QUESTÕES VESTIBULAR FACULDADE CATÓLICA DO TOCANTINS 2018.1 – COMENTADAS

1.     

                

O mapa acima representa um bairro de determinada cidade, no

qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego. Sabe-se

que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada

na figura é um terreno quadrado, de lado igual a 200 metros.

Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo,

em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual

a 40 km/h, partindo do ponto X, demoraria para chegar até o

ponto Y?

A ( ) 25 min.

B ( ) 15 min.

C ( ) 2,5 min

D ( ) 1,5 min.

Vejamos :

Observando o percurso, notamos que ele poderia atingir o objetivo andando 5 quadras de 200 m, 1000 m ou 1 km, como sugere a figura.

Como a velocidade é de 40 km/h, então :

Velocidade = distância / tempo → 40 = 1/t → t = 1/40 → t = 0,025 horas ou

t = 0,025 . 60 → t = 1,5 minutos

2.    Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar

uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais.

Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam

R$ 510,00 e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo.

No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes

iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a

sua parte e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria

contribuir com mais R$ 7,00. De acordo com essas informações, qual

foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das

55 pessoas?

A ( ) R$ 17,00.

B ( ) R$ 22,00.

C ( ) R$ 32,00.

D ( ) R$ 57,00.

Vejamos :

Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte e cada uma das 50

pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00, perfazendo

um total de 50 x R$ 7,00 = R$ 350,00.

Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam

R$ 510,00, portanto R$ 510,00 – R$ 350,00 = R$ 160,00, que deverão ser

pago pelas 5 novas pessoas que haviam ingressado no grupo.

Finalmente R$ 160,00 ÷ 5 = R$ 32,00.

3.    Indique a afirmação correta.

A ( ) Duas polias são ligadas por uma correia de transmissão.

Sabendo-se que seus diâmetros são de 11,2 cm e de 16,8 cm,

pode-se calcular que quando a maior der 540 voltas, a menor

terá dado 360 giros.

Vejamos :

Se 16,8 cm → 11,2 cm, então 540 voltas → x.

Observando a situação apresentada podemos notar uma regra de três

simples e inversa, portanto : 16,8/11,2  = x/540 → 11,2x = 540.16,8 →

x = 810 voltas (FALSA)

B ( ) Se uma pessoa deposita ao fim de cada mês a importância

de R$ 100,00, a uma taxa de juros capitalizados de 2% a.m., ao fazer

o 5º. Depósito terá acumulado a importância de R$ 537,42.

1⁰ Depósito : R$ 100,00 . 1,02 = R$ 102,00

2⁰ Depósito : R$ 100,00 → R$ 202,00 . 1,02 = R$ 206,04

3⁰ Depósito : R$ 100,00 → R$ 306,04 . 1,02 = R$ 312,16

4⁰ Depósito : R$ 100,00 → R$ 412,16 . 1,02 = R$ 420,40

5⁰ Depósito : R$ 100,00 → R$ 520,40 (FALSA)

C ( ) Os valores de x para que o trinômio y = x² – 8x + 16 seja

estritamente positivo são apenas os números reais compreendidos

entre – 4 e + 4.

Para que y = x² – 8x + 16 > 0, entao ∆ < 0 e a > 0.

∆ = b² – 4ac = (- 8)² – 4.1.16 = 64 – 64 → ∆ = 0(FALSA)

D (X ) Os dois números inteiros consecutivos que por soma de

seus inversos o valor 5/6 são o 2 e o 3.

Os dois números inteiros consecutivos → x e x + 1

que por soma de seus inversos o valor 5/6 → 1/x + 1/(x + 1) = 5/6

6x + 6 + 6x = 5x(x + 1) → 6x + 6 + 6x = 5x² + 5x → 5x² – 7x – 6 = 0

∆ = (-7)² – 4.5.(-6) = 49 + 120 = 169 → x = (7 ± 13)/10 →

x' = 2 ou x'' = -3/5(não convém).

Portanto os números inteiros e consecutivos são 2 e 3(VERDADEIRA)

4.    A órbita de uma partícula em torno de um ponto é dada pela função

f (x) = β sen(x). Sabe-se que f (x) passa pelo ponto (π/4, √2).

Nessas condições, o valor de β é:

A ( ) 1,5.

B ( ) 2,0.

C ( ) 0,5.

D ( ) 1,0.

Vejamos :

Como a órbita da partícula é dada pela função f (x) = β sen(x) e passa por

(π/4, √2), então  √2 = β sen(π/4) → √2 = β √2/2 → 2√2 = β √2 → β = 2

5.    A área entre as retas y = (–x + 8)/2, y = (x + 4)/2 e x = 0 é:

A ( ) 0,5.

B ( ) 2,0.

C ( ) 1,0.

D ( ) 1,5.

Vejamos :

As retas (r) : y = (–x + 8)/2 → y = - x/2 + 4,

(s) : y = (x + 4)/2 → y = x/2 + 2  e (eixo y) : x = 0

Como a área pedida será formada pelas interseções das retas, duas a duas, vem :

r ∩ s = A → y = - x/2 + 4 e y = x/2 + 2  → - x/2 + 4 = x/2 + 2  → - x + 8 = x + 4 

- x – x  = 4 - 8  → - 2x = - 4 → x = 2 e y = -2/2 + 4 = 3 → A(2, 3)

r ∩ eixo y = B → y = - x/2 + 4 e x = 0  →  y =  0/2 + 4 = 4  → B(0, 4)

s ∩ eixo y = C → y = x/2 + 2 e x = 0  →  y =  0/2 + 2 = 2  → C(0, 2)

Portanto a área pedida será limitada pelos pontos A, B e C, como indica a figura.

                                   

Como a área é (base.altura)/2 entao A = 2.2/2 = 2

6.    Ao comprar um aparelho de ar condicionado, Jeroboão obteve

desconto junto ao vendedor de 10%.

Falou com o gerente da loja e este lhe concedeu mais um desconto

de 5% sobre o novo preço do aparelho, já considerado o desconto

dado pelo vendedor. Qual o desconto final obtido por Jeroboão?

A ( ) 14,5%.

B ( ) 15,0%.

C ( ) 13,5%.

D ( ) 14,0%.

Vejamos :

Para facilitar a resolução do exercício vamos admitir um valor para o aparelho, preferencialmente 100.

1⁰ desconto → 10% de 100 = 10/100 de 100 = 10.

2⁰ desconto → 5% de (100 - 10) = 5/100 de 90 = 4,5.

Portanto o desconto final será da ordem de 10 + 4,5 = 14,5%

DÚVIDA QUESTÃO ENVOLVENDO VALOR MÁXIMO DE UMA FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU

Atualmente, certo procedimento hospitalar tem um custo de

R$200,00, sendo realizados 60 desses procedimentos a cada

mês. Se, a cada mês, o custo por procedimento aumentar

R$10,00, mas o número de procedimentos diminuir 1 unidade,

então o gasto mensal com tais procedimentos deverá atingir

um máximo de :

A)  R$14.000,00

B)  R$16.000,00

C)  R$18.000,00

D)  R$20.000,00

E)  R$22.000,00

                                RESOLUÇÃO

CONDIÇÃO  INICIAL :

Custo do procedimento = 200

Procedimentos mensais = 60

Custo mensal dos procedimentos → Custo = 200 . 60 = 12000

CONDIÇÃO  FUTURA :

Custo dos procedimentos = 200 + 10x

Procedimentos mensais = 60 - x

Custo dos procedimentos  → Custo = (200 + 10x) . (60 - x) →

Custo = 12000 – 200x + 600x - 10x² →

Custo = - 10x² + 400x + 12000

Portanto o gasto mensal com tais procedimentos deverá atingir

um máximo para y_vértice = - ∆/4a = - (b² – 4ac)/4a

Custo máximo =  - (400² – 4(-10).12000)/4.(-10)

Custo máximo =  - (160000 + 480000)/- 40

Custo máximo =  640000/ 40 = R$ 16000,00

QUESTÕES VESTIBULAR UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA 2017 – COMENTADAS.

1. Assistindo a um treino de ciclistas na Vila Olímpica, no qual três ciclistas A, B e C partem simultaneamente de um mesmo ponto, observa-se no painel o tempo que cada ciclista leva para completar uma volta na pista, como a seguir:

• Ciclista A: 2 min;

• Ciclista B: 3 min;

• Ciclista C: 4 min.

Pergunta-se, após quanto tempo os três ciclistas voltam a se encontrar?

A) 24 min;

B) 20 min;

C) 12 min;

D) 6 min;

E) 30 min.

Vejamos :

Os três ciclistas voltam a se encontrar em MMC (2, 3, 4) = 12 minutos

2. Sobre um terreno circular de raio R, marcam-se quatro pontos A, B, C e D, conforme figura abaixo, que interligados formam um quadrilátero, cujas medidas são: AB=20m, BC=16m, CD=10m, AD=25m e AC=20m. O segmento BD é um diâmetro do círculo.

                              

Qual a área do terreno circular?

A) 225 m²;

B) 300π m²;

C) 200π m²;             QUESTÃO ANULADA !

D) 155π m²;

E) 225π m^2.

Vejamos :

Como todo triangulo inscrito em um semicírculo é retângulo, então

AD² + AB² = DB² → 25² + 20² = DB² → 625 + 400 = DB² → DB² = 1025  ou

DC² + BC² = DB² → 10² + 16² = DB² → 100 + 256 = DB² → DB² = 356

A QUESTÃO  APRESENTA  DADOS INCOERENTES .

3. Sejam f : R₊^* → R₊^* dada por f(x) = 1/x e g : R→ R  dada por g(x) = 2x + 1 . Encontre a área do quadrilátero ABCD, formado pelos pontos: A=(0,0), B= (0, g(0)), C(x',y') e D=(1,0), onde (x', y') é o ponto de intersecção dos gráficos de f e g, como ilustra a figura abaixo:

                             

A) 3/4 u.a;

B) 5/4 u.a;

C) 1/4 u.a;

D) 2 u.a;

E) 3 u.a.

Vejamos :

Sendo A=(0,0), B= (0, g(0)), C(x',y') e D=(1,0), então g(0) = 2.0 + 1 = 1

Como (x', y') é o ponto de intersecção dos gráficos de f e g, então

1/x = 2x + 1→ 1 = 2x² + x →  2x² + x – 1 = 0 → ∆ = 9 → x = (- 1 ± 3)/4

x' = 1/2 ou x" = - 1 (não convém) → y' = 2 e C(1/2, 2).

Finalmente podemos determinar a área do quadrilátero ABCD através do

da soma das áreas de ABCP com CPD, onde P é a interseção da

perpendicular pelo ponto C com o eixo x

                                     

         

    

A_ÁBCD  = A_ABCP  + A_CPD = (AB + CP).AP/2 + CP.PD/2 =

[(1 + 2).1/2]/2 + [2.(1/2]/2 = 3/4 + 1/2 = 5/4 u.a.

4. Dadas as matrizes A e B . Qual o valor de det A + det B ?

                  

  

A) 1;

B) 0;

C) 23;

D) 3;

E) 2.

Vejamos :

Se det A = 23.2 – 0.3 = 46 e det B = 0.3 – 23.2 = - 46, então det A + det B = 0

5. Considere o conjunto de todos os pontos P do espaço cujas distâncias a um ponto fixo O são iguais a r, onde r é um número real positivo. Estamos falando de qual conceito geométrico?

A) Cone;

B) Cilindro;

C) Esfera;              QUESTÃO ANULADA !

D) Plano;

E) Reta.

Vejamos :       

"A esfera pode ser definida como um sólido geométrico formado por uma superfície curva contínua. O conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual ou menor que o raio R".

6. Qual é a probabilidade de, ao lançar um dado honesto, a soma dos números das cinco faces que não estão para baixo ter como soma 19?

A) 1/3;

B) 1/2;

C) 1/6;

D) 2/3;

E) 1.

Vejamos :

1 → 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20;     2 → 1 + 3 + 4 + 5 + 6 = 19

3 → 1 + 2 + 4 + 5 + 6 = 18;     4 → 1 + 2 + 3 + 5 + 6 = 17

5 → 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16;     6 → 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

A probabilidade das cinco faces que não estão para baixo ter como

soma 19 é 1/6

7. Um professor da UFRR, de uma determinada disciplina, avaliou seus alunos com três avaliações valendo 10,0 pontos cada uma. Um dos alunos obteve 9,3 na primeira avaliação, 6,6 na segunda e 5,4 na terceira. Em relação a este aluno,

A) a média geométrica foi de 21,3 pontos;

B) a média aritmética foi de 21,3 pontos;

C) a média aritmética foi de 6,9 pontos;

D) a média geométrica foi de 7,1 pontos;

E) a média aritmética foi de 7,1 pontos.

Vejamos :

Dados 3 números a, b e c, chamaremos média aritmética Ma = (a + b + c)/3

e média geométrica Mg = ³√(abc).

Ma = (a + b + c)/3 = (9,3 + 6,6 + 5,4)/3 = 21,3/3 = 7,1

Mg = ³√(abc) = ³ √331,452 ≈ 6,92

8. Sejam P₁(x) = x³ + x² – x – 1 e P₂(x) = x³ + 3x² + 3x + 1 polinômios tais que α é raiz real de P₁(x) . Então P₂(α) é igual a :

A) 10 ou 13;

B) 9 ou 7;

C) 8 ou 0;

D) 11 ou 20;

E) 12 ou 19.

Vejamos :

Se α é raiz real de P₁(x) então P₁(α) = 0 → α³ + α² – α – 1 = 0 →

α²(α + 1) - (α + 1) = 0 → (α² - 1).(α + 1) = 0 → (α² - 1) = 0 ou (α + 1) = 0 →

α = ± 1 ou α = - 1.

Sendo P₂(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, então P₂(α) será igual a :

P₂(1) = 1³ + 3.1² + 3.1 + 1 = 8  ou P₂(-1) = (-1)³ + 3.(-1)² + 3.(-1) + 1 = 0