QUESTÕES VESTIBULAR MEDICINA FPS 2017.2 – COMENTADAS

1. A um paciente com massa de 75 kg, foram prescritas 225 mg de dobutamina diluída em água, por via venosa. Se a dobutamina deve ser administrada a 10 microgramas por quilo de massa por minuto, durante quantas horas a dobutamina será administrada? Obs.: um micrograma equivale a um milionésimo de grama.

A) 3,5 h

B) 4,0 h

C) 4,5 h

D) 5,0 h

E) 5,5 h

Vejamos :

10 microgramas por kg → 10.10^-3g por kg → 10^-2 g por kg.

Como a paciente possue uma massa de 75 kg, então deverá ser

administrada 10^-2.75 = 0,75g por minuto. 

Finalmente, como foram prescritas 225 mg então 225÷0,75 = 300 minutos,

ou seja 5 horas.         

2.  O desenvolvimento de gestação de certa criança entre a 30ª e a 40ª semanas de vida foi modelado pelas funções  M(t) = 0,01t² – 0,49t + 7 e H(t) = t +10, onde t indica as semanas transcorridas, 30 ≤ t ≤ 40, H(t) o comprimento em cm, e M(t) a massa em kg. Admitindo o modelo, qual o comprimento do feto, quando sua massa era de 2,32 kg?

A) 42 cm

B) 44 cm

C) 46 cm

D) 48 cm

E) 50 cm

Vejamos :

Se  massa do feto é de 2,32 kg, então M(t) = 0,01t² – 0,49t + 7 →

2,32 = 0,01t² – 0,49t + 7(.100) → 232 = t² – 49t + 700 →

t² – 49t + 700 – 232 = 0 → t² – 49t + 468  = 0 → ∆ = (-49)² – 4.1.468 →

∆ = 2401 – 1872 = 529 → t = (49 ± 23)/2 → t' = 36 semanas ou t'' = 13

semanas( não convém, pois 30 ≤ t ≤ 40).

Portanto o comprimento do feto, quando sua massa era de 2,32 kg, será

H(36) = 36 +10 = 46 cm.

3. Uma clínica médica tem capacidade máxima para 40 pacientes. O custo médio diário da clínica C(x), em milhares de reais, em função do número x de pacientes internados por dia, é dado por C(x) = (8x + 288)/x. Qual o número mínimo de pacientes internados na clínica, para que o custo diário seja de, no máximo, 20.000 reais?

A) 22

B) 23

C) 24

D) 25

E) 26

Vejamos :

Qual o número mínimo de pacientes internados na clínica, para que o custo diário seja de, no máximo, 20.000 reais(20 milhares de reais)?

Como o custo médio diário é expresso por C(x) = (8x + 288)/x, então

(8x + 288)/x = 20 → 8x + 288 = 20x → 288 = 12x → x = 24

4. Em uma pequena cidade, onde são consumidas muitas comidas gordurosas, 56% das pessoas são do sexo masculino, 60% das pessoas são obesas e 55% das mulheres não são obesas. Escolhendo ao acaso uma pessoa dessa cidade, qual a probabilidade percentual de ela ser do sexo masculino, sabendo que ela é obesa? 

A) 63%

B) 64%

C) 65%

D) 66%

E) 67%

Vejamos :

Através de um diagrama, podemos notar que :

                                    

 

 Se 56% das pessoas são do sexo masculino, então 44% são do sexo

feminino → a + b = 56%   e   c + d = 44%

Se 60% das pessoas são obesas → b + c = 60%

Se 55% das mulheres não são obesas → 55% de 44%  = d →

0,55. 44% = d → d = 24,2% .

Como c + d = 44% → c + 24,2% = 44% → c = 19,8%

Como b + c = 60% → b + 19,8% = 60% → b = 40,2%

A qual a probabilidade percentual de ela ser do sexo masculino, sabendo

que ela é obesa. → P = b/(b + c) = 40,2/60 = 0,67 = 67%

5.  A pentoxifilina é um medicamento que melhora as propriedades do fluxo sanguíneo. Metade da dose ingerida de pentoxifilina será eliminada pelo organismo, passadas 1,6 horas. Admita que um paciente ingeriu 400 mg de pentoxifilina às 8 horas. Admitindo essas hipóteses, é correto afirmar que, no mesmo dia: 

A) às 16h, não existe resíduo de pentoxifilina no organismo do paciente.

B) às 9h, restam menos de 200 mg de pentoxifilina no organismo do paciente.

C) passados n intervalos de 1,6 horas, após as  8h, a quantidade de pentoxifilina que resta no organismo do paciente é  de 400^-2n  mg.

D) às 11h20, restam 100 mg de pentoxifilina no organismo do paciente.

E) às 13h, restam 50 mg de pentoxifilina no organismo do paciente.

Vejamos :

Se metade da dose ingerida de pentoxifilina será eliminada pelo

organismo, passadas 1,6 horas, então Q(n) = Q₀ . (1/2)ⁿ, onde Q(n)

corresponde a quantidade de pentoxifilina eliminada em ''n'' períodos de

1,6 horas.

Admitindo que um paciente ingeriu 400 mg de pentoxifilina às 8 horas,

então Q(n) = 400 . (1/2)ⁿ → Q(n) = 400.2^-n

A)FALSO, ás 16 horas, serão 5 períodos de 1,6 horas → Q(5) = 400.2^-5 =

400/32 = 12,5 mg ǂ 0.

B)FALSO, 9 horas representa menos de um período de 1,6 horas →

Q(1) = 400.2^-1 = 200 mg, portanto a quantidade era maior do que 200 mg.

C)FALSO, a expressão correta é Q(n) = 400.2^-n e não Q(n) = 400^-2n  

D) VERDADEIRO,  às 11h20 serão dois períodos de 1,6 horas, então

Q(2) = 400.2^-2 = 400.1/4 = 100 mg.

E) FALSO, às 13h representa mais de 3 e menos do que 4, períodos de 1,6

horas → Q(3) = 400.2^-3 = 50 mg (n = 3 períodos igual a 4,8 horas e não 5 horas).

6. Em condições normais, os sucessivos períodos de inspiração e expiração dos pulmões de um indivíduo são iguais em quantidade de ar inalada e expelida, assim como no tempo decorrido para tal. A velocidade de aspiração e expiração do ar de uma pessoa está representada pela curva do gráfico a seguir, considerando apenas um ciclo do processo. 

Se um ciclo de aspiração e expiração completo ocorre a cada 4,5 segundos e a taxa máxima de inalação e exalação, em valor absoluto, é de 0,5 litro/segundo, qual das funções abaixo tem gráfico que melhor modela a curva representada na figura? 

A) 0,5∙sen(4πt/9) 

B) 0,5∙cos(4πt/9 )

C) 4,5∙sen(πt)

D) 4,5∙cos(4πt)

E) 4,5 + sen(4πt/9)

Vejamos :

Observando a figura notamos que se trata de uma senóide de período 4,5

segundos e amplitude 0,5 litro/segundo, ou seja uma função do tipo

f(t) = a.sen bt, onde a = 0,5 e 2π/b = 4,5 → 4,5b = 2π → b = 2π/4,5 →

b = 2π/(9/2) → b = 4π/9.

Portanto a função em questão é 0,5.sen(4πt/9)

7. Em uma clínica, trabalham 8 médicos e 10 enfermeiros. Uma comissão formada por 4 médicos e 3 enfermeiros deve ser formada. Sabendo que existem 2 enfermeiros que, por razões de ordem pessoal, não podem fazer parte da mesma comissão, quantas comissões podem ser formadas? 

A) 7.800

B) 7.810

C) 7.820

D) 7.830

E) 7.840

Vejamos :

Com os 8 médicos podemos formar C_8,4 = 8!/4!4! = 70 comissões.

Agora vamos admitir ''A'' e ''B'' os  enfermeiros que não podem atuar juntos, então :

Atuando A e não atuando B → C8,2 = 8!/2!6! = 28 comissões

Atuando B e não atuando A → C8,2 = 8!/2!6! = 28 comissões

Não atuando A nem B → C8,3 = 8!/3!5! = 56 comissões.

Portanto com os enfermeiros podemos formar 28 + 28 + 56 = 112 comissões.

Finalmente médicos e enfermeiros → 70.112 = 7840 comissões

8. A área corporal da superfície externa de uma criança pode ser utilizada para a dosagem de medicações em quimioterapia. Admita que a relação entre a área A, em m², da superfície corporal de uma criança, e sua massa M, em kg, é dada pela fórmula A = (4m + 7)/(m + 90) . Analise as alternativas a seguir de acordo com essas informações e assinale a incorreta. 

A) Uma criança com massa de 10 kg tem área corporal que mede 0,47 m².

B) A área da superfície corporal de uma criança é diretamente proporcional à sua massa.

C) Uma criança com área corporal A, em m², tem massa, em kg, dada por                (90A - 7)/(4 - A)        

D) Se uma criança tem massa superior a 51,2 kg, então sua área corporal é superior a 1,5 m².

E) Uma criança com área corporal que mede 1,176 m² tem massa de 35 kg.

A) VERDADEIRO, Uma criança com massa de 10 kg, A = (4.10 + 7)/(10 + 90) = 47/100  tem área corporal que mede 0,47 m². 

B) FALSO, A área da superfície corporal de uma criança não é diretamente proporcional à sua massa. 

C) VERDADEIRO, Uma criança com área corporal A, em m², A = (4m +

7)/(m + 90) → A(m + 90) = (4m + 7) → Am + 90A = 4m + 7 → Am – 4m = 7 –

90A → m(A - 4) = 7 – 90A → m = (7 – 90A)/(A - 4) tem massa, em kg, dada

por m = (90A - 7)/(4 - A).   

    .

D) VERDADEIRO, Se uma criança tem massa superior a 51,2 kg,

(90A - 7)/(4 - A) > 51,2 → (90A - 7)/(4 - A) - 51,2 > 0 →

[(90A - 7)- 51,2(4 - A)]/ (4 - A) > 0 →  (90A - 7- 204,8 + 51,2A)/ (4 - A) > 0 →   

(141,2A – 211,8)/(4 - A) > 0, inequação quociente do primeiro grau.

141,2A – 211,8 = 0 → A = 211,8/141,2 → A = 1,5 e 4 – A ǂ 0 → A ǂ 4

                                                                  1,5                     4

                                            --------------------- -------------------- ------------------

 (141,2A – 211,8)                           < 0                   > 0                 > 0                                                            

         (4 - A)                                     > 0                  >  0                 < 0                   

(141,2A – 211,8)/(4 - A) > 0            < 0                   > 0                  < 0

 então sua área corporal é superior a 1,5 m² ''e inferior a 4 m² ''.

E) VERDADEIRO, Uma criança com área corporal que mede 1,176 m² →

m = (7 – 90.1,176)/(1,176 - 4) = (7 – 105,84)/(1,176 - 4) = 98,84/2,824, tem massa de 35 kg.

QUESTÕES VESTIBULAR Uepg – 2017 - COMENTADAS

1. (Uepg 2017)  Os N alunos de uma turma realizaram uma prova com apenas duas questões. Sabe-se que 37 alunos acertaram somente uma das questões, 33 acertaram a primeira questão, 18 erraram a segunda e 20 alunos acertaram as duas questões. Se nenhum aluno deixou questão em branco, assinale o que for correto. 

01) N é um número múltiplo de 4.   

02) 30 alunos erraram a primeira questão.   

04) N > 60.   

08) 5 alunos erraram as duas questões.   

  

                     Resposta da questão 1: 04 + 08 = 12.

Considere o diagrama, em que P e S são, respectivamente, o conjunto dos alunos que acertaram a primeira questão e o conjunto dos alunos que acertaram a segunda questão.

                             

É imediato que N = 62

[01] Falsa. Tem-se que 62 = 4.15 + 2. Logo, N não é múltiplo de 4

[02] Falsa. De acordo com o diagrama, segue que 24 + 5 = 29 alunos erraram a primeira questão.

[04] Verdadeira. De fato, pois 62 > 60.

[08] Verdadeira. Com efeito, de acordo com o diagrama.  

2. (Uepg 2017)  Dados os conjuntos abaixo, assinale o que for correto.

A = {x ɛ R / (- x - 1)/(3x - 1) ≥ 0} e B = {x ɛ R / - 3 ≤ 2x + 1 < 5}

01) B – A = Ø.   

02) A U B tem 4 elementos.   

04) A ∩ B é um conjunto unitário.   

08) A está contido em B.   

16) O produto cartesiano A x B tem 4 elementos.   

  

                      Resposta da questão 2: 02 + 08 = 10

Tem-se que (-x-1)/(3x-1) ≥ 0 → (x+1)/(x-1/3) ≥ 0 → - 1 ≤ x < 1/3  e

- 3 ≤ 2x + 1 < 5 → - 4 ≤ 2x < 2.

Portanto, vem A = {- 1, 0} e B = {- 2, - 1, 0, 1}

[01] Falsa. Na verdade, temos B – A = {- 2, 1}

[02] Verdadeira. De fato, pois A U B = B.

[04] Falsa. Tem-se que A ∩ B = A.

[08] Verdadeira. Com efeito, pois {- 1, 0} está contido em {- 2, - 1, 0, 1}

[16] Falsa. O produto cartesiano A x B tem 2.4 = 8 elementos.  

3. (Uepg 2017)  Em relação à função quadrática f(x) = x² – mx + m + 3, com m ɛ R, assinale o que for correto.

01) Se – 2 < m < 6, então f(x) > 0, para todo x real.   

02) Para que f(x) admita duas raízes reais distintas e positivas, deve-se ter m > - 3.   

04) Se a reta y = 4x  é tangente à parábola que representa f(x), então

      m = - 2   

08) Se m = 5, f(x) é crescente no intervalo ] -∞, 5/2].    

16) Se m = - 1, o vértice da parábola que representa f(x) pertence ao 2º quadrante.   

  

                  Resposta da questão 3: 01 + 04 + 16 = 21.

[01] Verdadeira. Com efeito, pois sendo o coeficiente dominante de f  

igual a 1 e (-m)² – 4.1.(m + 3) < 0 → m² – 4m - 12 < 0 → ∆ = (-4)² – 4.1.(-12)

→ ∆ = 64 → m = (4 ± 8)/2 → m' = - 2 ou m'' = 6 → - 2 < m < 6, temos f(x) < 0

para todo x real.

[02] Falsa. Para Primeiramente, devemos ter (m + 3) > 0 e m² – 4m - 12 < 0 ,

ou seja, - 3 < m < - 2 ou m > 6. Ademais, sendo as raízes positivas, vem

- (- m)/2 > 0 → m > 0. Portanto, segue que m > 6.

[04] Verdadeira. Sendo as duas curvas tangentes, temos

x² – mx + m + 3 = 4x → x² – (m + 4)x + m + 3 = 0 →

Portanto, como o discriminante dessa equação deve ser nulo, vem

∆ = (– (m + 4))² – 4.1.(m + 3) = 0 → m² + 4m + 4 = 0 → m = - 2

[08] Falsa. Se m = 5, então f(x) = (x - 5/2)² + 7/4. Logo, como f  possui

mínimo em x = 5/2,  podemos afirmar que f é decrescente em (-∞, 5/2]. 

[16] Verdadeira. Se m = -1, então f(x) = (x - 5/2)² + 7/4. Desse modo, o

vértice da parábola que representa f  corresponde ao ponto (-1/2, 7/4).  

4. (Uepg 2017)  Sobre funções exponenciais e logarítmicas, assinale o que for correto.

01) Se f(x) = x^log₂^x , então f(1/4) = 16.   

02) A função f(x) = 3^x + 3^-x é uma função par.   

04) A função f : R → R, f(x) = 5^x-3  é bijetora.   

08) A função f(x) = (-5k + 2)^x é decrescente se k < 2/5.   

16) O domínio da função f(x) = log_(x+1)(x² – x - 12) é {x ɛ R / x > 4}.   

  

                    Resposta da questão 4: 01 + 02 + 16 = 19.

[01] Verdadeira. De fato, pois f(1/4) = (1/4)^log₂^1/4 → (2^-2)^log₂^1/4 → (2^-2)^-2 → 16

[02] Verdadeira. Com efeito, pois f(-x) = 3^-x + 3^-(-x) → f(x) = 3^x + 3^-x

[04] Falsa. Não existe x  real pertencente ao domínio de f para o qual se tem f(x) = - 1. Logo, f não é sobrejetora e, portanto, não é bijetora.

[08] Falsa. Se k = 0, então f(x) = 2^x. Porém, f é crescente. Contradição.

[16] Verdadeira. Primeiramente, devemos lembrar que é possível definir

tantas funções quantas quisermos com a lei f(x) = log_{(x + 1)}(x² – x - 12).

Vamos supor que queiramos encontrar o maior subconjunto dos números

reais para o qual f  está definida. Nesse caso, temos

(x² – x - 12) > 0 e 1 ǂ x + 1 > 0 → x < - 3 ou x > 4 e 0 ǂ x > - 1 → x > 4.

  

5. (Uepg 2017)  A sequência (20, x, y, 5/2, ...) é uma progressão geométrica de razão q e a sequência (q, m – 5, 11/2, ...) é uma progressão aritmética. Nesse contexto, assinale o que for correto.

01) m é um número par.   

02) Se a P.G. é infinita, o limite da soma de seus termos é 40.   

04) x + y = m + 7.   

08) A soma dos 5 primeiros termos da P.A. é maior que 27.   

16) A razão da P.A. é menor que 2.   

  

            Resposta da questão 5: 01 + 02 + 04 + 08 = 15.

Sendo (20, 20q, 20q², 20q³, ... ) = (20, x, y, 5/2, ... ) temos

20q³ = 5/2 → q³ = 5/40 → q³ = 1/8 → q = 1/2

Logo, vem (q, m – 5, 11/2, ... ) = (1/2, m – 5, 11/2, ... ) e, portanto,

2.(m - 5) = 1/2 + 11/2 → 2.(m - 5) = 6 → 2m – 10 = 6 → m = 8

[01] Verdadeira. Com efeito, pois 8 é par.

[02] Verdadeira. De fato, pois S_∞ = a₁/(1 - q) = 20/(1 - 1/2) = 40

[04] Verdadeira. Com efeito, pois x + y = m + 7 → 10 + 5 = 8 + 7

[08] Verdadeira. De fato, pois S₅ = (a₁ + a_n).n/2 = (1/2 + 21/2).5/2 =

 55/2 > 54/2 = 27.

[16] Falsa. Na verdade, a razão da progressão aritmética é 3 - 1/2 =           

5/2 > 4/2 = 2.  

6. (Uepg 2017)  Dados os sistemas S₁ : 4x + 5y = 7; 2x – 3y = 9 e S₂ = mx + 4y = 5 ; 3x – y = k, nas variáveis x e y, assinale o que for correto.

01) S₂ é possível e determinado para m = - 12 e k = -5/4.   

02) S₂ é impossível para m= - 12 e k ǂ - 5/4.   

04) Se S₁ e S₂ são equivalentes, então k + m = 13.   

08) S₂ é possível e indeterminado para m ǂ - 12 e k = - 5/4   

16) Se (x, y) é a solução de S₁, então x + y = 4.   

  

                           Resposta da questão 6: 02 + 04 = 06.

Tem-se que S₁ : 4x + 5y = 7 e 2x – 3y = 9 → x = 3 e y = - 1

O sistema S₂ é possível e determinado se m/3 ǂ 4/(-1) → m ǂ - 12.

Por outro lado, se m = - 12 então S₂ será possível e indeterminado se

4/(-1) = 5/k → k = - 5/4 e será impossível se k ǂ - 5/4.

[01] Falsa. Nesse caso o sistema é possível e indeterminado.

[02] Verdadeira. De fato, conforme mostramos.

[04] Verdadeira. Pois m.3 + 4.(-1) = 5 → m = 3 e 3.3 - (-1) = k → k = 10

Portanto, segue que k + m = 10 + 3 = 13.

[08] Falsa. Nesse caso o sistema será possível e determinado.

[16] Falsa. Sabemos que x + y = 3 + (- 1) = 2.  

7. (Uepg 2017)  A primeira fase de um campeonato de futebol é disputada por 35 times, divididos em 5 grupos, com 7 times em cada grupo, os quais disputam entre si. Dois times de cada grupo são selecionados para a segunda fase desse mesmo campeonato, num total de 10 times, os quais jogam entre si. Se p é o número de jogos a serem realizados na primeira fase e q o número de jogos a serem realizados na segunda fase, assinale o que for correto.

01) p > 100.   

02) p – q = 60.   

04) q é um múltiplo de 9.   

08) q < 50   

  

             Resposta da questão 7: 01 + 02 + 04 + 08 = 15.

Vamos supor que em ambas as fases não há returno.

[01] Verdadeira. De fato, pois p = 5.C_7,2 = 5.7!/5!.2! = 105 > 100.

[02] Verdadeira. Com efeito, pois p – q = 105 – C_10,2  = 105 – 10!/8!2! = 60

[04] Verdadeira. De fato, pois q = 45 = 5.9

[08] Verdadeira. Com efeito, pois q = 45 < 50.  

8. (Uepg 2017)  Assinale o que for correto.

01) Simplificando a expressão [(n+4)! - 20(n+2)!]/[(n+8)(n+2)! obtém-se      n – 1.   

02) No desenvolvimento do binômio (3x + a/x)⁴, o termo independente de x é 27/2. Então a² = 1/4.   

04) Permutando os algarismos 1, 1, 3, 3, 3, 5 podem ser formados 20 números maiores que 500000.   

08) C_20,3 + C_20,4 + C_20,5 + ... + C_20,20 = 2²⁰ – 211.   

16) Num estádio há 12 portas de entrada e saída. Existem 132 possibilidades de uma pessoa entrar por uma porta e sair por outra diferente.   

             Resposta da questão 8: 01 + 02 + 08 + 16 = 27.

[01] Verdadeira. De fato, sendo n ≥ - 2, com n ε Z, temos

[(n + 4)! - 20(n + 2)!]/[(n + 8).(n + 2)!] = [(n + 4).(n + 3) - 20]/(n + 8) =

[(n - 1).(n + 8)]/(n + 8) = n – 1.

[02] Verdadeira. O termo geral do desenvolvimento do binômio é

T_{p + 1} = C_4,p . (3x)^{4 – p} . (a/x)^p = C_4,p . 3^{4 – p} . a^p . x^{4 – 2p}. Logo, se o termo

independente de x, x^{4 – 2p} = x⁰ → 4 – 2p = 0 → p = 2, é 27/2, então

C_4,2 . 3^{4 – 2} . a² = 27/2 → 6 . 9. a² = 27/2 → a² = 1/4.

[04] Falsa. Fixando o algarismo 5 na casa das centenas de milhar, tem-se

que existem, com os algarismos disponíveis, P₅^{(3, 2)} = 5!/3!2! = 10 números

maiores do que 500000.

[08] Verdadeira. Com efeito, pelo Teorema das Linhas, segue que

C_20,0  + C_20,1  + C_20,2  + C_20,3  + C_20,4  + C_20,5  + .... + C_20,20  = 2²⁰ →

1 + 20  + 190 + C_20,3  + C_20,4  + C_20,5  + .... + C_20,20  = 2²⁰ →

211 + C_20,3  + C_20,4  + C_20,5  + .... + C_20,20  = 2²⁰ →

C_20,3  + C_20,4  + C_20,5  + .... + C_20,20  = 2²⁰ - 211

[16] Verdadeira. De fato, pois como existem 12 possibilidades para entrar

e 11 para sair, pelo Princípio Multiplicativo, há 12.11 = 132 maneiras de

entrar por uma porta e sair por outra diferente.  

9. (Uepg 2017)  Sobre probabilidades, assinale o que for correto.

01) Dois prêmios iguais são sorteados entre cinco pessoas, sendo três homens e duas mulheres. Admitindo que a mesma pessoa não possa ganhar os dois prêmios, a probabilidade de ser premiada pelo menos uma mulher é de 70%   

02) Numa moeda viciada, a probabilidade de ocorrer cara num lançamento é igual a três vezes a probabilidade de ocorrer coroa. Então a probabilidade de ocorrer cara num lançamento desta moeda é 60%   

04) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 são formados números de 3 algarismos distintos. Um deles é escolhido ao acaso. A probabilidade desse número ser par é maior que 50%   

08) No sorteio de um número natural de 1 a 100, a probabilidade de sair um múltiplo de 10 ou de 15 é menor que 15%.   

  

                       Resposta da questão 9: 01 + 08 = 09.

[01] Verdadeira. De fato, pois existem C_3,2 = 3 modos de distribuir os prêmios para dois homens e C_5,2 = 10  modos de distribuir os prêmios para duas pessoas quaisquer. Assim, a probabilidade de ser premiada ao menos uma mulher é igual a 1 - 3/10 = 0,7 = 70%.

[02] Falsa. Sejam P(c) e P(k), respectivamente, a probabilidade de ocorrer cara e a probabilidade de ocorrer coroa. Logo, sabendo que P(c) = 3. P(k), temos P(c) + P(k) = 1 → P(c) + P(c)/3 = 1 → P(c) = 75%.

[04] Falsa. O número será par se o algarismo das unidades for 2 ou 4. Desse modo, como existem 4 possibilidades para o algarismo das centenas e 3 possibilidades para o algarismo das dezenas, podemos concluir, pelo Princípio Multiplicativo, que a quantidade de números pares é 4.3.2 = 24. Portanto, a probabilidade do número ser par é   24/5! = 20% < 50%.

[08] Verdadeira. De 1 a 100  existem 10 múltiplos de 10, 6 múltiplos de 15 e 3 múltiplos de 10  e de 15 simultaneamente. Daí, pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, existem 10 + 6 – 3 = 13  números de 1  a 100 que são múltiplos de 10 ou de 15. Em consequência, a probabilidade é igual a 13% < 15%.  

10. (Uepg 2017)  Uma caixa A em a forma de um prisma regular triangular e uma caixa B tem a forma de um prisma hexagonal regular. Se o lado da base da caixa A tem o dobro da medida do lado da base da caixa B, assinale o que for correto.

01) A razão entre as áreas da base de A e B é 2/3.   

02) Se a altura de A for a metade da altura de B, então, o volume de B é igual ao triplo do volume de A.   

04) Para que os volumes sejam iguais, a altura de B deve ser o dobro da altura de A.   

08) Se as alturas das caixas são iguais, a área lateral de B é o dobro da de A.   

                       Resposta da questão 10: 01 + 02 = 03.

[01] Verdadeira. De fato, pois (l²A√3/4)/(3l²B√3/2) = 1/6 . (2l_B/l_B)² = 2/3

[02] Verdadeira. Com efeito, pois V_B = (3l²B√3/2).h_B = (3√3/2).l²_B.h_B =

(3√3/2).(l_A/2)².2h_A = 3.(l²_A√3/2) .h_A = 3V_A

[04] Falsa. De acordo com [02].

[08] Falsa. Tem-se que Al_B = 6l_B.h_B = 6.l_A/2.h_A = 3l_A.h_A = Al_A.

As áreas laterais são iguais.  

11. (Uepg 2017)  Numa pirâmide quadrangular regular P₁ uma diagonal da base mede 12 cm e uma aresta lateral vale 10 cm. Essa pirâmide é seccionada por um plano paralelo a sua base, originando um tronco T e uma nova pirâmide P₂, de aresta da base igual a 3√2/2 cm. Nesse contexto, assinale o que for correto.

01) A aresta lateral de P₂ é menor que 3 cm.   

02) A razão entre a altura de P₁ e a altura de T é 2.   

04) O volume de T é igual a 189 cm³.

  

08) A razão entre o volume de P₁ e o volume de P₂ é 64.   

16) O volume de P₂ vale 3 cm³.   

  

                   Resposta da questão 11: 01 + 04 + 08 + 16 = 29.

Seja L a medida da aresta da base de P_1. Logo, sabendo que a diagonal da

base de P₁ mede 12 cm, temos 12 = L√2 → L = 6√2 cm.

Ademais, se K é a razão de semelhança entre P₁ e P₂ então

K = 6√2/(3√2/2) = 4

[01] Verdadeira. Seja g a medida da aresta lateral de P₂. Assim, vem

10/g = 4 → g = 5/2 < 6/2 = 3 cm.

[02] Falsa. Desde que o raio do círculo circunscrito à base de P₁ mede

12/2 = 6 cm e a aresta lateral mede 10 cm, podemos concluir, pela

semelhança com o triângulo retângulo de lados 3 cm, 4 cm e 5 cm, que a

altura de P₁ mede 8 cm. Em consequência, se h  é a medida da altura de

P₂ temos 8/h = 4 → h = 2 cm.

 Portanto, a altura de T mede 8 – 2 = 6 cm e, assim, a razão entre a altura

de P₁ e a altura de T é igual a 8/6 = 4/3.

[04] Verdadeira. Sejam V e v, respectivamente, as medidas dos volumes

de P₁ e de P_2. Logo, vem V/v = k³ → v = V/64. Por conseguinte, se V_T é o

volume de T então V_T = V – v = 63/64 . 1/3 . (6√2)² . 8 = 189 cm³.  

[08] Verdadeira. De fato, conforme [04].

[16] Verdadeira. Com efeito, pois v = 1/64 . V = 1/64 . 1/3 . (6√2)² .8 = 3 cm³

  

12. (Uepg 2017)  As retas r : x – ky – k² = 0  e s : 2x + y – k – 1 = 0, com k ɛ R, são perpendiculares, e se interceptam no ponto P. Nesse contexto, assinale o que for correto.

01) A reta s intercepta o eixo das abscissas no ponto(0, 3)   

02) A circunferência x² + y² – 4x + 2y – 11 = 0 tem centro no ponto P e raio igual a 4.   

04) A circunferência de centro no ponto (0, 3) e raio igual a 2√5 passa pelo ponto P.   

08) Se a reta y = 2mx + 3 é paralela a r, então m = 1/4.   

16) O ponto P pertence ao 4º quadrante.   

  

            Resposta da questão 12: 02 + 04 + 08 + 16 = 30.

Reescrevendo as equações de r e de s na forma explícita, encontramos  

y = x/k - k e y = - 2x + k + 1. Logo, sabendo que tais retas são

perpendiculares, vem 1/k . (- 2) = - 1 → k = 2.

Em consequência, a abscissa de P deve ser tal que x/2 – 2 = - 2x + 3 →   

x – 4 = - 4x + 6 → 5x = 10 → x = 2, então P(2, -1).

[01] Falsa. Sendo 0 – 2 . 3 – 2² = - 10 ǂ 0, podemos afirmar que o ponto

(0, 3) não pertence à reta r.

[02] Verdadeira. De fato, pois completando os quadrados, vem

x² + y² – 4x + 2y – 11 = 0 → (x - 2)² – 4 + (y + 1)² – 1 – 11 = 0 →

(x - 2)² + (y + 1)² = 16.

Portanto, segue que P(2, -1) e r = 4, com r sendo o raio da circunferência.

[04] Verdadeira. Com efeito, pois sendo a equação da circunferência

x² + (y - 3)² = 20, temos 2² + (- 1 - 3)² = 20 ou seja, P é um ponto por onde

passa a circunferência.

[08] Verdadeira. De fato, pois se y = 2mx + 3 e r são paralelas, então      

2m =  1/2 → m = 1/4.

[16] Verdadeira. Com efeito, pois 2 > 0 e – 1 < 0. Daí, P pertence ao quarto

quadrante.  

13. (Uepg 2017)  Se x e y são números positivos tais que x.y = 1/3 e y/x = 9, assinale o que for correto.

01) log₉y = 1/4.   

02) log_√3(x/y) = - 4.   

04) log_1/3x² = 3.   

08) log(xy³) = 0.   

16) 2logy = (-2logx)/3   

  

                  Resposta da questão 13: 01 + 02 + 04 + 08 + 16 = 31.

Sendo y = 9x, temos x . 9x = 1/3 → x² = 1/27 → x = 1 /√27 → x = 1/3√3,

logo, vem y = 9.(1/3√3) → y = 3/√3 → y = √3

[01] Verdadeira. De fato, pois log₉ y = log₉ √3 = log₉ 3^1/2 = (1/2)/2log₃3 = 1/4

[02] Verdadeira. Com efeito, pois desde que x/y = 1/9, temos log_√3(x/y) =

log_√3(1/9) = log_√33^-2  = (-2)/(1/2) = - 4

[04] Verdadeira. De fato, pois sendo x² = (1/3)³, vem log_1/3x² = log_1/3(1/3)³ =

3. log_1/3(1/3) = 3.1 = 3

[08] Verdadeira. Com efeito, pois log(xy³) = log(1/3).3 = log1 = 0.

[16] Verdadeira. De fato, pois 2log y = 2.log3^1/2 = 2.(1/2).log3 = (-2/3)logx

  

14. (Uepg 2017)  Uma loja de cosméticos comprou 60 vidros de esmalte da marca M e 40 vidros da marca R, pagando no total R$ 190,00. Se a razão entre os preços unitários dos esmaltes M e R é de 3 para 5, nessa ordem, assinale o que for correto.

01) A diferença entre os preços unitários das duas marcas é de R$ 1,50.   

02) Se a loja tivesse comprado 50 vidros de cada marca, teria pago R$ 10,00 a mais.   

04) Se a loja tivesse comprado todos os 100 vidros de esmalte da marca M, teria pago R$ 40,00 a menos.   

08) Se a loja tivesse comprado todos os 100 vidros de esmalte da marca R, teria pago R$ 40,00 a mais.   

                      Resposta da questão 14: 02 + 04 = 06.

Sejam m e r, respectivamente, os preços unitários dos vidros dos

esmaltes M e R. Logo, vem 60m + 40r = 190 e m/r = 3/5 →

6m + 4r = 19 e m = 3r/5 → 6.3r/5 + 4r = 19 → 18r + 20r = 95 →

38r = 95 → r = R$ 2,50 e m = R$ 1,50.

[01] Falsa. Temos 2,5 – 1,5 = R$ 1,00.

[02] Verdadeira. De fato, pois 50,(2,5 + 1,5) = R$ 200,00. Portanto, a loja

teria pago 200 – 190 = R$ 10,00 a mais.

[04] Verdadeira. Com efeito, pois 100.2,5 – 190 = R$ 40,00.

[08] Falsa. O gasto seria 190 – 100.1,5 = R$ 40,00, menor.  

15. (Uepg 2017)  Os números positivos a, b e c, formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão igual a – 3. Se a área do triângulo ABC cujos vértices são A(a, 0), B(0, b) e C(0, c) é igual a 12 u.a. assinale o que for correto.

01) O perímetro do triângulo ABC é menor que 18 u.c.   

02) b + c >10.   

04) a + b + c = 15.   

08) a é um número primo.   

16) O triângulo ABC é obtusângulo.   

  

                      Resposta da questão 15: 04 + 16 = 20.

Tem-se que (a, b, c) = (a, a – 3, a - 6). Logo, se a área do triângulo ABC é

igual a 12 u.a. então 1/2 . (a – 3  - (a - 6)). a = 12 → a = 8.

Em consequência, vem (a, b, c) = (8, 5, 2). 

[01] Falsa. Sendo AB = √89 u.c., BC = 3 u.c., e AC = √68 u.c., é fácil ver que

o perímetro do triângulo ABC é maior do que 20 u.c.

[02] Falsa. Na verdade, temos b + c = 7 < 10.

[04] Verdadeira. De fato, pois a + b + c = 8 + 5 + 2 = 15.

[08] Falsa. É imediato que a = 8  é um número composto.

[16] Verdadeira. Com efeito, pois (√89)² > 3² + (√68)² → 89 > 77.

  

16. (Uepg 2017)  Uma festa reuniu um público de 1500 pessoas num pátio retangular de largura x metros e comprimento x + 10 m Se a concentração de público nessa festa foi de 4 pessoas por metro quadrado, assinale o que for correto.

01) A largura do pátio é menor que 12 m.   

02) Se o público fosse de 2400 pessoas, a concentração seria superior a 6 pessoas por metro quadrado.    

04) A área do pátio é maior que 350 m².   

08) O comprimento do pátio é maior que 20 m.   

  

                   Resposta da questão 16: 02 + 04 + 08 = 14.

[01] Falsa. Desde que o número total de pessoas é dado pelo produto da área pela concentração de público, temos x(x + 10).4 = 1500 → x² + 10x – 375 = 0 → x = 15 m.

[02] Verdadeira. Sabendo que as dimensões do terreno são 15m e 25 m,    vem 2400/15.25 = 

6,4 > 6.

[04] Verdadeira. Com efeito, pois 15.25 = 375 m² > 350 m²

[08] Verdadeira. De fato, conforme [02].  

17. (Uepg 2017)  Se uma das raízes quadradas do número complexo z é √2/2 + √6i/2 e uma das raízes cúbicas do número complexo w é 1 + i, assinale o que for correto.

01) |z . w| = 4√2.   

02) O argumento de w é π/4.

04) w²⁰ é um número real.   

08) A forma trigonométrica de z é 2(cos 2π/3 + isen2π/3)   

16) z¹⁵ é um imaginário puro.   

  

                  Resposta da questão 17: 01 + 04 + 08 = 13.

Tem-se que z = [√2/2 + (√6/2)i]² = - 1 + i√3  e w = (1 + i)³ = - 2 + 2i.

[01] Verdadeira. De fato, pois |z.w| = |z|.|w| = 2.2√2= 4√2.

[02] Falsa. Seja Ө o argumento principal de w. Assim, temos tgӨ = 2/(-2) = -1, o que implica em Ө = 3π/4 rad.

[04] Verdadeira. Com efeito, pois w²⁰ = (- 2 + 2i)²⁰ = (- 8i)¹⁰ = -2³⁰

[08] Verdadeira. Seja α o argumento principal de z. Logo, sendo tgα = -√3, vem α = 2π/3 rad. Daí, segue que z = 2(cos2π/3 + isen2π/3).

[16] Falsa. Pela Primeira Fórmula de Moivre, segue que

z¹⁵ = 2¹⁵(cos15.2π/3 + isen15.2π/3) = 2¹⁵(cos10π + isen10π) = 2¹⁵.

Portanto, z¹⁵ não é um imaginário puro.  

18. (Uepg 2017)  Um polinômio P(x), do 5º grau, é divisível por x³ – 4x. Sabendo que esse polinômio tem uma raiz dupla e que a soma de suas raízes é 1, assinale o que for correto.

01) O resto da divisão de P(x) por (x + 1) é 27.   

02) O quociente de P(x) por (x - 2) é 4x⁴ + 4x³ – 7x² + 2x   

04) O coeficiente do termo em x³ de P(x) é positivo.   

08) Todas as raízes de P(x) são número inteiros.   

16) P(x) é divisível por(x - 1).   

  

                  Resposta da questão 18: A N U L A D A

O polinômio P(x)  não está definido. Com efeito, pois, por exemplo, tanto

o polinômio P₁(x) = x²(x - 2)(x + 2)(x - 1) quanto o polinômio

P₂(x) = x(x - 2)(x + 2)²(x - 3) têm soma das raízes igual a 1 e são divisíveis

por D(x) = x(x - 2)(x + 2).  

19. (Uepg 2017)  Sabendo que 2i é uma das raízes da equação x⁴ + mx³ + x² + 8x + n = 0, assinale o que for correto.

01) m.n > 0   

02) O produto das raízes da equação é 4.   

04) A soma das raízes da equação é 2.   

08) m + n = - 10.   

16) Uma das raízes reais da equação é – 3.   

  

                   Resposta da questão 19: 08 + 16 = 24.

Se x = 2i é raiz, então (2i)⁴ + m(2i)³ + (2i)² + 8.(2i) + n = 0 →

(n + 12) + (16 – 8m).i = 0 → m = 2 e n = - 12

Sabendo que x = - 2i também é raiz da equação, vem

(x² + 4).(x² + 2x - 3) = 0 → (x² + 4).(x + 3)(x - 1) = 0

[01] Falsa. Na verdade, temos m.n = 2.(-12) < 0.

[02] Falsa. Sendo n = - 12, pelas Relações de Girard, sabemos que o

produto das raízes da equação é - 12/1 = - 12.

[04] Falsa. Como as raízes são – 2i, 2i, - 3, e 1 podemos concluir que a sua

soma vale – 2.

 [08] Verdadeira. Com efeito, pois m + n = 2 + (- 12) = - 10.

[16] Verdadeira. De fato, conforme mostramos acima.   

20. (Uepg 2017)  Sendo M uma matriz quadrada inversível, de ordem 3, assinale o que for correto.

01) Se det M = 5 e det(2M^-1.M) = x + 1, então x = 7.   

02) Se det M = 4  e se k é um número real tal que det (k.M) = 108, então

       k = 9.   

04) Se det (M/2) = 24, então det M^t = 3.   

08) Se det M = 2x + 6 e det M^t = x + 10, = 5  então det (M.M^t) = 16.   

16) Se det M = x + 2 e det M^-1 = x – 8, então o produto dos possíveis valores de x é – 17.   

                   Resposta da questão 20: 01 + 16 = 17.

[01] Verdadeira. De fato, pois det(2.M^-1.M) = x + 1 → 2³. det(M^-1.M) = x + 1 →

x + 1 = 8.1 → x = 7.

[02] Falsa. Tem-se que det(kM) = 108 → k³.detM = 108 → 4k³ = 108 → k = 3.

[04] Falsa. Na verdade, temos detM/2 = 24 →(1/2)³.detM = 24 → detM/8 = 24

→ detM = detM^t = 192.

[08] Falsa. De imediato, vem detM = detM^t → 2x + 6 = x + 10 → x = 4.

Assim, temos detM = detM^t = 14 e, portanto, det(M.M^t) = det²M = 196. 

[16] Verdadeira. Tem-se que detM . detM^-1 = 1 → (x + 2).(x - 8) = 1 →

x² – 6x – 17 = 0.

Em consequência, das Relações de Girard, podemos concluir que o

produto das raízes dessa equação é igual a – 17.  

21. (Uepg 2017)  A média aritmética dos salários dos 12 funcionários de uma empresa é de R$ 1850,00. Foram contratados mais três funcionários A, B e C, de modo que a média salarial dos 15 funcionários passou a ser de R$ 1780,00. Sabendo que o salário de B é 10% maior que o de A e que o salário de C é 10% menor que o de A, assinale o que for correto.

01) A soma dos salários dos três novos funcionários é R$ 4500,00.   

02) O salário de A é maior que R$ 1400,00.    

04) C ganha R$ 300,00 a menos que B.   

08) A ganha R$ 250,00 a mais que C.   

  

Resposta da questão 21: 01 + 02 + 04 = 07.

Sejam a, b  e c, respectivamente, os salários dos funcionários A, B e C.

Logo, temos (a + b + c + 12.1850)/15 = 1780 → a + b + c = 4500 

Como sabemos que b = 1,1a e c = 0,9a, vem a + 1,1a + 0,9a = 4500 →

a = R$ 1500,00. Portanto, segue que b = R$ 1650,00 e c = R$ 1350,00.

[01] Verdadeira. De fato, conforme mostramos acima.

[02] Verdadeira. Com efeito, pois R$ 1500,00 > R$ 1400,00.

[04] Verdadeira. De fato, pois 1650 – 1350 = R$ 300,00

[08] Falsa. O funcionário A ganha 1500 – 1350 = R$ 150,00  

22. (Uepg 2017)  Considere as expressões A = sen(π + x).cos(π + x) e       B = sec(2π - x).cotgx, sendo x um número real em que as expressões são definidas. Nesse contexto, assinale o que for correto.

01) Se x = 5π/3, então A.B > 0   

02) Se x = π/6 então B² = 4   

04) A.B = cos x   

08) B = sec x   

16) A = sen 2x   

Resposta da questão 22: 01 + 02 + 04 = 07.

Tem-se que A = sen(π + x).cos(π + x) = (-senx).(-cosx) = (sen2x)/2  e

B = sec(2π - x).cotgx = secx.cotgx = cossecx.

[01] Verdadeira. De fato, pois A.B = sen5π/3 . cos5π/3 . 1/(sen5π/3) =

cos5π/3 > 0.

[02] Verdadeira. Com efeito, pois cossec²π/6 = 1/(1/4) = 4.

[04] Verdadeira. De fato, conforme [01].

[08] Falsa. Na verdade, temos B = cossecx.

[16] Falsa. Mostramos que A = (sen2x)/2.