QUESTÕES FAC. ALBERT EINSTEIN - MEDICINA 2017.2 - COMENTADAS

1. (Fac. Albert Einstein - Medicina 2017) Sejam A, B e C subconjuntos do conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, ... } de modo que:

- A é o conjunto dos números de 3 algarismos, todos distintos.

- B é o conjunto dos números que possuem exatamente 1 algarismo 5.

- C é o conjunto dos números pares.

E sejam os conjuntos: P = A Ո C ; Q = A^C Ո B^C e R = B U C^C , onde a notação X^C indica o conjunto complementar do conjunto X.

São elementos respectivos dos conjuntos P, Q e R os números :

a) 204, 555, 550   

b) 972, 1234, 500   

c) 1234, 505, 5555   

d) 204, 115, 550   

  

Resposta da questão 1:[B]

Como 550 não pertence a B e 550 não pertence a C^C, temos 550 não pertence a R.  Ademais, 1234 não pertence a A  implica em 1234 não pertence a P.  Portanto, sendo 972 um número par de três algarismos, 1234 um número de quatro algarismos que não possui nenhum dígito 5 e 500 um número que apresenta um único algarismo 5, segue o resultado.  

2. (Fac. Albert Einstein - Medicina 2017)  Dois estatísticos estão em uma sala e a média de suas idades é 37 anos. Um terceiro estatístico entra na sala e a média das idades dessas três pessoas passa a ser 39 anos. Um quarto estatístico entra na sala e a média passa a ser 41 anos. Esse processo continua e a cada estatístico que entra na sala, a média das idades de todos eles aumenta em 2 anos. O número de estatísticos que agora estão na sala, sabendo que o último a entrar tem 83 anos, é :

a) 13   

b) 15   

c) 17   

d) 19   

  

Resposta da questão 2:[A]

Sejam x₁, x₂, x₃, ... , x_n as idades dos n estatísticos. Logo, para n ≥ 2,

temos  Ʃ_i=1² x_i = 37.2 = 74 ; Ʃ_i=1³ x_i = 39.3 = 117 ; Ʃ_i=1⁴ x_i = 41.4 = 164 ; ... ;

Ʃ_i=1ⁿ x_i = (2n + 33).n .

Portanto, sendo x_n = Ʃ_i=1ⁿ x_i  - Ʃ_i=1^n-1 x_i ,  com n ≥ 3 uma progressão

aritmética de primeiro termo 43 e razão 4, vem  83 = 43 + (n-3).4 → n = 13

3. (Fac. Albert Einstein - Medicina 2017)  A função modular f(x) = |ax + b|, a ɛ R*, b ɛ R e a função quadrática g(x) = - 0,5x² + 2x + 6 têm dois pontos em comum, conforme o gráfico.

                             

Um desses pontos corresponde à menor raiz da função g e o outro ponto corresponde ao maior valor dessa função. O produto ab vale :

a) 4   

b) 6   

c) 8   

d) 10   

  

Resposta da questão 3: [C]

Reescrevendo-se a lei da função g sob a forma g(x) = -1/2.(x - 6)(x + 2),

podemos concluir que suas raízes são x = - 2 e x = 6. Ademais, a abscissa

do vértice é x_V = (-2 + 6)/2 = 2 e, portanto, seu valor máximo é

y_V = -1/2.(2 - 6)(2 + 2) = 8.

Desse modo, como o gráfico de f passa pelo ponto (- 2, 0), encontramos

|a.(-2) + b| = 0 → b = 2a .

Sabendo ainda que o outro ponto de interseção dos gráficos é (2, 8),

temos |a.2 + b| = 0 → |4a| = 8 → a = ± 2.

Por conseguinte, vem (a, b) = (-2, -4) ou (a, b) = (2, 4).  Daí, em qualquer

caso, segue que ab = 8. 

4. (Fac. Albert Einstein - Medicina 2017)  Uma matriz quadrada de ordem n é chamada triangular superior se a_ij = 0 para i > j. Os elementos de uma matriz triangular superior T, de ordem 3, onde i ≤ j, são obtidos a partir da lei de formação t_ij = 2i² – j. Sendo A = [ - 1   1   1 ] uma matriz de ordem 1x3 e A^t sua transposta, o produto A.T.A^t é a matriz 1x1 cujo único elemento vale :

a) 0   

b) 4   

c) 7   

d) 28   

  

Resposta da questão 4:[D]

               

                        

5. (Fac. Albert Einstein - Medicina 2017)  Oito adultos e um bebê irão tirar uma foto de família. Os adultos se sentarão em oito cadeiras, um adulto por cadeira, que estão dispostas lado a lado e o bebê sentará no colo de um dos adultos. O número de maneiras distintas de dispor essas 9 pessoas para a foto é :

a) 8.8!   

b) 9!   

c) 9.8⁸   

d) 8⁹   

Resposta da questão 5:[A]

Existem P₈ = 8! maneiras de acomodar os adultos e 8 maneiras de escolher o colo em que sentará o bebê. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 8.8!   

6. (Fac. Albert Einstein - Medicina 2017)  Seja uma reta r e os planos secantes α e β, de modo que α Ո β = r. Seja s uma reta paralela à reta r, de modo que s Ո β = ϕ. Seja t uma reta secante ao plano β no ponto P, de modo que P ɛ r. De acordo com essas informações, necessariamente :

a) s Ո α = s   

b) t Ո β = ϕ   

c) P não pertence a α   

d) r Ո t ǂ ϕ   

  

Resposta da questão 6:[D]

Com as informações disponíveis, tem-se que a interseção das retas r e t é o ponto P. Logo, necessariamente, vem r Ո t ǂ ϕ. Ademais, sendo r a interseção dos planos α e β se P ɛ r, então P ɛ α. Sabendo ainda que t é secante a β em P, é imediato que t Ո β = {P}.       

Finalmente, é possível termos s paralela a r e fora de α, de tal sorte que    s Ո α = ϕ.  

7. (Fac. Albert Einstein - Medicina 2017)  A reta f que passa pelo ponto A(0, 8) e a reta g que passa pelos pontos E(0, - 4) e C(4, 0) são perpendiculares e interceptam-se no ponto B, conforme mostra a figura.

                                        

Sendo D(0, 0) a origem do sistema de coordenadas cartesianas, a área do polígono ABCD é :

a) 16   

b) 24   

c) 28   

d) 32   

  

Resposta da questão 7:[C]

Como CDE = 90⁰ e CD = DE = 4, temos DEC = DCE = 45⁰. Assim,

chamando de H o ponto de interseção da reta f com o eixo das abscissas,

vem BHC = 45⁰, pois os ângulos DCE e BCH são opostos pelo vértice. Em

consequência, o triângulo ADH é retângulo isósceles, implicando em   

H(8, 0). Portanto, sendo BC = BH = 2√2, segue que a resposta é dada por

ADH – HBC = ½ . 8² - ½ .(2√2)² = 28 u.a.

  

8. (Fac. Albert Einstein - Medicina 2017)  O resto da divisão de um polinômio do segundo grau P pelo binômio (x + 1) é igual a 3. Dado que P(0) = 6 e P(1) = 5, o valor de P(3) é :

a) - 7   

b) - 9   

c) 7   

d) 9   

  

Resposta da questão 8:[B]

Seja P(x) = ax² + bx + c. Se o resto da divisão de P pelo binômio x + 1 é

igual a 3, então, pelo Teorema do Resto, segue que a – b + c = 3.

Ademais, sendo P(0) = 6 e P(1) = 5, temos c = 6 e a + b + c = 5. Daí, vem     

a = b = - 3 e 2b = 2, implicando em b = 1 e a = - 2.   

Em consequência, a resposta é P(3) = -2.3² + 1.3 + 6 = - 9  

9. (Fac. Albert Einstein - Medicina 2017)  No pentágono ABCDE da figura, o lado AB mede 3 cm o lado AE mede 8 cm; o lado CD mede 4 cm e os ângulos BEC, A  e D medem 30⁰, 60⁰ e 90⁰ respectivamente.

                        

Sendo a área do triângulo BCE igual a 10,5 cm² a medida, em cm, do lado DE é :

a) √18   

b) √20   

c) √22   

d) √24   

  

Resposta da questão 9:[B]

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo ABE temos  BE² = 3² + 8² –

- 2.3.8.cos 60⁰ → BE² = 9 + 64 - 2.3.8. 1/2 → BE = 7 cm.

Desse modo, como a área do triângulo BCE  é igual a 10,5 cm², vem

1/2 . 7 . CE. sen 30⁰ = 10,5 → CE = 6 cm.

Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, encontramos DE² = 6² – 4² →

DE² = 36 – 16 → DE² = 20 → DE = √20 cm.

10. (Fac. Albert Einstein - Medicina 2017)  Um torneio de xadrez terá alunos de 3 escolas. Uma das escolas levará 120 alunos; outra, 180 alunos; e outra, 252 alunos. Esses alunos serão divididos em grupos, de modo que cada grupo tenha representantes das três escolas, e o número de alunos de cada escola seja o mesmo em cada grupo. Dessa maneira, o maior número de grupos que podem ser formados é :

a) 12   

b) 23   

c) 46   

d) 69   

Resposta da questão 10: [A]

O resultado pedido corresponde ao máximo divisor comum dos números

120, 180 e 252, ou seja, mdc(120, 180, 252) = mdc(2³.3.5 ; 2².3².5 ; 2².3².7) =

= 2². 3 = 12