1. (Ufjf-pism 3 2016) Na fase final do processo seletivo para o Mestrado
em Matemática de uma certa universidade há 10 candidatos. Nessa fase, cada um
dos 5 professores do corpo docente do departamento deve escolher apenas um dos
candidatos para orientar, formando, assim, uma dupla do tipo (professor,
aluno). Os cinco escolhidos serão os aprovados no processo e os demais serão
reprovados. Qual é a probabilidade de João, um dos candidatos, ser aprovado
para o Mestrado, e Maria, uma das professoras, ser a orientadora de João?
a) 1/2
b) 1/0
c) 1/3024
d) 1/6084
e) 1/30240
Resposta da questão 1: [B]
O número de casos favoráveis corresponde
ao número de arranjos
simples de 9 objetos tomados 4 a 4, isto é, A9,4
= 9!/5!. Por outro lado, o
número de casos possíveis é igual ao
número de arranjos simples de 10
objetos tomados 5 a 5, ou seja, A10,5
= 10!/5!. Portanto, a
probabilidade
pedida é (9!/5!)/(10!/!) = 1/10
2. (Ufjf-pism 3 2016) Dados os pontos A(1, 2), B(3, 5), C(1, 1) e D(, 3
considere as afirmações:
I. Os pontos A, B e D são colineares.
II. Uma reta perpendicular à
reta determinada pelos pontos A e B tem coeficiente angular m = -2/3.
III. A distância do ponto A à
reta determinada pelos pontos B e C é 10 unidades de comprimento.
É CORRETO afirmar que:
a) Apenas a afirmação II é verdadeira.
b) Apenas a afirmação III é
verdadeira.
c) Apenas as afirmações I e II
são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações I e III
são verdadeiras.
e) Apenas as afirmações II e III
são verdadeiras.
Resposta da questão 2:[A]
[I] Falsa. De fato, pois
| 1
3 2 1 |
| | = 5 + 9 + 4 – 6 – 10 – 3 = -1 ǂ 0.
| 2
5 3 2 |
[II] Verdadeira. O coeficiente angular da reta AB é mAB
= (5-2)/(3-1) = 3/2.
Logo, qualquer reta perpendicular à reta AB tem coeficiente
angular igual
a -2/3.
[III] Falsa. A equação da reta da reta BC é y – 1 = (5 - 1)(x - 1)/(3 - 1) →
2x – y – 1 = 0. Portanto, a distância do
ponto A à
reta BC é
igual a
d = |2.1 – 2 - 1|/√[22 + (-1)2]
= 1/√5 = √5/5 u.c.
3. (Ufjf-pism 3 2016) Considere as afirmações:
I. O polinômio p(x) = 2x5
– 8x4 + x + 1 possui, pelo menos, uma raiz racional.
II. Se r é raiz do polinômio t(x)
= x3 + 2x2 + x + 15, então 2r é raiz do polinômio q(x) =
2x3 + 4x2 + 2x + 30.
III. O polinômio s(x) = x + 1
é fator do polinômio u(x) = 7x8 + 2x4 – 4x2 +
6x + 1.
É CORRETO afirmar que:
a) Apenas a afirmação I é
verdadeira.
b) Apenas a afirmação II é
verdadeira.
c) Apenas
a afirmação III é verdadeira.
d) Apenas as afirmações II e III
são verdadeiras.
e) Apenas as afirmações I e II
são verdadeiras.
Resposta da questão 3: [C]
[I] Falsa. Pelo Teorema das Raízes
Racionais, se p possuir tais raízes, então elas serão elementos do
conjunto {±1, ±1/2}. Mas, por inspeção, segue que nenhum dos elementos
desse conjunto é raiz de p e, portanto, p não possui raízes racionais.
[II] Falsa. Como q(x) = 2.t(x), segue que toda raiz
de t
também é raiz de q. Por outro lado, o fato de r ser raiz de t não implica em 2r ser raiz de q.
[III] Verdadeira. De fato, pois s é fator de u se, e somente se,
u(-1) = 7.(-1)8 + 2.(-1)4
– 4.(-1)2 + 6.(-1) + 1 = 0
4. (Ufjf-pism 3 2016) Sabendo-se que 1 + i é uma das raízes do polinômio p(x)
= x5 – 2x4 + 2x3 – x2 + 2x – 2, é correto afirmar que:
a) O polinômio não possui raízes
reais.
b) O polinômio possui exatamente
duas raízes racionais.
c) O polinômio possui exatamente
duas raízes distintas.
d) O polinômio possui quatro raízes complexas não reais.
e) O polinômio possui exatamente
quatro raízes distintas.
Resposta da questão 4:[D]
Se 1 + i é raiz de p, então 1 -
i também é raiz. Em consequência, p é
divisível por x2 – 2x + 2. Assim, temos
p(x) = (x3 - 1).(x2 – 2x + 2) =
(x - 1).(x2 + x + 1)(x2 – 2x
+ 2) e, portanto, como x2 + x + 1 = 0 possui duas
raízes complexas não reais, segue que p possui apenas
uma raiz real e
quatro raízes complexas não reais.
5. (Ufjf-pism 3 2016) Durante uma aula de matemática, uma professora lançou
um desafio para seus alunos. Eles deveriam descobrir o menor de três números
naturais usando apenas as seguintes informações:
- A soma dos números é 54.
- A soma dos dois números
menores menos o maior número é 10
- Os números divididos,
respectivamente, o menor por 5, o intermediário por 7 e o maior por 9 deixam os
mesmos restos e quocientes.
Determine o menor dos três números:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
Resposta da questão 5:[E]
Sejam x,
y e z números naturais, com x < y < z. Tem-se
que
X + y + z = 54 e x + y – z = 10 → x + y =
32 e z = 22
Além disso, vem x = 5q + r, y = 7q + r e z
= 9q + r, sendo q, r ϵ N e r < 5.
Ora, mas z = 22 implica em q = 2 e r = 4.
Portanto, segue que a resposta é
X = 5.2 + 4 = 14.
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