E

V = 30  21  100 = 63 000 cm³

15. O tampo de vidro de uma mesa quebrou-se e deverá ser substituído por outro que tenha a forma de círculo. O suporte de apoio da mesa tem o formato de um prisma reto, de base em forma de triângulo equilátero com lados medindo 30 cm. Uma loja comercializa cinco tipos de tampos de vidro circulares com cortes já padronizados, cujos raios medem 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 cm e 60 cm. O proprietário da mesa deseja adquirir nessa loja o tampo de menor diâmetro que seja suficiente para cobrir a base superior do suporte da mesa. Considere 1,7 como aproximação para √3. O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em centímetros, é igual a

a) 18.

b) 26.

c) 30.

d) 35.

e) 60.

Resolução

Alternativa correta: A

O tampo de raio mínimo deve ser o da circunferência circunscrita, que cincide com 2/3 da altura do  triângulo equilátero, que é base do prisma onde está apoiado o tampo.

Como a altura do triângulo equilátero pode ser obtido através da expressão h = l√3/2, então R = 2/3 de l√3/2 → R = 2/3 . 30√3/2 = 10√3 = 10.1,7 = 17cm.

Como não há tampo de 17 cm, devemos escolher o de 18 cm, que é o menor possível fabricado.

16. Uma fábrica de sorvetes utiliza embalagens plásticas no formato de paralelepípedo retangular reto. Internamente, a embalagem tem 10 cm de altura e base de 20 cm por 10 cm. No processo de confecção do sorvete, uma mistura é colocada na embalagem no estado líquido e, quando levada ao congelador, tem seu volume aumentado em 25%, ficando com consistência cremosa.
Inicialmente é colocada na embalagem uma mistura sabor chocolate com volume de 1 000 cm³ e, após essa mistura ficar cremosa, será adcionada uma mistura sabor morango, de modo que, ao final do processo de congelamento, a embalagem fique completamente preenchida com sorvete, sem transbordar.
O volume máximo, em cm³, da mistura sabor morango que deverá ser colocado na embalagem é

a) 450.

b) 500.

c) 600.

d) 750.

e) 1 000.

Resolução

Alternativa correta: C

I. V_TOTAL = 20 . 10 . 10 = 2 000 cm³
II. V_{CHOCOLATE APÓS CONGELAR} = 1 000 . 1,25 = 1 250 cm³
III. V_{MISTURA DE MORANGO} . 1,25 = V_TOTAL – V_{CHOCOLATE APÓS CONGELAR}
V_{MISTURA DE MORANGO} . 1,25 = 2 000 – 1 250
V_{MISTURA DE MORANGO} = 750/1,25 = 75000/125 = 600 cm³

17.  Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81 m³ de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna a antiga será desativada. Utilize 3,0 como aproximação para I.

Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado?

a) 0,5

b) 1,0

c) 2,0

d) 3,5

e) 8,0

Resolução

Alternativa correta: C

O  volume da nova cisterna é V = ¶.R².3 = 81 → 9R² = 81 → R = 3m

Então o aumento do raio foi de 2 m.

Questão 18)

Uma empresa de refrigerantes, que funciona sem interrupções, produz um volume constante de 1 800 000 cm³ de líquido por dia. A máquina de encher garrafas apresentou um defeito durante 24 horas. O inspetor de produção percebeu que o líquido chegou apenas à altura de 12 cm dos 20 cm previstos em cada garrafa. A parte inferior da garrafa em que foi depositado o líquido tem forma cilíndrica com raio da base de 3 cm. Por questões de higiene, o líquido já engarrafado não será reutilizado. Utilizando ¶ = 3, no período em que a máquina apresentou defeito, aproximadamente quantas garrafas foram utilizadas?

a) 555

b) 5555

c) 1333

d) 13333

e) 133333

Resolução

Alternativa correta: B

Basta dividir o volume de 1 800 000 cm³ pelo volume de uma garrafa, ou seja,

1800000/¶.r²h = 1800000/3.3².12 = 5555,55 ≈ 5555

 19. Uma empresa responsável por produzir arranjos de parafina recebeu uma encomenda de arranjos em formato de cone reto. Porém, teve dificuldades em receber de seu fornecedor o molde a ser utilizado e negociou com a pessoa que fez a encomenda o uso de arranjos na forma de um prisma reto, com base quadrada de dimensões 5 cm × 5 cm.

Considerando que o arranjo na forma de cone utilizava um volume de 500 mL, qual deverá ser a altura, em cm, desse prisma para que a empresa gaste a mesma quantidade de parafina utilizada no cone?

a) 8

b) 14

c) 20

d) 60

e) 200

Resolução

Alternativa correta: C

V_prisma  = A_base . h → 500 = 5² . h → h = 20cm

20. Certa marca de suco é vendida no mercado em embalagens tradicionais de forma cilíndrica. Relançando a marca, o fabricante pôs à venda embalagens menores, reduzindo a embalagem tradicional à terça parte de sua capacidade.
Por questões operacionais, a fábrica que fornece as embalagens manteve a mesma forma, porém reduziu à metade o valor do raio da base da embalagem tradicional na construção da nova embalagem. Para atender à solicitação de redução da capacidade, após a redução no raio, foi necessário determinar a altura da nova embalagem.
Que expressão relaciona a medida da altura da nova embalagem de suco (a) com a altura da embalagem tradicional (h)?

a) a = h/12 

b) a = h/6 

c) a = 2h/3 

d) a = 4h/3

e) a = 4h/9

Resolução

Alternativa correta: D

O volume do cilindro reduzido é um terço do volume do cilindro original. Portanto

¶ . (R/2)² . a = 1/3 . ¶.R² → 1/4 . a = 1/3 . h → a = 4h/3

 21. Uma cidade possui um reservatório de água C₁ na forma de um cilindro circular reto, com 5 metros de altura e capacidade para 100 m³ de água. Foi construído outro reservatório C₂, com o mesmo formato do anterior, com a mesma altura, cujo raio da base é o dobro de C₁.

Nessas condições, a razão entre os volumes de C₁ e de C₂ é igual a

a) 2

b) 1

c) 1/2

d) 1/4

e) 1/8

Resolução

Alternativa correta: D

Razão entre os volumes = V_c1 / V_c2 = (¶.r².5) / ¶.(2r)².5 = 1/4.

22. Célia é uma confeiteira renomada na pequena cidade onde mora. Herdou de sua avó uma receita de brigadeiro que faz o maior sucesso. Os ingredientes da receita enchem sempre uma panela, de forma cilíndrica, com 40 cm de altura e 30 cm de diâmetro. Para inovar e atrair mais clientes, em vez de vender os brigadeiros na forma de “bolinhas”, Célia tem feito brigadeiros em forma de cones. Para isso, utiliza forminhas cônicas de 5 cm de altura e raio da base de 1,5 cm.

A cada receita produzida, a quantidade de cones de brigadeiro que Célia consegue obter é

V_cilindro  = ¶r²h e V_cone = ¶R²h/3

a) 600 unidades.

b) 800 unidades.

c) 2 400 unidades.

d) 3 200 unidades.

e) 9 600 unidades.

Resolução

Alternativa correta: C

Basta fazer : V_cilindro  / V_cone  = ¶r²h / (¶R²h/3) = (15² . 40) / (1.5².5/3) = 2400 unidades

 23.Ao se perfurar um poço no chão, na forma de um cilindro circular reto, toda a terra retirada é amontoada na forma de um cone circular reto, cujo raio da base é o triplo do raio do poço e a altura é 2,4 metros. Sabe-se que o volume desse cone de terra é 20% maior do que o volume do poço cilíndrico, pois a terra fica mais fofa após ser escavada. Qual é a profundidade, em metros, desse poço?

a) 1,44

b) 6,00

c) 7,20

d) 8,64

e) 36,00

Resolução

Alternativa correta: B

V_cone = 1 . 2 . V_cilindro → 1/3 . ¶ .(3r)².2 . 4 = 1 . 2 . ¶ . r². h → h = 6

24. Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos de copos plásticos descartáveis, ambos com a forma de troncos de cones circulares retos:
• copos pequenos, para a ingestão de café: raios das bases iguais a 2,4 cm e 1,8 cm e altura igual a 3,6 cm;
• copos grandes, para a ingestão de água: raios das bases iguais a 3,6 cm e 2,4 cm e altura igual a 8,0 cm.
Uma dessas empresas resolve substituir os dois modelos de copos descartáveis, fornecendo para cada um de seus funcionários canecas com a forma de um cilindro circular reto de altura igual a 6 cm e raio da base de comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão usadas tanto para beber café como para beber água.
Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos raios das bases são respectivamente iguais a R e r e a altura é h, é dado pela expressão:

                                  V_{tronco de cone} = ¶h/3. ( R² + r² + Rr )

O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y² seja, no mínimo, igual a

a) 2,664 cm.

b) 7,412 cm.

c) 12,160 cm.

d) 14,824 cm.

e) 19,840 cm.

Resolução

Alternativa correta: C

Como a caneca vai substituir os copos, ela deve ter o volume do copo descartável maior. Calculando o volume desse copo maior, temos:

V_copo = ¶.8/3 ( (3,6)² + (2,4)² + 3,6.2,4 ) = 8¶/3( 12,96 + 5,76 + 8,64 ) = 72,96¶cm³

Comparando com o volume da caneca, temos:

V_caneca  = 6¶y² = 72,96¶ → y² = 72,96¶/6¶ = 12,16cm²

25. A marcenaria “Móvel Bom” produz mesas com tampos de diversos formatos (circular, triangular, quadrado, retangular, pentagonal etc.) e com três, quatro, seis ou mais pernas, dependendo do tamanho. Gustavo quer encomendar uma mesa quadrada com tampo de 1,50 m × 1,50 m e, estudioso da Matemática, sabe que é comum existirem mesas com quatro pernas que, mesmo apoiadas em um piso plano, balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das pernas se a quisermos firmes. Ele quer que sua encomenda seja fabricada com três pernas, pois sabe que não terá o problema de balanço. 

A justificativa geométrica para esse fato é que

a) os três pontos que as pernas tocam o piso são sempre coplanares.

b) os três pontos que as pernas tocam o piso são sempre colineares.

c) os quatro pontos que as pernas tocam o piso são sempre colineares.

d) as quatro pernas, mesmo de tamanhos diferentes, dão maior estabilidade que três pernas.

e) as três pernas formam um feixe de retas paralelas.

Resolução

Alternativa correta: A

Os três pontos em que as pernas tocam o piso são sempre coplanares. Desse modo, embora haja uma pequena diferença no tamanho das pernas da mesa, sempre haverá estabilidade nela, o que não ocorre no caso de uma mesa com mais pernas se houver diferença em seus tamanhos.

26. Uma escola de Fortaleza planeja construir uma piscina semiolímpica de comprimento 25 m, largura 18 m e 2 m de profundidade. Para azulejar as 4 paredes e o fundo da piscina, o engenheiro aconselha a compra de 10% a mais de azulejos que a área a ser revestida. O m² do azulejo custa R$ 17,00. O setor financeiro da escola resolveu gastar inicialmente R$ 10 000,00 na compra dos azulejos. Ao longo da execução da obra, a escola :

a) não precisou gastar mais nada, pois os azulejos comprados foram suficientes.

b) precisou gastar mais R$ 574,00, pois a compra realizada inicialmente foi insuficiente.

c) precisou gastar mais R$ 684,20, pois a compra realizada inicialmente foi insuficiente.

d) precisou gastar mais R$ 1 574,00, pois a compra realizada inicialmente foi insuficiente.

e) precisou gastar mais R$ 1 631,40, pois a compra realizada inicialmente foi insuficiente.

Resolução

Alternativa correta: E

Cálculo da área total a ser azulejada: A = 2 · 25 · 2 + 2 · 18 · 2 + 25 · 18 = 622 m².
Somando-se os 10% indicados pelo engenheiro, obtém-se 1,1 · 622 m² = 684,2 m².
Como cada m² custa R$ 17,00, tem-se 684,2 · 17 = 11 631,40 reais.
Como foram gastos R$ 10 000,00, foi necessário gastar mais R$ 1 631,40.

Questão 27)

     A cerâmica possui a propriedade da contração, que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico submetido a uma determinada temperatura elevada: em seu lugar aparecendo “espaços vazios” que tendem a se aproximar. No lugar antes ocupado pela água vão ficando lacunas e, consequentemente, o conjunto tende a retrair-se. Considere que no processo de cozimento a cerâmica de argila sofra uma contração, em dimensões lineares, de 20%. Levando em consideração o processo de cozimento e a contração sofrida, o volume V de uma travessa de argila, de forma cúbica de aresta a, diminui para um valor que é

a) 20% menor que V, uma vez que o volume do cubo é diretamente proporcional ao comprimento de seu lado.

b) 36% menor que V, porque a área da base diminui de a² para ((1 − 0,2)a)².

c) 48,8% menor que V, porque o volume diminui de a³ para (0,8a)³.

d) 51,2% menor que V, porque cada lado diminui para 80% do comprimento original.

e) 60% menor que V, porque cada lado diminui 20%.

Resolução

Alternativa correta: C

• Travessa de argila de forma cúbica de aresta a:
V = a . a . a = a3

• Após a contração, cada aresta diminuirá em 20%, resultando numa aresta igual a 0,8 a.
V = (0,8 a)3 = 0,512 a3

• Comparando os resultados, pode-se observar que o novo volume é 48,8% menor que V.

28. Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato cilíndrico, em três tamanhos, com medidas indicadas nas figuras. O preço do tanque é diretamente proporcional à medida da área da superfície lateral do tanque. O dono de um posto de combustível deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento.

Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do posto? (Considere ¶≈ 3)

a) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 1/3

b) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 3/4_.

c) II, pela relação área/capacidade de armazenamento de 3/4.

d) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 2/3.

e) Ill, pela relação área/capacidade de armazenamento de 7/12.

Resolução

Alternativa correta: D

P₁ / 2¶.(2).6 = P₁/24¶ → V₁ = ¶.(2)².6 = 24¶

P₂ / 2¶.(2).8 = P₂/32¶ → V₂ = ¶.(2)².8 = 32¶

P₃ / 2¶.(3).8 = P₃/48¶ → V₃ = ¶.(3)².8 = 72¶

A relação 48¶/72¶ = 2/3,  logo escolheremos o tanque III 

29. João tem uma loja onde fabrica e vende moedas de chocolate com diâmetro de 4 cm e preço de R$ 1,50 a unidade. Pedro vai a essa loja e, após comer várias moedas de chocolate, sugere ao João que ele faça moedas com 8 cm de diâmetro e mesma espessura e cobre R$ 3,00 a unidade.
Considerando que o preço da moeda depende apenas da quantidade de chocolate, João

a) aceita a proposta de Pedro, pois, se dobra o diâmetro, o preço também deve dobrar.

b) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 12,00.

c) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 7,50.

d) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 6,00.

e) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 4,50.

Resolução

Alternativa correta: D

Como o preço da moeda depende apenas da quantidade de chocolate, então

1,50/¶.2².h = P/¶.4².h → 1,50/2² = P/4² → P = 6,00

30. Um fabricante de creme de leite comercializa seu produto em embalagens cilíndricas de diâmetro da base medindo 4 cm e altura 13,5 cm. O rótulo de cada uma custa R$ 0,60. Esse fabricante comercializará o referido produto em embalagens ainda cilíndricas de mesma
capacidade, mas com a medida do diâmetro da base igual à da altura.
Levando-se em consideração exclusivamente o gasto com o rótulo, o valor que o fabricante deverá pagar por esse rótulo é de

a) R$ 0,20, pois haverá uma redução de 2/3 na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.

b) R$ 0,40, pois haverá uma redução de 1/3 na superfície
da embalagem coberta pelo rótulo.

c) R$ 0,60, pois não haverá alteração na capacidade da embalagem.

d) R$ 0,80, pois haverá um aumento de 1/3 na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.

e) R$ 1,00, pois haverá um aumento de 2/3 na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.

Resolução

Alternativa correta: B

A nova embalagem cilíndrica terá a mesma capacidade, mas com a medida do diâmetro da base igual à da altura(cilindro equilátero). Podemos descobrir a medida x do raio da base dessa nova embalagem assim :

¶ . 2² . 13,5 = ¶ . x² . 2x → 2² . 13,5 = x² . 2x → x³ = 27 → x = 3 cm

Vamos calcular as áreas laterais das duas embalagens:

Área lateral 1 = 2 . ¶ . r . h = 2 . ¶ . 2 . 13,5 = 54¶ cm²

Área lateral 2 = 2 . ¶ . x . 2x = 2 . ¶ . 3 . 6 = 36¶ cm² .

Houve uma redução de 1/3 na superfície da embalagem coberta pelo rótulo, o que implica que o preço desse rótulo é 2/3 . 0,60 = 0,40.

31. Uma prefeitura possui modelos de lixeira de forma cilíndrica, sem tampa, com raio medindo 10 cm e altura de 50 cm. Para fazer uma compra adicional, solicita à empresa fabricante um orçamento de novas lixeiras, com a mesma forma e outras dimensões. A prefeitura só irá adquirir as novas lixeiras se a capacidade de cada uma for no mínimo dez vezes maior que o modelo atual e seu custo unitário não ultrapassar R$ 20,00. O custo de cada lixeira é proporcional à sua área total e o preço do material utilizado na sua fabricação é de R$ 0,20 para cada 100 cm². A empresa apresenta um orçamento discriminando o custo unitário e as dimensões, com o raio sendo o triplo do anterior e a altura aumentada em 10 cm. (Aproxime π para 3.) O orçamento dessa empresa é rejeitado pela prefeitura, pois

a) o custo de cada lixeira ficou em R$ 21,60.

b) o custo de cada lixeira ficou em R$ 27,00.

c) o custo de cada lixeira ficou em R$ 32,40.

d) a capacidade de cada lixeira ficou 3 vezes maior.

e) capacidade de cada lixeira ficou 9 vezes maior.

Resolução

Alternativa correta: B

Vamos calcular as capacidades.

Volume Antigo = ¶r²h = 3.10².50 = 15000cm³

Volume Novo = ¶r²h = 3.30².60 = 162000cm³

Volume Novo/ Volume Antigo = 162000/15000 ≈ 10,8 > 10

Satisfeita a condição sobre a capacidade, calculemos o custo da lixeira nova.

Área Nova : A = ¶r² + 2¶rh = 3 . 30² + 2 . 3 . 30 . 60 = 13500cm²

Custo ; 100cm²/0,20 = 13500cm²/x → x = 27 reais > R$ 20,00

Como o custo de R$ 27,00 superou a meta de R$ 20,00, então será rejeitado.

32. Um artesão fabrica vários tipos de potes cilíndricos. Mostrou a um cliente um pote de raio de base a e altura b. Esse cliente, por sua vez, quer comprar um pote com o dobro do volume do pote apresentado. O artesão diz que possui potes com as seguintes dimensões:

■  Pote I: raio a e altura 2b
■  Pote II: raio 2a e altura b
■  Pote III: raio 2a e altura 2b
■  Pote IV: raio 4a e altura b
■  Pote V: raio 4a e altura 2b

O pote que satisfaz a condição imposta pelo cliente é o

a) I.

b) II.

c) III.

d) IV.

e) V.

Resolução

Alternativa correta: A

Volume Original = ¶a²b

V_I = ¶a². 2b = 2¶a²b

V_II = ¶(2a)². b = 4¶a²b

V_I = ¶(2a)². 2b = 8¶a²b

V_I = ¶(4a)². b = 16¶a²b

V_I = ¶(4a)². 2b = 32¶a²b

O dobro do volume será obtido no pote I.

33.Uma fábrica que trabalha com matéria-prima de fibra de vidro possui diversos modelos e tamanhos de caixa-d’água. Um desses modelos é um prisma reto com base quadrada. Com o objetivo de modificar a capacidade de armazenamento de água, está sendo construído um novo modelo, com as medidas das arestas da base duplicadas, sem a alteração da altura, mantendo a mesma forma.

Em relação ao antigo modelo, o volume do novo modelo é

a) oito vezes maior.

b) quatro vezes maior.

c) duas vezes maior.

d) a metade.

e) a quarta parte.

Resolução

Alternativa correta: B

V = a²h e V' = 4a²h. O volume do novo modelo é quatro vezes maior que o anterior.

34. Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como vértices de um quadrado de 40 km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja, ao mesmo tempo, equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D.
A nova estação deve ser localizada:

a) no centro do quadrado.

b) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 15 km dessa estrada.

c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 25 km dessa estrada.

d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB, oposto a essa base.

e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B.

Resolução

Alternativa correta: C

Seja P o ponto onde se localizará a estação. Como P deve ser equidistante de A e B, P deve pertencer à mediatriz m do segmento AB. Seja x a distância de P à reta que liga C e D. Teremos, pois, a seguinte situação:

Como o triângulo BMP é retângulo, temos:
x²= (40 - x)² + 20² → 80x = 2.000 → x = 25
Portanto, o ponto P deve estar na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 25 km dessa estrada.

 35. O índice pluviométrico é utilizado para mensurar a precipitação da água da chuva, em milímetros, em determinado período de tempo. Seu cálculo é feito de acordo com o nível de água da chuva acumulada em 1 m², ou seja, se o índice for de 10 mm, significa que a altura do nível de água acumulada em um tanque aberto, em formato de um cubo com 1 m² de área de base, é de 10 mm. Em uma região, após um forte temporal, verificou-se que a quantidade de chuva acumulada em uma lata de formato cilíndrico, com raio 300 mm e altura 1 200 mm, era de um terço da sua capacidade.

     Utilize 3,0 como aproximação para ¶. O índice pluviométrico da região, durante o período do temporal, em milímetros, é de

a) 10, 8.

b) 12,0.

c) 32,4.

d) 108,0.

e) 324,0.

Resolução

Alternativa correta: D

V = 1/3 ¶R²h = 1/3 . 3 . 300² . 1200 = 108000000mm³(volume contido na latinha).
O índice pluviométrico da região, durante o período do temporal, em milímetros, será:

108000000/1000000 = 108 mm

36. Uma escola possui cinco terrenos de formato retangular nas adjacências de seu prédio e quer construir uma grande praça de lazer para seus alunos. A praça será cercada por uma tela de proteção e o perímetro deve ser de, no máximo, 200 m, mas a área deve ser a maior possível. Os terrenos disponíveis possuem as seguintes dimensões:

Terreno 1: 55 m × 44 m
Terreno 2: 56 m × 30 m
Terreno 3: 60 m × 39 m
Terreno 4: 62 m × 35 m
Terreno 5: 67 m × 34 m

Desse modo, a escola deve escolher

a) o terreno 1, pois apresenta a maior área e possui perímetro menor que 200 m.

b) o terreno 2, pois apresenta a maior área e possui perímetro menor que 200 m.

c) o terreno 3, pois apresenta a maior área e possui perímetro menor que 200 m.

d) o terreno 4, pois apresenta a maior área e possui perímetro menor que 200 m.

e) o terreno 5, pois apresenta a maior área e possui perímetro menor que 200 m.

Resolução

Alternativa correta: A

Calculando a área e o perímetro de cada terreno, tem-se:
Área do terreno 1: 55 m × 44 m = 2420 m² e o perímetro é 198 m;
Terreno 2: 56 m × 30 m = 1680 m² e o perímetro é 192 m;
Terreno 3: 60 m × 39 m = 2340 m² e o perímetro é 198 m;
Terreno 4: 62 m × 35 m = 2170 m² e o perímetro é 194 m;
Terreno 5: possui perímetro maior que 200 m.
Desse modo, o terreno 1 possui maior área e perímetro até 200 m.

37. Em 1795, inicialmente o metro foi definido como um décimo de milionésimo da distância do Polo Norte ao Equador, medida em torno da circunferência do meridiano que passa por Paris. Atualmente, o metro é conceituado de forma diferente, mas o valor é aproximadamente o mesmo. Admitindo que o volume de uma esfera de raio R é dado por  V = 4/3¶ R³ e considerando ainda as informações dadas, pode-se concluir que a ordem de grandeza do volume do planeta Terra, em metros cúbicos, é

Dado: ¶² ≈ 10.  

a) 10¹⁵.

b) 10^19.

c) 10²¹.

d) 10^27.

e) 10^32.

Resolução

Alternativa correta: C

Para o cálculo, admite-se que a Terra é uma esfera de raio R metros. Desse modo, como a distância do Polo Norte ao Equador é 1/4  do comprimento de uma circunferência de raio R e o metro é um décimo de milionésimo da distância do Polo Norte ao Equador, medida em torno da circunferência do meridiano que passa por Paris, tem-se que 2¶R/4 = 10⁷ → R = 2.10⁷/¶. Assim, o volume da Terra é 4/3¶R³ = 4/3¶(2.10⁷/¶)³ =32/3¶². 10²¹ m³.

 38. A aroeira é uma espécie da família botânica Anacardiaceae, que vive em áreas expostas ao Sol, perde as folhas nos períodos mais secos do ano e prefere terrenos mais bem drenados, secos e rochosos. A árvore adulta pode atingir até 30 m de altura, variando de tamanho de acordo com o local de ocorrência.
     Além disso, sua madeira é muito resistente: 1 cm³ de aroeira suporta uma carga de até 750 kg. Em função da durabilidade e dificuldade de decomposição, é muito usada na construção civil, em postes, mourões de cercas e dormentes para ferrovias.

Suponha que um tronco de aroeira, com metade da altura máxima que a árvore pode alcançar, seja um cilindro de raio da base 20 cm. Sabendo que o volume de um cilindro de raio da base r e altura h possui volume dado pela expressão V = ¶ · r² · h, então, admitindo ¶ = 3, o referido tronco pode suportar uma carga de até

a) 2,7 milhões de toneladas.

b) 1,35 milhão de toneladas.

c) 2,7 toneladas.

d) 1,8 toneladas.

e) 1,35 toneladas.

Resolução

Alternativa correta: B

O volume do tronco é V = 3  20² 1 500 = 1 800 000 cm³ . Assim, pode suportar uma carga de até 1 800 000 750 kg = 1 350 000 000 kg ou 1,35 milhão de toneladas.