1. (Ufjf-pism 3 2016) Considere o sistema dado pelas equações:
x – 3y + 4z =
3 ; 2x – 5y + 10z = 8 e x – y +(a2 - 1)z = a + 10
a) Determine o(s) valor(es) de a para que o sistema seja possível e
determinado e encontre seu conjunto solução.
O
sistema é possível e determinado se, e somente se,
| 1 -3 4
|
| 2 -5 10
| ǂ 0 → -5(a2 - 1) –
30 – 8 + 20 + 10 + 6(a2 - 1) ǂ 0
| 1 -1 a2-1
|
a2 ǂ 9 → a ǂ ± 3
Tomando
a matriz ampliada do sistema e aplicando as operações
elementares sobre matrizes, obtemos
1
-3 4 3 1 -3
4 3
2 -5
10 8 ↔
0 1 2
2 L2 ↔ (-2).L1
+ L2
1 -1
a2-1 a+10 0 2
a2-5 a+7 L3 ↔ (-1).L2 + L3
1
-3 4 3
0 1
2 2
0 0
a2-9 a+3 L3 ↔ (-2).L2 + L3
Em
consequência, o conjunto solução é :
S = { ((9a-37)/(a-3) ; (2a-8)/(a-3) ; 1/(a-3)); a ɛ R e a ǂ 3}
b) Determines o(s) valor(es)
de a para que o sistema seja possível e indeterminado.
O sistema é possível e indeterminado se, e somente se, a2 – 9 = 0 e
a + 3 = 0, isto é, se a = - 3
2. (Ufjf-pism 3 2016) Responda:
a) Quantos números inteiros
positivos de até três algarismos começando com um número par são múltiplos de 5?
Queremos
determinar quantos são os números inteiros positivos de 1, 2 ou 3 algarismos que
começam por um algarismo par e são múltiplos de 5.
É fácil ver que não existem números de um algarismo
que satisfazem as condições (zero não é positivo e 5 não é par).
Para os números de 2 algarismos, temos 4 possibilidades para o algarismo das dezenas e duas
possibilidades para o algarismo das unidades.
Assim, pelo Princípio Multiplicativo, existem 4.2 =
8 números.
Para os números de 3 algarismos, existem 4 possibilidades
para o algarismo das centenas, 10 possibilidades para o algarismo das dezenas e 2 possibilidades
para o algarismo das unidades.
Logo, pelo Princípio Multiplicativo, há 4.10.2 = 80
números.
Em consequência, pelo Princípio Aditivo, segue que
a resposta é 8 + 80 = 88.
b) Quantos números inteiros
positivos com três algarismos distintos são múltiplos de 5 e têm a soma de seus
algarismos igual a um número ímpar?
Há
somente dois casos a considerar: os três algarismos são ímpares ou dois
algarismos são pares e o outro é ímpar.
No primeiro caso, existe uma possibilidade para o
algarismo das unidades, 4 possibilidades para o algarismo das centenas e 3 possibilidades
para o algarismo das dezenas.
Logo, pelo Princípio Multiplicativo, temos 4.3 = 12
números.
No segundo caso, considerando os números que
terminam em zero, temos 2 maneiras de escolher em que posição ficará o outro
algarismo par. Daí, existem 4 maneiras de escolher esse algarismo e 5 maneiras de
escolher o algarismo ímpar.
Assim, pelo Princípio Multiplicativo, temos 2.4.5 = 40
números.
Ademais, considerando os números que terminam em 5 existem 4 possibilidades
para o algarismo das centenas e 4 maneiras de escolher o algarismo das dezenas.
Donde, pelo Princípio Multiplicativo, segue que
existem 4.4 = 16 números.
Portanto,
pelo Princípio Aditivo, temos 12 + 40 + 16 = 68 números que
satisfazem
as condições.
3. (Ufjf-pism 3 2016) Considere os pontos A(2, 0), B(-1, √3) e C(-1, -√3)
em um plano cartesiano.
a) Determine o ângulo ABC.
Tem-se que :
dAB = √[(-1 - 2)2 +
(√3 - 0)2] = 2√3 ; dAC = √[(-1 - 2)2 + (-√3 -
0)2] = 2√3 e
dBC = √[(-1 - (-1))2
+ (-√3 - √3)2] = 2√3 . Desse modo, o triângulo ABC é
equilátero e, portanto, ABC = 600.
b) Calcule a área do triângulo
ABC.
A área do triângulo ABC é igual a (2√3)2.√3/4
= 3√3 u.a.
4. (Ufjf-pism 3 2016) Considere a circunferência C: (x - 1)2 +
(y + 3)2 = 9.
a) Determine se o ponto A(4,
-3) é interior, exterior ou pertencente à circunferência C.
Considere f(x, y) = (x - 1)2 + (y + 3)2 – 9.
Logo, como f(4, -3) = (4 - 1)2 + (-3 +
3)2 – 9 = 0, segue que o ponto A
pertence a C.
b) Encontre o(s) valor(es) de 
para que a
circunferência C e a reta y = ax possuam dois pontos em comum.
para que a
circunferência C e a reta y = ax possuam dois pontos em comum.
Para que a circunferência C e a reta y = ax
sejam secantes, a equação
(x - 1)2 + (ax + 3)2 = 9 → (a2 + 1)x2
+ (6a - 2)x + 1 = 0 deve possuir duas
raízes reais e distintas, isto é, seu discriminante for positivo.
Logo, temos (6a - 2)2
– 4.(a2 + 1).1 > 0 → a < 0 ou a
> 3/4
5. (Ufjf-pism 3
2016) Sabendo que o polinômio p(x) = ax3 + bx
+ 2 é divisível por (x + 1)2, determine a e b.
Se p é divisível por (x + 1)2, então :
ax3
+ bx + 2 = (x + 1)2.(ax – 2a) + (3a + b)x + 2a + 2
Portanto,
temos r(x) = (3a + b)x + 2a + 2 = 0, ou seja, 3a
+ b = 0 e 2a + 2 = 0
implicando
em a = -1 e b = 3.
Na questão 12 (Ufjf-pism 3 2016) Considere os pontos e em um plano cartesiano.
ResponderExcluirSe (-1-2)^2 deve ser igual a -3^2=9
√9=3+√3= 3√3
Tem um erro na questão
Oi, boa tarde.
ExcluirdAB = √[(-1 - 2)2 + (√3 - 0)2] = √[(-3)2 + (√3)2] = √12 = 2√3 ;
dAC = √[(-1 - 2)2 + (-√3 - 0)2] = √[(-3)2 + (-√3)2] = √12 = 2√3 e
dBC = √[(-1 - (-1))2 + (-√3 - √3)2] = √[(0)2 + (-2√3)2] = √12 = 2√3 .
Desse modo, o triângulo ABC é equilátero e, portanto, o ângulo ABC = 600.
Observou ?
Prof. Bolinha