QUESTÕES VESTIBULAR Ufjf – pism 1 2016 – TIPO ANALÍTICA - COMENTADAS

1. (Ufjf-pism 1 2016)  No gráfico a seguir, representou-se a função

f : R₊^* → R definida por f(x) = log₂x.

Define-se ainda, conforme a figura, um triângulo retângulo MNP reto em N, com os vértices M e P pertencendo à curva definida por f. A partir das informações apresentadas no gráfico de f, responda às questões a seguir detalhando os seus cálculos.                                                            

a) Qual o valor de a e b obtidos a partir do gráfico de

b) Calcule a medida da área do triângulo MNP.

c) Determine o(s) valor(es) de x tal que [f(x)]² – 5. [f(x)] = - 6

a) Se f(a) = 1, então log₂a = 1, implicando em a = 2.

 Por outro lado, se f(16) = b, então b = log₂16, ou seja, b = 4

b) A área do triângulo MNP é dada por 1/2.MN.NP = 1/2.(16-2).(4-1)= 21 u.a.

 c) Tem-se que [f(x)]² – 5. [f(x)] + 6 = 0 → (f(x) - 2)(f(x) - 3) = 0 → f(x) = 2 ou

    f(x) = 3 → log₂x = 2 ou log₂x = 3 → x = 4 ou x = 8

2. (Ufjf-pism 1 2016)  Na figura a seguir, representa-se um hexágono regular ABCDEF em que cada lado mede 12 centímetros.

                             

Determine:

a) O valor da medida do perímetro e da área do hexágono regular ABCDEF.

b) O valor das medidas das diagonais CF e CE deste hexágono regular ABCDEF.

c) A razão entre as medidas dos comprimentos dos círculos circunscrito e inscrito, ao hexágono regular ABCDEF.

 

  

 a) O perímetro do hexágono é igual a 6.12 = 72 cm, e sua área é dada por

3.12².√3/2 = 216√3 cm².

b) A diagonal CF corresponde ao diâmetro do círculo circunscrito a

ABCDEF. Logo, desde que o raio do círculo circunscrito ao hexágono e o

lado do hexágono são congruentes, temos CF = 24 cm.

Sabendo que CFE = 60⁰ do triângulo retângulo CFE vem sen60⁰ = CE/CF

√3/2 = CE/24 → CE = 12√3 cm.

c) Sejam R e r, respectivamente, os raios dos círculos circunscrito e

inscrito. Sabendo que R = 12  e r = 6√3 temos 2πR/2πr = R/r = 2√3/3