QUESTOES FGV 2017 – TIPO ANALITICA – COMENTADAS

1.    (Fgv 2017)  O diagrama seguinte indica o número de veículos que passaram em cada trecho de quatro avenidas de mão única na última hora. Por exemplo, 300 veículos passaram, nessa hora, pelo trecho da Av. Stuart Mill que antecede o cruzamento D. Sabe-se ainda que, nessa hora, passaram 500 veículos entre os cruzamentos de D e C, x veículos de D para A, y veículos de B para A e z veículos de B para C. Interpretando os cruzamentos do diagrama, pode-se deduzir, por exemplo, que x + y = 1300 (dedução a partir da análise do cruzamento A).

                        

a) Calcule x, y e z.

b) Substitua, no diagrama original, a quantidade de 500 veículos que trafegam de D para C na hora analisada por uma quantidade desconhecida de t veículos. Considerando que x, y, z e t são inteiros positivos, determine quantos são os valores possíveis para t.

  

Resposta da questão 1:
 a) Considerando cada carro que chega e sai do cruzamento, pode-se escrever :

Em A → x + y = 500 + 800 → x + y = 1300

Em B → y + z = 400 + 1400 → y + z = 1800

Em C → z + 500 = 700 + 1300 → z = 1500

Em D → x + 500 = 300 + 1200 → x = 1000 → y = 300 → z = 1500

b) Calculando:

Em A → x + y = 500 + 800 → x + y = 1300

Em B → y + z = 400 + 1400 → y + z = 1800

Em C → z + t = 700 + 1300 → z + t = 2000 → z = 2000 - t

Em D → x + t = 300 + 1200 → x + t = 1500 → y = 1500 – t

Entao : x = 1500 – t  ,  y = t – 200  e  z = 2000 - t

Como x ≥ 0,  y ≥ 0,  z ≥ 0  e  t ≥ 0, vem :

1500 – t ≥ 0 → t ≤ 1500,  t – 200 ≥ 0 → t ≥ 0 e 2000 – t ≥ 0 → t ≤ 2000

Finalmente 200 ≤ t ≤ 1500 → 1301 valores inteiros possiveis

 

2. (Fgv 2017)  Uma fórmula que mede a magnitude M de um terremoto pode ser escrita como M = 0,67.logE – 3,25, sendo E a energia mecânica liberada pelo abalo, medida em Joules.

a) Calcule, por meio da fórmula dada, a energia mecânica liberada por um terremoto de magnitude 2,11.

b) A figura a seguir mostra um modelo trigonométrico que, por meio da função cosseno y = A + B.cos(mx + n), ajuda a prever a magnitude de terremotos em uma ilha do Pacífico. Nesse modelo, y indica a magnitude do terremoto, e x indica o ano de ocorrência, sendo x = 1 correspondente ao ano 1980, x = 6 correspondente ao ano 1990, x = 11 correspondente ao ano 2000, e assim sucessivamente.

                      

Determine domínio, imagem e período da função cujo gráfico está indicado na figura. Em seguida, determine os valores dos parâmetros A, B, m e n da lei dessa função.

 

Resposta da questão 2:
 

a) Calculando: M = 0,67 . log(E) – 3,25 = 2,11 → 0,67 . log(E) = 5,36 →

log(E) = 8 → E = 10⁸ joules

b) Calculando:

Dominio → D =  R

Imagem → Im = {4, 8}

Periodo → T = 11 – 1 = 10

Atraves do gráfico : T = 2π/m = 10 → m = π/5  ,  n/m = -1 → n = - π/5  ,

A + B.1 = 8 e A + B.(-1) = 4 → A = 6  e  B = 2

   

3. (Fgv 2017)  A figura indica o gráfico das funções reais f, g, h e i, dadas, respectivamente, pelas leis f(x) = x³ – 3x² + 3, g(x) = 2x +3, h(x) = 2x e i(x) = 2x – 3

a) As abscissas de três dos doze pontos (A,B,C,...,J,K,L) marcados na figura correspondem às soluções da equação x³ – 3x² = 2x Quais são esses pontos, e quais são suas abscissas?

b) Seja m uma constante real positiva e sabendo que a equação x³ – 3x² = m² - 16 possui três soluções reais, determine, com o auxílio da figura, o conjunto de todos os possíveis valores de m.

  

Resposta da questão 3:
 a) A equação dada corresponde à f(x) = g(x), ou seja:

   x³ – 3x² + 3 = 2x +3 → x³ – 3x² = 2x

 

Logo, a solução da equação serão os pontos de intersecção das funções g(x) e f(x), portanto os pontos A, B e C. As coordenadas destes pontos serão:

   x³ – 3x² = 2x → x³ – 3x² - 2x = 0→x(x² – 3x - 2) = 0→x = 0 ou x = (3±√17)/2

b) O gráfico da equação de y = m² - 16 será uma reta paralela ao eixo y. Já a equação y = x³ – 3x² fornecerá um gráfico com aspecto a seguir:

Assim, a equação dada possuirá três soluções reais somente se:

- 4 < m² - 16 < 16 → 12 <  m² < 16 → - 4 < m < -2√3 (não convem > 0) ou

2√3 < m < 4 → S = { m ε R / 2√3 < m < 4 }   

4. (Fgv 2017)  O diagrama a seguir mostra o padrão de formação de uma figura com formato de losango, construída com palitos de fósforo idênticos.

a) Determine uma expressão do total de palitos da figura em função de n.

b) Considerando que o comprimento de cada palito é igual a 4 cm, calcule a área do losango formado no caso em que n = 20.

Desconsidere os espaços nas junções entre palitos.

 

Resposta da questão 4:

 a) Desenhando:

                

Logo, se em cada direção há n + 1 linhas, cada um com n palitos, nas

duas direções serão 2n.(n+1) palitos. O losango está todo dividido em n

losangos menores, portanto n.n = n² losangos. Cada um desses possui

um palito “entre as linhas”, logo n² palitos. Assim, a expressão do total

de palitos será: f(n) = n² + 2n.(n+1) = 3n² + 2n

b) Calculando: n . n = 20.20 = 400 losangos menores

    Como um losango menor = 2 triangulos equiláteros de lado 4cm, então

    S_Δ = 4²√3/4 = 4√3 e S_TOTAL = 2 . 400 . 4√3 = 3200√3 cm²

  

5. (Fgv 2017)  a) Represente graficamente no plano cartesiano a função:

             

Se a função P(t), em centenas de reais, expressa o preço de um produto depois de estar t anos no mercado (0 ≤ t ≤ 8), qual foi o preço máximo alcançado pelo produto?

b) Qual foi o menor preço alcançado pelo produto nesse período de 8 anos?

  

Resposta da questão 5:
 a) Gráfico:

                          

Preço máximo:

0 ≤ t ≤ 8 → P_máx(t) = 10 → preço_máx = 100.10 = R$ 1000,00

 b) Preço mínimo:

  0 ≤ t ≤ 8 → P_mín(t) = 4 → preço_mín = 100.4 = R$ 400,00

6. (Fgv 2017)  A evolução mensal do número de sócios de uma revista de Matemática durante o ano de 2015 está expressa pela função:

   

em que x = 1 representa janeiro de 2015, x = 2 representa fevereiro de 2015, e assim por diante.

a) Faça um esboço do gráfico da função. Qual foi o maior número de sócios nesse período?

b) Qual foi a média aritmética do número de sócios nos doze meses de 2015?  

Resposta da questão 6:
 a) Calculando:

 

    f(1) = 100 - 1(1 - 4) = 103

   

    f(2) = 100 - 2(2 - 4) = 104 

    f(3) = 100 - 3(3 - 4) = 103   

    f(4) = 100 - x(x - 4) = 100 

    f(5) = f(6) = f(7) = f(8) = f(9) = 100

    f(10) = 100 + (10 - 9).(10 - 12) = 98

    f(11) = 100 + (11 - 9).(11 - 12) = 98

     f(12) = 100 + (12 - 9).(12 - 12) = 100

     Portanto f_máx.(x) = 104

b) Calculando:

    (103 + 104 + 103 + 100.6 + 98 + 98 + 100)/12 = 100,5

  

7. (Fgv 2017)  a) Duas lojas de roupas A e B vendem o mesmo produto com preços diferentes. Se ambas as lojas dessem um desconto para pagamento à vista, o preço com desconto da loja A seria menor que o preço com desconto da loja B? Sabe-se que na loja A o desconto foi de 10% sobre o preço à vista e na loja B, o desconto foi de 15% sobre o preço à vista. Sabe-se ainda que, na loja A, o desconto foi de R$ 40,00 e, na loja B, o desconto foi de R$ 54,00.

b) Em março de 2016, o lucro de certa empresa em relação ao de fevereiro do mesmo ano aumentou 15% e foi de R$ 4140,00.

Se o aumento do lucro de março em relação ao de fevereiro fosse de 10%, qual teria sido o valor do lucro obtido pela empresa em março?

Resposta da questão 7:
 a) Calculando:

    x_A = preço integral em A  e  x_B = preço integral em B

  

    x_A . 0,1 = 40 → x_A = 400 → x_A - 0,1_. x_A = 400 – 40 = 360

 

    x_B . 0,15 = 54 → x_B = 360 → x_B - 0,15_. X_B = 360 – 54 = 306

    Assim, a loja A o produto tem um preço à vista maior que na loja B.

b) Calculando:

    x = lucro fevereiro

  

    março → 1,15x = 4140 → x = 3600 → 3600.1,1 = R$ 3960,00

    O valor do lucro seria de 3960,00 reais.  

8. (Fgv 2017)  Sob o olhar do juiz, o confronto entre advogados e promotores para convencer sete jurados, cuja decisão traçará o destino dos réus, é a imagem mais conhecida da Justiça. Retratados em filmes e obras literárias, os tribunais do júri são o momento mais aguardado e costumam selar histórias de dor e sofrimento. No Brasil, o júri popular é previsto no Código de Processo Penal para julgar crimes contra a vida. (...)

Podem alistar-se para participar de julgamentos os cidadãos maiores de 18 anos de ‘notória idoneidade’, ou seja, sem antecedentes criminais (...) No dia do julgamento, devem comparecer ao tribunal 25 jurados, assim como as testemunhas convocadas e o réu (...) Se ao menos 15 jurados convocados comparecerem, são instalados os trabalhos.

Adaptado de: http://www.terra.com.br/noticias/infograficos/juri-popular/

São sorteados sete jurados para compor o chamado Conselho de Sentença. O advogado de defesa e o Ministério Público podem recusar os jurados sorteados, até três cada parte, sem motivar a recusa.

Considere o cenário apresentado e responda:

a) Para a condução do sorteio, utilizam-se pequenas esferas sólidas de raio 1cm. Se 25 esferas forem armazenadas em uma urna em forma de cubo, qual deve ser o valor da aresta desse cubo, de forma que a soma do volume das esferas corresponda a 10% do volume da urna? Utilize a aproximação π = 3.

b) Considere que, após os vetos do advogado de defesa e do Ministério Público, tenham restado apenas 9 indivíduos aptos a compor o Conselho de Sentença. Qual é o número de possíveis composições (de 7 jurados cada) para o conselho?

c) Suponha que existam 4 mulheres e 5 homens no grupo de indivíduos aptos a compor o Conselho de Sentença. Nessa situação, qual é a probabilidade de que as quatro mulheres participem, juntas, do conselho?

Resposta da questão 8:
 a) A soma dos volumes das 25 esferas equivale a 10% do volume do cubo: 25 . 4/3 . π . 1³ = 10/100 . a³ → 25 . 4/3 . 3 . 1³ = 10/100 . a³ →

    a³ = 1000 → a = 10cm

 

b) de um conjunto de nove elementos devemos escolher um subconjunto com sete elementos.

C_9,7 = 9!/7!2! = 36

c) considerando que o corpo de jurados será formado por todas as mulheres, iremos precisar de 3 homens que serão escolhidos entre os 5 homens do grupo. Portanto a probabilidade P pedida será dada por:

P = C_5,3 / 36 = 10/36 = 5/18

  

9. (Fgv 2017)  No fim de dezembro de 2013, quando surgiram os primeiros sinais da crise hídrica, o nível do Cantareira era de 27,5% do volume útil, sem contar com nenhuma cota do volume morto. (...)

Três índices de medição

O site da Sabesp informa três percentuais diferentes do nível do Cantareira. O primeiro índice [Índice 1], que hoje está em 29,3%. corresponde ao volume armazenado de água em relação ao volume útil do sistema.

Por determinação da Justiça, a companhia foi obrigada a fornecer outros dois índices. A taxa 2 [Índice 2], que está em 22,6% e é adotada pelo UOL, equivale à quantidade de água existente em relação ao volume total do Cantareira, incluindo as duas cotas do volume morto que passaram a ser usadas.

Já o índice 3 [Índice 3], que está em 0%, representa o quanto de água tem, excluindo o volume morto, em comparação com o volume útil do sistema.

Adaptado de: http://noticias.uol.com.br/cotidiano/ultimas-noticias/2015/12/30/apos-mais-de-um-ano-e-meio-cantareira-sai-do-volume-morto.htm?mobile

A partir da leitura do texto acima, responda às seguintes questões.

a) Qual é o tamanho do volume útil do Cantareira, em porcentagem, em relação ao volume total desse sistema?

b) Se o Índice 1 passar de 29,3% para 35% para quanto passará o Índice 2?

c) Suponha que o sistema Guarapiranga demore 1 hora para fornecer 60000 metros cúbicos de água e que um outro sistema disponível para abastecer a região da Grande São Paulo demore 2 horas para fornecer essa mesma quantidade de água. Trabalhando juntos, quanto tempo (em minutos) esses dois sistemas demorarão para fornecer 60000 metros cúbicos de água?

Resposta da questão 9:
 Considerando que:

V_u = volume útil

V_m = volume morto

x_u = quantidade de água no volume útil

x_m = quantidade de água no volume morto

a)    De acordo com os índices citados no enunciado, podemos escrever o seguinte sistema:

        (x_u + x_m) / V_u = 0,293

        (x_u + x_m) / (V_u + V_m) = 0,226    

         x_u  / (V_u + V_m) = 0 → x_u = 0

Do sistema acima podemos escrever que:  

    x_m =  V_u . 0,293   e   x_m =  (V_u + V_m) . 0,226    

Igualando as equações, temos:

V_u . 0,293 = (V_u + V_m) . 0,226  →   V_u / (V_u + V_m) = 0,226 / 0,293 = 77,13%

b) Considerando que o aumento ocorre apenas nas quantidades de água, já que os volumes são constantes, podemos escrever que o índice 2 passará a ser: 35/29,3 . 22,6 ≈ 27%

c) A represa de Guarapiranga fornece em uma hora 60000 metros cúbicos de água.

A outra represa fornece 30000 metros cúbicos por hora.

Portanto estas duas represas juntos fornecem 90000 metros cúbicos por hora.

Considerando que t é o tempo para que juntas forneçam 60000 metros cúbicos, temos: t = 60000/90000 = 2/3 h = 40 minutos

  

10. (Fgv 2017)  Como resultado de um processo ganho na justiça, Hélio deveria ter recebido, no início de 2006, a quantia de R$4000,00 da empresa Alfa. No mesmo período (início de 2006), Hélio devia R$1000,00 em sua fatura de cartão de crédito. Nenhuma dessas quantias foi quitada à época.

Para atualizar (corrigir) valores monetários ao longo do tempo, pode-se utilizar o regime de capitalização de juros compostos. É válida a seguinte relação matemática: M = C.(1 + i)ⁿ, em que M é o montante; C é o capital; i é a taxa de juros e n é o número de períodos de capitalização. Por exemplo, aplicando-se o capital de R$1000,00  à taxa de 5,00% ao mês, por um mês, obtém-se o montante de R$1050,00.

A tabela abaixo contém valores para o termo .(1 + i)ⁿ, para i e n selecionados.

 

Utilize as informações do enunciado para responder às seguintes questões:

a) Suponha que a taxa de juro utilizada para atualizar o valor que Hélio tem a receber da empresa Alfa seja igual a 1,00% ao mês. Qual será o valor que a empresa Alfa deverá pagar a Hélio no início de 2016, ou seja, após exatos 10 anos?

b) Suponha que a taxa de juro utilizada para atualizar a dívida da fatura de cartão de crédito seja igual a 4,00% ao mês. No início de 2016, ou seja, após exatos 10 anos, qual é o valor atualizado dessa dívida de Hélio?

c) Suponha que Hélio receba da empresa Alfa, no início de 2016, o valor devido. Quanto, no máximo, poderia ter sido a dívida de Hélio em sua fatura de cartão de crédito, em valores do início de 2006, de forma que ele pudesse quitá-la, no início de 2016, com o valor recebido da empresa Alfa?

Nota: taxa de juro utilizada para atualizar:

- o valor recebido por Hélio da empresa Alfa: 1,00% ao mês.

- a dívida da fatura de cartão de crédito: 4,00% ao mês.  

  

Resposta da questão 10:
 a) 4000.(1 + 1/10)¹²⁰ = 4000 . 3,3004 = 13201,60

Resposta: R$ 13201,60

b) 1000.(1 + 4/10)¹²⁰ = 1000 . 110,6626  = 110662,60

   Resposta: R$ 110662,60

c) Considerando que x seja o valor pedido, temos:

   x . (1 + 4/10)¹²⁰ = 13201,60 → x . 110,6626  = 13201,60 → x = 119,30

   Resposta: R$ 119,30