1. (Uece 2017)
As medidas,
em metro, dos comprimentos dos lados de um triângulo formam uma progressão
aritmética cuja razão é igual a 1. Se a medida de um dos ângulos internos deste
triângulo é 1200 então, seu perímetro é :
a) 5,5
b) 6,5
c) 7,5
d) 8,5
Resposta
da questão 1: [C]
Sabemos que o maior lado de um
triângulo é oposto ao seu maior ângulo. Podemos, então aplicar o teorema dos
cossenos no triângulo considerado no enunciado:
(x + 1)2 = x2 + (x - 1)2 – 2.x.(x -
1).cos1200
x2 + 2x + 1 = x2 + x2 – 2x + 1 – 2.x.(x -
1).(-1/2)
x2 + 2x + 1 = x2 + x2 – 2x + 1 + x2
– x → 2x2 – 5x = 0 → x' = 0(?) ou x'' = 5/2
Portanto, o perímetro P do triângulo
será dado por P = x + x – 1 + x + 1 →
P = 3x = 3.5/2 = 7,5
2. (Uece 2017)
O quadro
numérico apresentado a seguir é construído segundo uma lógica estrutural.
Considerando a lógica estrutural do quadro acima,
pode-se afirmar corretamente que a soma dos números que estão na linha de
número 41 é
a) 4443
b) 4241
c) 4645
d) 4847
Resposta
da questão 2:[B]
Os elementos da primeira coluna
constituem uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 1e razão 2.
Logo, o primeiro elemento da linha de número 41 é dado por 1 + 40.2 = 81.
Desde que cada elemento da primeira
coluna figura n vezes em cada linha n, com 1 ≤ n ≤ 51 e n є N, podemos concluir
que a resposta é dada por
41.81 + (83 + 101).10/2 = 4241.
3. (Uece 2017)
Se x e y são
números reais tais que 5y + 2x = 10, então, o menor valor que x2 + y2
pode assumir é :
a) 70/13
b) 97/17
c) 100/29
d) 85/31
Resposta da questão 3:[C]
Desde que y = (10 – 2x)/5, temos x2 + y2
= x2 + [(10 – 2x)/5]2 =
x2 + (100 – 40x + 4x2)/25 =
(25x2 + 100 – 40x + 4x2)/25 =
(29x2 + 100 – 40x )/25 = 29x2/25
– 8x/5 + 4
Logo, sendo - ∆/4a = -[(-8/5)2
– 4.(29/25).4]/4.(29/25) = 100/29
4. (Uece 2017)
A função real
de variável real definida por f(x) = (2x + 3)/(4x + 1), para x ǂ - 1/4 é
invertível. Sua inversa g pode ser expressa na forma g(x) = (ax + b)/(cx + d),
onde a, b, c e d são números inteiros.
Nessas condições, a soma a + b + c + d é um número
inteiro múltiplo de :
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
Resposta
da questão 4: [C]
Se f(x) = (2x + 3)/(4x + 1), então y
= (2x + 3)/(4x + 1) → y(4x + 1) = 2x + 3 →
4xy + y = 2x + 3 → 4xy – 2x = - y + 3
→ x(4y – 2) = - y + 3 →
x = (-y + 3)/(4y - 2) ou x = (y -
3)/(-4y + 2)
Portanto, temos g(x) = (x - 3)/(-4x +
2) e, assim, desde que
1 – 3 – 4 + 2 = - 4, podemos afirmar
que a soma a + b + c + d é um número
inteiro múltiplo de 4.
5. (Uece 2017)
Se f é a
função real de variável real definida por f(x) = log(4 – x2) + √(4x
– x2), então, o maior domínio possível para f é :
a) {x ϵ R/ 0 ≤ x < 4}
b) {x ϵ R/ 2 < x < 4}
c) {x ϵ R/ - 2 < x < 4}
d) {x ϵ R/ 0 ≤ x < 2}
Resposta
da questão 5: [D]
O
maior domínio possível para f corresponde ao conjunto de números
reais
que satisfazem simultaneamente as desigualdades 4 – x2 > 0 e x2
–
4x
≤ 0. Desse modo, como 4 – x2 > 0 → - 2 < x < 2 e x2
– 4x ≤ 0 → 0 ≤ x ≤ 4,
podemos concluir que a resposta é {x є R / 0 ≤ x < 2}
6. (Uece 2017)
Seja f : R →
R uma função tal que f(nx) = [f(x)]n para todo número inteiro n e
todo número real x. Se f(1) = 3 então, o valor da soma f(1) + f(2) + f(3) +
f(4) + f(5) + f(6) + f(7) é :
a) 4568
b) 2734
c) 3117
d) 3279
Resposta
da questão 6:[D]
Tomando
x = 1 e sabendo que f(1) = 3, vem f(n.1) = [f(1)]n → f(n) = 3n.
Portanto,
segue que o resultado é igual a f(1) + f(2) + ... + f(7) = 31 + 32
+ ...
+
37 = 3.(37 - 1)/(3 - 1) = 3279
7. (Uece 2017)
O produto dos
valores dos números reais λ para os quais a igualdade entre pontos do R2,
(2x + y, x - y) = (λx, λy) ocorre para algum (x, y) ǂ (0, 0) é igual a :
a) -2
b) -3
c) -4
d) -5
Resposta
da questão 7:[B]
De acordo com a igualdade acima,
podemos escrever que:
2x + y = λ.x e x -
y = λ.y → (2 - λ)x + y = 0 e x - (1 + λ)y = 0 →
Para que o sistema homogêneo admita
outras soluções além da (0, 0)
devemos considerar que seu
determinante dos coeficientes seja nula:
(2 - λ).(-1 - λ) – 1 = 0 → λ2
– λ – 3 = 0.
Logo, o produto das raízes λ1
e λ2 será dado por: λ1 . λ2
= -3/1 = - 3
8. (Uece 2017)
Quantos são
os números naturais pares formados com quatro dígitos que têm pelo menos dois
dígitos iguais?
a) 2204
b) 2468
c) 2096
d) 2296
Resposta
da questão 8:[A]
Existem 9.10.10.5 = 4500 números
naturais pares de quatro algarismos distintos ou não. Portanto, como há 9.8.7 =
504 pares com algarismos distintos que terminam em zero, e 8.8.7.4 = 1792 pares
com algarismos distintos que não terminam em zero, podemos concluir que a
resposta é 4500 – 504 – 1792 = 2204.
9. (Uece 2017)
Quantos
números inteiros positivos pares, com três dígitos distintos, podemos formar
com os algarismos 3, 4, 5, 6 e 7?
a) 24
b) 28
c) 32
d) 36
Resposta
da questão 9: [A]
Para
a última casa decimal, temos 2 possibilidades (4 ou 6), já que o número é par.
Como o número é formado por algarismos distintos temos 4 possibilidades para a
primeira casa decimal e 3 possibilidades para a segunda casa decimal. Portanto,
o total de números inteiros positivos que podemos formar será dada por: 4.3.2 =
24.
10. (Uece 2017)
O coeficiente
de x6 no desenvolvimento de
(2x + 1/x2)3. (x2
+ 1/2x)3 é :
a) 18
b) 24
c) 34
d) 30
Resposta
da questão 10:[B]
Sendo
Tp+1
= C3,p . (2x)3-p.(1/x2)p = C3,p
. 23-p. /x3 - 3p o
termo geral de (2x + 1/x2)3 ;
Tq+1
= C3,q . (x2)3-q.(1/2x)q = C3,q
. 2-q. /x6 – 3q o
termo geral de (x2 + 1/2x)3 e
Tp+1 . Tq+1 = C3,p . C3,q
. 23-p-q . x9-3p-3q
Logo,
deve-se ter p + q = 1, o que implica em (p, q) = (0, 1) ou (p, q) = (1, 0)
Em
consequência, a resposta é C3,0
. C3,1 . 22 + C3,1 . C3,0 . 22 = 24
11. (Uece 2017)
Um cubo cuja
medida de cada aresta é 3 dm está inscrito em uma esfera de raio R. A medida de
um diâmetro 2R da esfera é :
a) 2√3 dm
b) 3√2
dm
c) 3√3
dm
d) 4√3
dm
Resposta
da questão 11:[C]
Sabendo que a medida do diâmetro da
esfera é igual à medida da diagonal do cubo, temos 2R = 3√3 dm.
12. (Uece 2017)
Considerando-se
um cubo cuja medida de cada aresta é igual a 1m pode-se afirmar corretamente
que a medida do volume do poliedro convexo cujos vértices são os centros das
faces desse cubo é :
a) 2/3
m3
b) 2/7
m3
c) 1/6
m3
d) 4/7
m3
Resposta
da questão 12:[C]
O poliedro considerado é um octaedro
regular, seu volume será a soma dos volumes de duas pirâmides, representadas na
figura acima.
V = 2.1/3.Ab.h = 2.1/3.12/2
.1/2 = 1/6 m3.
13. (Uece 2017)
Em um plano,
munido do sistema de coordenadas cartesianas usual, as equações 3x – 2y + 6 = 0
e 3x + 4y – 12 = 0 representam duas retas concorrentes. A medida da área da
região limitada por essas retas e pelo eixo dos x é :
Dados: u.a. = unidade de área
a) 9u.a.
b) 10u.a.
c) 11u.a.
d) 12u.a.
Resposta
da questão 13:[A]
A reta y = 3x/2 + 3 intersecta o eixo
das abscissas no ponto (-2, 0) e o eixo das ordenadas no ponto (0,3). Já a reta
y = -3x/4 + 3 intersecta o eixo das abscissas no ponto (4,0) e o eixo das
ordenadas no ponto (0,3). Desse modo, a região cuja área queremos calcular
corresponde ao triângulo de vértices (-2, 0), (0, 3) e (4, 0).
O resultado é dado por 1/2 . (4 -
(-2)). 3 = 9 u.a.
14. (Uece 2017)
Em um plano,
munido do referencial cartesiano usual, seja A o ponto de interseção das retas 3x
+ y + 4 = 0 e 2x – 5y + 14 = 0. Se os pontos B e C são respectivamente as
interseções de cada uma destas retas com o eixo-x, então, a área do triângulo ABC,
é igual :
a) 13/3
u.a.
b) 14/3u.a.
c) 16/3u.a.
d) 17/3u.a.
Resposta
da questão 14: [D]
Determinando os pontos de intersecção
da reta de equação 3x + y + 4 = 0
com o eixo x. Fazendo y = 0 → x =
-4/3, então B(- 4/3, 0).
Determinando os pontos de intersecção
da reta de equação 2x – 5y + 14 =
0 com o eixo x. Fazendo y = 0, x = 7 → então C(- 7, 0)
Determinado agora a ordenado do ponto
de intersecção entre as retas,
3x + y + 4 = 0 e 2x – 5y + 14 = 0. Resolvendo
o sistema temos x = - 2 e
y = 2 (altura do triângulo) e o ponto
A(- 2, 2).
Temos então o triângulo ABC
representado abaixo:
Logo, a área A do triângulo será dada
por: A = (-4/3 - (- 7)).2/2 = 17/3 u.a.
15. (Uece 2017)
Em um plano,
munido do sistema de coordenadas cartesianas usual, as equações x2 +
y2 - 10√3 x – 25 = 0 e x2 + y2 + 10√3 x – 25 =
0 representam circunferências. Cada uma
dessas circunferências limitam uma área no plano. O comprimento da linha que
contorna a união das áreas limitadas por cada uma destas circunferências é
Dados: u.c. unidade de comprimento
a) 200π/3 u.c.
b) 80π/3 u.c.
c) 50π/3 u.c.
d) 100π/3 u.c.
Resposta
da questão 15: [D]
Completando
os quadrados, vem :
x2
+ y2 - 10√3 x – 25 = 0 → (x - 5√3)2 + (y – 0)2
= 102.
x2
+ y2 + 10√3 x – 25 = 0 → (x + 5√3)2 + (y – 0)2
= 102.
Considere
a figura, em que A e B são os pontos de interseção das duas
circunferências.
Se
O é a origem do sistema de eixos cartesianos, então ''cos OCA =
OC/AC''→
cos OCA = 5√3/10 → OCA = π/6 rad.
Portanto,
segue que AB = 2.OCA.AC = 2.(π/6).10 = 10π/3 rad.
O
resultado pedido corresponde ao dobro do comprimento do maior arco
AB,
isto é, 2.(2π.10 - 10π/3) = 100π/3 u.c.
16. (Uece 2017)
Se Ln2
≈ 0,6931, Ln3 ≈ 1,0986, pode-se afirma corretamente que Ln
√12/3 é igual a :
Dados: Lnx = logaritmo natural de x.
a) 0,4721
b) 0,3687
c) 0,1438
d) 0,2813
Resposta da questão 16: [C]
Tem-se que Ln √12/3 = Ln 2.31/2/3
= Ln 2.3-1/2 = Ln 2 - 1/2 . Ln3 ≈
0,6931 - ½ . 1.0986 ≈ 0,1438.
17. (Uece 2017)
Considere a
equação x2 + px + q = 0, onde p e q são números reais. Se as raízes
desta equação são dois números inteiros consecutivos, positivos e primos,
então, o valor de (p + q)2 é igual a :
a) 1
b) 4
c) 9
d) 16
Resposta da questão 17:[A]
Os únicos primos que são positivos e
consecutivos são os números 2 e 3,
já que existe apenas o 2 como sendo
par e primo.
Utilizando a ideia de soma e produto
das raízes, podemos considerar que:
-p/1 = 2 + 3 → p = - 5 e q/1
= 6 → q = 6.
Logo (p + q)2 = (-5 + 6)2 = 1
18. (Uece 2017)
Se as raízes
da equação x2 - 5|x| - 6 = 0 são também raízes de x2 – ax – b =
0, então, os valores dos números reais a e b são respectivamente :
a) -1
e 6.
b) 5
e 6.
c) 0
e 36.
d) 5
e 36.
Resposta
da questão 18:[C]
Sabendo
que |x|2 = x2, para todo x real, temos x2 -
5|x| - 6 = 0 →
|x|2
- 5|x| - 6 = 0 → (|x| - 6).(|x| + 1) = 0 → x = ± 6
Em consequência, das Relações de
Girard, vem a = 0 e b = 36.
19. (Uece 2017)
No plano,
seja XYZW um quadrado e E um ponto exterior a esse quadrado tal que o triângulo
YZE seja equilátero. Assim, é correto afirmar que a medida do ângulo XEW é :
a) 450
b) 400
c) 350
d) 300
Resposta da questão 19:[D]
Desde que WZ = ZE e WZE = WZY + YZE = 900
+ 600 = 1500, temos
ZWE = ZEW = (1800 – 1500)/ =
150.
Ademais, sendo congruentes por LAL os triângulos WZE
e XYE, vem
YEX = ZEW = 150 . Portanto, o resultado
é igual a XEW = YEZ – 2. ZEW =
600 – 2 . 150 = 300.
20. (Uece 2017)
Sejam UVW um
triângulo isósceles com base VW, E e F dois pontos nos lados UV e UW,
respectivamente, tais que as medidas dos segmentos de reta VW, WE, EF e FU são
iguais.
Nessas condições, pode-se afirmar corretamente que
a medida do ângulo VUW é :
a) menor
do que 210.
b) maior
do que 210 e menor do que 250.
c) maior
do que 250 e menor do que 270.
d) maior
do que 270 e menor do que 320.
Resposta da questão 20 : [C]
Considere a figura:
Se EF = FU,
então o triângulo EFU é isósceles de base EU. Daí, tomando
EUF ≡ UEF =
Ө, pelo Teorema do Ângulo Externo, vem EFW = 2Ө. Como,
EF = EW então
implica em EFW isósceles de base FW e,
assim, temos
EWF = 2Ө.
Tomando o
triângulo EUW, pelo Teorema do Ângulo Externo, concluímos
facilmente
que VEW = 3Ө. Portanto, sendo VW = EW e VU = WU, temos
UVW ≡ VWU =
3Ө.
Finalmente,
do triângulo UVW, encontramos Ө + 3Ө + 3Ө = 1800 →
7Ө = 1800
→ Ө = 1800/7.
Em consequência,
temos 250 = (175/7)0 <
VUW < (182/7)0 = 260 < 270
21. (Uece 2017)
Considere a
circunferência com centro no ponto O e cuja medida do raio é 2 m. Se AB é um
diâmetro desta circunferência e C é um ponto sobre a circunferência tal que a
medida do ângulo COB é 600 então, a medida da área da região
interior à circunferência, limitada pela corda AC e pelo menor arco determinado
por A e C, é :
a) 4π/6 - √3
b) 4π/6 + √3
c) 4π/3 - √3
d) 4π/3 + √3
Resposta
da questão 21: [C]
De acordo com as informações do
enunciado, a área pedida corresponde à região destacada na figura abaixo, ou
seja, a área de um segmento circular de 1200.
A = (π.22.1200)/3600
- ½ . 2. 2. sen1200 = 4π/3 - √3.
22. (Uece 2017)
No triângulo MPQ,
seja PH a altura relativa ao vértice P. O ponto H, no lado MQ, divide-o em dois
segmentos cujas medidas são respectivamente 3 cm e 2 cm. Se a medida da altura
(segmento PH) é 6 cm então, a medida do ângulo interno do vértice P é igual a :
a) 450
b) 300
c) 600
d) 500
Resposta
da questão 22: [A]
Aplicando
o Teorema de Pitágoras no triângulo MHP, temos
MP2
= MH2 + HP2 → MP2 = 32 + 62
→ MP = 3√5 cm
Aplicando
Pitágoras no triângulo QHP, encontramos
QP2
= QH2 + HP2 → QP2 = 22 + 62
→ QP = 2√10 cm
Portanto,
observando que MP > MQ, vem :
1/2
. MP. QP. sen MPQ = 1/2 . MQ. PH → 3√5. 2√10. sen MPQ = 5.6 →
sen
MPQ = √2/2 → MPQ = 450
23. (Uece 2017)
Se i é o
número complexo cujo quadrado é igual a -1, e n é um número natural maior do
que 2, então, pode-se afirmar corretamente que (√2 + √2 i)n é um
número real sempre que :
a) n
for ímpar.
b) n
for um múltiplo de 4.
c) n
for um múltiplo de 3.
d) n
for um múltiplo de 5.
Resposta
da questão 23: [B]
Sendo |z| e Ө, respectivamente, o módulo e o argumento
principal de
z = √2 + √2i, temos |z| = √[(√2)2
+ (√2)2] = 2 e tg Ө = √2/√2 → tg Ө = 1
Ө = 450 = π/4 rad.
Assim, vem z = 2(cosπ/4 + i.senπ/4)
e, portanto, pela Primeira Fórmula de
Moivre, encontramos zn = (√2
+ √2i)n = 2n(cos(nπ/4) + i.sen(nπ/4))
Desse modo, (√2 + √2i)n é
um número real sempre que sen(nπ/4) = 0, ou
seja, sempre que n = 4.(2k) ou n = 4.(2k + 1) com k ɛ Z.
Em outras
palavras, zn é um número
real sempre que n for um múltiplo de 4.
24. (Uece 2017)
Se i é o
número complexo cujo quadrado é igual a -1, então, o valor de 5.i227
+ i6 – i13 é igual a :
a) i + 1
b) 4i - 1
c) -6i - 1
d) -6i
Resposta da questão 24: [C]
Sabemos que: 227 = 56.4 + 3 ; 6 =
1.4 + 2 e 13 = 3.4 + 1
Portanto, 5 . i227 + i6 – i13
= 5. I3 + i2 – i = - 5i – 1 – i = - 6i – 1.
25. (Uece 2017)
O termo
independente de x no desenvolvimento da expressão algébrica (x2 - 1)3.(x2
+ x + 2)2 é :
a) 4
b) -4
c) 8
d) -8
Resposta
da questão 25: [B]
Para determinar o termo independente
de um polinômio, devemos admitir
x = 0. Portanto, o termo independente
de (x2 - 1)3.(x2 + x + 2)2 será dado
por: (02 - 1)3.(02
+ 0 + 2)2 = -1 . 4 = - 4
26. (Uece 2017)
O resto da
divisão de (264 + 1) por (232 + 1) é igual a :
a) 1
b) 0
c) 4
d) 2
Resposta
da questão 26: [D]
Considerando que 232 = x podemos escrever a divisão acima através de
uma divisão de polinômios: (x2
+ 1) por (x + 1).
O resto R da divisão de (x2
+ 1) por (x + 1) é o valor numérico de (x2
+ 1)
para x = - 1 (Teorema do Resto), ou
seja: R = (-1)2 + 1 = 2.
27. (Uece 2017)
Se os números
de divisores positivos de 6 de 9 e de 16 são as raízes da equação x3
+ ax2 + bx + c = 0, onde os coeficientes a, b e c são números reais,
então, o valor do coeficiente b é :
a) 41
b) 45
c) 43
d) 47
Resposta
da questão 27:[D]
É imediato que 6 possui 4 divisores
positivos, 9 possui 3 divisores
positivos e 16 possui 5 divisores
positivos. Logo, teremos
(x - 4)(x - 3)(x - 5) = x3 –
12x + 47x – 60 = x3 + ax2 + bx + c.
Comparando os coeficientes dos termos
de mesmo grau, vem b = 47.
28. (Uece 2017)
Sejam P(x) =
x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 um
polinômio e M o conjunto dos números reais k tais que P(k) = 0. O número de
elementos de M é :
a) 1
b) 2
c) 4
d) 5
Resposta
da questão 28:[A]
É fácil ver, por inspeção, que x = -1
é raiz de P. Logo, temos
P(x) = (x + 1)(x4 + x2
+ 1). Daí, como x4 + x2 + 1 = 0 não possui raízes reais,
podemos concluir que a única raiz
real de P é x = - 1.
Portanto, sendo M o conjunto das
raízes reais de P, seu número de
elementos é 1.
29. (Uece 2017)
Uma matriz
quadrada X = aij é simétrica quando aij = aji
. Se o determinante da matriz simétrica M é igual a 8, então, o valor da soma x
+ y + z + w pode ser :
1 2
3
M =
x 1 y
z w
1
a) 9
ou 11
b) 9
ou 25
c) 11
ou 25
d) 9
ou 13
Resposta
da questão 29: [B]
Se
M é simétrica, então x = 2, z = 3 e w = y.
Como
o determinante de M é igual a 8, temos 1 + 6y + 6y – 9 – y2 – 4 = 8
y2
– 12y + 20 = 0 → y = 2 ou y = 10.
Portanto a soma x + y + z + w pode
ser 5 + 4 = 9 ou 5 + 20 = 25.
30. (Uece 2017)
Se u, v e w são números reais tais que u + v + w
= 17, u.v.w = 135 e u.v + u.w + v.w = 87, então, o valor da soma u/vw + v/uw +
w/uv é :
a) 23/27
b) 17/135
c) 27/87
d) 16/27
Resposta da questão 30:[A]
Sabendo que (u + v + w)2 = u2
+ v2 + w2 + 2.(u.v + u.w + v.w) →
(u + v + w)2 - 2.(u.v + u.w + v.w) = u2 + v2
+ w2 →
u2 + v2 + w2 = 172
– 2.87 = 115
Portanto u/vw + v/uw + w/uv = (u2 + v2
+ w2)/u.v.w = 115/135 = 23/27
