QUESTÕES VESTIBULAR ESPM 2017.2 – COMENTADAS

1.A malha quadriculada mostrada abaixo foi totalmente percorrida, partindo-se de uma casa qualquer e passando-se uma e somen­te uma vez em cada casa adjacente. Enten­de-se por casas adjacentes aquelas que têm exatamente um lado em comum.

A malha seguinte poderá, da mesma forma, ser percorrida, partindo-se de qualquer uma das casas assinaladas, exceto a casa marcada com a letra:

a) A

b) B

c) C

d) D

e) E

Vejamos :

Através de tentativas, podemos notar que a única casa que não poderá

ser ponto de partida é a "B", pois desta forma a malha não  ficará

totalmente pecorrida.

2. Uma sequência de números naturais é obti­da de modo que, se um número é par, o pró­ximo será sua metade mas, se for ímpar, o próximo será uma unidade a mais que ele, até chegar no número 1. Por exemplo:

S(42) = (42, 21, 22, 11, 12, 6, 3, 4, 2, 1)

O número de termos dessa sequência é igual a 10.

Podemos afirmar que a quantidade de se­quências assim definidas e com exatamente 7 termos é igual a:

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

Vejamos :

 Observe uma maneira lógica de formar as sequências :

● comece da esquerda para direita, necessariamente com 1, desta forma  

  o sexto termo será 2, o quinto termo será 4, o quarto termo será 8 ou 3,

  ou seja  XXX8421 ou XXX3421

● o terceiro termo será 16 ou 7, se o quarto for 8 e será 6 se o quarto for 3

 ● o segundo  termo será 32 ou 15 se o terceiro for 16; 12 ou 5 se o  

    terceiro for 6 e 14 se o terceiro for 7

    

● o primeiro termo poderá ser 10, 11, 13, 24, 28, 30, 31 ou 64

   

 Portanto : (10, 5, 6, 3, 4, 2, 1) - (11, 12, 6, 3, 4, 2, 1)

    

(13, 14, 7, 8, 4, 2, 1) - ( 24, 12, 6, 3, 4, 2, 1) - (28, 14, 7, 8, 4, 2, 1)

   

 (30, 15, 16, 8, 4, 2, 1) - (31, 32, 16, 8, 4, 2, 1) - (64, 32, 16, 8, 4, 2, 1)

    

 Note: Uma maneira de simplificar a resolução seria perceber   

     que, se um termo for par , seu antecedente poderá ser par ou

     ímpar ; e caso seja ímpar , somente poderá ser par.       

      

3. Um número natural é formado por 3 alga­rismos que somam 10. Trocando-se entre si os algarismos das centenas e das unidades, ele aumenta 99 unidades. Trocando-se os al­garismos das dezenas e das unidades, ele diminui 18 unidades. Podemos afirmar que esse número é múltiplo de:

a) 11

b) 13

c) 7

d) 5

e) 4

Vejamos :

● Um número natural é formado por 3 alga­rismos que somam 10 :

(abc) → 100a + 10b + c  com  a + b + c = 10

● (cba) = (abc) + 99 → 100c + 10b + a = 100a + 10b + c + 99 →

99c – 99a = 99 (÷99) → c – a = 1

● (acb) = (abc) - 18 → 100a + 10c + b = 100a + 10b + c - 18 →

9c – 9b = - 18 (÷9) → c – b = - 2

Resolvendo o sistema a + b + c = 10 ; c – a = 1 e c – b = - 2, vem :

a + b + c = 10 ; c – 1 = a e c + 2 = b → (c - 1) + (c + 2) + c = 10 →

3c + 1 = 10 → c = 3 → a = 2 → b = 5 → (abc) = 253, múltiplo de 11

4. Numa olimpíada de Matemática participa­ram 7 alunos de cada escola. Na primeira fase foram eliminados 20 alunos. Na segun­da fase foram excluídos 2/3 dos que ficaram, restando 26 alunos para disputar a terceira fase. Entre as escolas participantes, as par­ticulares eram o dobro das estaduais, que, por sua vez, eram o dobro das municipais. Podemos concluir que o número de alunos enviados pelas escolas estaduais foi:

a) 35

b) 14

c) 42

d) 28

e) 21

Vejamos :

Escolas Particulares = 4x; Escolas Estaduais = 2x; Escolas Municipais = x   

Total de alunos = 7.4x + 7.2x + 7.x = 49x

Na primeira fase foram eliminados 20 alunos → (49x - 20)

Na segun­da fase foram excluídos 2/3 dos que ficaram, restando 26

Alunos, portanto ficaram 1/3 de (49x - 20) = 26 → (49x - 20)/3 = 26 →

49x – 20 = 78 → 40x = 98 → x = 2 escolas.

O número de alunos enviados pelas escolas Estaduais foi 14x = 28

5. Para a escola que tivesse pelo menos um aluno classificado para a terceira fase, seria concedido um diploma de Honra ao Mérito. Sabe-se que a escola N. Sra. do Socorro ao Ensino Público não recebeu esse diploma. Isso foi porque:

a) algum de seus alunos foi desclassificado na segunda fase.

b) somente um aluno dessa escola chegou à terceira fase.

c) nenhum aluno dessa escola chegou à ter­ceira fase.

d) todos os alunos dessa escola foram des­classificados na primeira fase.

e) todos os alunos dessa escola foram repro­vados na terceira fase

Vejamos :

Se a escola N. Sra. do Socorro ao Ensino Público não recebeu esse

diploma, isso foi porque nenhum aluno dessa escola chegou à ter­ceira

fase.

6. A figura abaixo mostra o gráfico da fun­ção real y = f(x). Sobre as raízes da função y = f(x – 2), podemos afirmar que:

a) A maior delas é 3.

b) A menor delas é –4.

c) A soma delas é 9.

d) O produto delas é 20.

e) Uma delas é 2.

Vejamos :

Como as raízes de f(x) são -2, 2 e 3, então as raízes de f(x - 2) serão

x – 2 = - 2 → x = 0 ; x – 2 = 2 → x = 4 e x – 2 = 3 → x = 5.

Portanto a soma delas é igual a 9.

7. Dada a função real f(x) = (x² – 4)/(x – 2) , definida para x ≠ 2, o valor de f(1 + sen 89°) é apro­ximadamente igual a:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

Vejamos :

Como f(x) = (x² – 4)/(x – 2) com x ǂ 2, então f(x) = x + 2.

Portanto f(1 + sen 89°) = 1 + sen 89° + 2 = 3 + sen 89° ≈ 4

8. Sendo n um número natural e k um número real, define-se como derivada da função po­linomial y = k · xⁿ, a função y’ = n · k · x^n–1. Por exemplo, a derivada da função y = 2x³ é a função y’ = 6x². O processo inverso é o que se denomina integral . Então, podemos dizer que uma integral da função y’ = 6x² é a função y = 2x³.

De acordo com o exposto, na integral da fun­ção y’ = 10x⁴, a soma dos números n e k será igual a:

a)   8

b)  5

c)   6

d)  7

e)   9

Vejamos :

Como, quando y = k · xⁿ, a função y’ = n · k · x^n–1  , então quando

y’ = n · k · x^n–1  a função y = (k/(n+1)).x^n-1+n.

Portanto se y’ = 10x⁴, então y = 10/(4+1).x⁴⁺¹ → y = 2x⁵.

Finalmente n + k = 5 + 2 = 7

9. Uma das aplicações da integral de uma fun­ção é o cálculo da área situada no primeiro quadrante do plano cartesiano e abaixo do gráfico dessa função, até um valor limite x_o. O valor dessa área é dado por g(x_o), onde g(x) é a função integral de f(x). Dessa forma, podemos dizer que a área A, representada na figura abaixo, é igual a:

a) 160

b) 120

c) 86

d) 72

e) 64

Vejamos :

Se f(x) = 10x⁴ entao sua integral g(x) = 2x⁵ .

Portanto g(x₀) = g(2) = 2.2⁵ = 64

10. A figura abaixo representa parte do gráfico da função f(x) = 16/2^x , fora de escala.

A soma das áreas dos infinitos retângulos assinalados é igual a:

a) 16

b) 8

c) 24

d) 32

e) 12

Vejamos :

Se f(x) = 16/2^x, então : f(1) = 16/2¹ = 8 → Área₁ = 1.8 = 8

f(2) = 16/2² = 4 → Área₁ = 1.4 = 4

f(3) = 16/2³ = 2 → Área₁ = 1.2 = 2

...........................................................

...........................................................

...........................................................

Portanto as áreas formam uma PG, infinita decrescente de razão q = 1/2.

Então a soma infinita será dada por S_∞ = a₁/(1 - q) = 8/(1 - 1/2) = 16 

11. Se y > 3, então x ≠ 2 e x ≠ 5. Sabe-se que x² – 7x + 10 = 0. Podemos afirmar que um possível valor de x + y é:

a) 10

b) 11

c) 9

d) 12

e) 8

Vejamos :

Se y > 3, então x ≠ 2 e x ≠ 5.

Como  x² – 7x + 10 = 0, então x = 2 ou x = 5, portanto y ≤ 3.

Podemos afirmar que um possível valor de x + y é: 2 + 3 = 5 (?) ou 5 + 3 = 8

12. Em volta do paralelepípedo reto-retângulo mostrado na figura abaixo será esticada uma corda do vértice A ao vértice E, passan­do pelos pontos B, C e D. De acordo com as medidas dadas, o menor comprimento que essa corda poderá ter é igual a:

a) 15

b) 13

c) 16

d) 14

e) 17

Vejamos :

A melhor maneira de resolver esta questão seria utilizar as faces

laterais desse paralelepípedo reto-retângulo.

 

Observando a figura podemos perceber que o menor comprimento que essa corda 

poderá ter é igual a diagonal AE, ou seja :

AE² = 12² + 5² → AE² = 144 + 25 → AE² = 169 → AE = √169 → AE = 13.

13. A diferença entre o quadrado de um núme­ro real e ele próprio não supera 6 unidades. Além disso, sabe-se que seu valor absoluto (ou módulo) não é inferior a 3 unidades. Po­demos afirmar que esse número é:

a) par.

b) primo.

c) um quadrado perfeito.

d) irracional.

e) inteiro negativo.

Vejamos :

A diferença entre o quadrado de um núme­ro real e ele próprio não supera

6 unidades → x² – x ≤ 6.

Seu valor absoluto não é inferior a 3 unidades → |x| ≥ 3.

x² – x ≤ 6 → x² – x – 6 ≤ 0 → ∆ = 25 e x = (1 ± 5)/2 → x' = 3 ou x" = - 2

       +                   ‒              +

----------------●----------------●---------- - 2 ≤ x ≤ 3

                  -2                  3

|x| ≥ 3 → x ≤ - 3 ou x ≥ 3.

Estabelecendo a interseção entre - 2 ≤ x ≤ 3 e x ≤ - 3 ou x ≥ 3, obtemos

x = 3 → um número primo.

14. O designer de uma empresa precisa criar uma embalagem que atenda a dois requisitos:

• Caber, em seu interior, uma fina haste re­tilínea de 10 cm de comprimento.

•   Ter o menor espaço interno possível.

Entre os modelos apresentados abaixo, ape­nas um atende aos requisitos necessários. Assinale a alternativa correspondente a ele.

Obs: as medidas estão dadas em centíme­tros, e para os cálculos, π = 3,14

Vejamos :

Caber, em seu interior, uma fina haste re­tilínea de 10 cm de comprimento:

a)    D = √[(6)²+(5)²+(7)²] = √110 > 10 cm, VERDADEIRO.

b)   D = √[(7)²+(7)²] = √98 < 10 cm, FALSO.

c)    D = √[(4)²+(4)²+(8)²] = √96 < 10 cm, FALSO

d)   D = √[(8)²+(6)²] = √ 100 = 10 cm, VERDADEIRO.

e)    D = √[(6)²+(8)²] = √ 100 = 10 cm, VERDADEIRO.

 Ter o menor espaço interno possível (volume):

a)    V = 6.5.7 = 210 cm³

d)   V = π.4²6 = 301,44 cm³

e)    V = π.3²8 = 226,08 cm³

15. A figura abaixo mostra os alongamentos produzidos numa mola ideal conforme os pesos que são colocados em sua extremida­de, de acordo com a lei de Hooke.

Se, para um peso de 1,5 N, o alongamento produzido foi de 2,7 cm, então o alongamen­to produzido por um peso de 3,5 N será de:

a) 4,8 cm

b) 5,3 cm

c) 6,3 cm

d) 7 cm

e) 7,6 cm

Vejamos :

Segundo a proporção 1,5/2,7 = 3,5/x → x = 6,3 cm

16. Os pontos do plano cartesiano que aten­dem às condições 0 ⩽ x ⩽ 4,   0 ⩽ y ⩽ 3 e x + y ⩾ 2 simultaneamente, formam uma fi­gura plana cuja área é igual a:

a) 14

b) 16

c) 12

d) 10

e) 8

Vejamos :

Através da figura abaixo podemos observar que, como x + y ⩾ 2, então

 y ≥ - x + 2.

Portanto a área comum poderá ser obtida através da diferença entre o

retângulo 3.4 = 12 e o triangulo 2.2/2 = 2, portanto 10 unidades de área.

17. O banco estatal de um certo país abriu uma linha especial de financiamento para aqui­sição da casa própria por famílias de baixa renda. Para ter direito a esse financiamento, a família não poderia ter casa própria nem renda total acima de 4 salários mínimos e, além disso, ter filhos em idade escolar ma­triculados e cursando. Um levantamento comprovou que 48% das famílias desse país já possuíam casa própria e que 35% das famílias desse país tinham renda acima de 4 salários mínimos, sendo que 20% destas ainda não possuíam casa própria. Além dis­so, ficou comprovado que, entre as famílias que atendiam aos critérios de renda e de propriedade de casa própria, apenas 20% não tinham seus filhos matriculados na es­cola.

De acordo com o texto, podemos concluir que a porcentagem de famílias que tinham direito ao financiamento era de:

a) 48%

b) 36%

c) 52%

d) 28%

e) 42%

Vejamos :

Um levantamento comprovou que :

● 48% das famílias desse país já possuíam casa própria, portanto 52%

não possuíam casa própria.

● que 35% das famílias desse país tinham renda acima de 4 salários

mínimos, sendo que 20% destas, ou seja 20% de 35% = 7% ainda não

possuíam casa própria.

● Portanto 52% - 7% = 45% tem direito ao financiamento porque não

tinham casa própria.

● Apenas 20% não tinham seus filhos matriculados na es­cola, então 80%

tinham filhos matriculados na es­cola.

● Finalmente 80% de 45% = 0,8.0,45 = 0,36 = 36%

18. Considere a proposição “Ou a prova foi fácil, ou Eduardo estudou muito”. Uma proposição logicamente equivalente a essa é:

a) Se Eduardo não estudou muito, então a prova foi fácil.

b) Se a prova foi fácil, então Eduardo estudou muito.

c) Se Eduardo estudou muito, então a prova foi fácil.

d) Não é verdade que, se a prova não foi fácil, então Eduardo estudou muito.

e) Não é verdade que a prova foi difícil ou Eduardo estudou pouco.

Vejamos :

Através de uma tabela verdade é possível comprovar que a proposiçao

“Ou a prova foi fácil, ou Eduardo estudou muito” é logicamente

semelhante a "Se Eduardo não estudou muito, então a prova foi fácil",

segundo a propriedade :  ~ p → q ↔ q ˅ p

19. Numa progressão aritmética de 3 termos não nulos e razão 16, sabe-se que o módulo da média aritmética dos 2 primeiros termos é igual à média geométrica dos 2 últimos termos. A soma dos termos dessa PA é:

a) 24

b) 9

c) 18

d) 6

e) 12

Vejamos :

Numa PA de n = 3 e r = 16, ou seja (x – 16, x, x + 16).

Sabe-se |(a₁ + a₂)/2| = √(a₂.a₃) , entao |(x – 16 + x)/2| = √x.(x + 16) →

|(2x – 16)/2| = √x.(x + 16) → |x – 8| = √x.(x + 16) → (|x – 8|)² = x.(x + 16) →

x² – 16x + 64 = x² + 16x → - 32x = - 64 → x = 2.

Portanto a PA é ( - 14, 2, 18), e a soma é 6

20. O Jogo da Vida é um passatempo que con­siste no nascimento e morte de células numa malha quadriculada.

Cada célula (A) possui 8 células vizinhas (B), como mostra a figura 1 abaixo:

A configuração das células é alterada a cada dia, obedecendo às seguintes regras:

• Uma célula morta renasce se tiver exata­mente 3 vizinhas vivas

• Uma célula viva com 2 ou 3 vizinhas vivas permanece viva

• Em todos os outros casos, a célula morre ou permanece morta

Se, num certo dia temos a configuração mos­trada na figura 2, onde as células vivas são as escuras e as mortas são as brancas, assi­nale a alternativa que apresenta a nova con­figuração 2 dias depois.

                

Vejamos :

Obedecendo as regras abaixo :

• Uma célula morta renasce se tiver exata­mente 3 vizinhas vivas

• Uma célula viva com 2 ou 3 vizinhas vivas permanece viva

• Em todos os outros casos, a célula morre ou permanece morta

                                                1⁰ DIA                              2⁰ DIA

M   M   M   M   M               M   M   M   M   M              M   M   M   M   M

M   M   M   M   M               M   M   V   M   M               M   M   M   M   M

M   V    V    V   M               M   M   V   M   M               M   V    V   V    M

M   M   M   M   M               M   M   V   M   M               M   M    M   M   M

M   M   M   M   M               M   M   M   M   M               M   M   M   M   M

Portanto a alternativa correta é a letra E