QUESTÕES VESTIBULAR Epcar (Afa) 2018 - COMENTADAS

1. (Epcar (Afa) 2018)  Constrói-se um monumento em formato de pirâmide utilizando-se blocos cúbicos:

                                              

Para a formação piramidal os blocos são dispostos em uma sequência de camadas, sendo que na última camada, no topo da pirâmide, haverá um único bloco, como mostra a figura a seguir.

                         

Na disposição total, foram utilizados 378 blocos, do topo à base da pirâmide.

Havendo necessidade de acrescentar uma nova camada de blocos abaixo da base da pirâmide, obedecendo à sequência já estabelecida, serão gastos x blocos nesta camada.

A quantidade total de divisores positivos do número x é igual a :

a) 2   

b) 3   

c) 4   

d) 5   

  

Resposta da questão 1:[C]

O número de blocos em cada camada corresponde à sequência (1, 5, 9,

13, ...). Tal sequência é uma progressão aritmética de razão 4 e primeiro

termo 1. Desse modo, tem-se que [2.1 + (n-1).4]n/2 → 2n² – n – 378 = 0 →

n = 14. Em consequência, o número de blocos da camada 15 é dado por

x = 1 + 14.4 = 57. Portanto, sendo 57 = 3.19, podemos afirmar que o

resultado é (1 + 1).(1 + 1) = 4.  

2. (Epcar (Afa) 2018)  Considere a função real f(x) = 1/(2x+2), x ǂ -1.

Se f(-2 + a) + 1/5 = f(-a), então f(a/2 - 1) + f(4 + a) é igual a :

a) 1   

b) 0,75   

c) 0,5   

d) 0,25   

  

Resposta da questão 2:[D]

Tem-se que f(-2 + a) + 1/5 = f(-a) → 1/[2(-2+a) + 2] + 1/5 = 1/[2(-a)+2]

1/(a - 1) = -1/5 → a = - 4

Portanto, vem f(a/2 - 1) + f(4 + a) = f(-4/2 - 1) + f(4 + (-4)) = f(3) + f(0)

= 1/(-6 + 2) + 1/2 = 1/4 = 0,25

  

3. (Epcar (Afa) 2018)  Seja f : R → R uma função definida por :

             f(x) = x – 3, se x ≤ 2 ou f(x) = (x²/4) – x, se x > 2

Analise as proposições a seguir e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA).

(     ) A função f é injetora.

(     ) Ɐx ε R, a função f é crescente.

(     ) A função f^-1 inversa de f, é dada por f^-1: R→ R, tal que :

        f^-1(x) = x + 3, se x ≤ -1 ou f^-1x) = (√4x + 4) + 2, se x > -1

A sequência correta é :

a) F – V – V    

b) V – V – V   

c) F – V – F   

d) V – F – V   

  

Resposta da questão 3:[B]

Considere a figura.

                   

Observando que o vértice da parábola y = x²/4 - x é o ponto (2, -1),

podemos concluir que f é injetiva, pois para quaisquer x₁, x₂  ε D_f,

com x₁ ǂ x₂, tem-se f(x₁) ǂ  f(x₂). Além disso, sendo y = x - 3 crescente para

x ε ]-∞, 2[ e y = x²/4 - x crescente para x ε [2, ∞[ , podemos concluir que f é

crescente para todo x real.

           

Desde que x²/4 – x = (x/2 - 1)² – 1, vem :

y = x – 3, se x ≤ 2 ou y = (x/2 - 1)² - 1 , se x > 2

x = y – 3, se y ≤ 2 ou x = (y/2 - 1)² - 1 , se y > 2

y = x + 3, se x ≤ -1 ou y = 2√(x + 1) + 2 , se x > -1

y^-1 = x + 3, se x ≤ -1 ou y^-1 = √(4x + 4) + 2 , se x > -1

4. (Epcar (Afa) 2018)  Dez vagas de um estacionamento serão ocupadas por seis carros, sendo: 3 pretos, 2 vermelhos e 1 branco.

Considerando que uma maneira de isso ocorrer se distingue de outra tão somente pela cor dos carros, o total de possibilidades de os seis carros ocuparem as dez vagas é igual a :

a) 12600   

b) 16200   

c) 21600   

d) 26100   

  

Resposta da questão 4: [A]

Considerando que as quatro vagas desocupadas são objetos idênticos,

segue que o resultado é dado por P₁₀^{(3, 2, 4)} = 10!/3!2!4! = 12600

  

5. (Epcar (Afa) 2018)  O menor dos possíveis coeficientes do termo em x⁸ no desenvolvimento de (2 + x² + 3x³)¹⁰ é igual a :

a) 11240   

b) 12420   

c) 13440   

d) 14720   

  

Resposta da questão 5:[C]

Pelo Teorema Multinomial, temos :

(2 + x² + 3x³)¹⁰ = Σ 10!/α₁!α₂!α₃! .2^α1. (x²)^α2 . (3x³)^α3

(2 + x² + 3x³)¹⁰ = Σ 10!/α₁!α₂!α₃! .2^α1. x^2α2+3α3 . 3^α3

Logo, queremos encontrar os valores de α₁, α₂ e α₃ que satisfazem o

Sistema α₁ + α₂ + α₃ = 10 e 2α₂ + 3α₃ = 8.

Vejamos a tabela abaixo com as possíveis soluções e o respectivo termo

T :      α₁     α₂      α₃        T

           6      4        0     13440x⁸

           7      1        2     414720x⁸

Portanto a resposta é 13440.  

6. (Epcar (Afa) 2018)  Durante o desfile de Carnaval das escolas de samba do Rio de Janeiro em 2017, uma empresa especializada em pesquisa de opinião entrevistou 140 foliões sobre qual agremiação receberia o prêmio de melhor do ano que é concedido apenas a uma escola de samba.

Agrupados os resultados obtidos, apresentaram-se os índices conforme o quadro a seguir:

Agremiação escolhida	A	B	C	AeB	AeC	BeC	A,BeC
Nº de foliões que escolheram	77	73	70	20	25	40	5

A respeito dos dados colhidos, analise as proposições a seguir e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA).

(     ) Se A for a agremiação vencedora em 2017 e se um dos foliões que opinaram for escolhido ao acaso, então a probabilidade de que ele NÃO tenha votado na agremiação que venceu é igual a 45%.

(     ) Escolhido ao acaso um folião, a probabilidade de que ele tenha indicado exatamente duas agremiações é de 50%.

(     ) Se a agremiação B for a campeã em 2017, a probabilidade de que o folião entrevistado tenha indicado apenas esta como campeã é menor que 10%.

A sequência correta é

a) V – V – F   

b) F – V – V    

c) F – V – F   

d) V – F – V   

  

Resposta da questão 6: [A]

Considere o diagrama.

                                 

Tem-se que o número de foliões que não votaram em A é igual a 18 + 35 +

10 = 63. Logo, a probabilidade de que um folião escolhido ao acaso não

tenha votado em A é dada por 63/140 . 100% = 45%.

Escolhido ao acaso um folião, a probabilidade de que ele tenha indicado

exatamente duas agremiações é de (15+20+35).100%/140 = 50%.

Se a agremiação B for a campeã em 2017, a probabilidade de que o folião

entrevistado tenha indicado apenas esta como campeã é 18/140 > 14/140

→ 18/140 > 10%.  

7. (Epcar (Afa) 2018)  Considere o sólido geométrico obtido pela rotação de 360⁰ do triângulo ABC em torno da reta que passa por C e é paralela ao lado AB.

Sabe-se que este triângulo é isósceles, com AC ≡ BC = R√2 m, AB = 2R m (sendo R uma constante real não nula), e que o volume do sólido obtido é V = 4π√ m³.

A medida de R, em metros, é igual a :

a) ⁶√3   

b) ³√3   

c) ³√9   

d) √3   

  

Resposta da questão 7: [D]

O triângulo ABC é retângulo isósceles. Logo, como a mediana relativa ao

lado AB mede R m segue que a medida do segmento CG, com G sendo o

baricentro de ABC, é igual a 2R/3. Ademais, a área do triângulo ABC é

dada por  (ABC) = 1/2 . AC . BC = 1/2 . R√2 . R√2 = R² m².

Portanto, pelo Segundo Teorema de Pappus-Guldin, tem-se que o volume,

V, do sólido gerado é V = 2π.CG.(ABC) = 2π.2R/3.R² = 4π.R³/3

Em consequência, vem 4π.R³/3 = 4π.√3 → R³ = 3√3 → R³ = (√3)³ → R = √3

8. (Epcar (Afa) 2018)  Considere no plano cartesiano as retas r e s dadas

pelas equações:

               r : 3x + 3py + p = 0 e s: px + py – 3 = 0 com p ε R.

Baseado nessas informações, marque a alternativa INCORRETA.

a) r e s são retas concorrentes se |p| ǂ 3.   

b) Existe um valor de p para o qual r é equação do eixo das ordenadas e s é perpendicular a r.   

c) r e s são paralelas distintas para dois valores reais de p.   

d) r e s são retas coincidentes para algum valor de p.   

  

Resposta da questão 8: [D]

[A] Verdadeira. De fato, pois se 3/p ǂ 3p/9 → p² ǂ 9 → |p| ǂ 3,

então as retas são concorrentes.

[B] Verdadeira. Com efeito, pois se p = 0, então r : x = 0 e s : y = 1/3.

[C] Verdadeira. De fato, pois se 3/p = 3p/9 ǂ p/-3 → p = ± 3, então r e s são

paralelas distintas.

[D] Falsa. As retas r e s serão coincidentes se existir algum valor real de p

para o qual se tenha 3/p = 3p/9 = p/-3. Porém, tal sistema é impossível e,

assim, não existe p real de tal sorte que r e s sejam coincidentes.  

9. (Epcar (Afa) 2018)  Considere no plano cartesiano a circunferência λ tangente à bissetriz dos quadrantes ímpares no ponto A(1, 1).

Sabendo que a reta t : x – y + 4 = 0 tangencia λ no ponto B, marque a opção correta.

a) A soma das coordenadas de B é igual a 3.   

b) P(-1, 2) é exterior a λ.   

c) O ponto de λ mais próximo da origem é Q(0, 2 - √2).   

d) A bissetriz dos quadrantes pares é exterior a λ.   

  

Resposta da questão 9: [C]

Sendo y = x + 4 a forma explícita da equação de t, podemos concluir que t

e y = x são paralelas, uma vez que seus coeficientes angulares são iguais.

Em consequência, se A e B são pontos de tangência a λ então AB é um

diâmetro de λ.

Considere a figura.

                         

A reta AB perpendicular à reta y = x, tem por equação y – 1 = (-1).(x - 1) →

y = - x + 2. Logo, a abscissa do ponto B é tal que – x + 2 = x + 4  → x = - 1

Portanto, vem B(-1, 3).

O centro, C de λ corresponde ao ponto médio do segmento AB, ou seja,

C((1-1)/2 , (1+3)/2) = (0, 2).

Daí, segue que o raio de λ mede d_CA = √[(1-0)² + (1-2)² = √2

A equação de λ assim, é dada por x² + (y - 2)² = 2

[A] Falsa. Na verdade, temos -1 + 3 = 2.

[B] Falsa. Seja f(x, y) = x² + (y - 2)² – 2.

Tem-se que f(-1, 2) = (-1)² + (2 - 2)² – 2 < 0. Portanto, P(-1,2) é interior a λ.

[C] Verdadeira. Com efeito, pois como C pertence ao eixo das ordenadas,

e sendo r = √2 o raio de λ, temos Q(x_C, y_C - r) = (0, 2 - √2)

[D] Falsa. A distância de C à reta x + y = 0 é dada por |0+2|/√(1²+1²) = √2

Portanto, λ e a bissetriz dos quadrantes pares são tangentes.  

10. (Epcar (Afa) 2018)  No plano cartesiano, os pontos P(x, y) satisfazem a equação (x-1)²/25 + (y+2)²/9 = 1 da curva λ

Se F₁ e F₂ são os focos de λ tais que a abscissa de F₁ é menor que a abscissa de F₂, é INCORRETO afirmar que :

a) a soma das distâncias de P a F₁ e de P a F₂ é igual a 10.   

b) F₁ coincide com o centro da curva x² + y² + 6x – 4y = 0.   

c) F₂ é exterior a x² + y² = 25.   

d) o ponto de abscissa máxima de λ pertence à reta y = x – 8.   

  

Resposta da questão 10:[B]

A curva λ é uma elipse com eixo maior paralelo ao eixo das abscissas,

com centro em O(1, -2) e semieixos medindo a = 5 e b = 3. Logo, tem-se

que a distância do centro aos focos é c = √(a²-b²) = √(25-9) = 4

Em consequência, vem F₁(1-4, -2) = (-3, -2) e F₂ (1+4, -2) = (5, -2).

[A] Verdadeira. Com efeito, pois d(P, F₁) + d(P, F₂) = 2a = 2.5 = 10

[B] Falsa. Completando os quadrados, vem x² + y² + 6x – 4y = 0 →

(x + 3)² + (y - 2)² = 13. Logo, como essa curva é uma circunferência

centrada em (-3, 2), podemos concluir que a afirmação é falsa.

[C] Verdadeira. De fato, pois a distância de F₂ ao centro de x² + y² = 25 é

√(5² + (-2)²) = √29. Tal distância é maior do que o raio da circunferência.

[D] Verdadeira. Com efeito, pois o ponto de abscissa máxima de λ é

A₂(1+5, -2) = (6, -2) e -2 = 6 – 8.  

11. (Epcar (Afa) 2018)  Considere os números A, B e C a seguir.

A = log₂₅27 . log₄5 . log₃√2

B = log_n(log_nⁿ√ⁿ√n), com "n" natural maior que 2.

C = (a/b)^logc . (b/c)^loga . (c/a)^logb , com {a, b, c} contido em R₊*.

A correta relação de ordem entre os números A, B e C é :

a) A < B < C.   

b) B < A < C.      

c) B < C < A.      

d) C < A < B.      

  

Resposta da questão 11:[B]

               

Por conseguinte, temos B < A < C.  

12. (Epcar (Afa) 2018)  Na reta dos números reais abaixo, estão representados os números m, n e p.

                 

Analise as proposições a seguir e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA).

(     ) √(m-n)/p não é um número real.

(     ) (p+m) pode ser um número inteiro.

(     ) p/n é, necessariamente, um número racional.

A sequência correta é

a) V – V – F   

b) F – V – V    

c) F – F – F   

d) V – F – V   

  

Resposta da questão 12:[A]

Sabendo que m < n < 0, temos m – n < 0. Logo, sendo 1 < p < 2, vem        

(m - n)/p < 0. Em consequência, o número √(m - n)/p não é real.

Supondo p = 1,3 e m = - 1,3, encontramos p + m = 0 que é um número

inteiro. De um modo geral, se m = - 1 - r e p = 1 + r, com 0 < r < 1, temos

p + m = 0. Sejam p = √2 e n = - 1/4. É imediato que p/n = - 4√2 não é

racional.  

13. (Epcar (Afa) 2018)  A figura a seguir é um pentágono regular de lado 2 cm.

                              

Os triângulos DBC e BCP são semelhantes.

A medida de AC uma das diagonais do pentágono regular, em cm, é igual a :

a) 1 + √5   

b) -1 + √5   

c) 2 + √5/2   

d) 2√5 - 1   

  

Resposta da questão 13:[A]

A medida de cada ângulo interno do pentágono regular ABCDE é dada

por 180⁰.(5 - 2)/5 = 108⁰.

Logo, sendo os triângulos ABC e BCD isósceles congruentes, temos

CAB Ξ ACB Ξ DBC Ξ BDC = (180⁰ – 108⁰)/2 = 36⁰.

Em consequência, vem APB Ξ DPC ΞDCP = 72⁰.

Portanto, como o triângulo APB é isósceles de base PB, segue que AP = 2

cm e, assim, pela semelhança dos triângulos ABC e BPC, encontramos

(2 + PC)/2 = 2/PC → PC² + 2 PC – 4 = 0 → PC = (- 1 + √5) cm   

A resposta é AC = AP + PC = ( 1 + √5) cm      

14. (Epcar (Afa) 2018)  Sejam a e b números positivos tais que o determinante da matriz A vale 24.

                      

                                                                

Dessa forma o determinante da matriz B é igual a :

a) 0   

b) 6   

c) -6   

d)√6   

  

Resposta da questão 14: [D]

Tem-se que

           

15. (Epcar (Afa) 2018)  No círculo de centro O a seguir, AO = 2 m.

M é o ponto médio de OP e a área y do triângulo retângulo ONM é dada em função do comprimento x do arco AP, com 0 < x < π/2.

                               

Assim sendo, é correto afirmar que y.

a) é decrescente se x ε ]π/4, π/2[   

b) assume valor máximo 0,125 m².   

c) pode assumir valor igual a √2/2 m².   

d) é sempre um número racional.   

  

Resposta da questão 15: ANULADA

Questão anulada no gabarito oficial.

Se M é o ponto médio de OP e AO = 2 m,  então OM = 1 m. Logo, sendo

x = α . OA = 2α  e ON = cos α, temos y = 1/2 .OM . ON . sen α →

y = 1/2 .1 . cosα . sen α → y = 1/4 . sen 2α → y = 1/4 . senx , com 0 < x < π/2

[A] Falsa. A função seno é crescente no primeiro quadrante.

[B] Falsa. Desde que 0 < senx < 1, com 0 < x < π/2 temos 0 < y < 1/. Portanto, y não possui valor máximo.

[C] Falsa. Conforme (b), pois √2/2 > 1/2 > 1/4 .

[D] Falsa. Se x = π/4 então y = √2/8. Porém, √2/8 não é um número racional.  

16. (Epcar (Afa) 2018)  Na tabela a seguir estão relacionados os salários de todos os funcionários das classes A, B e C de uma empresa cuja média salarial é R$ 1680,00.

Classes	Salários	Quantidade de funcionários
= 378 →A	900├ 1500	20
B	1500├ 2100	x
C	2100├ 2700	10

Se a mediana para a distribuição de frequências obtida acima é m, então a soma dos algarismos de m é igual a :

a) 10   

b) 12   

c) 15   

d) 18   

 

Resposta da questão 16: [B]

Considere a tabela.

Se a média salarial é R$ 1680,00, então :

Daí, segue que as frequências relativas das classes A, B e C são,

respectivamente, iguais a 20/50 . 10% = 40%, 20/50 . 100% = 40%  e

10/50 . 100% = 20%.   

Considere agora  o histograma abaixo.

                              

Como os retângulos contidos na classe B possuem a mesma altura,

Temos (m - 1500)/(50% - 40%) = (2100 - 1500)/40% → m = 1650

Em consequência, vem 1 + 6 + 5 = 0 = 12, que é o resultado pedido.