1. Sejam A, B e C conjuntos contidos no conjunto dos números
naturais, tais que A é o conjunto dos números menores do que 250, B é o
conjunto dos números múltiplos de 4 e C é o conjunto dos números pares. Sendo AC,
BC e CC os conjuntos complementares respectivamente de A,
B e C, o número 33 pertence a :
(A) (AC U B) ∩ CC
(B) AC ∩ BC ∩ CC
(C) (A ∩ B) U (AC ∩ CC)
(D) (AC ∩ BC) U (BC ∩ CC)
(E) (A U BC) ∩ C
Vejamos :
● A é o conjunto dos números NATURAIS menores do que 250 →
A = {0, 1, 2, 3, ... , 249}.
● B é o conjunto dos números NATURAIS múltiplos de 4 →
B = {0, 4, 8, 12, ... }.
● C é o conjunto dos números NATURAIS pares →
C = {0, 2, 4, 6, ... }
● Sendo AC, BC e
CC os conjuntos complementares respectivamente de A,
B e C, em relação aos NATURAIS →
AC = Naturais – A = {250, 251, 252, ... }
BC = Naturais – B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, ... }
CC = Naturais – C = {1, 3, 5, 7, ... }
Então :
(A) FALSO, 33 não pertence a (AC
U B) ∩ CC = ({250, 251, 252, ... } U {0, 4,
8, 12, ... }) ∩ {1, 3,
5, 7, ... }
(B) FALSO, 33 não pertence a AC
∩ BC ∩ CC = {250, 251, 252, ... } ∩ {1, 2, 3,
5, 6, 7, 9, ... } ∩ {1,
3, 5, 7, ... }
(C) FALSO, 33 não pertence a (A
∩ B) U (AC ∩ CC) = ({0, 1, 2, 3, ... , 249} ∩
{0, 4, 8, 12, ... }) U
({250, 251, 252, ... } ∩ {1, 3, 5, 7, ... })
(D) VERDADEIRO,
33 pertence a (AC
∩ BC) U (BC ∩ CC) = ({250, 251, 252, ...
} ∩ {1, 2, 3, 5, 6, 7,
9, ... }) U ({1,
2, 3, 5, 6, 7, 9, ... } ∩ {1, 3, 5, 7, ... }) *33
pertence a esta interseção.
(E) FALSO, 33 não pertence a (A
U BC) ∩ C = ({0, 1, 2, 3, ... , 249} U {1, 2, 3,
5, 6, 7, 9, ... }) ∩ {1,
3, 5, 7, ... }
2. Gabriela possuía uma quantia, em reais, que correspondia a 21/25
do que possuía sua irmã Heloísa. No dia das crianças, cada uma dessas irmãs
ganhou R$ 20,00 e, com isso, Gabriela passou a ter o correspondente a 22/25 da
quantia de sua irmã. A diferença entre as quantias que essas irmãs possuem é
igual a :
(A) R$ 9,30.
(B) R$ 9,60.
(C) R$ 9,90.
(D) R$ 10,20.
(E) R$ 10,50.
Vejamos :
● Gabriela (x) possuía uma quantia, que correspondia a 21/25 do
que possuía Heloísa (y) → x = 21y/25.
● Cada uma ganhou R$ 20,00 e, com isso, Gabriela passou a ter 22/25
da
quantia de sua irmã → (x + 20) = 22(y + 20)/25
Resolvendo o sistema, x =
21y/25 e (x + 20) = 22(y + 20)/25
21y/25 + 20 = 22(y + 20)/25
→ 21y + 500 = 22y + 440 → - y = - 60 →
y
= 60 e x = 21y/25 → x = 21.60/25 → x = 50,4
● A diferença entre as quantias que essas irmãs possuem é igual a
R$ 60,00
– R$ 50,40 = R$
9,60
3. Uma progressão aritmética (PA) possui 17 termos, todos
positivos. A diferença entre o maior termo (a17) e o menor termo (a1
) dessa PA é igual a 48. Sabendo que, dentre os números primos que ocorrem
nessa PA, 13 é o menor e 43 é o maior, o valor de a1 + a17 é :
(A) 59.
(B) 62.
(C) 65.
(D) 68.
(E) 71.
Vejamos :
● Como a PA apresenta 17 termos então n = 17.
● Como a diferença entre o maior termo (a17) e o menor
termo (a1 ) dessa
PA é igual a 48, então a17 – a1 = 48.
● Como em uma PA, an = a1 + (n - 1)r, então a17 = a1 + 16r → a17 – a1 = 16r,
portanto 16r = 48 → r =
48/16 → r =
3.
● Como dentre os números primos que ocorrem nessa PA, 13 é o menor,
(portanto 7 não pertence),
e 43 é o maior (portanto 61 não pertence), ou
Seja, ....... "7", 10, 13 ........................ 43, 46, 49, 52, 55, 58, "61"
........,
Então: a1 = 10, a17 = 58 e a1 + a17 = 10 + 58 = 68
4. O resto da divisão de um polinômio do terceiro grau p(x) por
(x – 3) é igual a 24. Sabendo que as raízes do polinômio p(x) são –3, 1 e 2, o
valor de p(0) é :
(A) 12.
(B) 15.
(C) 18.
(D) 21.
(E) 24.
Vejamos:
Vamos considerar o polinômio p(x) = a(x – x1).(x – x2).(x
– x3), do terceiro
grau, onde x1, x2 e x3 são suas raízes.
Se suas raízes são –3, 1 e 2, então p(x) = a(x + 3).(x – 1).(x - 2).
Como o resto da divisão de p(x) por (x – 3) é igual a 24, então pelo
teorema do resto p(3) = 24 → 24 = a(3 + 3).(3 – 1).(3 - 2) → 24 =
a.6.2.1
12a = 24 → a =
2.
Finalmente, como p(x) = 2(x + 3).(x – 1).(x - 2) então p(0) = 2(0 +
3).(0 – 1).
(0 - 2) → p(0) = 2.3.(– 1).(- 2) → p(0)
= 12
5. Daniela tem 5 pulseiras diferentes e as utiliza
necessariamente colocando-as uma após a outra. Ela pode usar todas as pulseiras
em apenas um braço ou distribuí-las entre os braços direito e esquerdo. Daniela
considera como um arranjo diferente tanto o braço em que as pulseiras são
colocadas quanto a ordem como elas são distribuídas. As figuras mostram três
arranjos diferentes que Daniela pode fazer.
O número de arranjos diferentes que Daniela pode fazer usando
todas essas pulseiras é :
(A) 240.
(B) 360.
(C) 480.
(D) 600.
(E) 720.
Vejamos :
Como a ordem das pulseiras altera os resultados, então o problema é
de Arranjo.
A5,0 . A5,5 + A5,1 . A4,4 + A5,2 . A3,3 + A5,3 . A2,2 + A5,4 . A1,1
+
A5,5 . A0,0 =
5!/(5 - 0)! . 5!/(5 - 5)! + 5!/(5 - 1)! . 4!/(4 - 4)! + 5!/(5 - 2)!
. 3!/(3 - 3)! +
5!/(5 - 3)! . 2!/(2 - 2)! + 5!/(5 - 4)! . 1!/(1 - 1)! + 5!/(5 - 5)! . 0!/(0 - 0)! =
1 . 120 + 5 . 24 + 20 . 6 + 60 . 2 + 120 . 1 + 120 . 1 =
120 + 120 + 120 + 120 + 120 + 120 = 720
6. Dado um número complexo z = a + bi, com a e b reais,
define-se afixo de z como o ponto do plano complexo de coordenadas (a, b).
Sejam A, B e C os afixos dos números complexos zA = 14 + 4i, zB
= 6 – 2i e zC = 16 – 2i. A área do triângulo de vértices A, B e C é :
(A) 18.
(B) 24.
(C) 30.
(D) 36.
(E) 40.
Vejamos :
Sejam A, B e C os afixos dos números complexos zA = 14 +
4i, zB = 6 – 2i e
zC = 16 – 2i, então A(14, 4); B(6, -2) e C(16, -2).
Observando a figura abaixo :
Podemos calcular a área do ∆ABC = base.altura/2 = (16 - 6).(4 -
(-2))/2
∆ABC
= 10.6/2 = 60/2 = 30
7. Em uma empresa com 33 funcionários, 22 são fluentes em
italiano, 14 são fluentes em alemão e 27 são fluentes em francês. Sabe-se que
todos os funcionários são fluentes em pelo menos uma dessas línguas e que, no
total, 18 desses funcionários são fluentes em exatamente duas dessas línguas. O
número de funcionários nessa empresa que são fluentes nessas três línguas é :
(A) 2.
(B) 3.
(C) 4.
(D) 5.
(E) 6.
Vejamos :
Em uma empresa com 33 funcionários → x + y + z + a + b + c + d = 33
● 22 são fluentes em italiano → x +
a + b + c = 22
●14 são fluentes em alemão →
y + a + c + d = 14
● 27 são fluentes em francês → z + b + c + d = 27
● 18 desses funcionários são fluentes em exatamente duas dessas
línguas → a + b + d = 18.
Como para três conjuntos, podemos escrever :
n(I U A U F) = n(I) + n(A) + n(F) - n(I ∩ A) - n(I ∩ F) - n(A ∩ F) +
n(I ∩ A ∩ F)
33 = 22 + 14 + 27 - [n(I ∩ A) + n(I ∩ F) + n(A ∩ F)] + n(I ∩ A ∩ F)
33 = 22 + 14 + 27 - (a + c + b + c + d + c) + c
33 = 22 + 14 + 27 - (a + b + d ) – 3c + c
33 = 22 + 14 + 27 - 18 – 2c
33 = 45 – 2c → 2c = 12 → c
= 6
8. A reta r, de equação y = 4, intersecta a reta t, formando um
trapézio de área 12 com o sistema de eixos cartesianos, conforme mostra a
figura.
Se a reta t intersecta o eixo x no ponto de abscissa –4, ela
intersecta o eixo y no ponto de ordenada :
(A) 8.
(B) 9.
(C) 10.
(D) 11.
(E) 12
Vejamos :
Observando a figura abaixo podemos dizer que como a área do trapézio
é 12, então :
Área = (base maior + base menor). altura/2 → 12 = (4 + m).4/2 → m = 2
Portanto como a reta t passa pelos pontos (-4, 0) e (- 2, 4), então
será do
tipo y = ax + b, tal que 0 = -4a + b e 4 = - 2a + b. Resolvendo o
sistema
4a = b e 4 + 2a = b → 4a = 4 + 2a → 2a = 4 → a = 2 → b = 8 .
Finalmente
y = 2x + 8, intersecta o eixo y no ponto (0, 8), de ordenada 8.
9. Um restaurante tem 30 funcionários, sendo que alguns deles
são garçons e os demais ocupam outros cargos. Em certo dia, as gorjetas foram
divididas de maneira que R$ 180,00 foram distribuídos igualmente entre os
garçons e R$ 180,00 foram distribuídos igualmente entre os demais funcionários.
Se o valor recebido por cada garçom foi R$ 15,00, o valor recebido por cada um
dos demais funcionários foi :
(A) R$ 5,00.
(B) R$ 10,00.
(C) R$ 15,00.
(D) R$ 20,00.
(E) R$ 25,00.
Vejamos :
Um restaurante tem 30 funcionários, sendo que alguns deles são
garçons(x) e os demais(y), x
+ y = 30.
As gorjetas foram divididas de maneira que R$ 180,00 foram
distribuídos
igualmente entre os garçons(180/x)
e R$ 180,00 igualmente entre os
demais funcionários(180/y).
Se cada garçom recebeu R$ 15,00 → 180/x = 15 → x = 12 → y
= 18.
Portanto os demais funcionários receberam 180/18 = R$ 10,00
10. A figura mostra parte do gráfico da função f(x) = senx/(cosx - 2)
No intervalo aberto (0, 2π), a solução de sen (x) > f(x) é o
conjunto:
(A) {x ε R / 0 < x < π/2}
(B) {x ε R / π/2 < x < π}
(C) {x ε R / 0 < x < π}
(D) {x ε R / π < x < 2π}
(E) {x ε R / 0 < x < 2π}
Vejamos :
Como sen (x) > f(x) e f(x) = senx/(cosx - 2), então senx > senx/(cosx
- 2)
senx.(cosx - 2) - senx > 0 → senx.(cosx – 2 - 1) > 0 → senx.(cosx
- 3) > 0
Resolvendo a inequação produto, obtemos :
senx = 0 ou cosx = 3 (não convém, porque o maior valor do cosseno é
1)
Portanto
como senx > 0 então 0 < x < π.
11. Uma folha de papel retangular de área 32 cm2 ,
colorida na frente e branca no verso, é dobrada ao longo de uma linha
tracejada. Após essa dobra, a parte do verso da folha que fica visível tem a
forma de um triângulo e a parte colorida que não ficou encoberta tem a forma de
um pentágono, conforme mostra a figura.
Dado que o perímetro desse pentágono é 24 cm, a diferença entre
o maior e o menor lado dessa folha de papel é :
(A) 2 cm.
(B) 3 cm.
(C) 4 cm.
(D) 5 cm.
(E) 6 cm.
Vamos imaginar que a folha de papel retangular, tenha dimensões x e
y,
como sua área 32 cm2 , então x.y = 32.
Agora através do desenho podemos notar que como o perímetro desse
pentágono é 24 cm, então y + a + x – a + y + x = 24 → 2x + 2y = 24 →
x + y = 12.
Resolvendo o sistema xy = 32 e x + y = 12 ou x = 12 – y,
encontraremos :
(12 - y).y = 32 → 12y – y2 = 32 → y2 – 12y +
32 = 0 → ∆ = 144 – 128 = 16
y = (12 ± 4)/2 → y' = 8 ou y'' = 4 → x' = 4 ou x'' = 8.
Portanto
a diferença entre o maior e o menor lado é igual a 4 cm.
12. Um cubo de isopor foi cortado em dois paralelepípedos
reto-retângulos congruentes, cada um com área total igual a 144 cm2
. A medida da aresta desse cubo é :
(A) 6 cm.
(B) 8 cm.
(C) 12 cm.
(D) 18 cm.
(E) 24 cm
Vejamos :
ÁTotal 1 = 2ax + 2a2 + 2ax = 144 → 2a2
+ 4ax = 144
ÁTotal 2 = 2ay +
2a2 + 2ay = 144 → 2a2 + 4ay = 144
ÁTotal 1 = ÁTotal 2 → 2a2 + 4ax =
2a2 + 4ay → 4ax = 4ay → x = y, como
a = x + y → a = x + x → a = 2x → x = a/2 ou y = a/2
Agora se 2a2 + 4ax = 144 e x = a/2 → 2a2 +
4a.a/2 = 144 → 2a2 + 2a2
= 144
4a2 = 144 → a2 = 36 → a = 6 cm
13. Os pontos D, E e F pertencem aos lados de um triângulo
retângulo ABC, determinando o retângulo BFDE, com BF = 6 cm, conforme mostra a
figura.
Dadas as medidas AB = 8 cm e BC = 10 cm, o comprimento do
segmento BE é :
(A) 2,4 cm.
(B) 2,7 cm.
(C) 3 cm.
(D) 3,2 cm.
(E) 3,5 cm.
Vejamos :
Através de semelhança entre esses triângulos
Portanto AB/BC = AE/ED → 8/10 = AE/6 → 10AE = 48 → AE = 4,8 cm,
então como AB = AE + EB → 8 = 4,8 + EB → EB = 3,2 cm.
14. Parte dos gráficos de duas funções polinomiais do primeiro
grau, f e g, estão representados na figura, em que f(3) = g(3).
Se f(4) = 0 e g(0) = 0, o conjunto solução de f(x).g(x) > 0 é
:
(A) {x ∈ IR | x < 0}
(B) {x ∈ IR | 0 < x < 4}
(C) {x ∈ IR | 3 < x < 4}
(D) {x ∈ IR | x > 3}
(E) {x ∈ IR | x > 4}
Vejamos :
Se f(x) e g(x) são funções polinomiais do primeiro grau então são do
tipo
f(x) = ax + b g(x) = cx + d.
Se f(4) = 0 → 4a +
b = 0 e g(0) = 0 → c.0 + d = 0 → d = 0.
Como f(3) = g(3) = 2 → f(3) = 3a
+ b = 2 e g(3) = 3c = 2 → c = 2/3
Resolvendo o sistema 4a + b = 0 → b = - 4a e 3a + b = 2 → 3a – 4a =
2 →
a =
- 2 e b =
8.
Assim sendo f(x) = - 2x + 8 e g(x) = 2x/3, então f(x).g(x) > 0 →
(- 2x + 8).(2x/3) > 0 → - 2x + 8 = 0 → x = 4 e 2x/3 = 0 → x = 0.
Analisando os sinais das funções :
0 4
------------------○------------------○------------------
f(x) -----------+------○----------+------○---------‾----------
g(x)
--------‾---------○----------+------○----------+--------
f(x).g(x) ------‾------○-----------+------○----------‾---------
Finalmente f(x).g(x) > 0 → {
x ɛ R / 0 < x < 4}
15. No triângulo retângulo ABC, AB = 4 cm e o segmento AD divide
o ângulo BÂC em dois ângulos de medidas α e β. D é um ponto do cateto BC, tal
que CD = 3 cm e DB = 2 cm, conforme mostra a figura :
Dada a identidade trigonométrica tg(α + β) = (tgα + tgβ)/(1 –
tgα.tgβ), o valor de tg β é:
(A) 2/7
(B) 3/8
(C) 4/9
(D) 5/11
(E) 6/13
Vejamos :
Observando a figura, podemos notar que tgα = DB/AB = 2/4 = 1/2 e
tg(α + β) = CB/AB = 5/4.
Através da identidade trigonométrica tg(α + β) = (tgα + tgβ)/(1 –
tgα.tgβ)
5/4 = (1/2 + tgβ)/(1 – 1/2.tgβ) → 5.(1 - tgβ/2) = 4.(1/2 + tgβ) →
5.(2 - tgβ)/2 = 4.(1+ 2tgβ)/2 → 10 – 5tgβ = 4 + 8tgβ → - 5tgβ – 8tgβ
= 4 – 10
- 13tgβ = - 6 → tgβ
= 6/13
