QUESTOES VESTIBULAR ACAFE 2017 - COMENTADAS

1.(Acafe 2017)  Se 2 + 2senƟ + 2(senƟ)² + 2(senƟ)³ + 2(senƟ)⁴ + ... = 10, com 0 < Ɵ < π/2, então, |cos2Ɵ| é igual a:

a) 17/25   

b) 3/5   

c) 9/5   

d) 7/25   

  

Resposta da questão 1:[D]

A expressão dada, 2 + 2senƟ + 2(senƟ)² + 2(senƟ)³ + 2(senƟ)⁴ + ... = 10,

trata-se de PG infinita de razão igual a sen Ɵ. Sendo assim, pode-se

escrever: S_∞ = a₁/1-q → 2/1-senƟ = 10 → 10 -10senƟ = 2 → senƟ = 4/5

Como sen²Ɵ + cos²Ɵ = 1 entao (4/5)² + cos²Ɵ = 1 → cosƟ = 3/5

Como cos2Ɵ = cos² Ɵ – sen² Ɵ entao |cos2Ɵ| = |(3/5)²  – (4/5)²| = 7/25

  

2. (Acafe 2017)  Utilizando-se exatamente 1200 metros de arame, deseja-se cercar um terreno retangular de modo que a parte do fundo não seja cercada, pois ele faz divisa com um rio, e que a cerca tenha 4 fios paralelos de arame. Nessas condições, para cercar a maior área possível do terreno com o arame disponível, os valores de x e y (em metros), respectivamente, são:

a) 100 e 100   

b) 50 e 200   

c) 125 e 50   

d) 75 e 150   

  

Resposta da questão 2:[D]

Sendo o retângulo de dimensões x e y, a distância cercada será:

4y + 2.4x = 1200 → 4y + 8x = 1200 → y + 2x = 300 → y = 300 – 2x

A = xy = (300 – 2x).x = 300x – 2x² → x_MAX = -b/2a = - 300/-4 →

x_MAX = 75 → y = 300 – 2x → y = 300 – 2.75 → y = 150

   

3. (Acafe 2017)  Uma biblioteca possui 300 livros, todos do mesmo tamanho. Um funcionário pretende dividi-los igualmente entre as prateleiras da loja. Sabendo que, se os livros forem igualmente divididos entre 3 prateleiras a menos, cada prateleira receberá 5 livros a mais do que o previsto inicialmente. Assim, o número de prateleiras para colocar todos os livros é:

a) Múltiplo de 4   

b) Múltiplo de 3   

c) Entre 10 e 12   

d) Maior que 20   

  

Resposta da questão 3:[B]

Calculando: 300 livros/N prateleiras = x → x = 300/N

300/(N-3) = (x+5) → 300/(N-3) = 300/N + 5 → 60/(N-3) = 60/N + 1

N² – 3N – 180 = 0 → N = 15 ou N = - 12(não convem)

4. (Acafe 2017)  Num restaurante, uma torta de legumes pesa 250 gramas, o que equivale a 500 calorias, e a porção de carne tem 240 gramas e contém 600 calorias. Uma pessoa com restrição alimentar compra uma torta e uma porção de carne, mas ela sabe que pode ingerir no máximo 824 calorias. Considerando que x e y representam, respectivamente, em gramas, a quantidade de torta e de carne que ela pode ingerir, então, se essa pessoa consumir entre 180 gramas e 220 gramas de carne, ela só poderá comer uma quantidade de torta entre:

a) 127g e 197g   

b) 138g e 188g   

c) 137g e 187g   

d) 147g e 177g   

  

Resposta da questão 4: [C]

Para o mínimo de carne:

Se 240g → 600 calorias, então 180g → 450 calorias

Torta → 824 cal – 450 cal = 374 cal

Se 500 cal → 250 g, então 374cal →  187 g

Para o máximo de carne:

Se 240g → 600 calorias, então 220g → 550 calorias

Torta → 824 cal – 550 cal = 274 cal

Se 500 cal → 240 g, então 274cal →  137 g

5. (Acafe 2017)  Uma prova consta de 7 questões de múltipla escolha, com 4 alternativas cada uma, e apenas uma correta. Se um aluno escolher como correta uma alternativa ao acaso em cada questão, a probabilidade de que ele acerte ao menos uma questão da prova é de, aproximadamente:

a) 87%   

b) 85%   

c) 90%   

d) 47%   

Resposta da questão 5:[A]

A probabilidade de ele acertar ao menos uma questão da prova é igual a probabilidade total 100% menos a probabilidade de ele errar todas as questões. Cada questão tem a probabilidade de acerto de 25% (ou 1/4) e de erro de 75% (ou 3/4). Assim, a probabilidade de errar todas as questões seria: (3/4)⁷ = 2187/16384 = 0,1333... ≈ 13%

E a probabilidade de que ele acerte ao menos uma questão da prova é de, aproximadamente: 100% - 13% = 87%

6. (Acafe 2017)  Um candidato em um concurso realiza uma prova de múltipla escolha, em que cada questão apresenta 4 alternativas, sendo uma, e apenas uma, correta. Esse candidato sabe 68% das questões da prova; as demais questões, ele marca aleatoriamente uma das alternativas. Então, a probabilidade de ele acertar uma questão qualquer da prova (isto é, de uma questão escolhida ao acaso) é igual a:

a) 92%   

b) 76%   

c) 93%   

d) 85%   

  

Resposta da questão 6: [B]

Considere que a prova tenha 100 questões, 68% de acerto então, representa 68 questões. Cada questão tem a probabilidade de acerto de 255 (ou 1/4) e de erro de 75% (ou 3/4). Se o candidato já acertou 68 questões, restaram 32 questões onde a probabilidade de acerto de 1/4 cada uma. Assim: 32 . 1/4 = 8 questoes.

Como o candidato já acertou 68 questões, com mais 8 ele terá acertado 76 questões de um total de 100 ou seja 76%.  

7. (Acafe 2017)  Com uma chapa de um certo material na forma de um setor circular de ângulo central igual a π/4 radianos e raio igual a 5 dm, constrói-se um cone circular de volume V. Diminuindo-se em 20% o valor do raio e mantendo-se o mesmo ângulo central, a capacidade do novo cone diminui:

a) entre 49% e 50%   

b) entre 48% e 49%   

c) entre 50% e 51%   

d) entre 51% e 52%   

  

Resposta da questão 7:[B]

Vejamos :

R_Setor = geratriz  ,  l = α . R = π/4 . 5 = 5π/4  ,  2πR²_Cone = 5π/4 → R_Cone = 5/8

g² = R² + h² → 5² = (5/8)² + h² → h = 15√7/8.

Reduzindo g → 20% de g → 20% . 5 = 0,2 . 5 = 4 → nova geratriz = 4

l = α . R = π/4 . 4 = π  ,  2πR_Cone = π → R_Cone = 1/2

g² = R² + h² → (4)² = (1/2)² + h² → h = 3√7/2

Volume_antes = 1/3 . π . (5/8)².15√7/8 = 1/3 . π . 25/64 .15√7/8

Volume_depois = 1/3 . π . (1/2)².3√7/2 = 1/3 . π . 1/4 .3√7/2

V_depois/V_antes  = (1/3 . π . 1/4 .3√7/2)/( 1/3 . π . 25/64 .15√7/8) = 64/125 = 0,512

V_depois/V_antes  = 51,2% → redução de 48,8%

8. (Acafe 2017)  Um cone de revolução tem altura 8 cm e está circunscrito a uma esfera de raio igual a 2 cm A razão entre o volume da esfera e o volume do cone igual a :

a) 1/4   

b) 1/8   

c) 1/2   

d) 2   

  

Resposta da questão 8: [C]

Calculando

                                    

OM = OP = R_esfera = 2 cm  e  AO  = 8 – 2 = 6 cm

OA² = OP² + AP² → 36 = 4 + AP² → AP = 4√2 cm

R_Cone  = MC

Como o ΔAMC ~ ΔAPQ, então AM/AP = MC/PO → 8/4√2= MC/2 → MC = 2√2

V_Esfera  = 4/3 . π . 2³ = 32π/3 cm³

V_Cone  = 1/3 . π . (2√2)² = 64π/3 cm³

Portanto V_Esfera / V_Cone  = (32π/3)/( 64π/3) = 1/2

   

9. (Acafe 2017)  Na figura abaixo, a reta r dada pela equação x + y – 10 = 0 se intercepta com a reta t no ponto P(x, y).

                               

Então, a soma das coordenadas do ponto P é igual a:

a) 11   

b) 12   

c) 9   

d) 10   

  

Resposta da questão 9:[D]

Percebe-se que o ponto P pertence à reta t e também à reta r, logo deve obedecer a equação x + y – 10 = 0. Essa mesma pode ser escrita como: x + y = 10. Logo, a soma das coordenadas será igual a 10.

Ou ainda pode-se resolver o exercício calculando, ou seja: chamando os pontos de intersecção da reta r com a circunferência de A e B, pode-se escrever:

A(0, y) → x + y = 10 → 0 + y = 10 → y = 10 → A(0, 10).

B(x, 0) → x + y = 10 → x + 0 = 10 → x = 10 → A(10, 0).

Centro = C(0,0)

Raio = distância entre C e A → R = 10

Ponto de intersecção entre a reta t e a circunferência → T(6, b)

Circunferência:

x² + y² = R² → 6² + b² = 10² → b = - 8 ou b = 8(não convem)

Reta s perpendicular a t, com pontos C(0,0) e T(6, -8):

m_s = - 4/3 → y = - 4x/3 (eq. reta s) → m_t = 3/4

Reta t : y + 8 = 3/4 . (x - 6) → 3x – 4y – 50 = 0

Ponto P = s ∩ t → 3x – 4y = 50 e x + y = 10 → x = 90/7 e y = - 20/7

  

10. (Acafe 2017)  Os pontos A(1, 1), B(1, 9) e C(7, 1) são os vértices do triângulo inscrito numa circunferência de equação x² + y² + mx + ny + p = 0. O valor de m + 2n + 3p é igual a:

a) 29   

b) 20   

c) 65   

d) 28   

  

Resposta da questão 10:[B]

Representando os pontos no plano cartesiano tem-se um triângulo retângulo com ângulo reto em A. Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa circunferência de diâmetro igual à hipotenusa. Pelo teorema de Pitágoras tem-se que a hipotenusa é igual a 10 e, portanto, o raio é igual a 5. O centro O da circunferência será o ponto médio do segmento BC. Assim, pode-se escrever: O((1+7)/2,(9+1)/2) → O(4, 5)

Eq. da circunferência →(x-4)² + (y-5)² = 25 → x² + y² – 8x – 10y = 16 = 0

Entao m = - 8, n  = - 10 e p = 16, portanto m + 2n + 3p = 20

  

11. (Acafe 2017)  Quando um paciente ingere um medicamento, a droga entra na corrente sanguínea e, ao passar pelo fígado e pelos rins, é metabolizada e eliminada. A quantidade de medicamentos, em miligramas, presente no organismo de um paciente é calculada pela função Q(t) = 30.2^1-t/10, onde t é o tempo dado em horas.

O tempo necessário para que a quantidade de medicamento em um paciente se reduza a 40% da quantidade inicial, é:

Dado: log 2 = 0,3.

a) 13 horas e 33 minutos.   

b) 6 horas e 06 minutos.   

c) 13 horas e 20 minutos.   

d) 6 horas e 40 minutos.   

  

Resposta da questão 11:[C]

t = 0 → Q(t) = 100% → Q(0) = 30.2^1-0/10 = 30.2 = 60 → 40% de 60 = 24

24 = 30.2^1-t/10 → 24/30 = 2^1-t/10 → 0,8 = 2^1-t/10 → log₂0,8 = log₂ 2^1-t/10 →

log₂0,8 = 1 - t/10 → log0,8/log2 = 1 - t/10 → (log8 – log10)/log2 = 1 - t/10

(3log2 - 1)/log2 = 1 - t/10 → (3.0,3 - 1)/0,3 = 1 - t/10 → -1/3 = 1 - t/10 →

- 10 = 30 – 3t → 3t = 40 → t = 40/3 horas = 13horas20minutos

12. (Acafe 2017)  A figura a seguir representa um triângulo isósceles ABC, cuja base é BC = 8cm e o segmento DF = 2cm paralelo à BC.

                               

                    

Sabendo que a circunferência está inscrita no quadrilátero BCDF então a medida, em unidades de área, da região circular, é igual a:

a) 4π   

b) 2π   

c) π   

d) π/4   

  

Resposta da questão 12:[A]

Calculando:

                                 

Como o ΔAED ~ ΔAGB, então h'/(h'+2r) = 1/4 → h' = 2r/3

No ΔAJO : (h' + r)² = x² + r² → (h')² + 2h'r = x² → (2r/3)² + 2.2r/3.r = x²

x² = 4r²/9 + 4r²/3 → x² = 16r²/9 → x = 4r/3

Como o ΔAJO ~ ΔABG, então x/(h'+2r) = r/4 → (4r/3)/(2r/3 + 2r) = r/4 →

(4r/3)/(2=8r/3) = r/4 → 4r/8r = r/4 → r = 2

Portanto S_Circulo = πr² = π2² = 4π cm²

  

13. (Acafe 2017)  Seja P(x) um polinômio divisível por (x - 2). Se dividirmos o polinômio P(x) por (x² + 2x), obteremos como quociente o polinômio (x² - 2) e resto igual a R(x). Se R(3) = 6 então, a soma de todos os coeficientes de P(x) é igual a:

a) -38   

b) -41   

c) 91   

d) 79   

  

Resposta da questão 13:[B]

Calculando: P(x) = (x² + 2x).(x² - 2) + R(x) , com R(x) = ax + b, então :

P(x) = (x² + 2x).(x² - 2) + ax + b

Como P(2) = 0 → P(2) = (2² + 2.2).(2² - 2) + a.2 + b = 0 → 2a + b = - 16  e

R(3) = 6 → 3a + b = 6.

Resolvendo o sistema encontramos a = 22 e b = - 60, portanto

P(x) = (x² + 2x).(x² - 2) + ax + b → P(x) = (x² + 2x).(x² - 2) + 22x - 60

P(x) = x⁴ + 2x³ – 2x² + 18x – 60 → soma dos coeficientes = - 41

  

14. (Acafe 2017)  A média aritmética de três números naturais a, b e c excede o menor em 16 unidades, e é 14 unidades menor que o maior deles. Se a mediana dos três números é 24 então, a média geométrica entre a e c é igual a:

a) 6√6   

b) 8√6   

c) 4√6   

d) 2√6   

Resposta da questão 14: [A]

Calculando: números →a, 24, c →media = (a + 24 + c)/3 ou a + 16 ou c – 14

(a + 24 + c)/3 = a + 16 → a + 24 + c = 3a + 48 → c = 2a + 24

(a + 24 + c)/3 = c - 14 → a + 24 + c = 3c - 42 → a = 2c + 66

Resolvendo o sistema obtemos a = 6 e c = 36, portanto a media

geométrica sera m_g = √6.36 = 6√6