QUESTOES VESTIBULAR FUVEST 2017- TIPO ANALITICA - COMENTADAS

1. (Fuvest 2017)  Um caminhão deve transportar, em uma única viagem, dois materiais diferentes, X e Y, cujos volumes em m³ são denotados por x e y, respectivamente. Sabe-se que todo o material transportado será vendido. A densidade desses materiais e o lucro por unidade de volume na venda de cada um deles são dados na tabela a seguir.

Material	Densidade	Lucro
X	125kg/m3	R$120,00/m3
Y	400kg/m3	R4240,00/m3

Para realizar esse transporte, as seguintes restrições são impostas:

I. o volume total máximo de material transportado deve ser de 50 m³.

II. a massa total máxima de material transportado deve ser de 10 toneladas.

Considerando essas restrições:

a)    esboce, no plano cartesiano preparado a seguir, a região correspondente aos pares (x,y) de volumes dos materiais X e Y que podem ser transportados pelo caminhão;

                            

b) supondo que a quantidade transportada do material Y seja exatamente 10 m³, determine a quantidade de material X que deve ser transportada para que o lucro total seja máximo;

c) supondo que a quantidade total de material transportado seja de 36 m³ determine o par (x,y) que maximiza o lucro total.

Resposta da questão 1:
 a) Do enunciado, pode-se escrever: x + y ≤ 50  e  125x + 400y ≤ 10000

      Esboçando o gráfico:

                         

b) Sendo y = 10 o lucro será: L_MAX. → x_MAX. → L = 120x + 10.240

   x + y ≤ 50 e x = 40

b)   Sendo x + y = 36, pode-se esboçar:

x + y = 36  e  125x + 400y = 10000 → 5x + 5y = 180 e 5x + 16y = 400

x = 16  y = 20 → P(16,20)

 

2. (Fuvest 2017)  Um analgésico é aplicado via intravenosa. Sua concentração no sangue, até atingir a concentração nula, varia com o tempo de acordo com a seguinte relação: c(t) = 400 – k.log₃(at + 1),

em que t é dado em horas e c(t) é dado em mg/L As constantes a e k são positivas.

a) Qual é a concentração do analgésico no instante inicial t = 0?

b) Calcule as constantes a e k, sabendo que, no instante t = 2, a concentração do analgésico no sangue é metade da concentração no instante inicial e que, no instante t = 8, a concentração do analgésico no sangue é nula.

  

Resposta da questão 2:

 a) Queremos calcular c(0). Logo, temos : c(0) = 400  - k log₃1 = 400mg/L

b) Sabendo que c(2) = 200mg/L, vem : 200 = 400  - k log₃(a.2 + 1) →

   200 – 400 = - k log₃(a.2 + 1) → 200 = k log₃(a.2 + 1) → 200/k =  log₃(a.2 + 1)

   3^200/k = 2a + 1 → 2a =    3^200/k – 1.

   Por outro lado, como c(8) = 0, temos :

 

   0 = 400 - k log₃(a.8 + 1) → 400 = k log₃(a.8 + 1) → 400/k =  log₃(a.8 + 1)

   3^400/k = 8a + 1 → 8a =    3^400/k – 1 → 4.(2a) + 1 = 3^400/k

   Substituindo, vem : 4.( 3^200/k – 1) + 1 = 3^400/k → fazendo 3^200/k = y,

   4.( y – 1) + 1 = y² → y² – 4y + 3 = 0 → y = (4 ± 2)/2 → k = 3 ou k = 1.

   Como 3^200/k = y, então 3^200/k = 3 →  k = 200 ou 3^200/k = 1(não convém)

   Logo, segue que 2a = 3 – 1 → a = 1

3. (Fuvest 2017)  Considere a função f_a : [0, 1] → [0, 1] que depende de um parâmetro a ɛ ]1, 2], dada por :

        f_a (x) = ax, se 0 ≤ x ≤ 1/2  ou  f_a (x) = a(1 - x), se 1/2 ≤ x ≤ 1

Sabe-se que existe um único ponto p_a ɛ ]1/2, 1[tal que f_a(p_a) = p_a. Na figura a seguir, estão esboçados o gráfico de f_a e a reta de equação y = x.

                             

a) Encontre uma expressão para o ponto p_a em função de a.

b) Mostre que f_a (f_a (1/2)) < 1/2 para todo a ɛ ]1, 2].

c) Utilizando a desigualdade do item b), encontre a ɛ ]1, 2]  tal que f_a ( f_a (f_a (1/2))) = p_a  em que p_a é o ponto encontrado no item a).

  

Resposta da questão 3

a) Sendo 1/2 < p_a < 1 e (p_a , p_a ) o ponto de interseção dos gráficos das

  funções y = x  e f_a = a(1 - x), temos p_a = a(1 - p_a) → p_a = a/(a + 1).   

b) De acordo com o gráfico, sabemos que f_a(1/2) = a/2. Logo, como 1 < a ≤

  2, é equivalente a 1/2 < a/2 ≤ 1, pela definição de f_a , vem 

   f_a (f_a (1/2)) = f_a (a/2) = a(1 - a/2) = 1/2 - 1/2(a - 1)².

  Assim, para a = 1  temos o valor máximo de   f_a (f_a (1/2)), ou seja, 1/2.     

  Mas, como a ǂ 1  segue que   f_a (f_a (1/2)) < 1/2, para todo a ɛ ]1, 2].

c) Sabendo de (b) que f_a (f_a (1/2)) < 1/2 e que p_a = a/(a + 1), pela definição

   de f_a,  vem : f_a (f_a (f_a (1/2)) = p_a → f_a(a – a²/2) = a/(a + 1) →

   a(a – a²/2) = a/(a + 1) → a(a – a²/2) = a/(a + 1) → (a – a²/2) = 1/(a + 1)

   (2a – a²) = 2/(a + 1) → (2a – a²).(a + 1) = 2 → 2a² + 2a – a³ – a² = 2 →

    a³ – a² -  2a  = 2 → a³ – a² - 2a + 2 = 0 → a² (a - 1) - 2(a - 1) = 0 →

   (a² - 2).(a - 1) = 0 → a² – 2 = 0 → a = √2  ou  a – 1 = 0 → a = 1(não convém)

4. (Fuvest 2017)  Um quadriculado é formado por nxn quadrados iguais, conforme ilustrado para n = 2 e n = 3. Cada um desses quadrados será pintado de azul ou de branco. Dizemos que dois quadrados Q₁ e Q₂ do quadriculado estão conectados se ambos estiverem pintados de azul e se for possível, por meio de movimentos horizontais e verticais entre quadrados adjacentes, sair de Q₁ e chegar a Q₂ passando apenas por quadrados pintados de azul.

                           

a) Se n = 2, de quantas maneiras distintas será possível pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q₁ do canto inferior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q₂ do canto superior direito?

b) Suponha que n = 3 e que o quadrado central esteja pintado de branco. De quantas maneiras distintas será possível pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q₁ do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q₂ do canto superior direito?

c) Suponha que n = 3. De quantas maneiras distintas será possível pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q₁ do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q₂ do canto superior direito?

Resposta da questão 4:

 a) Estando Q₁  e Q₂ pintados de azul, existem 2.2 = 4  maneiras de colorir os outros dois quadrados do quadriculado. Portanto, como Q₁  e Q₂ só não estarão conectados quando os outros dois quadrados estiverem pintados de branco, segue que a resposta é 4 – 1 = 3.

b) Pintando de branco o quadrado central, existem apenas duas maneiras de conectar Q₁  e Q₂, conforme as figuras.

                          

   

Na primeira, temos 2⁵ = 32 modos de pintar os cinco quadrados restantes. Já na segunda, há apenas 1  modo de pintar o quadrado restante (se pintarmos o quadrado entre Q₁ e Q₂ de azul, recairemos na figura da esquerda). A resposta é 32 + 1 = 33.

c) Pintando de azul os quadrados indicados, temos 2⁵ = 32   maneiras de pintar os cinco quadrados restantes.

                                          

      

Ademais, pintando de azul os quadrados indicados, e pintando de branco o quadrado entre Q₁ e Q₂, temos 2³ = 8  maneiras de pintar os três quadrados da última linha.

                                        

Por conseguinte, considerando o resultado encontrado em (b), podemos afirmar que a resposta é 33 + 32 + 8 = 73.  

  

5. (Fuvest 2017)  Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6 cm. Os pontos E, F, G, H e I são os pontos médios das arestas AB, BC, AC, BD e CD, respectivamente.

                           

                                

a) Determine a área do triângulo EFH.

b) Calcule a área do quadrilátero EGIH

c) Determine o volume da pirâmide de vértices E, G, I, H e F, cuja base é o quadrilátero EGIH.

Resposta da questão 5:
 Tem-se que HE, HI, GI e EG são, respectivamente, as bases médias dos triângulos ABD, BCD, ACD e ABC. Logo, temos HE = HI = GI = EG = 3 cm. Ademais, como DIFH e AEFG são losangos congruentes, vem HF = FI = EF = FG = 3 cm.

Portanto, sendo AD e BC ortogonais, podemos concluir que as faces laterais da pirâmide FEHIG são triângulos equiláteros e sua base é um quadrado.

a) É imediato que EIH = 3²√3/4 = 9√3/4 cm²

b) Conforme mostramos acima, EGIH é um quadrado e, portanto, vem

EGIH = 3² = 9 cm². 

c) Se O  é a projeção ortogonal de F sobre o plano que contém a base

   EGIH, tem-se que o o raio do círculo circunscrito é OE = 3√2/2 cm. Daí,

  pelo Teorema de Pitágoras, segue que FO² + OE² = FE² → FO = 3√2/2 cm.

  A resposta é 1/3 . 3² . 3√2/2 = 9√/2/2 cm³

  

6. (Fuvest 2017)  Considere uma folha de papel retangular com lados 20 cm e 16 cm. Após remover um quadrado de lado x cm de cada um dos cantos da folha, foram feitas 4 dobras para construir uma caixa (sem tampa) em forma de paralelepípedo reto-retângulo com altura x cm. As linhas tracejadas na figura indicam onde as dobras foram feitas.

                                        

a) Expresse o volume da caixa em função de x.

b) Determine o conjunto dos valores de x para os quais o volume da caixa é maior ou igual a 384 cm³.

  

Resposta da questão 6:

 a) Como as dimensões da caixa, em centímetros, são iguais a x, 16 – 2x e   

    20 – 2x, temos V = x.(16 – 2x).(20 – 2x) = 4x³ – 72x² + 320x, em que V é o  

    volume, em centímetros cúbicos, e 0 < x < 8.

b) Tem-se que 4x³ – 72x² + 320x ≥ 384 → x³ – 18x² + 80x – 96 ≥ 0.

     Logo, observando que x = 2 é raiz da equação x³ – 18x² + 80x – 96 = 0.

    e, sabendo de (a) que 0 < x < 8, vem (x - 2).(x² – 16x + 48) ≥ 0 →

    (x - 2).(x – 4).(x - 12) ≥ 0 → 2 ≤ x ≤ 4

     A resposta é {x ɛ R/ 2 ≤ x ≤ 4}.  

7. (Fuvest 2017)  O centro de um disco de raio 1 é colocado no ponto

C = (0, 1) do plano cartesiano Oxy. Uma das extremidades de um fio de espessura desprezível e comprimento 3 é fixada na origem O e a outra extremidade está inicialmente no ponto (3, 0). Mantendo o fio sempre esticado e com mesmo comprimento, enrola-se, no sentido anti-horário, parte dele em torno do disco, de modo que a parte enrolada do fio seja um arco OP da circunferência que delimita o disco. A medida do ângulo OCP, em radianos, é denotada por Ɵ. A parte não enrolada do fio é um segmento retilíneo PQ, que tangencia o disco no ponto P.

A figura ilustra a situação descrita.

                                  

a) Determine as coordenadas do ponto Q quando o segmento PQ for paralelo ao eixo y.

b) Determine as coordenadas do ponto Q quando o segmento PQ for paralelo à reta de equação y = x.

c) Encontre uma expressão para as coordenadas do ponto Q em função de Ɵ, para Ɵ no intervalo [0, π/2].

Resposta da questão 7:

 a) Considere a figura.

              

                              

      

Sendo Ɵ = π/2 rad e CP = 1 uc, temos OP = Ɵ.CP = π/2 u.c.

    Em consequência, vem PQ = (3 - π/2) u.c. e, portanto, é fácil ver que Q =

    (1,4 - π/2).  

b) Em particular, como mostrado em (c), quando PQ é paralelo à reta y= x,  

    temos Ɵ = π/4 e, assim, vem Q = (senπ/4 + (3 - π/4)cosπ/4, 1 - cosπ/4 + (3 - π/4)senπ/4) = (√2/2 + (4 - π/4), 1 + √2/2 + (2 - π/4))

c) Considere a figura.

                            

Do triângulo CPT, obtemos sen Ɵ = PT/CP → PT = sen Ɵ   e

Cos Ɵ = CT/CP → CT = cos Ɵ  

   Assim, como OC = 1, vem P = (sen Ɵ, 1 – cos Ɵ).

Por outro lado, de forma análoga ao item (a), sabemos que OP = Ɵ e,

portanto, temos PQ = (3 - Ɵ). Logo, do triângulo PSQ encontramos

sen Ɵ = QS/PQ → QS = (3 - Ɵ)sen Ɵ e cos Ɵ = PS/PQ →PS = (3 - Ɵ)cos Ɵ

   Desse modo, o ponto Q pode ser expresso, em termos do ângulo

   Ɵ,como segue Q = (senƟ + (3 - Ɵ)cosƟ, 1 – cosƟ + (3 - Ɵ)senƟ)