TREINAMENTO FUNÇÃO EXPONENCIAL

Questão 01.

Curva de Aprendizagem é um conceito cria­do por psicólogos que constataram a relação existen­te entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência possuída por este indivíduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem é dado pela expressão Q (t) = 700 – 400e^-0,5t, em que:

Q = quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário;

t = meses de experiência; e = 2,7183.

a)  De acordo com essa expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de experiência deverá produzir mensalmente?

b) Quantas peças um funcionário sem qualquer experiência deverá produzir mensalmente? Com­pare esse resultado com o resultado do item a. Há coerência entre eles?

Resolução :

a) para t = 2 → Q (2) = 700 – 400e^-0,5.2 = 700 – 400e^-1  = 700 – 400/2,7183 =

700 – 147,15 = 552,85 ≈ 553

b) para t = 0 → Q (0) = 700 – 400e^-0,5.0 = 700 – 400.e⁰ = 300.

Sim há coerência, pois quanto maior for a experiência maior será a produção .

Questão 02.

Em uma experiência, um animal tratado sob efeito de uma determinada droga é submetido a exames diários de controle.

A lei n(t) 1/200 . 2^t informa a quantidade n(t) da substancia, em gramas, encontrada em 100 ml de sangue, no exame realiza­do no dia t, contado a partir do início da experiência.

a) Qual foi o acréscimo na quantidade da droga encontrada no sangue do animal do inicio da experiência até o 5^odia?

b) Quantos dias deve ser administrada a droga a fim de que a quantidade encontrada (por 100 ml de sangue) seja de 10,24 g?

Resolução :

a) Como n(t) = 1/200 . 2^t , entao até o 5^o dia →

Início : n(0) = 1/200 . 2⁰ = 1/200 = 0,005 g.

5^o dia : n(5) = 1/200 . 2⁵ = 32/200 = 0,16 g.

Variaçao = 0,16 – 0,005 = 0,155g

b) Como n(t) = 1/200 . 2^t , entao qtos dias para que a quantidade da droga

seja 10,24g → n(t) = 1/200 . 2^t = 10,24 → 2^t = 10,24.200 → 2^t = 2048 →

2^t = 2¹¹ → 11 dias

Questão 03.

Um conjunto de sofás foi comprado por R$ 2000,00. Com o tempo, por descuido do comprador, o Sol foi queimando o tecido do sofá, que perdeu a cor original. Um comerciante do ramo informou ao comprador que em uma situação desse tipo a cada ano o sofá perde 20% do valor que tinha no ano anterior.

a) Faça uma tabela para representar o valor do sofá de­pois de 1, 2, 3 e 4 anos da data de sua aquisição.

b) Sabendo que o comprador se informou com o comerciante 7 anos depois da compra, que valor o sofá teria nesta data, segundo o comerciante?

Resolução :

A cada ano o sofá perde 20% restando apenas 80% = 0,8 então fica assim:

a) 1⁰ ano = 0,8 . 2000 = R$ 1600,00
    2⁰ ano = 0,8² . 2000 = R$ 1280,00
    3⁰ ano = 0,8³ .2000 = R$ 1024,00
    4⁰ ano = 0,8⁴ .2000 = R$ 819,20

b) 7⁰ ano = 0,8⁷ . 2000 = R$ 419,43

Questão 04.

Em uma região litorânea estão sendo construídos edifícios residenciais. Um biólogo prevê que a quantidade de pássaros de certa espécie irá diminuir segundo a lei:      n(t) = n₀  .4^-t/3 em que n₀ é a quantidade estimada de pássaros antes do início das construções e n(t) é a quantidade existente t anos depois. Qual é o tempo necessário para que a população de pássaros dessa espécie se reduza:

a) à metade da população existente no início das construções?

b) a oitava parte da população existente no início das construções?

Resolução :

a) Sendo n(t) = n₀  .4^-t/3, então para n(t) = n₀/2 → n₀/2  = n₀  .4^-t/3 →

1/2  = 4^-t/3 → 2^-1 = 2^-2t/3 → - 1 = - 2t/3 → 2t = 3 → t = 1,5 anos.

b) Sendo n(t) = n₀  .4^-t/3, então para n(t) = n₀/8 → n₀/8  = n₀  .4^-t/3 →

1/8  = 4^-t/3 → 2^-3 = 2^-2t/3 → - 3 = - 2t/3 → 2t = 9 → t = 4,5 anos.

Questão 05.

As leis seguintes representam as estimativas de valores (em milhares de reais) de dois apartamentos A e B (adquiridos na mesma data), decorridos t anos da data da compra:

apartamento A: V_A = 2^t+1 + 120

apartamento B: V_B = 6.2 ^t-2 + 248

a) Por quais valores foram adquiridos os apartamentos A e B, respectivamente?

b) Passados quatro anos da compra, qual deles estará valendo mais?

c) Qual é o tempo necessário (a partir da data de aquisição) para que ambos tenham iguais valores?

Resolução :

a) t = 0 → V_A = 2⁰⁺¹ + 120 → V_A = R$ 122000,00  e  V_B = 6.2 ^0-2 + 248 →

V_B = 6/4 + 248 → V_B = 1,5 + 248 → V_B = R$ 249500,00.

b) t = 4 → V_A = 2⁴⁺¹ + 120 → V_A = R$ 152000,00  e  V_B = 6.2 ^4-2 + 248 →

 V_B = 24 + 248 → V_B = R$ 272000,00 → V_B > V_A

c) t = ? para V_A = V_B → 2^t+1 + 120 = 6.2 ^t-2 + 248 →

 2^t . 2¹ + 120 = 6.2^t 2 ^-2 + 248 → 2 . 2^t  + 120 = 6.2^t /4 + 248 →

  2 . 2^t  + 120 = 3.2^t /2 + 248 → fazendo 2^t = a, vem :

  2a  + 120 = 3a/2 + 248 → 4a  + 240 = 3a + 496 → 4a – 3a = 496 – 240 →

  a = 256 → portanto 2^t = 256 → t = 8 anos

Questão 06.

Na lei n(t) = 15 000 .(3/2)^{k + t}, em que k é uma constante real, n(t) representa a população que um pequeno município terá daqui a t anos, contados a partir de hoje. Sabendo que a população atual do município é de 10 000 habitantes, determine:

a)  o valor de k;

b)  a população do município daqui a 3 anos.

Resolução :

a) População atual → n(0) = 10000 → 10000 = 15 000 .(3/2)^{k + 0} →

10 = 15(3/2)^k → 10/15 = (3/2)^k → 2/3 = (3/2)^k → (3/2)^-1 = (3/2)^k → k = - 1

b) População para  t = 3 → n(3) = 15 000 .(3/2)^{-1 + 3} → n(3) = 15 000 .(3/2)² →

n(3) = 15 000 .9/4 → n(3) = 33750

Questão 07.

A população de peixes em um lago está diminuindo devido à contaminação da água por resíduos industriais.

A lei n(t) = 5000 – 10.2^t -1  fornece uma estimativa do número de espécies vivas (n(t)) em função de número de anos (t) transcorridos após a instalação do parque industrial na região.

a)  Estime a quantidade de peixes que viviam no lago no ano da instalação do parque industrial.

b)  Algum tempo após as indústrias começarem a operar, constatou-se que havia no lago menos de 4 920 peixes. Para que valores de t vale essa condição?

c)  Uma ONG divulgou que, se nenhuma providência for tomada, em uma década (a partir do início das operações) não haverá mais peixes no lago. Tal afirmação procede?

Resolução :

a) Ano da instalação → t = 0 → n(0) = 5000 – 10.2^0 -1  → n(0) = 5000 –10/2 →

n(0) = 4995.

b) n(t) = 5000 – 10.2^t -1 < 4920 →  – 10.2^t -1 < 4920 – 5000 →

– 10.2^t -1 < - 80 (: - 10) → 2^t -1 > 8 → 2^t -1 > 2³ → t – 1 > 3 → t > 4

c) Para t = 10 → n(10) = 5000 – 10.2^10 -1 → n(10) = 5000 – 10.2⁹ →

n(10) = 5000 – 10.512 → n(10) = 5000 – 5120 → n(10) = – 120, sim

Questão 8.

A lei seguinte mostra a depreciação de um equipamento industrial:                           v(t) = 5000 . 4^-0,02t em que v(t) é o valor (em reais) do equipamento t anos após sua aquisição.

a)  Por qual valor esse equipamento foi adquirido?

b)  Para que valores de t o equipamento vale menos que R$ 2 500,00?

Resolução :

a) V(0) = 5000.4^-0,02.0 = 5000.4⁰ = R$ 5000,00

b) V(t) < 2500 ; 5000.4^-0,02t < 2500 → 4^-0,02t < 1/2 → 2^-0,04t < 2^-1
-0,04t < -1 → 0,04t > 1 → t > 1/0,04 → t > 25 anos

Questão 9.

O tempo de circulação do sangue (em segundos) de um mamífero (o tempo médio que todo o sangue leva para circular uma vez e voltar ao coração) é proporcional à raiz quarta do "peso" do corpo do mamífero, isto é,  T(M) = k . M^1/4 . Para um elefante, cujo "peso" é 5184 quilos, o tempo foi estimado em 150 segundos.

a)  Determine o valor de k.

b)  Determine o tempo aproximado para um mamífero de 16 quilos e para outro de 64 quilos.

Resolução :

a) Se para um elefante, cujo "peso" é 5184 quilos, o tempo foi estimado em 150 segundos → 150 = k . (5184)^1/4 → 150 = k . (2¹²)^1/4 →

150 = k . (2⁶.3⁴)^1/4 → 150 = k . 2.3.⁴√2² → 150 = k.6.√2 → k = 150/6√2 →

k = 25√2/2.

b) Para M = 16 kg → T(16) = 25√2/2 . (16)^1/4 → T(16) = 25√2/2 . (2⁴)^1/4 →

T(16) = 25√2/2 . 2 → T(16) = 25√2 → T(16) ≈ 25.1,4 ≈ 35 seg.

Para M = 64 kg → T(64) = 25√2/2 . (64)^1/4 → T(64) = 25√2/2 . (2⁶)^1/4 →

T(64) = 25√2/2 . 2^3/2 → T(64) = 25√2/2 . 2√2→ T(64) = 50 seg.

Questão 10.

O número de bactérias em uma colônia triplica a cada 40 minutos. Em uma experiência de laboratório, foi colocada, em tubo de ensaio, uma amostra de 500 bactérias por ml de solução.

a)  Qual é o número de bactérias existentes após duas horas do início da experiência?

b)  Qual é a lei da função que relaciona o número y de bactérias existentes na amostra e o tempo (t), em horas, decorrido do início da experiência?

Resolução :

a) Como o número de bactérias em uma colônia triplica a cada 40 minutos, então  N(t) = N₀ . 3^t, onde t varia de 40 em 40 segundos.

Para 2 horas então t = 120 seg ÷ 40 = 3 → N(3) = 500 . 3³ → N(3) = 13500

b) N(t) = N₀ . 3^3t/2

Questão 11.

No dia 1^o de janeiro, dois amigos criaram uma comunidade no Orkut. No dia seguinte, cada um dos "fundadores" convidou três novos amigos para se integrarem à comunidade. No dia 3 de janeiro, cada novo integrante convidou três novos amigos para se juntarem à comunidade e assim por diante, até o final do mês. Admitia que todos os convidados aceitem a proposta de se integrar à comunidade e que ninguém receba o convite de mais de uma pessoa.

a)  Quantos membros ingressarão na comunidade no dia 4? E no dia 5?

b)  Qual é o total de membros que a comunidade possuirá no dia 5?

c)  Qual é a lei que relaciona o número de membros (y) que ingressarão na comunidade no dia x ? (x = 1, 2, 3,..., 31).

Resolução :

a) dia 1 = 2 ; dia 2 = 6; dia 3 = 18; dia 4 = 54 e dia 5 = 162, portanto é uma progressão geométrica de razão 3.

b) 1 + 6 +18 +54 + 162 = 242 (Soma dos resultados até o quinto dia)

c) y = 2 . 3^t-1 ( a_n = a₁ . q^n-1 termo geral da PG)

Questão 12.

A temperatura Y(t) de um corpo  em função de tempo t ≥ 0, dado em minutos  varia de acordo com a expressão Y(t) = Y_a + Be^kt sendo Y_a a temperatura do meio em que se encontra o corpo e B e K constantes. Suponha que, no instante t = 0, um corpo, com uma temperatura de 75ºC, é imerso em água, que é mantida a uma temperatura de 25ºC. Sabendo que, depois de 1 minuto, a temperatura do corpo é de 50ºC, calcule o tempo para que, depois de imerso na água, a temperatura do corpo seja igual a 37,5ºC.

Resolução :

Como Y(t) = Y_a + Be^kt , sendo Y(t) de um corpo  em função de tempo t ≥ 0, Y_a a temperatura do meio em que se encontra o corpo e B e K constantes, então :

Para t = 0 → 75 = 25 + Be^k.0 → 50 = B

Para t = 1 → 50 = 25 + 50.e^k.1 → 25 = 50.e^k → 1/2 = e^k

Para t = ? → Y(t) = 37,5 → 37,5 = 25 + 50.(e^k)^t → 37,5 – 25 = 50.(1/2)^t

12,5 = 50.(1/2)^t → 12,5/50 = (1/2)^t → 1/4 = (1/2)^t → (1/2)² = (1/2)^t →

t = 2 minutos