QUESTOES VESTIBULAR ITA 2017 - COMENTADAS

1.(Ita 2017)  Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {-1. -2, -3, -4, -5}. Se C = {xy : x ε A e y ε B}, então o número de elementos de C é :

a) 10   

b) 11   

c) 12   

d) 13   

e) 14   

Resposta da questão 1:[E]

Fazendo as multiplicações pertinentes entre x e y e desconsiderando os elementos repetidos, conclui-se que o número de elementos em C é 14.

                                

2. (Ita 2017)  Sejam S₁ = {(x, y) ε R² : y ≥ ||x| - 1|} e S₂ = {(x, y) ε R² : x² + (y + 1)² ≤ 25 }.  A área da região S₁ ∩ S₂ é :

a) 25π/4 - 2   

b) 25π/4 - 1   

c) 25π/4  

d) 75π/4 - 1   

e) 75π/4 - 2   

Resposta da questão 2:[A]

Esboçando o gráfico de y ≥ ||x| - 1|  e a circunferência definida por 

x² + (y + 1)² ≤ 25 , a região S₁ ∩ S₂  será a apresentada em amarelo na figura a seguir.

Calculando sua área, tem-se que essa será igual a um quarto da área do círculo menos a área de um quadrado de lado √2, ou seja:

S₁ ∩ S₂  = π.5²/4 - (√2)² = 25π/4 - 2  

  

  

3. (Ita 2017)  Sejam a, b, c, d  números reais positivos e diferentes de 1. Das afirmações:

                             

                             

é (são) verdadeira(s) :

a) apenas I.   

b) apenas II.   

c) apenas I e II.   

d) apenas II e III.   

e) todas.   

Resposta da questão 3:[C]

Analisando as afirmativas:

[I] Verdadeira. Calculando:

[II] Verdadeiro. Utilizando a relação obtida na alternativa anterior, pode-se escrever:

[III] Falsa. A igualdade só se verifica se o valor de a for igual ao valor de c e b ǂ 1. No caso de números distintos, a igualdade não se verifica, pois:

4.(Ita 2017)  Sejam a, b, c, d ε R. Suponha que a, b, c, d formem, nesta ordem, uma progressão geométrica e que a, b/2, c/4, d - 140 formem, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então, o valor de d - b é :

a) -140   

b) -120   

c) 0   

d) 120   

e) 140   

  

Resposta da questão 4:[D]

Calculando: PG → a, b, c, d → a, aq, aq², aq³  e   PA → a, b/2, c/4, (d-140)

Da PA, tem-se: 2 . b/2 = a + c/4 → b = a + c/4

Substituindo os valores de b e c:

aq = a + aq²/4 → q² – 4q + 4 = 0 → q = 2

Da PA, tem-se: 2.c/4 = b/2 + (d - 140) → 2.aq²/4 = aq/2 + aq³ – 140

2a = a + 8a – 140 → a = 20 → como b = aq e d = aq³, então b = 40 e d= 160

Portanto d – b = 120

  

5. (Ita 2017)  Sejam X e Y dois conjuntos finitos com X ϲ Y e X ǂ Y Considere as seguintes afirmações:

I. Existe uma bijeção f : X → Y.

II. Existe uma função injetora g : Y → X.

III. O número de funções injetoras f : X → Y é igual ao número de funções sobrejetoras g : Y → X.

É (são) verdadeira(s) :

a) nenhuma delas.   

b) apenas I.   

c) apenas III.   

d) apenas I e II.   

e) todas.   

  

Resposta da questão 5:[A]

Considerando os conjuntos X = {1} eY = {1, 2} que satisfazem as condições do enunciado (conjuntos finitos com X ϲ Y e X ǂ Y, pode-se analisar as afirmações:

[I] FALSO. Não existe bijeção f : X → Y.

[II] FALSO. Não existe função injetora g : Y → X.

[III] FALSO. O número de funções injetoras f : X → Y não é igual ao número de funções sobrejetoras g : Y → X.

6. (Ita 2017)  Considere o sistema de equações :

1/x + 27/y² + 8/z³ = 3  ;  4/x + 81/y² + 40/z³ = 10  ;  2/x + 54/y² + 24/z³ = 7  

Se (x, y, z) é uma solução real de S, então |x| + |y| + |z| é igual a :

a) 0   

b) 3   

c) 6   

d) 9   

e) 12   

  

Resposta da questão 6:[C]

Calculando:

1/x + 27/y² + 8/z³ = 3  ;  4/x + 81/y² + 40/z³ = 10  e  2/x + 54/y² + 24/z³ = 7  

Fazendo: 1/x = a ; 1/y = b e 1/z = c , vem :

a + b + c = 3 (eq.I) ;  4a + 3b + 5c = 10 (eq.II) e  2a + 2b + 3c = 7 (eq.III)

eq.III – eq,II , tem-se: 3c – 2c = 1 → c = 1, b = 3 e a = - 1

Portanto x = - 1, y = ± 3 e z = 2 → |x| + |y| + |z| = |-1| + |±3| + |2| = 6

  

7. (Ita 2017)  Considere a reta r : y = 2x. Seja A = (3, 3) o vértice de um quadrado ABCD, cuja diagonal BD está contida em r. A área deste quadrado é :

a) 9/5   

b) 12/5   

c) 18/5   

d) 21/5   

e) 24/5   

  

Resposta da questão 7: [C]

                                  

Num quadrado, as diagonais são iguais entre si e medem l√2. A distância do ponto A até a reta r é igual a metade da diagonal. Assim, pode-se escrever:

d_A,r = l√2/2 = |2.3 - 3|/√(2² + 1²) → l = 6/√10

S = l² = (6/√10)² → S = 36/10 → S = 18/5

  

8. (Ita 2017)  O número de soluções inteiras da inequação

0 ≤ x² - |3x² + 8x| ≤ 2 é :

a) 1   

b) 2   

c) 3   

d) 4   

e) 5   

  

Resposta da questão 8: [C]

                               0 ≤ x² - |3x² + 8x| ≤ 2

|3x² + 8x| = 3x² + 8x , se x ≤ - 8/3 ou x ≥ 0  ou

|3x² + 8x| = - (3x² + 8x), se - 8/3 < x < 0

1^a possibilidade : Se x ≤ - 8/3 ou x ≥ 0 

0 ≤ x² - |3x² + 8x| ≤ 2→0 ≤ x² - 3x² - 8x ≤ 2→0 ≤ - 2x² - 8x ≤ 2→0 ≤ - x² - 4x ≤ 1

x² + 4x ≤ 0 →   S₁ : -4 ≤ x ≤ 0 

- x² - 4x – 1 ≤ 0 → x² + 4x + 1 ≥ 0 → S₂ : x ≤ (-2 - √3) ou x ≥ (-2 + √3)

S_PARCIAL1 = 1ªpossib. ∩ S1 ∩ S₂ :  - 4 ≤ x ≤ (-2 - √3)

2^a possibilidade : - 8/3 < x <  0 

0 ≤ x² + 3x² + 8x ≤ 2→0 ≤ x² + 3x² + 8x ≤ 2→0 ≤ 4x² + 8x ≤ 2→0 ≤ 2x² + 4x ≤ 1

2x² + 4x ≥ 0 →   S₃ :  x ≤ -2 ou x ≥ 0

2x² +4x – 1 ≤ 0 → S₄ : (-2 - √6)/2 ≤ x ≤ (-2 + √6)/2

S_PARCIAL2 = 2^apossib. ∩ S₃ ∩ S₄ :  (-2 - √6)/2 ≤ x ≤ -2

S_FINAL = S_PARCIAL1 U S_PARCIAL2 = - 4 ≤ x ≤ (-2 - √3) ou (-2 - √6)/2 ≤ x ≤ -2

Note que x = 0 já e uma solução possivel

No universo dos inteiros : { - 4, - 2 , 0 }

9. (Ita 2017)  O maior valor de tgx, com x = 1/2 . arcsen(3/5) e x ε [0, π/2],é :

a) 1/4   

b) 1/3   

c) 1/2   

d) 2   

e) 3   

  

Resposta da questão 9: [B]

Calculando:  x = 1/2 . arcsen(3/5) → 2x = arcsen(3/5) → sen2x = 3/5 →

cos2x =  4/5 e tg2x = 3/4.

tg2x = 3/4 → 2tgx/(1-tg²x) = 3/4 → 3tg²x + 8tgx – 3 = 0 →

tgx = - 3 (nao convem) ou tgx = 1/3

10. (Ita 2017)  O número de soluções da equação (1 + secƟ)(1 + cossecƟ) = 0, com Ɵ ε [-π, π], é :

a) 0   

b) 1   

c) 2   

d) 3   

e) 4   

  

Resposta da questão 10:[A]

Calculando:

(1 + secƟ)(1 + cossecƟ) = 0 → cond. de existência : senƟ ǂ 0 e cos Ɵ ǂ 0.

Logo Ɵ ǂ π/2 e Ɵ ǂ kπ .

Mas secƟ = - 1 → cosƟ = - 1 → Ɵ = π  ou cossecƟ = - 1 → senƟ = - 1 →

 Ɵ = -π/2 + 2kπ.

Assim sendo, S = ø

11.(Ita 2017)  Sejam D e P as matrizes abaixo.

                     

Considere A = P^-1DP. O valor de det(A² + A) é :

a) 144   

b) 180   

c) 240   

d) 324   

e) 360   

  

Resposta da questão 11:[A]

Calculando:

                 

12. (Ita 2017)  Com os elementos 1, 2, ..., 10 são formadas todas as sequências (a₁, a₂, ..., a₇).  Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas sequências, a probabilidade de a sequência escolhida não conter elementos repetidos é :

a) 7!/10⁷.3!   

b) 10!/10⁷.3!   

c) 3!/10⁷.7!   

d) 10!/10³.7!   

e) 10!/10⁷   

  

Resposta da questão 12:[B]

Calculando: casos possíveis = 10⁷  ,  casos favoráveis = C10,7 . 7!

Então P = C10,7 . 7!/10⁷ = 10!/10⁷.3!

   

13. (Ita 2017)  Considere dois círculos no primeiro quadrante:

- C₁ com centro (x₁ , y₁), raio r₁ e área π/16.

- C₂ com centro (x₂ , y₂),  raio r₂ e área 144π.

Sabendo que (x₁ , y₁ , r₁) e (x₂ , y₂ , r₂)  são duas progressões geométricas com somas dos termos iguais a 7/4 e 21, respectivamente, então a distância entre os centros de C₁ e C₂ é igual a :

a) √123 / 2   

b) √129 / 2   

c)√131 / 2   

d)√135 / 2   

e)√137 / 2   

  

Resposta da questão 13:[E]

Calculando os raios das circunferências, tem-se:

- C₁ tem centro (x₁ , y₁) e área π/16, logo r₁ = ¼.

- C₂ tem centro (x₂ , y₂), e área 144π, logo r₂ = 12.

Sabendo que (x₁ , y₁ , r₁) e (x₂ , y₂ , r₂)  são duas progressões geométricas

com somas dos termos iguais a 7/4 e 21, pode-se escrever:

Por fim, calculando a distância pedida: d = √(1-3)²+(1/2-6)² → D = √137/2

   

14. (Ita 2017)  Considere a equação (a - bi)⁵⁰¹ = 2(a + bi)/[(a² + b²)²⁵⁰ + 1].

O número de pares ordenados (a, b) ɛ R² que satisfazem a equação é :

a) 500   

b) 501   

c) 502   

d) 503   

e) 504   

  

Resposta da questão 14:[D]

Calculando: z = a + bi , seu conjugado a – bi e |Z|² = a² + b²

Caso 1)

          

Caso 2)

                          

Uma solução!

Total de soluções = 503. 

15. (Ita 2017)  Das afirmações:

I. Todo número inteiro positivo pode ser escrito, de maneira única, na forma 2^k-1(2m-1), em que k e m são inteiros positivos.

II. Existe um número x ɛ {0, π/2} de tal modo que os números a₁ = senx,

a₂ = sen(x + π/4), a₃ = sen(x + π/2),   e a₄ = sen(x + 3π/4), estejam, nesta ordem, em progressão geométrica.

III. Existe um número inteiro primo p tal que √p é um número racional.

é (são) verdadeira(s) :

a) apenas I.   

b) apenas II.   

c) apenas III.   

d) apenas I e II.   

e) todas.   

 

Resposta da questão 15:[A]

[I] VERDADEIRA.

Se o número for ímpar k = 1, ou seja, 2^1-1(2m-1). Logo o número é o

produto de um por ele próprio. Se o número for par ele é o produto de um

ímpar por uma potência de  2, ou seja, 2^n-1(2m-1).

[II] FALSA.

Calculando: a₁ . a₃ = (a₂)² → senx.sen(x + π/2) = sen(x + π/4)²

 senx . cosx = (√2/2 . (senx + cosx))² → senx . cosx = 1/2 . (1+2senxcosx)

 2 senx . cosx = 1+2senxcosx → 0 ≠ 1

[III] FALSA.

Considerando a e b como inteiros com MDC igual a 1 (fração irredutível) e

sendo b diferente de zero, pode-se escrever: √p = a/b → p = a²/b² →

a² = p.b². Mas um quadrado perfeito não pode ser igual a um não

quadrado perfeito, assim √p não pode ser racional.  

16. (Ita 2017)  Um atirador dispõe de três alvos para acertar. O primeiro deste encontra-se a 30 m de distância; o segundo, a 40 m o terceiro alvo, a 60 m. Sabendo que a probabilidade de o atirador acertar o alvo é inversamente proporcional ao quadrado da distância e que a probabilidade de ele acertar o primeiro alvo é de 2/3, então a probabilidade de acertar ao menos um dos alvos é :

a) 120/160   

b) 119/154   

c) 110/144   

d) 105/135   

e) 119/144

Resposta da questão 16:[E]

Calculando: P(A) = k/30² , P(B) = k/40² , P(C) = k/60²

P(A) . 30² = P(B) . 40² = P(C) . 60² = k

P(A) = 2/3 = k/30² → k = 600 → P(B) = 3/8 e P(C) = 1/6

P(A') = 1 - P(A) = 1/3 , P(B') = 1 - P() = 5/8 , P(C') = 1 - P(C) = 5/6

Se P_{errar todos} = 1/3 . 5/8 . 5/6 = 25/44, entao P_acertar  = 1 - P_{errar todos} =

= 1 - 25/144 = 119/144

  

17. (Ita 2017)  Considere o triângulo ABC em que os segmentos AC, CB e AB medem, respectivamente, 10 cm, 15 cm e 20 cm. Seja D um ponto do segmento AB de tal modo que CD é bissetriz do ângulo ACB e seja E um ponto do prolongamento de CD, na direção de D, tal que DBE = DEB. A medida, em cm, de CE é :

a) 11√6/3   

b) 13√6/3   

c) 17√6/3   

d) 20√6/3   

e) 25√6/3   

  

Resposta da questão 17:[E]

Pelo teorema das bissetrizes pode-se encontrar as medidas dos segmentos AD e DB. Assim, desenhando a figura, tem-se:

                             

Calculando (teorema de Stewart):

15² . 8 + 10² . 12 = 20 . (DC² + 12 . 8) → DC² = 54 → DC = 3√6

AD . DB = ED . DC → 8 . 12 = ED . 3√6 → ED = 16√6/3

EC = ED + DC = 16√6/3 +  3√6 → EC = 25√6/3

  

18. (Ita 2017)  Seja ABC um triângulo cujos lados AB, AC e BC medem 6 cm, 8 cm e 10 cm, respectivamente. Considere os pontos M e N sobre o lado BC tais que AM é a altura relativa a BC e N é o ponto médio de BC. A área do triângulo AMN, em cm² é :

a) 3,36   

b) 3,60   

c) 4,20   

d) 4,48   

e) 6,72   

  

Resposta da questão 18: [A]

Calculando: Se os lados são 6, 8, 10 → ∆ Pitagórico

Entao 10h = 6.8 → h = 24/5

∆AMB → 6² = h² + (5 - MN)² → 36 = 576/25 + 25 – 10MN + MN² → MN = 1,4

Portanto S_∆AMN = MN . h/2 → (1,4.24/5)/2 → S_∆AMN = 3,36

  

19. (Ita 2017)  Seis circunferências de raio 5 cm são tangentes entre si duas a duas e seus centros são vértices de um hexágono regular, conforme a figura abaixo.

                                     

O comprimento de uma correia tensionada que envolve externamente as seis circunferências mede, em cm.

a) 18 + 3π   

b) 30 + 10π   

c) 18 + 6π   

d) 60 + 10π   

e) 36 + 6π   

  

Resposta da questão 19:[D]

Conforme enunciado, pode-se escrever:

     

                               

C_correia = 6.10 + 6x

y = 360⁰ – 120⁰ – 90⁰ – 90⁰ → y = 60⁰

 x = 2πR.y/360⁰ = 2π5.60⁰/360⁰ → x = 5π/3 cm.

C_correia = 6.10 + 6. 5π/3 → C_correia = 6.10 + 10π = 10(6 + π) cm

   

20. (Ita 2017)  O lugar geométrico dos pontos (a, b) ɛ R² tais que a equação, em z ɛ C.

                            z² + z + 2 - (a + bi) = 0

possua uma raiz puramente imaginária é :

a) uma circunferência.   

b) uma parábola.   

c) uma hipérbole.   

d) uma reta.   

e) duas retas paralelas.   

Resposta da questão 20:[B]

Calculando:                           

z² + z + 2 - (a + bi) = 0 → z² + z + 2 = a + bi

Fazendo z = αi, vem : (αi)² + αi + 2 = a + bi → a = 2 – α² e b = α

a = 2 – b² → b² = 2 – a → (b - 0)² = (a - 2)/- 1 → Parábola de vértice (2,0)