QUESTÕES VESTIBULAR Ufjf – pism 2 2016 – TIPO ANALÍTICA - COMENTADAS

1. (Ufjf-pism 2 2016)  Na figura abaixo, ABCD é um tetraedro regular de lado "l" e N é um ponto sobre a aresta AC tal que 2AN = NC.

                               

a) Calcule DN.

b) Calcule a área do triângulo BDN.

  

  a) Seja M o ponto médio de AC. Desde que 2AN = NC e ADC é um

   triângulo equilátero de lado "l" temos DM = l√3/2 e MN = AM – NA =

   l/2 - l/3 = l/6.

   Portanto, do triângulo retângulo DMN, pelo Teorema de Pitágoras, vem : 

DN² = DM² + MN² → DN² = (l√3/2)² + (l/6)² → DN² = 28l²/36 → DN = l√7/3

     b) É fácil ver que o triângulo BDN é isósceles. Se P é o ponto médio de

     BD, então, pelo Teorema de Pitágoras, segue que :   

  BN² = BP² + NP² → (l√7/3)² = (l/2)² + NP² → NP² = 19l²/36 → NP = l√19/6

     Em consequência, a resposta é (BDN) = 1/2 . BD . NP = √19l²/12

  

2. (Ufjf-pism 2 2016)  Seja ABC um triângulo cujas medidas dos ângulos internos formam uma progressão aritmética não constante e cujos lados AB e AC têm medidas √6 cm e 3 cm, respectivamente.

a) Prove que um dos ângulos internos desse triângulo mede 60⁰.

b) Suponha que o ângulo ABC seja o que mede 60⁰. Determine a medida do ângulo ACB.

c) Com as hipóteses do item anterior, determine o seno do ângulo BAC.

 

a) Sejam Ɵ – r, Ɵ e Ɵ + r, os ângulos internos do triângulo ABC.

    Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer   

     mede 180⁰ temos Ɵ – r + Ɵ + Ɵ + r = 180⁰ → Ɵ = 60⁰ .

     b) Pela Lei dos Senos, vem :

     AC/senABC = AB/senACB → 3/sen60⁰ = √6/senACB → senACB = √2/2

 Logo, como ACB = 135⁰ não convém, só pode ser ACB = 45⁰  

    c) De acordo com (b), segue que BAC = 180⁰ - (ABC + ACB) = 75⁰

    Portanto, lembrando que sen(a + b) = senacosb + senbcosa,  temos

 sen75⁰ = sen(45⁰ + 30⁰) = sen30⁰ cos45⁰ + sen45⁰ cos30⁰ = (√2 + √6)/4