QUESTOES VESTIBULAR Ufpr 2017 – TIPO ANALITICA - COMENTADAS

 

1. (Ufpr 2017)  Um agricultor tem arame suficiente para construir 120 m de cerca, com os quais pretende montar uma horta retangular de tamanho a ser decidido.

a) Se o agricultor decidir fazer a horta com todos os lados de mesmo tamanho e utilizar todo o arame disponível cercando apenas três dos seus lados, qual será a área da horta?

b) Qual é a área máxima que a horta pode ter se apenas três dos seus lados forem cercados e todo o arame disponível for utilizado?

  

Resposta da questão 1:
a) Considerando que x a medida de cada lado da horta, podemos escrever que: 3x = 120 → x = 40 m

Portanto a área a da horta será dada por : A = 40² = 1600 m²

b) Considerando que x seja a medida de dois de seus lados e 120 – 2x a medida do terceiro lado, podemos escrever que a área da Horta em função de x, poderá ser dada por: A(x) = (120-2x).x = - 2x² + 120x

                   

A área máxima será dada pela ordenada do vértice da função da área, portanto: A_MAX =  - ∆/4a = - 120²/4(-2) = 1800 m²

2. (Ufpr 2017)  Responda às seguintes perguntas a respeito da função g(x) = (3x - 4)/(1 – 4x) :

a) Qual é o domínio de g ?

b) Qual é a inversa de g ?

  

Resposta da questão 2:
a) A função g será definida quando: 1 – 4x ǂ 0 → x ǂ 1/4

Portanto o domínio da função será dada por: D = { x ɛ R / x ǂ 1/4 }

b) Trocando g(x) por x e x por g^-1(x) temos: x = (3.g^-1(x)  - 4)/(1 – 4. g^-1(x))

x.(1 – 4. g^-1(x)) = 3.g^-1(x)  - 4 →  x – 4x. g^-1(x) = 3.g^-1(x)  - 4 →

x + 4 =  4x. g^-1(x) + 3.g^-1(x) → x + 4 =  (4x + 3)g^-1(x) → g^-1(x)  = (x + 4)/(4x + 3)  

3. (Ufpr 2017) 

                              

  

  

Na modelagem matemática de um processo de fabricação, é comum supor que não há perda de material com emendas, sobreposição de partes etc. Deseja-se construir um reservatório cilíndrico com diâmetro de 120 cm e capacidade de 1,5 m³. Neste problema, estamos nos referindo a um cilindro circular reto perfeito. Para fazer a lateral desse cilindro, será usada uma chapa metálica retangular de comprimento b e altura h. Use π = 3,14 e dê suas respostas com duas casas decimais.

a) Calcule o comprimento b que a chapa deve ter.

b) Calcule a altura h que a chapa deve ter.

  

Resposta da questão 3:
Admitindo que n seja a altura do cilindro e que R seja o raio da base do cilindro, podemos considerar que:

a) b = 2πR = 2.3,14.0,6 = 3,768 m

b) O volume do cilindro será dado por: πR²h = 1,5→h =1,5/3,14.0,6²≈1,33m

  

4. (Ufpr 2017)  Seja C₁ o círculo de raio r = 2 e centro no ponto P = (3, 4)

a) Qual é a equação do círculo C₁ ?

b) Considere o círculo C₂ definido pela equação x² + y² = p². Para quais valores de p o círculo C₁ intersecta o círculo C₂ ?

Resposta da questão 4:

a) Considerando que o  centro seja o ponto C(3,4) e o raio r = 2, a equação da circunferência C₁ será dada por:

(x - 3)² + (y - 4)² = 2² → (x - 3)² + (y - 4)² = 4

b) O maior valor de p será dado pelo raio OA da menor circunferência centrada na origem e o maior valor de P será dado pelo raio OB da circunferência menor centrada na origem.

  

                     

AO = OP – 2 = √(3² + 4²) – 2 = 3  e  OB = OP + 2 = 5 + 2 = 7, portanto, 3≤p≤7

  

  

5. (Ufpr 2017)  Encontre o conjunto solução em R das seguintes inequações:

a) 5 – x ≤ x + 2

b) | 3x + 1 | < 3

Resposta da questão 5:
a) 5 – x ≤ x + 2 → - 2x ≤ - 3 → x ≥ 3/2 → S = { x ɛ R / x ≥ 3/2 }

b) | 3x + 1 | < 3 → - 3 < 3x + 1 < 3 → -4/3<3x< 2/3 → S = {x ɛ R /-4/3<3x<2/3}

  

6. (Ufpr 2017)  Dada a função polinomial P(x) = x³ + 2x² – 7x – 2, faça o que se pede:

a) Calcule P(-2/5)

b) Encontre as raízes de P(x)

Resposta da questão 6:
 a) Temos: P(-2/5) = (-2/5)³ + 2(-2/5)² – 7(-2/5) – 2 = -8/125 + 8/25 + 4/5 =

= (8 + 40 + 100)/125 = 132/125

b) Pelo teorema das raízes racionais, sabemos que 2 é raiz da equação, pois P(2) = 0. Fatorando a expressão através do dispositivo prático, temos:

                2   |  1     2     -7     -2

                     |  1     4      1      0

Portanto, P(x) = (x - 2) . ( x² + 3x + 1)

Resolvendo a equação ( x² + 3x + 1) = 0 temos: x = - 2 + √3 ou x = - 2 - √3

Logo, as raízes de P(x) são  2, - 2 + √3 e - 2 - √3

  

7. (Ufpr 2017)  A velocidade de impressão de uma impressora é calculada em páginas por minuto (ppm) Suponha que determinada impressora tem velocidade de impressão de 15 ppm em preto-e-branco e de 8 ppm em cores.

a) Quanto tempo essa impressora gasta para imprimir 230 páginas em preto-e-branco? Dê sua resposta no formato  ... min ... seg

b) Trabalhando ininterruptamente durante 30 minutos, essa impressora imprimiu 366 páginas entre preto-e-branco e colorida. Quantas dessas páginas eram coloridas?

  

Resposta da questão 7:
Tempo gasto para imprimir cada página em preto e branco: 1/15 min

Tempo gasto para imprimir cada página colorida: 1/8 min

a) 230 . 1/15 = 15,333... minutos = 15 minutos e 20 segundos

b) Admitindo que x é a quantidade de páginas coloridas e 366 - x a quantidade de páginas em preto e branco, podemos escrever:

x . 1/8 + (366 - x).1/15 = 30 → 15x + 8.(366 - x) = 3600 →

15x + 2928 - 8x) = 3600 → 7x = 672 → x = 96

 Portanto, o número de páginas coloridas é 96.  

8. (Ufpr 2017)  Em uma pesquisa de intenção de voto com 1075 eleitores, foi constatado que 344 pretendem votar no candidato A e 731 no candidato B.

a) Qual é a porcentagem de pessoas entrevistadas que pretendem votar no candidato A ?

b) Sabendo que esse mesmo grupo de 1075 entrevistados é composto por 571 mulheres e 504 homens, e que 25% dos homens pretendem votar no candidato A, quantas mulheres pretendem votar no candidato B ?

Resposta da questão 8:
 a) 344/1075 = 0,32 = 32 %

b) Se 25% dos homens pretendem votar no candidato A, então 75% dos homens pretendem votar no candidato B. Número de homens que pretendem votar no candidato B : 75/100 . 504 = 378

   Como temos 731 eleitores que pretendem votar no candidato B, o   número de mulheres que pretendem votar no candidato A será dada por:

731 – 378 = 353.  

  

9. (Ufpr 2017)  Considere a função f(x) = 4cos(xπ/4) – 3, com x ɛ ( -∞ , + ∞).

a) Qual é o valor mínimo que a função f atinge?

b) Para que valores de x temos f(x) = -1.

  

Resposta da questão 9:

a) O valor mínimo da função ocorre cos(xπ/4) assume seu valor mínimo, ou seja, -1. Portanto, o valor mínimo da função será dado por:

4.(-1) – 3 = -7

b) f(x) = - 1 ?

 4cos(xπ/4) – 3 = - 1 → 4cos(xπ/4) = 2 → cos(xπ/4) = 1/2 →

 xπ/4 =π/3+k.2.π ou xπ/4 =5π/4 + k.2.π→x = 4/3 + 8k ou x = 20/3 + 8k, k ɛ Z

 Portanto S = { x ɛ R / x = 4/3 + 8k ou x = 20/3 + 8k, k ɛ Z }

  

10. (Ufpr 2017)  Considere o triângulo a seguir.

                                     

a) Quanto mede o ângulo α ?

b) Quanto mede x ?

Resposta da questão 10:
 a) α + 75⁰ + 60⁰ = 180⁰ → α = 45⁰

b) Aplicando o teorema dos senos no triângulo assinalado e admitindo que α = 45⁰. temos: x/sen60⁰ = 8/sen45⁰ →√2x/2 = 8√3/2 → x = 4√6