QUESTOES VESTIBUAR G1- cftmg 2017 - COMENTADAS

1.(G1 - cftmg 2017)  Sejam os conjuntos A = {x ɛ R / 0 < x ≤ 5}, B = {x ɛ R / x ≥ - 5} e C = {x ɛ R / x ≤ 0 }. Pode-se afirmar que :

a) (A - B) U C = C   

b) (A - C) ∩ B = ϕ   

c) (B U C) ∩ A = R   

d) (B ∩ C) ∩ A = A   

Resposta da questão 1:[A]

Representamos os conjuntos A, B e C na reta numérica.

                    

Análise das alternativas:

[A] Verdadeira: (A - B) U C = Φ U C = C 

[B] Falsa: (A - C) ∩ B = A ∩ B = A 

[C] Falsa: (B U C) ∩ A = R ∩ A = A   

[D] Falsa:  (B ∩ C) ∩ A = [- 5, 0] ∩ A = Φ    

2. (G1 - cftmg 2017)  Sejam as funções reais f(x) =  2x² – 17x + 8 e g(x) = 2^x. O produto das raízes da equação f(g(x)) é :

a) - 4   

b) - 3   

c) 3   

d) 4   

  

Resposta da questão 2: [B]

Devemos inicialmente resolver a equação:

2x² – 17x + 8 = 0 → x = (17 ± √225)/2.2  → x = 8 ou x = 1/2

Como 8 e 1/2 são os valores de x que tornam f(x) = 0, podemos escrever que: f(g(x)) = 0 → g(x) = 8 ou g(x) = 1/2, portanto:

2^x = 8 → x = 3 ou 2^x = 1/2 → x = - 1

Logo, o produto das raízes será dado por: 3 . (-1) = -3

  

3. (G1 - cftmg 2017)  Sejam f e g duas funções reais tais que g = f ^{– 1}. Nessas condições,

a) o domínio de f e de g são iguais.   

b) se f é injetora, então g é sobrejetora.   

c) f(g(x)) = g(f(x)) = x, Ɐx ɛ D_f, Ɐx ɛ D_g .   

d) o contradomínio de f será o conjunto imagem de g.   

  

Resposta da questão 3:[C]

As funções f e g devem ser bijetoras para que g = f^-1.

A opção [C] é a correta, pois a composta de uma função com sua inversa é sempre a identidade.  

4. (G1 - cftmg 2017)  Na figura abaixo estão representadas as funções f(x) = 2^x - 1 e g(x) = log₂(x/2).

                              

Sabendo-se que o ponto A tem abscissa 8, a área do quadrilátero OABC é:

a) 53   

b) 56   

c) 1014   

d) 1814   

Resposta da questão 4:[C]

                              

f(8) = 2⁸ – 1 = 255 → A(8, 255)

g(8) = log₂(8/2) = log₂4 = 2 → B(8, 2)

g(x) = 0 → log₂(x/2) = 0 → x/2 = 1 → x = 2 → C(2, 0)

Portanto, a área pedida será a diferença entre as áreas dos triângulos AOD e DCB. Assim, escrevemos: A = 8.255/2 – 6.2/2 = 1014

  

5. (G1 - cftmg 2017)  Na figura, A é o centro da circunferência, CD é o diâmetro e GF é a altura do triângulo CDG.

                                  

Sendo CG = 3 cm e DG = 4 cm, o segmento AF mede, em centímetros,

a) 0,3   

b) 0,5   

c) 0,7   

d) 0,9   

  

Resposta da questão 5:[C]

O angulo CGD =180⁰/2 = 90⁰ → ∆ CGD e retangulo.

Podemos então encontrar o diâmetro CD :

CD² = 3² + 4² → CD = 5 e AC = 2,5.

Entao CG² = CD . CF → 3² = 5 . CF → CF = 1,8

Portanto, AF = AC – CF → AF = 2,5 – 1,8 → AF = 0,7

6. (G1 - cftmg 2017)  Seja A um quadrado de lado a cuja área é nove vezes maior do que a área de um outro quadrado B, de lado b. A fração irredutível que representa a razão entre a diagonal do quadrado B e a diagonal do quadrado A possui como denominador um número :

a) par.   

b) primo.   

c) múltiplo de 5.   

d) múltiplo de 9.   

Resposta da questão 6:[B]

                              

                                                          

Portanto, a razão entre as diagonais será dada por:

b√2/a√2 = b/a = b/3b = 1/3. Logo, o denominador é um número primo.  

7. (G1 - cftmg 2017)  Uma pessoa comprou, fora do Brasil, um produto por US$ 80,00. Sobre esse valor foi cobrada uma taxa de 45% (frete) para o envio da mercadoria. Chegando ao Brasil, esse produto foi tarifado com 15% de imposto sobre importação que incidiu sobre o valor do produto e do frete. Desta forma, o aumento percentual do produto em relação ao preço de compra foi de, aproximadamente,

a) 12   

b) 37   

c) 60   

d) 67   

  

Resposta da questão 7: [D]

Considerando o valor de US$80,00 para o produto, temos:

Valor com a taxa de 45% → 80 + 80.0,45 = 80 . 1,45

Valor com a tarifa de 15% → 80.1,45 + 80.1,45.0,15 ≈ 80.1,67

Portanto, o aumento percentual será dado por: 80.1,67 ou seja 67%

8. (G1 - cftmg 2017)  Atualmente um trabalhador que recebe um salário bruto até determinado valor possui isenção sobre a tributação do Imposto de Renda Retido na Fonte (IRRF). Uma pessoa, que é isenta, pediu o maior aumento possível ao seu chefe de forma que ainda deixe o seu salário bruto dentro dessa faixa de isenção. Suponha que o valor máximo para a isenção do IRRF seja de R$ 1900,00 e que essa pessoa pediu ao seu chefe um aumento de 12%. Caso o chefe conceda os 12% de aumento solicitado, essa pessoa receberá, em reais, um aumento de :

a) 203,57   

b) 228,00   

c) 252,43   

d) 276,00   

  

Resposta da questão 8: [A]

Considerando que x seja o salário do trabalhador, temos:

o aumento: 0,12x e x + 0,12x = 1900 → x = 1900/1,12 → x ≈ 1696,43

Portanto, o aumento será de 0,12x ≈ 203,57.  

9. (G1 - cftmg 2017)  O valor da expressão (-1,333... - 2) ÷ (√3 + 2) é :

a) (5√3 - 10)/3   

b) (10√3 - 20)/3   

c) (31√3 - 62)/9   

d) (33√3 - 66)/10   

Resposta da questão 9: [B]

Transformando, inicialmente, a dízima periódica em fração: 1,333... = 4/3

Calculando o valor da expressão, temos: (- 1,333... - 2) ÷ (√3 + 2) =

(-4/3 - 2)÷(2 + √3) = (-10/3) / ( 2 + √3 ) = (10√3 - 20)/3

  

 

  

10. (G1 - cftmg 2017)  Se x e y são dois números reais positivos, então a expressão M = [x . √(y/x) + y . √(x/y)]² é equivalente a :

a)√xy

b) 2xy   

c) 4xy   

d) 2√xy

  

 Resposta da questão 10: [C]

M = [x . √(y/x) + y . √(x/y)]² = x² . (y/x) + 2 . x . √(y/x) . y . √(x/y +  y² . (x/y)

M = x² . y/x + 2 . x . y  +  y² . x/y = xy + 2xy + xy = 4xy

 

11. (G1 - cftmg 2017)  Seja f(x) uma função real. O gráfico gerado pelo módulo dessa função, |f(x)|

a) nunca passará pela origem.   

b) nunca passará pelo 3º ou 4º quadrante.   

c) intercepta o eixo x somente se f(x)  for do primeiro grau.   

d) intercepta o eixo y somente se f(x)  for do segundo grau.   

  

Resposta da questão 11:[B]

A alternativa [B] é a correta, pois a função |f(x)| não assumirá valores negativos e, no terceiro e quarto quadrantes, os valores assumidos por qualquer função serão sempre negativos.  

12. (G1 - cftmg 2017)  O gráfico abaixo mostra a representação gráfica de duas funções polinomiais, f e g, de primeiro grau.

                          

Sendo A = {x ɛ R /  f(x) ≥ 0} e B = {x ɛ R /  g(x) < 0}, A ∩ B é igual a:

a) {x ɛ R / 2 < x ≤ 6}   

b) {x ɛ R / 2 ≤ x < 6}      

c) {x ɛ R / x ≤ 2}      

d) {x ɛ R / x ≥ 6}      

  

Resposta da questão 12:[D]

De acordo com o gráfico, temos:

f(x) ≥ 0 → A = { x ɛ R / x ≥ 6 }  e  g(x) < 0 → B = { x ɛ R / x > 2 }

Portanto, A ∩ B = { x ɛ R / x ≥ 6 }

13. (G1 - cftmg 2017)  Sejam as funções reais p(x) = 3x – 4, q(x) = - x/2 + 4, r(x) = 3x - 10 e s(x) = 1. Considerando todas as interseções entre essas retas, o único quadrilátero que pode ser desenhado, utilizando quatro dessas interseções como vértices, é um

a) losango.   

b) trapézio.   

c) quadrado.   

d) retângulo.   

  

Resposta da questão 13: [B]

                        

As retas p e r são paralelas, pois possuem o mesmo coeficiente angular, ou seja, 3. Portanto, todo quadrilátero com dois lados paralelos é um trapézio. Este trapézio não poderia ser um retângulo, pois o produto dos coeficientes angulares das retas p e q é diferente de – 1, o que nos mostra que o ângulo formado pelas retas p e q não é reto.  

14. (G1 - cftmg 2017)  Ao entrar na sala de aula, um aluno perguntou ao seu professor de Matemática que horas eram. O professor então respondeu: desde que começou este dia, as horas que já se passaram excedem as que faltam transcorrer em 3 horas e 16 minutos.

Assim, a hora em que o aluno fez a pergunta ao professor é :

a) 12h 36min   

b) 13h 38min   

c) 14h 38min   

d) 15h 16min   

  

Resposta da questão 14: [B]

Horas que passaram: x  e  Horas que faltam passar: 24 - x

De acordo com o enunciado, podemos escrever que:

x - (24 - x) = 3h + 16min → 2x = 24h + 3h + 16min → 2x = 27h+ 16min

x = (27h+ 16min)/2 = (26h+ 76min)/2 → x = 13horas38minutos

15. (G1 - cftmg 2017)  Considerando-se a solução da inequação (ax + b).(ax² + b) > 0, com a e b ɛ R, a ≠ 0, é correto afirmar que:

a) se a > 0 e b > 0, então x > - b/a.   

b) se a < 0 e b < 0, então x < - b/a.   

c) se a > 0 e b < o, então x > - b/a.   

d) se a < 0 e b > 0, então x < - b/a.   

  

Resposta da questão 15: [A]

[A] Verdadeira.

a > 0 e b > 0, então ax² + b é a maior que zero, para todo x real. Portanto, para que se tenha (ax + b).( ax² + b ) > 0, devemos considerar:

ax + b > o → x > - b/a.

[B] Falsa.

a < 0 e b < 0, então ax² + b é menor que zero, para todo x real. Portanto, para que se tenha (ax + b).( ax² + b ) > 0, devemos considerar:

ax + b < 0 → x > - b/a.

[C] Falsa.

Se a = 2 e b = - 8, temos: - b/a = 4

Sabemos que a inequação (2x - 8).(2x² - 8) > 0 é válida para x = 0 e 0 < 4.

[D] Falsa.

Se a = -2 e b = 8, temos: - b/a = 4.

    Sabemos que a inequação (- 2x + 8).(- 2x² + 8) > 0  é válida para x = 5 e

    5 > 4  

16. (G1 - cftmg 2017)  Sejam dois ângulos x e y tais que 2x e y + 10⁰ são ângulos complementares e 5x e 3y - 40⁰ são suplementares.

O ângulo x mede :

a) 5⁰   

b) 10⁰   

c) 15⁰   

d) 20⁰   

Resposta da questão 16:[D]

De acordo com as informações do problema, podemos escrever que:

2x + y + 10⁰ = 90⁰  e   5x + 3y - 40⁰ = 180⁰ → 2x + y = 80⁰  e   5x + 3y = 220⁰

2x + y = 80⁰. (- 3) e   5x + 3y = 220⁰ → - 6x - 3y = - 240⁰  e   5x + 3y = 220⁰

Somando as equações, obtemos: x = 20⁰

  

  

17. (G1 - cftmg 2017)  Neste triângulo, tem-se AB = AM, MAN = 70⁰, AMN = 30⁰ e ANM = 80⁰

                                    

O valor de α- ϴ é :

a) 50⁰   

b) 60⁰   

c) 70⁰   

d) 80⁰   

  

Resposta da questão 17: [C]

                        

AB = AM → AMB = α.

No triângulo AMC, temos: α = 70⁰ + ϴ → α - ϴ = 70⁰

  

18. (G1 - cftmg 2017)  A figura a seguir é um esquema representativo de um eclipse lunar em que a Lua, a Terra e o Sol estão representados pelas circunferências de centros C₁, C₂ e C₃, respectivamente, que se encontram alinhados. Considera-se que a distância entre os centros da Terra e do Sol é 400 vezes maior que a distância entre os centros da Terra e da Lua e que a distância do ponto T na superfície da Terra ao ponto S na superfície do Sol, como representados na figura, é de 150 milhões de quilômetros.

                 

Sabendo-se que os segmentos de reta C₁L, C₂T e C₃S são paralelos, a distância do ponto L, representado na superfície da Lua, ao ponto T, na superfície da Terra, é igual a :

a) 375.000 km   

b) 400.000 km   

c) 37.500.000 km   

d) 40.000.000 km   

  

Resposta da questão 18: [A]

Aplicando o Teorema de Tales na figura, temos:

   

          

     

d/150.10⁶ = x/400x → 400d = 150.10⁶ → d = 37,5.10⁴ → d = 375.000 km  

19. (G1 - cftmg 2017)  Duas crianças, cada uma em um prédio diferente, brincam com canetas lasers nas janelas de seus apartamentos, apontando para um ponto na quadra situada entre os prédios. A criança do prédio  está a uma altura de 10m, e a do prédio B, a uma altura de 20 m do chão. A distância entre os prédios é de 50m. Em um determinado momento, os lasers das crianças atingem, simultaneamente, um ponto P do pátio equidistante das crianças, tal como na ilustração abaixo:

                     

   

A distância x, em metros, deste ponto até o prédio B é :

a) 22   

b) 23   

c) 25   

d) 28   

  

Resposta da questão 19:[A]

                 

Nos triângulos assinalados na figura temos o seguinte sistema:

d² = 10² + (50 - x)²  e   d² = 20² + x²

Igualando as equações, temos: 20² + x² = 10² + (50 - x)² →

400 + x² = 100  2500 – 100x + x² → 100x = 2200 → x = 22

20. (G1 - cftmg 2017)  A figura a seguir mostra uma circunferência, em que os arcos ADC e AEB são congruentes e medem 160⁰ cada um.

                                       

A medida, em graus, do ângulo x, é :

a) 10⁰   

b) 20⁰   

c) 30⁰   

d) 40⁰   

  

Resposta da questão 20:[B]

O arco de extremos C e B, determinado pelo ângulo x na circunferência,

mede 2x. Portanto, 2x + 160⁰ + 160⁰ = 360⁰ → 2x = 40⁰ → x = 20⁰

  

21. (G1 - cftmg 2017)  Na figura a seguir, o triângulo ABC é equilátero de lado igual a 1 cm Os pontos D, E e F são os respectivos pontos médios dos lados AC, BC e AB, os pontos G, H e I são os respectivos pontos médios dos lados DE, DF  e EF e os pontos J, K e L são os respectivos pontos médios dos lados GH, HI e GI.

                                        

A área do triângulo JKL em cm² é :

a) √3/256   

b) √3/512   

c) √3/768   

d) √3/1024   

  

Resposta da questão 21: [A]

Os lados dos triângulos formam uma PG de razão ½. Portanto, o lado do

triângulo JKL é 1/8 do lado do triângulo ABC. Como o lado do triângulo

ABC é 1 deveremos considerar que o lado do triângulo JKL é 1/8.

Portanto, sua área será dada por: A = (1/8)² . √3/4 = √3/256

  

22. (G1 - cftmg 2017)  Na figura a seguir ATD é uma semicircunferência inscrita no trapézio ABCD e A, T  e D são pontos de tangência.

         

                                

Se os lados paralelos desse trapézio medem 4 cm e 9 cm, então sua área, em cm² é igual a :

a) 22   

b) 45   

c) 78   

d) 90   

  

Resposta da questão 22:[C]

Se por um ponto externo a uma circunferência, traçarmos tangentes a esta, então os segmentos formados pelo ponto externo e os pontos de tangencia apresentarão a mesma medida.

Se BT = AB = 4 cm  e  CT = CD = 9 cm, entao BC = 13 cm.

Sendo o segmento BE paralelo ao segmento AD com E pertencente ao

segmento CD, obtemos o triângulo retângulo BEC.

Logo, CE = 9 – 4 = 5 cm e h² + 5² = 13² → h = 12 cm.

Portanto, a área será dada por: A = (4 + 9).12/2→ A = 78 cm²

23. (G1 - cftmg 2017)  IMC é a sigla para Índice de Massa Corporal, que é a medida utilizada pela Organização Mundial de Saúde (OMS) para verificar a obesidade. O cálculo do IMC é feito dividindo o peso P (em quilogramas) pela altura H (em metros) ao quadrado, ou seja IMC = P/H²

A seguir apresenta-se uma tabela para consulta de IMC.

Resultado	Situação
Abaixo 17	Muito abaixo do peso
Entre 17 e 18,49	Abaixo do peso
Entre 18,5 e 24,99	Peso normal
Entre 25 e 29,99	Acima do peso
Entre 30 e 34,99	Obesidade I
Entre 35 e 39,99	Obesidade II (severa)
Acima de 40	Obesidade III (mórbida)
Disponível em: <http:// www.calculoimc.com.br.> Acesso em: 12 set. 2016.

Uma pessoa de 1,5 m de altura estava com o IMC igual a 34, ou seja, obesidade I. Preocupada com seu peso, essa pessoa desenvolveu atividades de modo que, após 3 meses, ela emagreceu 5,500 g.

Após calcular novamente seu IMC, ela percebeu que se encontrava na situação de :

a) obesidade I.   

b) peso normal.   

c) acima do peso.   

d) abaixo do peso.   

Resposta da questão 23:[A]

Admitindo que P é o peso (em kg), antes de emagrecer, temos:

P/(1,5)² = 34 → P = 76,5, entao 76,5 – 5,5 = 71 kg.

Calculando o novo IMC, temos: 71/(1,5)² ≈ 31,56

Portanto, a pessoa se encontrava com obesidade I.  

24. (G1 - cftmg 2017)  Para executar uma reforma em uma loja, foram contratados n operários. O mestre de obras argumentou: “para entregar a obra 2 dias antes do prazo previsto, seria necessário contratar mais 3 operários; se, entretanto, 2 operários fossem dispensados a obra atrasaria em 2 dias.” Considerando que os operários trabalhem da mesma forma, o número n de operários contratados foi :

a) 6   

b) 12   

c) 18   

d) 24   

  

Resposta da questão 24: [B]

De acordo com o enunciado, podemos elaborar a seguinte tabela:

Operários	dias
n	d
n + 3	d-2
n - 2	d+2

Considerando que número de operários e dias trabalhados são grandezas inversamente proporcionais, podemos escrever o seguinte sistema:

n.d = (n+3).(d-2)  e  n.d = (n-2).(d+2) → 2n-3d = -6  e  -2n+2d = -4

Resolvendo o sistema, por adição, concluímos que d = 10 e que n = 12  

25. (G1 - cftmg 2017)  Por regulamentação federal, uma pessoa pode comprometer até 30% de seu salário bruto mensal com empréstimos consignados em folha (empréstimos cujo pagamento das prestações é descontado no salário). Uma pessoa com salário bruto mensal de R$ 2800,00 já tem comprometido 25% desse valor em prestação mensal e deseja utilizar todos os 5% restantes em um novo empréstimo.

O valor dessa nova prestação, em reais, é :

a) 70,00   

b) 140,00   

c) 210,00   

d) 280,00   

  

Resposta da questão 25:[B]

Se 30% - 25% = 5%, entao 5% de 2800 = R$ 140,00

26. (G1 - cftmg 2017)  Em um triângulo retângulo ABC reto em A tem-se que tg B + tg C = 25/12. O valor de sen B + sen C é :

a) 25/12   

b) 12/25   

c) 7/5   

d) 5/7   

  

Resposta da questão 26:[C]

A figura está de acordo com as condições estabelecidas no problema. Então, podemos escrever que:

                                 

      

tgB + tgC = 25/12 → b/c + c/b = 25/12 → (b² + c²)/b.c = 25/12 →

b.c/a² = 12/25. Logo, senB + senC = b/a + c/a→(senB + senC)² = (b/a + c/a)²

(senB + senC)² = (b/a)² + (c/a)² + 2. b/a. c/a = 1 + 2. 12/25 = 49/25.

Como B e C são ângulos agudos, podemos escrever : senB + senC = 7/5

  

27. (G1 - cftmg 2017)  Em um triângulo retângulo, a tangente de um de seus ângulos agudos é 2. Sabendo-se que a hipotenusa desse triângulo é 5, o valor do seno desse mesmo ângulo é :

a) 4/5   

b)√5/4   

c)√5/5   

d)2√5/5   

  

Resposta da questão 27:[D]

                           

Como tg α = x/y → 2 = x/y → x = 2y (eq. I)  e  x² + y² = 25 (eq. II)

Substituindo (I) em (II), temos: 4y² + y² = 25 → 5y² = 25 → y² = 5 → y = √5

Logo, x = 2√5  e  senα = 2√5/5

  

28. (G1 - cftmg 2017)  Seja x um número inteiro, 0 < x ≤ 60 e o conjunto A = {k ɛ R / K = 60/x}. Nessas condições, o número máximo de elementos do conjunto A é :

a) 6   

b) 8   

c) 12   

d) 16   

  

Resposta da questão 28: [C]

De acordo com a lei de formação do conjunto A, concluímos que k é um divisor positivo de 60. Utilizando o processo de Euclides para determinar o número n de divisores positivos de 60, obtemos:

A decomposição do 60 em fatores primos será dada por 60 = 2².3.5, portanto, o número de divisores de 60 será dado por:

n = (2 + 1).(1 + 1).(1 + 1) = 12.

  

29. (G1 - cftmg 2017)  Um Quadrado Perfeito é um número inteiro que pode ser escrito como quadrado de outro número inteiro. Para que o número M = 45864y/360 seja um quadrado perfeito, o menor valor de y,

y ɛ R* é :

a) 13   

b) 36   

c) 65   

d) 127   

  

Resposta da questão 29:[C]

M = 45864y/360 = 36.1274y/36.2.5 = 2.7².13y/2.5 = 7².13.y/5

Portanto, o menor valor de y para que M seja um quadrado perfeito será:

Y = 13 . 5 = 65.

  

30. (G1 - cftmg 2017)  Simplificando a expressão (a⁴ + b⁴ + ab³ + a³b + ab² + a²b)/(a² – b²), a ≠ b, obtém-se:

a) a/b   

b) (a + b)/(a - b)   

c) (a³ + ab + b³)/(a - b)   

d) 3(a + ab + b)/(a + b)   

Resposta da questão 30:[C]

(a⁴ + b⁴ + ab³ + a³b + ab² + a²b)/(a² – b²) =

(a⁴ + b⁴ + ab³ + a³b + ab² + a²b)/(a + b).(a - b) =

a³(a + b) + b³(a + b) + abb(a + b)/(a + b).(a - b) = (a³+ b³ + ab²)/(a - b)