1. (Fgvrj 2017) Seis bolas
brancas e seis bolas pretas estão distribuídas em três caixas e nenhuma caixa
contém bolas de uma só cor. A primeira caixa contém 3 bolas, a segunda 4 bolas
e a terceira 5 bolas.
Sabe-se que a segunda caixa é a única em que o número de bolas pretas é
maior do que o número de bolas brancas.
Retirando uma bola de cada caixa, determine a probabilidade de que sejam
da mesma cor.
Resposta da questão
1:
Pelo enunciado, pode-se inferir :
Caixa 1 = Preta,
Branca, Branca
Caixa 2 = Preta,
Preta, Preta, Branca
Caixa 3 = Preta,
Preta, Branca, Branca, Branca
Calculando:
P(brancas) = 2/3
. 1/4. 3/5 = 6/60 = 1/10
P(pretas) = 1/3 .
3/4. 2/5 = 6/60 = 1/10
Entao, 1/10 + 1/10
= 2/10 = 1/5
2. (Fgvrj 2017) A figura abaixo
mostra dois quadrados e um triangulo equilátero entre eles.
Determine os angulos internos do triangulo ABC.
Resposta da questão
2:
Desenhando:
Calculando: BAD =
ABD = 450 → ADC = 3600 – 900 – 900 –
450 = 1200
DAC = DCA = (1800
– 1200)/ 2 = 300 → BDC = 600 + 900 =
1500
DBC = DCB = (1800
– 1500)/2 = 150
Assim:
ABC = 150
+ 450 = 600 ; BAC = 450 + 300 = 750 e BCA
= 150 + 300 = 450
3. (Fgvrj
2017) As grandezas P, T e V são tais que P é
diretamente proporcional a T e inversamente proporcional a V. Se T aumentar
20% e V diminuir 20%, determine a variação percentual de P.
Resposta da questão 3:
Calculando: P = T/V → P' = 1,2T/0,8V → P' = 1,5 T/V → P' = 1,5 P
Ou seja, P
aumentou 50%.
4. (Fgvrj
2017) Os números naturais, a partir do 1, foram escritos em ordem e arrumados
em duas colunas, A e B, como no quadro a seguir:
A
|
B
|
|
Linha1
|
1
|
2
|
Linha2
|
3,
4
|
5,
6
|
Linha3
|
7,
8, 9
|
10,
11, 12
|
Linha4
|
13,
14, 15, 16
|
17,
18, 19, 20
|
Linha5
|
21,22,23,24,25
|
26,27,28,29,30
|
Linha
..
|
 |
|
Na linha n, o
conjunto dos elementos da coluna A será representado por LnA , e o
da coluna B, por LnB.
a) Mostre que o
último elemento de LnA é um quadrado perfeito.
b) Calcule a
soma dos elementos de L10B
Resposta da questão
4:
a) Sendo an o último elemento de LnA, pode-se escrever:
an
= [2.(1 + n - 1).(n - 1)]/2 + (n) = n.(n - 1) + n = n2 – n + n = n2
b) Calculando:
an = n2 = 102 = 100 → L10B
= {101, 102, 103, ..., 110}
SL10B = (101 + 110).10/2 = 1055
5. (Fgvrj 2017) João colocou para carregar seu celular que estava completamente
descarregado e, em seguida, anotou diversas vezes o tempo decorrido de
carregamento, em minutos, e a porcentagem correspondente da carga total que
estava acumulada naquele instante. O tempo até o final do carregamento durou
exatamente duas horas.
João representou suas observações
como pontos no plano cartesiano, onde, no eixo horizontal, assinalou o tempo
decorrido após o início do carregamento e, no vertical, a correspondente carga
acumulada. Esses pontos sugeriram que uma boa aproximação para a relação entre
essas duas grandezas era o arco da parábola de eixo r representado no
gráfico abaixo:
a)
Determine a
expressão da função que fornece, para cada valor x do tempo de
carregamento (em minutos), a porcentagem y da carga total acumulada até
aquele instante.
b)
Determine a
porcentagem da carga total acumulada após 1 hora de carregamento.
Resposta da questão 5:
a) Calculando:
No vértice → xMáx. = 2h = 120 min e yMáx
= 100%
Raizes → x = 0 e x = 240 → y =
a(x - 0).(x - 240) → y = ax.(x - 240)
Portanto yMáx. = axMáx.(xMáx - 240) →
100 = 120a(120 - 240) → a = - 1/144
Finalmente, y = ax.(x - 240) →
y = (- x/144).(x - 240) para 0 ≤ x ≤ 120
b) Calculando: y = (- x/144).(x - 240) → y = (-
60/144).(60 - 240) → y = 75%
6. (Fgvrj 2017) Um fazendeiro compra semanalmente um saco de farelo de milho, um saco de
farelo de soja e um saco de farelo de cevada, mas compra também um saco extra
de um desses três produtos. Quando o saco extra é o de milho, o peso total dos
quatro sacos é de 110 kg, quando o saco extra é o de soja, o peso total dos
quatro sacos é de 106 kg, e quando o saco extra é o de cevada, o peso total dos
quatro sacos é de 104 kg. Os pesos dos sacos de cada produto são sempre iguais.
Determine o peso de um saco de cada
produto.
Resposta da questão
6:
Supondo: x = peso
milho ; y = peso soja e z =
peso cevada
2x + y + z =
110 ;
x + 2y + z = 106 e x + y + 2z = 104
Somando as 3 equações,
obtemos 4x + 4y + 4z = 320 → x + y + z = 80
Se 2x + y + z = 110 →
x + (x + y + z ) = 110 → x + 80 = 110 → x = 30
Se x + 2y + z = 106 →
y + (x + y + z ) = 106 → y + 80 = 106 → y = 26
Se x + y + 2z = 104 →
z + (x + y + z ) = 104 → z + 80 = 104 → z = 24
7. (Fgvrj 2017) As cinco faces de uma pirâmide quadrangular regular serão pintadas e
cada face terá uma só cor. Tintas de 5 cores diferentes estão disponíveis e
duas faces vizinhas da pirâmide não poderão ter a mesma cor.
De quantas maneiras diferentes a
pirâmide poderá ser pintada?
Obs.:
pinturas que
coincidem por rotação da pirâmide são consideradas iguais.
Resposta da questão
7:
1) Usando 3 cores
→ Bases = 5 possibilidades
Faces laterais opostas = C4,2 =
4!/2!2! = 4.3/2 = 6 possibilidades
Total = 5.6 = 30
2) Usando 4 cores
→ Bases = 5 possibilidades
2 Faces laterais opostas = 4 possibilidades
2 Faces laterais opostas = 3 possibilidades
Total = 5.4.3 = 60
3) Usando 5 cores → Bases = 5 possibilidades
2 Faces laterais = 3! = 6 possibilidades
Total = 5.6 = 30
Total
de possibilidadex = 30 + 60 + 30 = 120
8. (Fgvrj 2017) No plano cartesiano são dados os pontos A= (-3, 1) e
B = (4, 5). A reta r de
equação kx – y + 2 = 0 é variável, pois sua posição depende do
coeficiente real k.
a)
Determine para
que valores de k os pontos A e B ficam de um mesmo lado da
reta r.
b)
Determine
para que valor de k os pontos A e B ficam equidistantes da
reta r.
Resposta da questão
8:
a) Calculando:
r :
kx – y + 2 = 0 → y = kx + 2
Supondo A e B abaixo de r : 1 < - 3k + 2 e 5 <
4k + 2 →
k <
1/3 e k > 3/4 → impossível.
Supondo A e B acima de r : 1 > - 3k + 2 e 5 >
4k + 2 →
k >
1/3 e k < 3/4 → 1/3 < k < 3/4
b) Calculando:
Caso
1: r perpendicular a reta AB → coeficiente angular = k = 4/7
Caso
2: r divide o segmento AB no ponto médio M(1/2, 3) e M ɛ r
então 3 = k/2 + 2 → k = 2.
9. (Fgvrj 2017) Em uma experiência de Física, para cada valor da variável contínua x,
obteve-se, no laboratório, um resultado y. A tabela a seguir mostra os
resultados de cinco medidas realizadas para valores inteiros de x :
x
|
y
|
1
|
2,97
|
2
|
9,05
|
3
|
26,8
|
4
|
81,6
|
5
|
241
|
Os resultados sugeriram que, para os
valores de x do intervalo [1, 5], uma função adequada para modelar essa
experiência é exponencial, ou seja, da forma y = ax. De fato, para
certo valor inteiro de a, os valores encontrados na experiência e os valores
dados por essa função diferem muito pouco.
Usando essa função, determine,
aproximadamente, para que valor de x encontra-se y = 100.
Utilize o que for necessário: log 2 =
0,301 ; log 3 = 0,477 e log 5 = 0,699
Resposta da questão 9:
A variável y se aproxima das potências de 3, como se pode perceber na tabela a seguir:
x
|
y
|
Aprox.
y = 3x
|
1
|
2,97
|
3
|
2
|
9,05
|
9
|
3
|
26,8
|
27
|
4
|
81,6
|
81
|
5
|
241
|
243
|
Assim, pode-se
calcular:
y = 100 ≈ 3x
= 100 → xlog3 = log100 → 0,477x = 2 → x ≈ 4,2
10. (Fgvrj
2017) A figura abaixo representa o símbolo
utilizado para materiais radioativos. Nesse símbolo, aparecem duas
circunferências de centro A, estando a externa dividida em seis arcos iguais.
Todos os segmentos que aparecem no desenho estão contidos em raios da
circunferência externa e os três pequenos arcos possuem, também, centro A.
Na figura, os
pontos A, B, C e D são colineares e AB = 2, BC = 1 e CD = 6
Considerando as
regiões que estão no interior da circunferência externa, calcule a razão entre
as áreas das regiões sombreada e não sombreada.
Resposta da questão
:10
Calculando:
Calculando:
A3 = π.AB2/6
= π.22/6 → A3 = 2π/3
A2 = [π(AB
+ BC + CD)2 - π(AB + BC)2]/6 = (81π - 9π)/6 → A2 =
12π
Ssombreado
= 6.A3 + 3.A2 = 6.(4π/6) + 3.12π → Ssombreado =
40π
Stotal
= π.(AB + BC + CD)2 = 81π
Sbranco
= Stotal - Ssombreado = 81π - 40π → Sbranco =
41π
Ssombreado/
Sbranco = 40/41
