QUESTÕES VESTIBULAR Ufjf – pism 1 2016 – TIPO ANALÍTICA - COMENTADAS

1. (Ufjf-pism 1 2016)  No gráfico a seguir, representou-se a função

f : R₊^* → R definida por f(x) = log₂x.

Define-se ainda, conforme a figura, um triângulo retângulo MNP reto em N, com os vértices M e P pertencendo à curva definida por f. A partir das informações apresentadas no gráfico de f, responda às questões a seguir detalhando os seus cálculos.                                                            

a) Qual o valor de a e b obtidos a partir do gráfico de

b) Calcule a medida da área do triângulo MNP.

c) Determine o(s) valor(es) de x tal que [f(x)]² – 5. [f(x)] = - 6

a) Se f(a) = 1, então log₂a = 1, implicando em a = 2.

 Por outro lado, se f(16) = b, então b = log₂16, ou seja, b = 4

b) A área do triângulo MNP é dada por 1/2.MN.NP = 1/2.(16-2).(4-1)= 21 u.a.

 c) Tem-se que [f(x)]² – 5. [f(x)] + 6 = 0 → (f(x) - 2)(f(x) - 3) = 0 → f(x) = 2 ou

    f(x) = 3 → log₂x = 2 ou log₂x = 3 → x = 4 ou x = 8

2. (Ufjf-pism 1 2016)  Na figura a seguir, representa-se um hexágono regular ABCDEF em que cada lado mede 12 centímetros.

                             

Determine:

a) O valor da medida do perímetro e da área do hexágono regular ABCDEF.

b) O valor das medidas das diagonais CF e CE deste hexágono regular ABCDEF.

c) A razão entre as medidas dos comprimentos dos círculos circunscrito e inscrito, ao hexágono regular ABCDEF.

 

  

 a) O perímetro do hexágono é igual a 6.12 = 72 cm, e sua área é dada por

3.12².√3/2 = 216√3 cm².

b) A diagonal CF corresponde ao diâmetro do círculo circunscrito a

ABCDEF. Logo, desde que o raio do círculo circunscrito ao hexágono e o

lado do hexágono são congruentes, temos CF = 24 cm.

Sabendo que CFE = 60⁰ do triângulo retângulo CFE vem sen60⁰ = CE/CF

√3/2 = CE/24 → CE = 12√3 cm.

c) Sejam R e r, respectivamente, os raios dos círculos circunscrito e

inscrito. Sabendo que R = 12  e r = 6√3 temos 2πR/2πr = R/r = 2√3/3

  

QUESTÕES VESTIBULAR Ufjf – pism 3 2016 - COMENTADAS

1. (Ufjf-pism 3 2016)  Na fase final do processo seletivo para o Mestrado em Matemática de uma certa universidade há 10 candidatos. Nessa fase, cada um dos 5 professores do corpo docente do departamento deve escolher apenas um dos candidatos para orientar, formando, assim, uma dupla do tipo (professor, aluno). Os cinco escolhidos serão os aprovados no processo e os demais serão reprovados. Qual é a probabilidade de João, um dos candidatos, ser aprovado para o Mestrado, e Maria, uma das professoras, ser a orientadora de João?

a) 1/2   

b) 1/0   

c) 1/3024   

d) 1/6084   

e) 1/30240   

  

Resposta da questão 1: [B]

O número de casos favoráveis corresponde ao número de arranjos

simples de 9 objetos tomados 4 a 4, isto é, A_9,4 = 9!/5!. Por outro lado, o

número de casos possíveis é igual ao número de arranjos simples de 10

objetos tomados 5 a 5, ou seja, A_10,5 = 10!/5!.  Portanto, a probabilidade

pedida é (9!/5!)/(10!/!) = 1/10  

2. (Ufjf-pism 3 2016)  Dados os pontos A(1, 2), B(3, 5), C(1, 1) e D(, 3 considere as afirmações:

I. Os pontos A, B  e D são colineares.

II. Uma reta perpendicular à reta determinada pelos pontos A e B tem coeficiente angular m = -2/3.

III. A distância do ponto A à reta determinada pelos pontos B e C é 10 unidades de comprimento.

É CORRETO afirmar que:

a) Apenas a afirmação II é verdadeira.   

b) Apenas a afirmação III é verdadeira.   

c) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.   

d) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.   

e) Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.    

  

Resposta da questão 2:[A]

[I] Falsa. De fato, pois

| 1   3   2   1 |

|                   |  = 5 + 9 + 4 – 6 – 10 – 3 = -1 ǂ 0.

| 2   5   3   2 |

[II] Verdadeira. O coeficiente angular da reta AB é m_AB = (5-2)/(3-1) = 3/2.

Logo, qualquer reta perpendicular à reta AB tem coeficiente angular igual

a -2/3.   

[III] Falsa. A equação da reta da reta BC é  y – 1 = (5 - 1)(x - 1)/(3 - 1) →

2x – y – 1 = 0. Portanto, a distância do ponto A à reta BC é igual a 

d = |2.1 – 2 - 1|/√[2² + (-1)²] = 1/√5 = √5/5 u.c.

3. (Ufjf-pism 3 2016)  Considere as afirmações:

I. O polinômio p(x) = 2x⁵ – 8x⁴ + x + 1 possui, pelo menos, uma raiz racional.

II. Se r é raiz do polinômio t(x) = x³ + 2x² + x + 15, então 2r é raiz do polinômio q(x) = 2x³ + 4x² + 2x + 30. 

III. O polinômio s(x) = x + 1 é fator do polinômio u(x) = 7x⁸ + 2x⁴ – 4x² + 6x + 1.

É CORRETO afirmar que:

a) Apenas a afirmação I é verdadeira.   

b) Apenas a afirmação II é verdadeira.   

c) Apenas a afirmação III é verdadeira.   

d) Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.   

e) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.   

  

Resposta da questão 3: [C]

[I] Falsa. Pelo Teorema das Raízes Racionais, se p possuir tais raízes, então elas serão elementos do conjunto {±1, ±1/2}. Mas, por inspeção, segue que nenhum dos elementos desse conjunto é raiz de p e, portanto, p não possui raízes racionais.   

[II] Falsa. Como q(x) = 2.t(x), segue que toda raiz de t também é raiz de q. Por outro lado, o fato de r ser raiz de t não implica em 2r ser raiz de q.      

[III] Verdadeira. De fato, pois s é fator de u se, e somente se,

u(-1) = 7.(-1)⁸ + 2.(-1)⁴ – 4.(-1)² + 6.(-1) + 1 = 0  

4. (Ufjf-pism 3 2016)  Sabendo-se que 1 + i é uma das raízes do polinômio p(x) = x⁵ – 2x⁴ + 2x³ – x² + 2x – 2, é correto afirmar que:

a) O polinômio não possui raízes reais.   

b) O polinômio possui exatamente duas raízes racionais.   

c) O polinômio possui exatamente duas raízes distintas.   

d) O polinômio possui quatro raízes complexas não reais.   

e) O polinômio possui exatamente quatro raízes distintas.   

  

Resposta da questão 4:[D]

Se 1 + i é raiz de p, então 1 - i também é raiz. Em consequência, p é

divisível por x² – 2x + 2. Assim, temos p(x) = (x³ - 1).(x² – 2x + 2) =

(x - 1).(x² + x + 1)(x² – 2x + 2) e, portanto, como x² + x + 1 = 0 possui duas

raízes complexas não reais, segue que p possui apenas uma raiz real e

quatro raízes complexas não reais.  

5. (Ufjf-pism 3 2016)  Durante uma aula de matemática, uma professora lançou um desafio para seus alunos. Eles deveriam descobrir o menor de três números naturais usando apenas as seguintes informações:

- A soma dos números é 54.

- A soma dos dois números menores menos o maior número é 10

- Os números divididos, respectivamente, o menor por 5, o intermediário por 7 e o maior por 9 deixam os mesmos restos e quocientes.

Determine o menor dos três números:

a) 6   

b) 8   

c) 10   

d) 12   

e) 14   

 

Resposta da questão 5:[E]

Sejam x, y e z números naturais, com x < y < z. Tem-se que  

X + y + z = 54 e x + y – z = 10 → x + y = 32 e z = 22

Além disso, vem x = 5q + r, y = 7q + r e z = 9q + r, sendo q, r ϵ N e r < 5.

Ora, mas z = 22 implica em q = 2 e r = 4. Portanto, segue que a resposta é

X = 5.2 + 4 = 14.  

QUESTÕES VESTIBULAR Ufjf - pism 2 2016 - COMENTADAS

1. (Ufjf-pism 2 2016)  Uma artesã fabricou um tapete bicolor formado por quadrados concêntricos. Ela começou com um quadrado preto de lado a centímetros. Em seguida, costurou tecido branco em volta do preto de forma a ter um quadrado de lado 2a concêntrico ao inicial. Continuou o processo alternando tecido preto e branco conforme a figura abaixo:

                      

Sabendo que ela terminou o tapete na 50^a etapa, qual foi a área, em centímetros quadrados, de tecido preto utilizada?

a) 625 a²   

b) 750 a²   

c) 1225 a²   

d) 1250 a²   

e) 2500 a²   

  

Resposta da questão 1:[C]

Seja S_i a área de tecido preto utilizada no quadrado i, com i = 1, 2, ... , 50.

Observando que S₂ = a² = C_2,2  a² ; S₄ = 6a² = C_4,2  a² ; S₆ = 15a² = C_6,2  a² e

S₈ = 28a² = C_8,2 ,a² , podemos concluir que S₅₀ = C_50,2  a² = 1225 a² .

A sequência S₂, S₄, ..., S₅₀ é uma progressão aritmética de segunda

ordem.

2. (Ufjf-pism 2 2016)  São dados dois cones equiláteros C₁ e C₂ tais que a área total de C₂ é o dobro da área total de C₁ e que o raio da base de C₁  é 3 cm. Sabendo que em um cone equilátero, a geratriz é o dobro do raio da base, o volume do cone C₂, em centímetros cúbicos, é :

a) 9√3 π   

b) 9√10 π      

c) 18√3 π      

d) 18√6 π      

e) 54√6 π      

  

Resposta da questão 2:[D]

Sejam r₁ e r₂ os raios das bases dos cones. Tem-se que 3π.r₂² = 2.3π.3² →

r₂  = 3√2 cm. Portanto, a resposta é √3/3.π.(3√2)³ = 18√6π cm³

  

3. (Ufjf-pism 2 2016)  Considere uma esfera de raio 2 cm com área total A e volume V. Suponha que os valores y, A e V formem uma progressão geométrica nessa ordem. Em centímetros, quanto vale y ?

a) 3π/   

b) 8π/3   

c) 8π   

d) 24π   

e) 96π   

  

Resposta da questão 3:[D]

Se y, A e V formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, então

A² = y.V → (4π.r²) = y.4π/3.r³ → 16π².r⁴ = y.4π/3.r³ → y = 12πr = 24π cm

  

4. (Ufjf-pism 2 2016)  Seja 0 ≤ x ≤ π/2 uma medida de ângulo em radianos tal que cosx + senx = √5/2 e cosx - senx = √3/2. O valor de tg 2x é:

a) 4 - √15   

b) √15/15   

c) √15/4   

d) √15   

e) 4√15   

  

Resposta da questão 4: [B]

Somando as duas equações, obtemos cosx = (√5 + √3)/4.

Logo, vem senx = (√5 - √3)/4.

Como tgx = senx/cosx, segue que tgx = 4 - √15.

Finalmente, sabendo que tg2x = 2tgx/(1 – tg²x), encontramos

tg2x = 2(4 - √15)/[1 – (4 - √15)²] = √15/15

5. (Ufjf-pism 2 2016)  O gráfico a seguir apresenta a variação da cotação do dólar dos EUA em 12 dias úteis seguidos do mês de setembro de 2015.

Calculando a média, a moda e a mediana da amostra de cotações do dólar nesse período, podemos afirmar que:

a) Média < Mediana < Moda   

b) Média < Moda = Mediana   

c) Mediana < Média < Moda   

d) Mediana < Moda < Média   

e) Moda = Mediana < Média   

 

Resposta da questão 5:[A]

A média, Ma é dada por : Ma = (3,73 + 3,78 + 3,79 + 3,80 + 3,80 + 3,84 + 3,86

+ 3,87 + 3,87 + 3,87 + 3,90 + 3,90)/12 → Ma = 46,01/12 ≈ 3,83

Escrevendo as cotações em ordem crescente, temos

3,73; 3,78; 3,79; 3,80; 3,80; 3,84; 3,86; 3,87; 3,87; 3,87; 3,90; 3,90

Logo, a mediana, Md é igual a : Md = (3,84 + 3,86)/2 = 3,85

A moda, Mo, é a cotação mais frequente, ou seja, Mo = 3,87

Portanto, segue que Ma < Md < M0