QUESTÕES VESTIBULINHO ETEC 2017.2 – COMENTADAS

1.Numa partitura musical, figuras rítmicas são símbolos utilizados para representar a duração de cada nota ou acorde. A tabela mostra o nome da figura rítmica, seu símbolo e o tempo de duração relativo.

                   

De acordo com a tabela, é correto afirmar que : 

(A)  o tempo de duração da fusa é o dobro do tempo de duração da semicolcheia.

(B)  o tempo de duração da mínima é metade do tempo de duração da semínima.

(C)  a soma da duração de duas semínimas é igual ao tempo de duração de uma colcheia.

(D)  com exceção da semibreve, cada figura rítmica apresenta metade do tempo de duração da figura dada na linha anterior.

(E)  com exceção da semibreve, cada figura rítmica apresenta o dobro do tempo de duração da figura dada na linha anterior.

Vejamos : 

(A) FALSO,  o tempo de duração da fusa(1/32) é a metade do tempo de duração da semicolcheia(1/16).

(B) FALSO, o tempo de duração da mínima(1/2) é o dobro do tempo de duração da semínima(1/4).

(C) Falso, a soma da duração de duas semínimas(1/4 + 1/4 = 1/2) é maior do que o tempo de duração de uma colcheia(1/8).

(D) Verdadeiro, com exceção da semibreve, cada figura rítmica apresenta metade do tempo de duração da figura dada na linha anterior.

(E) FALSO, com exceção da semibreve, cada figura rítmica apresenta  metade do tempo de duração da figura dada na linha anterior.

2. O Quadrado Mágico é uma tabela quadrada composta por números inteiros consecutivos a partir do 1, em que a soma de cada coluna, de cada linha e de cada diagonal são iguais. Essa soma é chamada de número mágico. Aprenda a encontrar o número mágico de um quadrado 3x3, como o da figura.

O quadrado mágico 3x3 possui 9 posições, portanto deve ser preenchido com os números de 1 até 9, sem repetição. O número mágico pode ser encontrado seguindo dois passos.

● Passo 1 – Encontrar a soma total dos números. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.

● Passo 2 –  Dividir a soma encontrada pelo número de colunas existentes no quadrado. No caso do quadrado mágico 3x3, os 9 números estão agrupados em 3 colunas. Logo o número mágico será 45:3 = 15.

Em condições semelhantes, o número mágico de um quadrado 4x4 será :

(A) 16.

(B)  24.

(C)  34.

(D)  64.

(E)  136

Vejamos :

● Passo 1 – Encontrar a soma total dos números. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136.

● Passo 2 –  Dividir a soma encontrada pelo número de colunas existentes no quadrado. No caso do quadrado mágico 4x4, os 16 números estão agrupados em 4 colunas. Logo o número mágico será 136:4 = 34.

3. No século XVI, divertidos duelos intelectuais entre professores das academias contribuíram para o avanço da Matemática. Motivado por um desses duelos, o matemático italiano Niccólo Fontana (Tartaglia) (1500 – 1557) encontrou uma fórmula para resolver equações polinomiais de terceiro grau. No entanto, os outros matemáticos da época não tinham acesso a tal descoberta, tendo que encontrar formas alternativas para resolver aqueles problemas. Uma dessas formas alternativas é a fatoração, que facilita a observação das raízes (soluções), pois transforma a adição  dos termos da equação em uma multiplicação igualada a zero. Veja o exemplo.

       x³ + 6x² + 5x – 12 = 0  ◄▬► (x – 1) ∙ (x + 3) ∙ (x + 4) = 0

Analisando o exemplo dado, é correto afirmar que essa equação :

(A)  possui três raízes naturais distintas.

(B)  possui três raízes inteiras distintas.

(C)  possui duas raízes naturais distintas e uma raiz irracional.

(D)  possui duas raízes irracionais distintas e uma raiz inteira.

(E)  não possui raízes reais.

Vejamos :

Como a fatoração, que facilita a observação das raízes (soluções), pois

transforma a adição dos termos da equação em uma multiplicação é do

tipo (x - a).(x - b).(x - c) ... (x - n) = 0, onde a, b, c, ... , são estas raízes.

Portanto em (x – 1) ∙ (x + 3) ∙ (x + 4) = 0, as raízes são 1, -3 e -4, possui

três raízes inteiras distintas.

4. Marcelo decidiu construir uma gangorra para poder brincar com seu filho. Sobre um cavalete, ele apoiou uma tábua de modo que, quando ambos se sentassem, estando cada um em um dos extremos da tábua e sem tocar os pés no chão, a gangorra pudesse ficar equilibrada horizontalmente, sem pender para nenhum dos lados. Considerou também o fato de que seu peso era três vezes maior que o de seu filho, e que a distância entre os locais onde ele e o filho deveriam se sentar era de 3,2 m. De acordo com essas considerações, a distância entre o ponto onde o filho de Marcelo deve se sentar e o ponto de apoio da tábua no cavalete é, aproximadamente, de :

(Despreze o peso da tábua, bem como as dimensões dos corpos de Marcelo e de seu filho)

(A)  0,8 m.

(B)  1,2 m.

(C)  1,6 m.

(D)  2,0 m.

(E)  2,4 m.

Vejamos :

  

Observando a figura, e admitindo : ''M'' como Marcelo, ''FM'' como filho de

Marcelo; x e y as posições de Marcelo e seu filho, do ponto de apoio,

respectivamente.

Sabendo que o peso de Marcelo(P_M) é igual ao triplo do peso de seu

filho(P_FM); que x + y = 3,2 metros, então através da teoria sobre equilíbrio

físico em uma gangorra, vem: Peso Marcelo  . x = Peso Filho . y

Como P_M  = 3P_FM  → 3P_FM . x = P_FM . y → 3x = y  e x + y = 3,2.

Resolvendo o sistema x + 3x = 3,2 → 4x = 3,2 → x = 0,8 m → y = 2,4 m

5. Uma antiga lenda da Índia afirma que o jogo de xadrez foi criado a pedido de um rei e, como recompensa, o criador do jogo recebeu grãos de trigo de acordo com o número de casas do tabuleiro, seguindo o procedimento descrito.

● O criador do jogo escolhe uma casa e recebe 2 grãos por ela.

● Para a próxima casa escolhida, ele recebe o dobro da casa anterior.

● O processo continua até que todas as casas  do tabuleiro sejam   escolhidas exatamente uma vez.

Observando o processo podemos perceber que, para  a décima casa do tabuleiro, o rei entrega 1 024 grãos

● O tabuleiro de xadrez conta com 64 casas distribuídas em 8 colunas verticais e 8 fileiras horizontais, cada uma com 8 casas. As casas são alternadamente escuras e claras.

É correto afirmar que, o número de grãos a ser entregue pela vigésima casa seria : 

(A)  maior que 1 000 e menor que 10 000.

(B)  maior que 10 000 e menor que 100 000.

(C)  maior que 100 000 e menor que 1 000 000.

(D)  maior que 1 000 000 e menor que 10 000 000.

(E)  maior que 10 000 000 e menor que 100 000 000.

Vejamos :

1^a casa = 2 grãos → 2¹ grãos ;

2^a casa = 4 grãos → 2² grãos ;

3^a casa = 8 grãos → 2³ grãos ;

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10^a casa = 1024 grãos → 2¹⁰ grãos ;

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20^a casa = ? grãos → 2²⁰ grãos →

Como 2²⁰ = (2¹⁰)² = (1024)² =  1.048.576 grãos

6. Produzir sombras na parede é uma brincadeira simples. Para brincar, basta que você providencie uma vela e um ambiente escuro. Em certa noite, quando a luz havia acabado, Fernando e seu irmãozinho, aproveitaram a luz de uma vela acesa deixada sobre a mesa para brincarem com sombras. Posicionou, cuidadosamente, sua mão espalmada entre a chama e a parede, de forma que a palma da mão estivesse paralela à parede. A ação assustou seu irmãozinho, uma vez que a sombra projetada na parede tinha cinco vezes a largura da mão espalmada de Fernando. Sabendo que a distância da mão de Fernando até a chama da vela era de 0,5 m e que a largura de sua mão quando espalmada é de 20 cm, a distância entre a parede e a chama da vela (considerada puntiforme), era de :

(A)  0,5 m.

(B)  1,0 m.

(C)  2,0 m.

(D)  2,5 m.

(E)  5,0 m.

Vejamos :

                  

Observando a figura podemos estabelecer a seguinte proporção

20/100 = 0,5/x → 1/5 = 0,5/x → x = 2,5 m

7. Em um famoso jogo eletrônico de arremessar pássaros, a trajetória do lançamento corresponde a parte de uma parábola, como a da figura

Considere que um jogador fez um lançamento de um pássaro virtual cuja trajetória pode ser descrita pela função h(x) =  − x² + 4x, com x variando entre 0 e 4. O gráfico mostra essa trajetória. O ponto de lançamento do pássaro coincide com a origem do plano cartesiano.

Analisando o gráfico, é correto afirmar que o pássaro começa a :

(A)  cair a partir do ponto (2, 4).

(B)  cair a partir do ponto (4, 2).

(C)  subir a partir do ponto (2, 4).

(D)  subir a partir do ponto (4, 2).

(E)  subir a partir do ponto (3, 3).

Vejamos :

Observando o gráfico, de imediato podemos notar ele sobe até (2, 4) e cai

a partir de (2, 4).

               Leia o texto para responder às questões 8 e 9

O Tangram é um quebra-cabeça chinês. Há uma lenda sobre esse quebra-cabeça que afirma que um jovem chinês, ao despedir-se de seu mestre, para  uma longa viagem pelo mundo, recebeu uma tábua quadrada cortada em 7 peças (um quadrado, um paralelogramo e cinco triângulos). Assim o discípulo poderia reorganizá-las para registrar todas as belezas da viagem. Lendas e histórias como essa sempre cercam a origem de objetos ou fatos, a respeito da qual temos pouco ou nenhum conhecimento, como é o caso do Tangram. Se é ou não uma história verdadeira, pouco importa: o que vale é a magia, própria dos mitos e lendas.

                                                        

8. A partir das informações do texto, as peças do Tangram são :

(A)  sete polígonos côncavos.

(B)  apenas triângulos isósceles.

(C)  apenas quadriláteros regulares.

(D)  dois trapézios e cinco triângulos.

(E)  dois quadriláteros e cinco triângulos.

Vejamos :

Observando a figura, de imediato podemos notar 5 triângulos isósceles,

um quadrado e um paralelogramo ou seja dois quadriláteros e cinco

triângulos.

9. Observe o Tangram, em uma possível disposição de suas peças.  

Na figura, tem-se que: 

●QS é paralelo a BD ; 

● os polígonos ABCD e OPQR são quadrados;

●S é ponto médio de CD ;

●P é ponto médio de OB ;

●O é ponto médio de BD .

Se a área do triângulo ABO é 16 cm², a área do quadrado OPQR é, em centímetros quadrados, 

(A) 2.

(B)  4.

(C)  6.

(D)  8.

(E)  10.

Vejamos : 

Como P é ponto médio de OB, então PB = PO = x.

Como O é ponto médio de da diagonal BD, também é ponto médio da

diagonal AC.

Como BO = 2x, então AO = 2x.

Se a área do triangulo ABO = 16 cm², então (2x.2x)/2 = 16 → 2x² = 16 →

x² = 8 .

Portanto a área do quadrado OPQR = x² = 8 cm²

10. A amarelinha é uma brincadeira em que, em alguns momentos, a criança deve se apoiar com os dois pés no chão e, em outros, com apenas um. Quando uma criança está equilibrada somente sobre um pé, a pressão exercida por ela sobre o chão, comparada com a pressão que é exercida quando a criança tem seus dois pés apoiados é :

(A)  quatro vezes maior.

(B)  duas vezes maior.

(C)  numericamente igual.

(D)  duas vezes menor.

(E)  quatro vezes menor.

Vejamos :

Observando a situação apresentada, de imediato podemos determinar

que quando a criança está equilibrada com somente um pé, a pressão

exercida por ela sobre o chão corresponde ao dobro comparada com a

pressão que é exercida quando a criança tem seus dois pés apoiados.