QUESTOES Espcex – AMAN – 2017 - COMENTADAS

1. (Espcex (Aman) 2017)  Considere o sistema linear homogêneo

x – 3y + kz = 0 , 3x + ky + z = 0 e kx + y = 0, onde k é um número real.

O único valor que torna o sistema, acima, possível e indeterminado, pertence ao intervalo :

a) (-4, -2]   

b) (-2, 1]      

c) (1, 2]      

d) (2, 4]      

e) (4, 6]      

  

Resposta da questão 1:[B]

Para que o sistema homogêneo seja indeterminado devemos considerar o determinante dos coeficientes nulo. Então:

| 1    -3    k |

| 3     k    1 | = 0 → k³ = -1

| k     1    0 |

Como k é um número real, devemos considerar k = -1. Portanto, k ɛ (-2, 1]        

2. (Espcex (Aman) 2017)  Determine o volume (em cm³) de uma pirâmide retangular de altura ''a'' e lados da base ''b'' e ''c'' (a, b e c em centímetros), sabendo que a + b + c = 36 e ''a'', ''b'' e ''c''  são, respectivamente, números diretamente proporcionais a 6, 4 e 2.

a) 16   

b) 36   

c) 108   

d) 432   

e) 648   

  

Resposta da questão 2: [D]

                                    

a/6 = b/4 = c/2 = k → a = 6k , b = 4k e c = 2k

Portanto, 6k + 4k + 2k = 36 → k = 3

O volume da pirâmide será dada por: V = (b.c.a)/3 = 12.6.18/3 = 432

  

3. (Espcex (Aman) 2017)  Corta-se de uma circunferência de raio 4 cm, um setor circular de ângulo π/2 rad (ver desenho ilustrativo), onde o ponto C é o centro da circunferência. Um cone circular reto é construído a partir desse setor circular ao se juntar os raios CA e CB.

                                  

O volume desse cone, em cm³, é igual a :

a) √3π/3   

b) √3π/5   

c) √15π/3   

d) √15π/5   

e) √5π/5   

  

Resposta da questão 3: [C]

                     

Comprimento do arco AB (circunferência da base do cone de raio R)

2 . π . R = (2 . π . 4)/4 → R = 1 cm

Calculando, agora, a altura do cone, temos: h² + 1² = 4² → h = √15 cm

Logo, o volume do cone será: V = 1/3 . π . 1² . √15 = √15 π/3 cm³

4. (Espcex (Aman) 2017)  Considere a reta t mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos em que a reta s: 2x – 3y + 12 = 0 intercepta os eixos coordenados. Então, a distância do ponto M(1, 1) à reta t é :

a) 13√3/11   

b) 10√13/13      

c) 13√11/13      

d) 3√11/13      

e) 3√3/11      

  

Resposta da questão 4:[B]

Intersecção da reta s com o eixo x, (y = 0) → 2x + 12 = 0 → x = - 6 → P(-6,0)

Intersecção da reta s com o eixo y, (x = 0) → - 3y + 12 = 0 → y = 4 → Q(0,4)

Considerando que N é o ponto médio de PQ temos: x_N = -3 e y_N = 2

Portanto, N = (-3, 2).

A reta s tem coeficiente angular 2/3, portanto a reta t terá coeficiente angular -3/2, pois são perpendiculares.

Determinando agora a equação da reta t, que passa pelo ponto N e é perpendicular à reta s, temos: y – 2 = -3/2.(x + 3) → 3x + 2y + 5 = 0

Calculando a distância do ponto M(1, 1) à reta (t) 3x + 2y + 5 = 0,

  temos: d = |3.1 + 2.1 + 5|√(3² + 2²) = 10/√13 = 10√13/13

  

5. (Espcex (Aman) 2017)  Os valores reais de n para os quais a reta

(t) : y = x + n seja tangente à elipse de equação 2x² + 3y² = 6 são iguais a :

a) -√5 e√5   

b) -√3 e√3   

c) -3 e 3   

d) -2 e 2   

e) -5 e 5   

  

Resposta da questão 5:[A]

Resolvendo, inicialmente, um sistema com as equações da reta e da elipse: 2x² + 3y² = 6 e y = x + n

Substituindo a segunda equação na primeira, temos:

2x² + 3(x + n)² = 6 → 5x² + 6nx + 3n² – 6 = 0

Para a equação tenha duas raízes reais e iguais, ou seja a reta deve ser tangente a elipse, deveremos ter o valor do discriminante (delta) igual a zero → (6n)² – 4.5.(3n² - 6) = 0 → -24n² = 120n = 0 → n = ± √5

  

6. (Espcex (Aman) 2017)  Se o perímetro de um triângulo equilátero inscrito em um círculo é 3 cm, a área do círculo (em cm²) é igual a :

a) π/3   

b) 3π   

c) π   

d) 3√3 π   

e) 81π   

  

Resposta da questão 6: [A]

Considere um triângulo equilátero de lado a, com perímetro 3 cm e inscrito numa circunferência de raio R.

R = 2/3 . a√3/2 = a√3/3 = 1.√3/3 = √3/3 cm

Portanto, a área do círculo será dada por: A = π.R² = π/3 cm²

  

7. (Espcex (Aman) 2017)  Na figura, o raio da circunferência de centro O é 25/2 cm e a corda MP mede 10 cm.

A medida, em centímetros, do segmento PQ é :

a) 25/2   

b) 10   

c) 5√21   

d) √21   

e) 2√21   

Resposta da questão 7: [E]

                                 

Considerando que todo triângulo inscrito numa semicircunferência, com lado coincidindo com o diâmetro, é retângulo. Temos:

PM² = 25MQ → MQ = 4

PQ² = MQ.QN → PQ² = 4.(25-4) → PQ = 2√21

  

8. (Espcex (Aman) 2017)  Sejam z e v números complexos onde |z| = 1 e v tem coordenadas no plano de Argand-Gauss (√2/2, (2/2). Sobre o número complexo z e v (resultante da multiplicação dos complexos z e v), podemos afirmar que :

a) sempre é um número real.   

b) sempre tem módulo igual a 2.   

c) sempre é um número imaginário puro.   

d) pertence à circunferência x² + y² = 1.   

e) sempre tem argumento igual a π/4. 

  

Resposta da questão 8:[D]

                        

Escrevendo os complexos u e v na forma trigonométrica, temos:

z = 1.(cosθ + isenθ) e v = 1.(cos45⁰ + isen45⁰)

Efetuando o produto de u e v na forma trigonométrica, temos:

u.v = 1.1.(cos(45⁰+θ) + isen(45⁰+θ)) = 1.(cos(45⁰+θ) + isen(45⁰+θ))

Com o módulo do produto continua sendo 1, concluímos que este produto também pertence à circunferência de equação x² + y² = 1.  

9. (Espcex (Aman) 2017)  O número real ³√(25/8 + 11√2/4)  +  ³√(25/8 - 11√2/4)  pertence ao conjunto :

a) [-5, -3)   

b) [-3, -1)      

c) [-1, 1)      

d) [1, 3)     

e) [3, 5)    

 

Resposta da questão 9: [D]

Considerando que x = ³√(25/8 + 11√2/4)  +  ³√(25/8 - 11√2/4) , temos:

Sabemos que 1 é raiz da equação acima, pois a soma de seus coeficientes é nula.

Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, podemos fatorar a equação.

                         1     |     4     0     21     -25

                                |     4     4     25       0

(x - 1).(4x² + 4x - 25) = 0

O fator do segundo grau não possui raiz real, pois seu discriminante é negativo. Portanto, x = 1 é a única raiz real da equação. Logo:

x = ³√(25/8 + 11√2/4)  +  ³√(25/8 - 11√2/4) = 1 ɛ [1, 3)

  

10. (Espcex (Aman) 2017)  As três raízes da equação x³ – 6x² + 21x – 26 = 0 são m, n  e p. Sabendo que m e n são complexas e que p é uma raiz racional, o valor de m² + n² é igual a :

a) - 18   

b) - 10   

c) 0   

d) 4   

e) 8   

 

Resposta da questão 10: [B]

O número 2 é raiz da equação, pois 2³ – 6.2² + 21.2 – 26 = 0

Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, podemos fatorar o primeiro membro da equação x³ – 6x² + 21x – 26 = 0.

                                 2     |     1     -6     21     -26

                                        |     1     -4     13

(x - 2).(x² -4x + 13) = 0

A equação produto acima possui uma raiz real x 0 2 e duas raízes imaginárias m e n, obtidas com a resolução da equação (x² -4x + 13) = 0

 Sabemos que: (m + n)² = m² = n² + 2mn

Utilizando as relações de Girard, podemos escrever que:

4² = m² = n² + 2.13 → m² = n² = - 10