QUESTÕES COMENTADAS 2016 ( AFA, AMAN, UERJ, EPCAR,PUCCAMP )

1. (Uerj 2016)  Admita a seguinte sequência numérica para o número natural n: a₁ = 1/3 e na = na_-1 + 3. Sendo 2≤n≤10, os dez elementos dessa sequência, em que a₁ = 1/3  e a₁₀ = 82/3 ,são:

                      ﴾ 1/3, 10/3, 19/3, 28/3, 37/3, a₆, a₇, a_8, a_9, 82/3 ﴿

A média aritmética dos quatro últimos elementos da sequência é igual a:

a) 238/12

b) 137/6

c) 219/4

d) 657/9

  

2. (Espcex (Aman) 2016)  João e Maria iniciam juntos uma corrida, partindo de um mesmo ponto. João corre uniformemente 8km  por hora e Maria corre 6km na primeira hora e acelera o passo de modo a correr mais 1/2km cada hora que se segue. Assinale a alternativa correspondente ao número de horas corridas para que Maria alcance João.

a) 3 

b) 5

c) 9 

d)10 

e) 11

  

3. (Epcar (Afa) 2016)  Considere as expressões

A = 26² – 24² + 23² – 21² + 20² – 18² + ... + 5² – 3²   e

B = 2 . 2^1/2 . 2^1/4 . 2^1/8 . 2^1/16...

O valor de A/B é um número compreendido entre

a) 117 e 120

b) 114 e 117

c) 111 e 114

d) 108 e 111

  

4. (Espcex (Aman) 2016)  Considere as funções reais f e g tais que f(x) = √x + 4 e f(g(x)) = x²- 5 , onde g(x) é não negativa para todo x real. Assinale a alternativa cujo conjunto contém todos os possíveis valores de x, que satisfazem os dados do enunciado.

a) R – ( -3 , 3 )

b) R – ( -√5 , √5 )

c) ( -√5 , √5 )

d) ( -3 , 3 )

 

e) R – (- ∞ , 3 )

  

5. (Uerj 2016)  Observe a função  definida por:

F(x) = x² – 2kx + 29, para x real.

Se f(x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4.

Assim, o valor positivo do parâmetro K é:

a) 5

b) 6

c) 10   

d) 15   

  

6. (Epcar (Afa) 2016)  Considere as funções reais f , g  e h tais que

f(x) = mx² – ( m + 2 )x + ( m + 2 )

g(x) = 1/x

h(x) = √x

Para que a função composta hogof(x) tenha domínio D = R deve-se ter

a) m > 2/3

b) -2 < m < 2/3

c) 0 < m < 2/3

d) -2 < m < 0

  

7. (Epcar (Afa) 2016)  Considere a função real f definida por f(x) = a^x, com a pertencente ao intervalo ( 0 , 1 ).

Sobre a função real g definida por g(x) = │-b – f(x) │, com b pertencente ao intervalo ( -∞ , -1 ), é correto afirmar que

a) possui raiz negativa e igual a log_a(-b)

b) é crescente em todo o seu domínio.   

c) possui valor máximo.   

d) é injetora.   

  

8. (Espcex (Aman) 2016)  Considerando a função real definida por  2 -│x – 3 │, se x > 2   e – x² + 2x + 1 se x ≤ 2 ,  o valor de f(0) + f(4) é                                                                                           

a) -8

b) 0

c) 1

d) 2

e) 4   

  

9. (Epcar (Afa) 2016)  Uma caixa contém 10 bolas das quais 3 são amarelas e numeradas de 1 a 3;  3verdes numeradas de 1 a 3 e mais 4 bolas de outras cores todas distintas e sem numeração.

A quantidade de formas distintas de se enfileirar essas 10 bolas de modo que as bolas de mesmo número fiquem juntas é

a) 8 . 7 !

b) 7 !

c) 5 . 4 ! 

d) 10 !

  

10. (Espcex (Aman) 2016)  A solução da equação  abaixo é um número natural                                      3!(x-1)! / 4!(x-3)! = 182(x-2)!-x! / 2(x-2)!

a) maior que nove.   

b) ímpar.   

c) cubo perfeito.   

d) divisível por cinco.   

e) múltiplo de três.   

  

11. (Espcex (Aman) 2016)  As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo são diretamente proporcionais a 3,4e 5 e a soma dessas medidas é igual a 48cm.  Então a medida da sua área total, em cm², é

a) 752

b) 820 

c) 1024 

d) 1302 

e) 1504 

  

12. (Espcex (Aman) 2016)  Um recipiente cilíndrico, cujo raio da base tem medida R, contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é mergulhada nesse recipiente ficando totalmente submersa, sem haver transbordamento de água. Se a altura da água subiu 9/16 R, então o raio da esfera mede

a) 2/3 R

b) 3/4 R

c) 4/9 R   

d) 1/3 R

e) 9/16 R 

  

13. (Epcar (Afa) 2016)  Analise as proporções abaixo e escreva V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).

I. A distância entre o vértice e o foco da parábola y² + 4x – 4 =0 é igual a 1 unidade de comprimento.

II.Numa hipérbole equilátera, as assíntotas são perpendiculares entre si.

III.A equação 2x² + y² - 4x – 4y + 4 = 0 representa uma elipse que tem um dos focos no ponto P ( 1 , 4 )

A sequência correta é

a) F - F - V   

b) V - F - V   

c) F - V - F   

d) V - V - F   

  

14. (Espcex (Aman) 2016)  Considere a circunferência que passa pelos pontos ( 0 , 0 ), ( 0 , 6 ) e ( 4 , 0 ) em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Sabendo que os pontos ( 0 , 6 ) e ( 4 , 0 )  pertencem a uma reta que passa pelo centro dessa circunferência, uma das retas tangentes a essa circunferência, que passa pelo ponto ( 3 , - 2 ), tem por equação

a) 3x – 2y – 13 = 0

b) 2x – 3y – 12 = 0 

c) 2x – y – 12 = 0

d) x – 5y – 13 = 0   

e) 8x + 3y – 18 = 0 

  

15. (Uerj 2016)  Admita que a ordem de grandeza de uma medida x é uma potência de base 10, com expoente n inteiro, para 10^n-1/2 ≤  x < 10^n+1/2

Considere que um terremoto tenha liberado uma energia E, em joules, cujo valor numérico é tal que log E = 15,3. A ordem de grandeza de E, em joules, equivale a:

a) 10⁴

b) 10⁵

c) 10⁶

d) 10⁷

  

16. (Epcar (Afa) 2016)  Uma fábrica produz casacos de determinado modelo. O preço de venda de um desses casacos é de R$200,00 quando são vendidos 200 casacos. O gerente da fábrica, a partir de uma pesquisa, verificou que, para cada desconto de R$2,00 no preço de cada casaco, o número de casacos vendidos aumenta de 5. A maior arrecadação possível com a venda dos casacos acontecerá se a fábrica vender cada casaco por um valor, em reais, pertencente ao intervalo

a) [ 105 , 125  [

b) [ 125 , 145  [

c) [ 145 , 165  [

d) [ 165 , 185  [

  

17. (Espcex (Aman) 2016)  Se ( 1 + i ).( cos╥/12 +i.sen╥/12 ) = x + iy em que i é a unidade imaginária e x e y são números reais, o valor de √3 x + y é :

a) √6

b) √3 

c) √2/2

d) 3√6

e) √3/2

  

18. (Espcex (Aman) 2016)  Considere os polinômios p(x) = x⁸⁰ + 3x⁷⁹ – x² – x – 1 e b( x ) = x² + 2x – 3 . Sendo r(x) o resto da divisão de p(x) por b(x), o valor de r(1/2) é igual a :

a) 0

b) 1/2   

c) 1 

d) 2   

e) 5/2 

  

19. (Fmp 2016)  Seja f de R em R a função polinomial definida por f(x) = x⁴ – 3x³ +3x -9. O fato de x = 3 ser um zero da função f é equivalente ao fato de o polinômio x⁴ – 3x³ +3x -9  ser divisível por P:

a) x² - 9

b) x + 3

c) 3 

d) x - 3 

e) x 

  

20. (Epcar (Afa) 2016)  Considere os polinômios Q(x) = x² – 2x + 1 e P (x) = x³-3x²-a, sendo a e b números reais tais que a² – b² = -8. Se os gráficos de Q(x) e P(x) têm um ponto comum que pertence ao eixo das abscissas, então é INCORRETO afirmar sobre as raízes de Px) que

a) podem formar uma progressão aritmética.   

b) são todas números naturais.   

c) duas são os números a e b .

d) duas são números simétricos.   

  

21. (Espcex (Aman) 2016)  Considere o polinômio p(x)=x⁶-2x⁵+2x⁴-4x³+x²-2x Sobre as raízes de p(x)=0 podemos afirmar que

a) quatro raízes são reais distintas.   

b) quatro raízes são reais, sendo duas iguais.   

c) apenas uma raiz é real.   

d) apenas duas raízes são reais e iguais.   

e) apenas duas raízes são reais distintas.   

  

22. (Espcex (Aman) 2016)  Sendo R a maior das raízes da equação       (11x+6) /( x-4 ) = x² então o valor de 2R-2 é

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

  

23. (Fmp 2016)  Considere a soma 0,75 + 1,25 + 1 = 3. Os números 0,75 ; 1,25 e 1 configuram a decomposição do número  em parcelas diretamente proporcionais a

a) 20, 12 e 15 

b) 5/75 , 5/120 e 1/50

c) 3, 5 e 4

d) 4/3 , 4/5 e 1

e) 1/3 , 1/5 e 1/4

  

24. (Uerj 2016)  Um índice de inflação de 25% em um determinado período de tempo indica que, em média, os preços aumentaram 25% nesse período. Um trabalhador que antes podia comprar uma quantidade X de produtos, com a inflação e sem aumento salarial, só poderá comprar agora uma quantidade Y dos mesmos produtos, sendo y<x. Com a inflação de 25%, a perda do poder de compra desse trabalhador é de:

a) 20% 

b) 30%

c) 50%

d) 80%

  

25. (Uerj 2016)  Na compra de um fogão, os clientes podem optar por uma das seguintes formas de pagamento:

- à vista, no valor de R$860,00;

- em duas parcelas fixas de R$460,00 sendo a primeira paga no ato da compra e a segunda 30 dias depois.

A taxa de juros mensal para pagamentos não efetuados no ato da compra é de:

a) 10%   

b) 12%   

c) 15% 

d) 18%

  

26. (Puccamp 2016)  O tempo “é uma obsessão para os atletas olímpicos em busca de recordes”. O recorde da corrida dos 5000 metros pertence a Kenenisa Bekele e é de 12 minutos e 37 segundos. Um atleta que reduzir esse tempo em 2% completará a distância com uma diminuição do tempo do recorde de, aproximadamente,

a) 7 segundos.   

b) 23 segundos.   

c) 15 segundos.   

d) 8 segundos.   

e) 11 segundos.   

  

27. (Fmp 2016)  Abaixo são apresentados termos gerais que definem cinco sequências de números reais, para n Natural.

a_{n = 80.(24)}ⁿ

b_{n = 80.(1,30)}ⁿ

c_{n = 80.(0,30)}ⁿ

d_{n = 80 + 24n}

e_{n = 80+2,4n}

Um dos termos gerais apresentados acima indica o valor devido n  meses após a tomada de um empréstimo de R$80,00, calculado após a incidência de uma taxa mensal de juros simples de 30% sobre o valor do empréstimo.

Esse termo geral é

a) e_n

b) d_n

c) a_n

d) c_n 

e) b_n 

  

28. (Uerj 2016)  Uma campanha de supermercado permite a troca de oito garrafas vazias, de qualquer volume, por uma garrafa de 1 litro cheia de guaraná. Considere uma pessoa que, tendo 96 garrafas vazias, fez todas as trocas possíveis. Após esvaziar todas as garrafas que ganhou, ela também as troca no mesmo supermercado.

Se não são acrescentadas novas garrafas vazias, o total máximo de litros de guaraná recebidos por essa pessoa em todo o processo de troca equivale a:

a)12 

b)13   

c)14   

d)15   

                         TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:

O tempo e suas medidas

¹O homem vive dentro do tempo, o tempo que ele preenche, mede, avalia, ama e teme. Para marcar a passagem e as medidas do tempo, inventou o relógio. A palavra vem do latim horologium, e ²se refere a um quadrante do céu que os antigos aprenderam a observar para se orientarem no tempo e no espaço. ³Os artefatos construídos para medir a passagem do tempo sofreram ao longo dos séculos uma grande evolução. No início ⁴o Sol era a referência natural para a separação entre o dia e a noite, mas depois os relógios solares foram seguidos de outros que vieram a utilizar o escoamento de líquidos, de areia, ou a queima de fluidos, até chegar aos dispositivos mecânicos que originaram as pêndulas. ⁵Com a eletrônica, surgiram os relógios de quartzo e de césio, aposentando os chamados “relógios de corda”. O mostrador digital que está no seu pulso ou no seu celular tem muita história: tudo teria começado com a haste vertical ao sol, que projetava sua sombra num plano horizontal demarcado. ⁶A ampulheta e a clepsidra são as simpáticas bisavós das atuais engenhocas eletrônicas, e até hoje intrigam e divertem crianças de todas as idades.

⁷Mas a evolução dos maquinismos humanos ⁸que dividem e medem as horas não suprimiu nem diminuiu a preocupação dos homens com o Tempo, ⁹essa entidade implacável, sempre a lembrar a condição da nossa mortalidade. Na mitologia grega, o deus Chronos era o senhor do tempo que se podia medir, por isso chamado “cronológico”, ¹⁰a fluir incessantemente. No entanto, ¹¹a memória e a imaginação humanas criam tempos outros: uma autobiografia recupera o passado, a ficção científica pretende vislumbrar o futuro. No Brasil, muito da força de um ¹²José Lins do Rego, de um Manuel Bandeira ou de um Pedro Nava vem do memorialismo artisticamente trabalhado. A própria história nacional ¹³sofre os efeitos de uma intervenção no passado: escritores românticos, logo depois da Independência, sentiram necessidade de emprestar ao país um passado glorioso, e recorreram às idealizações do Indianismo.

No cinema, uma das homenagens mais bonitas ao tempo passado é a do filme Amarcord (“eu me recordo”, em dialeto italiano), do cineasta Federico Fellini. São lembranças pessoais de uma época dura, quando o fascismo crescia e dominava a Itália. Já um tempo futuro terrivelmente sombrio é projetado no filme “Blade Runner, o caçador de androides”, do diretor Ridley Scott, no cenário futurista de uma metrópole caótica.

Se o relógio da História marca tempos sinistros, o tempo construído pela arte abre-se para a poesia: o tempo do sonho e da fantasia arrebatou multidões no filme O mágico de Oz estrelado por Judy Garland e eternizado pelo tema da canção Além do arco-íris. Aliás, a arte da música é, sempre, uma habitação especial do tempo: as notas combinam-se, ritmam e produzem melodias, adensando as horas com seu envolvimento.

São diferentes as qualidades do tempo e as circunstâncias de seus respectivos relógios: há o “relógio biológico”, que regula o ritmo do nosso corpo; há o “relógio de ponto”, que controla a presença do trabalhador numa empresa; e há a necessidade de “acertar os relógios”, para combinar uma ação em grupo; há o desafio de “correr contra o relógio”, obrigando-nos à pressa; e há quem “seja como um relógio”, quando extremamente pontual.

¹⁴Por vezes barateamos o sentido do tempo, ¹⁵tornando-o uma espécie de vazio a preencher: é quando fazemos algo para “passar o tempo”, e apelamos para um jogo, uma brincadeira, um “passatempo” como as palavras cruzadas. Em compensação, nas horas de grande expectativa, queixamo-nos de que “o tempo não passa”. “Tempo é dinheiro” é o lema dos capitalistas e investidores e dos operadores da Bolsa; e é uma obsessão para os atletas olímpicos em busca de recordes.

Nos relógios primitivos, nos cronômetros sofisticados, nos sinos das velhas igrejas, no pulsar do coração e da pressão das artérias, a expressão do tempo se confunde com a evidência mesma do que é vivo. No tic-tac da pêndula de um relógio de sala, na casa da avó, os netinhos ouvem inconscientemente o tempo passar. O Big Ben londrino marcou horas terríveis sob o bombardeio nazista. Na passagem de um ano para outro, contamos os últimos dez segundos cantando e festejando, na esperança de um novo tempo, de um ano melhor.

(Péricles Alcântara, inédito)

29. (Puccamp 2016)  “As notas combinam-se, ritmam e produzem melodias, adensando as horas com seu envolvimento.” Imagine que as horas se adensaram de tal maneira que fizeram o dia ficar mais curto. Ao invés de 24 horas, agora o dia possui apenas 16 horas. Para não causar tanta confusão, esse novo tamanho do dia será dividido igualmente em 24 ‘huras’ e cada ‘hura’ dividida igualmente em 60 ‘manutos’. Duas pessoas caminham juntas. Uma está com um relógio no sistema de ‘huras e manutos’ e a outra com seu relógio no sistema normal de horas e minutos. Caminharam de modo que, no relógio da primeira pessoa, haviam se passado 5 ‘huras’ e 54 ‘manutos’. No relógio da segunda pessoa esse tempo decorrido foi de

a) 8 horas e 51 minutos.   

b) 4 horas e 36 minutos.   

c) 5 horas e 13 minutos.   

d) 3 horas e 56 minutos.   

e) 1 horas e 58 minutos.   

  

30. (Puccamp 2016)  O relógio que está na torre do Big Ben foi construído com o ponteiro grande medindo 4,7 metros e o ponteiro pequeno medindo 2,7metros. Exatamente às 2 horas, a distância entre as pontas, que marcam o tempo, dos dois ponteiros é de, aproximadamente,

Dados:

Sen²A +Cos²A = 1

A/senA = B/senB = C/senC

a² = b² + c² – 2bc.cosA

a) 5,0m   

b) 4,6m 

c) 4,4m 

d) 3,8m   

e) 4,1m

                           QUESTÕES COMENTADAS

Resposta da questão 1:
 [B]

a_{9   = 82/3 – 9/3 = 73/3,}  a_{8   = 73/3 – 9/3 = 64/3,}  a_{9   = 64/3 – 9/3 = 55/3,}

Portanto, a média aritmética dos 4 últimos termos será dada por:

M = ( 82/3 + 73/3 + 64/3 + 55/3 ) / 4 = 274/12 = 137/6  

Resposta da questão 2:
 [C]

Função que representa o movimento de João: S = 8t, com o tempo t dado em horas.

Função que representa o movimento de Maria.

S = 6 + ( 6 + ½ ) + ( 6 + ½ + ½  ) + ( 6 + 3/2 ) + … 6 + ( t – 1 ).1/2

Utilizando a fórmula das soma dos n primeiros termos de um P.A., podemos escrever que:

S = [6 + 6 + ( t – 1 )/2].t/2 , então S = ( 24 + t – 1 ).t/4, portanto S = (23 + t).t/4

Igualando as duas equações temos:

8t = (23t + t²)/4, então t² – 9t =0, portanto t = 0 ou t = 9

Observação: no ponto de abscissa t = 0, João e Maria estavam na mesma posição ou seja, na origem deste percurso.

Portanto, a alternativa correta é [C],t = 9  

Resposta da questão 3:
 [B]

É preciso primeiramente resolver as duas expressões.

Note que:A = ( 26² – 24² ) + ( 23² – 21² ) + ( 20² – 18² ) ...( 5^{2 –} 3² )

A = 100 + 88 + 76 +.....+ 16

Ou seja, percebe-se que os resultados das subtrações formam uma progressão aritmética de razão r = -12.  Conhecendo o primeiro e o último termo, podemos calcular tanto o número de termos quanto a soma de todos os termos da P.A.:

Se  An = A₁  + r . ( n – 1 ) então 16 = 100 – 12 . ( n – 1 ), portanto n – 1 = 84/12 e n = 8

Assim  S₈  = ( a₁ + na ) . n/2, S₈ = ( 100 + 16 ) .8/2 e S₈ = 464. Logo, conclui-se que a expressão A = 464.

Agora analisando a expressão B, podemos reescrevê-la em termos de potências:

B =  2 . 2^1/2 . 2^{1/4 .} 2^1/8 . 2^1/16 ...

Percebe-se que os expoentes formam uma progressão geométrica infinita de razão q = ½.

Pode-se calcular a soma dos termos de uma P.G. infinita, como segue:

S_n = a₁ / (1 – q) = 0,5 / 1 – 0,5 = 1

Assim, pode-se dizer que a soma dos termos da P.G. tende a 1. Logo, B = 2 . 2¹ = 4

Por fim, o resultado da divisão de A por B será:

A/B = 464/4 ~ 116

Resposta da questão 4:
 [A]

Se f(g(x)) = x² – 5 então √g(x) + 4 = x² – 5, √g(x) = x² – 9,

Para que g(x) seja não negativa devemos admitir √g(x) ≥ 0

Portanto, os valores pedidos são Reais exceto ] – 3 , 3 [  

Resposta da questão 5:
 [A]

O valor da ordenada do vértice da parábola será dado por: -Δ/4a = 4, Δ = -16,

4k² – 4.29 = -16, k = 5 ou k = -5

Assim , o valor positivo do parâmetro k é 5.  

Resposta da questão 6:
 [A]

Fazendo-se os cálculos, conclui-se que a função composta hogof(x) será igual a:   hogof(x) = √1/mx²-(m+2)x+(m+2)

Tal função só poderá ter domínio nos números reais se mx²-(m+2)x+(m+2) >0 Sendo uma função do segundo grau, sabe-se que esta terá raízes maiores que zero se m>0 e Δ≥0

Assim, resolvendo Δ, temos:

Δ = (m+2)² – 4.m.(m+2) = m² +4m+4-4m² -8m , Δ = -3m² -4m+4^,

Que resulta novamente numa função do segundo grau, que só terá raízes positivas se Δ≥0

Resolvendo a equação em m, temos: Δ = 64 e m₁ = -2 e m₂ = 2/3

Assim, para satisfazer a equação  o valor de m > 0, deve ser maior que dois terços, ou seja, m>2/3.  

Resposta da questão 7:
 [A]

Analisando as alternativas uma a uma:

[A] CORRETA. A raiz da função g(x), ou seja, g(x)=0 acontece quando f(x) = -b Assim: x = log_a(-b)

Pelo enunciado, como b = ] ∞- , -1[, logo (-b) >1, então também do enunciado, como a pertence ao intervalo 0 < a <1 pode-se desenhar o gráfico de uma função logarítmica de base a, sendo 0 < a <1

Assim percebe-se que para todos os valores maiores que 1, a log_a(-b) será terá uma raiz negativa. Portanto, a alternativa é correta.

[B] INCORRETA. Se considerarmos a função f(x) e a função constante h(x) = -b podemos desenhar um gráfico aproximado. Assim, não se pode afirmar que ela seja crescente em todo seu domínio. A alternativa é incorreta.

[C] INCORRETA. Pela análise do mesmo gráfico das funções f(x) e h(x) percebe-se que ambas estendem-se ao infinito. Conforme o valor de x decresce, o valor de g(x) tende ao infinito e desta forma não existe valor máximo. A alternativa é incorreta.

[D] INCORRETA. Uma função injetora é aquela que, seja uma função f de A em B para todo elemento distinto de A associam-se elementos únicos e distintos em B. Assim, como g(x) se apresenta em módulo, analisando a área hachurada em amarelo do gráfico anterior percebe-se que para dois valores distintos de x poderão existir imagens iguais. A alternativa é incorreta.  

Resposta da questão 8:
 [D]

f( 0 ) = -0² + 2.0 +1 = 1 e  f( 4 ) = 2 - │4 – 3 │ = 1

Portanto, f ( 0 ) + f( 4 ) = 2

Resposta da questão 9:
 [A]

Pode-se extrair do enunciado que:

3 bolas amarelas : A1, A2 A3

3 bolas verdes : V1, V2 , V3

4 bolas coloridas: C1, C2, C3 ,C4

Importante ressaltar que, embora as 4 bolas coloridas não sejam numeradas, elas são todas distintas entre si. Matematicamente, não importa se estas são distintas por cores ou numeração, motivo pela qual elas foram nomeadas como C1 , C2 , C3 e C4.

Os conjuntos de mesmo número devem ficar juntos, porém o enunciado é claro em afirmar a “quantidade de formas distintas” ou seja, a ordem é importante.

Pode-se reorganizar as 10 bolas, considerando que as de mesma numeração fiquem juntas, em 7 blocos. Para ilustrar melhor, pode-se identificar a primeira maneira de enfileirar as 10 bolas:

A1V1, A2V2, A3V3, C1,C2,C3,C4

Daí, nota-se que o número de maneiras de enfileirar estes 7 blocos identificados seria permutação de 7, ou seja 7!

Porém, é preciso lembrar que os blocos com elementos de mesma numeração também podem ser permutados, pois como já vimos, a ordem é importante.

Assim, o número de maneiras que podemos permutar esses elementos isoladamente será:

A1V1   permutação de 2, ou seja, 2! = 2 

A2V2   permutação de 2, ou seja, 2! = 2 

A3V3   permutação de 2, ou seja, 2! = 2   

Assim, o número de maneias distintas de se enfileirar essas 10 bolas de modo que as bolas de mesmo número fiquem juntas será:

2 . 2 . 2 . 7! = 8 . 7!

Resposta da questão 10:
 [C]

Se 3!(x-1)!/4(x-3)! = [182(x-2)! – x!]/2(x-2)!, então 3!.(x-1).[182-x(x-1)]/2.

Portanto 6(x-1)(x-2) = 364-2x²+2x e 8x²-20x-88=0

Assim sendo x =(5+27)/4 = 8 oux =(5-27)/4 =-11/2 ( não convém )

Portanto, 8 é um cubo perfeito.  

Resposta da questão 11:
 [E]

Sejam a, b e c as medidas das arestas do paralelepípedo.

Se a/3 = b/4 = c/5 = k, então a = 3k, b= 4k e c= 5k

3k + 4k + 5K = 48 e k = 4

Portanto, a = 12cm, b= 16cm e c = 20cm.

Então, a área total será dada por:

A_T = 2( 12.16 + 12.20 + 16.20 ) = 1504cm²

Resposta da questão 12:
 [B]

Considerando que x seja o raio da esfera e escrevendo que o volume da esfera é igual ao volume da água deslocada, pode-se escrever:

Se 4/3 . ╥ . x³ = ╥ .R^{2 .} 9R/16 , então x³ = 27R³/64 , portanto x = 3/4R

Resposta da questão 13:
 [D]

Analisando as proposições:

[I] VERDADEIRA. Podemos reescrever a equação da parábola dada:

Se Y² + 4x – 4 = 0, então x = -1/4y² + 1.

Assim, temos que quando x = 0 e y = +_-2 e quando y = 0 e x = 1 Com isso pode-se construir um gráfico e identificar que trata-se de uma parábola com concavidade voltada para a esquerda, que corta o eixo y nos pontos +2 e -2,  cujo vértice tem coordenadas (0,1). Conclui-se também que eixo de simetria da parábola é o próprio eixo x (x = 0).

O foco de uma parábola fica sempre sobre o eixo de simetria (portanto, nesse caso, x = 0, com y = k + p , onde k será a coordenada y do vértice e

p = 1/4a.

Assim, a coordenada y do foco será:

K = 1

P = ¼.-1/4 = -1

Y = K + 1, y = 0

Logo, as coordenadas do foco serão (0,0) e sua distância até o vértice é igual a 1. A alternativa é verdadeira.

[II] VERDADEIRA. A proposição é verdadeira pois esta é justamente a definição de hipérbole equilátera: ter as assíntotas perpendiculares entre si.

[III] FALSA. Podemos reescrever a equação dada de modo a facilitar as conclusões:

Se (2x²-4x) + (y²-4y+4) = 0, então (x-1)²/1 + (y-2)²/2 = 1

Comparando esta equação com a equação geral de uma elipse, pode-se concluir que a equação dada trata-se de uma elipse de centro (1,2),semi-eixo menor b=1 e semi-eixo maior a = √2. A elipse pode ser representada graficamente como na figura a seguir:

Sabendo que a² = b² + c², então c = 1. Daí pode-se deduzir que os focos da elipse serão (1,3) e (1,1). A proposição é falsa.  

Resposta da questão 14:
 [A]

Centro da circunferência (ponto médio do diâmetro).

C ( 4/2 , 6/2 ) = (2,3)

Cálculo do raio da circunferência.

r = √4²+ 6²/2 = 2√13/2 = √13

Equação da reta tangente à circunferência.

Se y + 2 = m(x-3) , então mx – y – 3m – 2 = 0

Sabendo que a distância do centro à reta tangente é o raio, podemos escrever:

│2m-3-3m-2│/√m²+1 = √13, então (-m-5)²= 13(m²+1) , portanto 12m²-10m-12 = 0 ou 6m²-5m+6=0

Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos:

m = 3/2 ou m = -3/2

Se m = 3/2 a equação da reta será dada por 3x – 2y -13 =0

Se m = -3/2 a equação da reta será dada por 2x +3y =0

Portanto, a alternativa [A] é a correta.  

Resposta da questão 15:
 [B]

Se Log E = 15,3 , então E = 10^15,3

Como, 10^14,5 < 10^15,3 < 10^15,5, a ordem de grandeza será 10¹⁵

Resposta da questão 16:
 [B]

Pode-se deduzir duas funções em x:

- Função do preço f₁(x) = 200 – 2x, sendo x o número de vezes que o desconto será dado.

- Função do quantidade f₂(x) = 200 +5x, sendo x o número de vezes que o desconto será dado.

A função da arrecadação será dada pela multiplicação do preço pela quantidade de casacos vendidos. Assim:

f₃(x) = (200-2x).(200+5x) ou f₃(x) = -x²+60x + 4000

Logo, percebe-se que a função de arrecadação é uma função do 2º grau, representada graficamente por uma parábola com concavidade para baixo. O vértice da parábola representa a arrecadação máxima. A coordenada x do vértice da parábola será igual ao número máximo de vezes que o desconto poderá ser concedido para conseguir a arrecadação máxima.

Da fórmula para encontrar a coordenada x do vértice, tem-se:

x_vertice = -b/2a = -60/-2 = 30

Para se descobrir por qual valor será vendido cada casaco na arrecadação máxima, basta substituir o valor de x na função do preço:

F₁(x)=200-2.30 =140_, que pertence ao intervalo [125, 145 [

Resposta da questão 17:
 [A]

Escrevendo o número complexo 1+i na forma trigonométrica, temos:

(1+i) = √2 . (√2/2 +i√2/2) = √2(cos╥/4 +isen╥/4)

Portanto, (1+i).(cos╥/12+isen╥/12) = √2(cos╥/4+isen╥/4).(cos╥/12+i.sen╥/12)=

√2[cos(╥/4+╥/12) +i.sen(╥/4+╥/12)]=√2(cos╥/3+isen╥/3) = √/2 +i√6/2

Logo, √3x+y =√3.√2/2 + i√6/2 = √6(1+i)

Resposta da questão 18:
 [A]

De acordo com a divisão euclidiana, podemos escrever que:

X⁸⁰ +3x⁷⁹-x²-x-1= (x²+2x-3).Q(x) +ax +b

As raízes de x²+2x-3 =0  são x = 1 ou x = -3.

Fazendo x = 1, temos:

1 + 3 -1 -1-1 = a + b, então a + b = 1

Fazendo x = -3, temos:

(-3)⁸⁰ + 3.(-3)⁷⁹-(-3)² – (-3) = -3a+b = -7

Resolvendo o sistema : a + b = 1 e -3a + b = -7, temos: a = 2 e b = -1.

Logo, o resto da divisão será dado por: r(x) = 2x -1

Portanto, r(1/2) = 2 . ½ - 1 = 0

Resposta da questão 19:
 [D]

Pelo teorema do resto, sabe-se que o resto da divisão de P(x) por x - a é igual a P(a0. Sabe-se também que um polinômio é dito divisível por outro quando seu resto é igual a zero. Logo, quando P(a) =0 pode-se dizer que o polinômio P(x) será divisível por x - a

Fazendo a = 3, tem-se:

P(3) = f(3) = 3⁴ – 3.3³+3.3 – 9 = 0

Logo, P(x) será divisível por (x – 3 )  

Resposta da questão 20:
 [B]

Se Q(x) e P(x) têm um ponto comum que pertence ao eixo das abscissas, então ao menos uma raiz de Q(x) é também raiz de P(x).  Calculando:

Se X²- 2x + 1 = 0, então x₁ = x₂ = 1

Substituindo essa raiz em P(x), tem-se:

X³ -3x² – ax + b = 0, 1 – 3 – a + b = 0, b = 2 + a

Substituindo o valor de b na equação dada a²-b²= -8, tem-se:

a² – b² = -8, a²- ( 4 +4a + a² ) – 8, a = 1

Substituindo novamente o valor de a na equação dada a² – b² = -8 tem-se:

a² – b² = -8, 1 – b²= -8, b² = 9, b = 3

Assim, P(x) = x³ – 3x² – x + 3. Pode-se perceber daí que, se 1 é raiz da equação, -1 também será raiz. Assim sendo, o conjunto de raízes de P(x) é {-1 ,1, 3 }

Analisando então as afirmativas da questão, temos:

[A] Correto (podem formar uma P.A. de razão 2).

[B] Incorreto (números negativos não são números naturais).

[C] Correto.

[D] Correto.  

Resposta da questão 21:
 [E]

p(x) = x⁶ – 2x⁵ + 2x⁴- 4x³+ x² – 2x ; p(x) = x ( x⁵ – 2x⁴-4x³ + x²-2 )

p(x) = x ( x – 2 ). ( x⁴ + 2x² + 1 ) ; p(x) = x (x – 2 ) (x² + 1 )²

Portanto, as raízes são 0, 2, i, i, -i,e –i e apenas duas raízes 0 e 2 são reais e distintas.  

Resposta da questão 22:
 [E]

(11x+6)/(x-4) = x², admitindo xǂ4

Se 11x+6 = x³-4x², então X³-4x²-11x-6 = 0

A partir do Teorema das raízes racionais, podemos notar que as possíveis raízes racionais desta equação são 1,2,3,6,-1,-2,-3 e -6.

Notemos que – 1 é raiz desta equação, pois (-1)³ – 4.(-1)² – 11.(-1) -6 = 0

Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, obtemos:

       - 1    │  1     -4     -11   │  -6

               │                          │

               │   1     -5     -6    │   0

Portanto, a equação X³-4x²-11x-6 = 0 poderá ser escrita na forma:

( x + 1) . ( x² – 5x – 6 ) = 0

Resolvendo a equação produto acima, temos:

X + 1 = 0 , x = -1

( x² – 5x – 6 ) = 0, x = 6 ou x = -1

Portanto, a maior raiz será R = 6 e 2R – 2 = 10

Resposta da questão 23:
 [C]

Os números apresentados são todos múltiplos de 0,25 portanto pode-se escrever: 3 . 0,25 = 0,75 ; 5 . 0,25 = 1,25; 4 . 0,25 = 1,00

Logo, os números são diretamente proporcionais a 3, 5 e 4, respectivamente.  

Resposta da questão 24:
 [A]

X = 125 y

Logo,

(1,25y – y) / 1,25y = 1/5 = 20%

Resposta da questão 25:
 [C]

A primeira parcela de R$460,00 será paga à vista, portanto não há incidência de juros. A segunda parcela, caso não houvesse incidência de juros, seria de R$ 400,00  pois o preço do fogão à vista é de R$ 860,00 (860 – 460 = 400 ). No entanto, há um acréscimo de R$60,00 na segunda parcela, os quais representam os juros após 30 dias. Logo, os juros são:

60/400 = 0,15 = 15%

Resposta da questão 26:
 [C]

Calculando:

12.0,02 = 0,24 minutos = 14,4 segundos ; 37 . 0,02 = 074 segundos ; 14,4 + 0,74 = 15,14 segundos

   

Resposta da questão 27:
 [B]

Como se trata de juros simples, o valor devido V, após n meses será igual a:

V = 80 + 80.30%.n , ou seja V = 80 + 80.0,3n , portanto V = 80 + 24n

Resposta da questão 28:
 [B]

A pessoa inicialmente foi até o mercado com 96 garrafas vazias e, a cada 8 vazias trocou por 1 litro de refrigerante. Logo, 96 / 8 = 12  litros na primeira troca. Após esvaziar as 12 garrafas recebidas, retornou ao mercado e trocou as 12 garrafas por mais um litro de refrigerante (pois apenas a cada 8 garrafas vazias é possível fazer a troca). Assim, ao final das trocas a pessoa teria recebido o equivalente a 12 + 1 litros de refrigerante.  

Resposta da questão 29:
 [D]

Convertendo “huras” e “manutos” em horas:

24/1 =16/x , x = 0,66667 horas = 1 hura

1 hura tem 60 manutos, logo 0,66667 horas/60 = 0,0111 horas = 1 manuto

Substituindo os valores pelo tempo marcado no relógio da primeira pessoa:

5 huras = 3 horas e 20 minutos e 54 manutos = 36 minutos

Logo, haviam se passado 3 horas e 56 minutos.  

Resposta da questão 30:
 [E]

Sabendo que um relógio é uma circunferência de 360⁰ dividida igualmente em 12 horas, cada hora terá 30⁰,  logo às 2 horas o ângulo entre os ponteiros será de 60⁰.  Assim, pela lei dos cossenos a distância “a” entre os ponteiros será:

a² = b² + c² – 2bc.cosA

a² _{= (4,7)}² + (2,7)² – 2. 4,7 . 2,7. Cos60⁰, a = 4,09