Professor Luiz Bolinha: 2017-02-19

1.(G1 - cftrj 2017) Seja fuma função real que tem o gráfico ao lado, onde y = f(x). Por exemplo, para x = 4, y assume o valor 6, como no ponto destacado.

Determine x, de modo que a expressão |y| + 5 tenha valor mínimo.

Resposta da questão 1:
Aplicando a definição de módulo no gráfico da função y = f(x) e fazendo uma translação vertical de 5 unidades, temos o seguinte gráfico.

O valor mínimo que a função |y| + 5 assume é 5, já que o menor valor para o modulo de y é zero. Portanto, os valores de x, para os quais a função |y| 5 assume valor mínimo são x = 1 ou x = 3.

2. (G1 - cftrj 2017) O arco de circunferência NP foi criado a partir de uma circunferência de raio MN, desenhada no plano cartesiano, conforme a figura a seguir, onde N = (0, 12) e

P = (8, 0).

Quais são as coordenadas do ponto M ?

Resposta da questão 2:
Devemos considerar que o ponto M é da forma (k,0) e que: MN = MP

√(k² + 12²) = √(8-k)² → k² + 144 = 64 – 16k + k² → k = - 5

Portanto, o ponto M tem coordenadas(-5,0)

3. (G1 - cftrj 2017) No início do mês de agosto de 2016, o jogo Pokémon Go estava disponível nas lojas de aplicativos no Brasil. O jogo foi um grande fenômeno entre os jovens que formavam grupos para “capturar” Pokémons. Não foi diferente com Alice, Bruno, Carla e Denis que se juntaram para procurar e capturar Pokémons. Quando se reuniram novamente, Alice havia capturado mais Pokémons que cada um dos outros e Carla não foi a que capturou menos Pokémons.

Quem capturou mais Pokémons, os meninos ou as meninas? Justifique.

Resposta da questão 3:
Número de Pokémon capturados por Alice: A

Número de Pokémon capturados por Bruno: B

Número de Pokémon capturados por Carla: C

Número de Pokémon capturados por Denis: D

De acordo com o texto, Carla capturou mais Pokémons que Bruno ou Carla capturou mais Pokémons que Denis. Como Alice capturou mais Pokémons que todos, o número de Pokémons capturados pelas meninas é maior que o número de Pokémons capturados pelos meninos.

4. (G1 - cftrj 2017) Um trapézio propriamente dito é um quadrilátero em que há um par de lados paralelos chamados bases cujas medidas são denotadas usualmente por b e B, e outros dois lados que não são as bases e não são paralelos entre si. Chama-se altura do trapézio propriamente dito a distância entre suas bases e usa-se a notação h para sua medida. Desse modo, a área A de um trapézio propriamente dito é dada pela expressão A = (B + b )/2 . h
A figura a seguir mostra um trapézio propriamente dito com bases medindo 17 e 34, com os comprimentos dos lados medidos em centímetros.

Qual será a área desse trapézio, em centímetros quadrados?

Resposta da questão 4:
Considerando que h é a medida da altura do triângulo, podemos escrever que:

8² = h² + x² (eq. I) e 15² = h² + (17 - x)² (eq. II)

Fazendo II - I obtemos: 225 – 64 = 289 – 34x → x = 64/17

Calculando a medida da altura através da equação I, temos:

64 = h² + (64/17)² → h = 120/17

Portanto, a área do trapézio será dada por: A = (34+17)/2 .120/17 = 180 cm²

5. (G1 - cftrj 2017) Carlos estava tentando entender o perímetro do triângulo ABC, onde as retas suportes dos lados AC e AB são tangentes à circunferência nos pontos M e N, respectivamente, Além disso, o segmento BC foi obtido a partir de uma reta tangente ao arco MN no ponto T, conforme a figura a seguir.

Carlos estava usando um software de Geometria Dinâmica, onde era impossível movimentar alguns pontos que estavam na tela. Quando Carlos movimentou somente o ponto T sobre o arco de circunferência MN observou que o perímetro do triângulo ABC manteve-se constante. Veja alguns testes.

Argumente sobre o motivo de não haver alteração no valor do perímetro do triângulo ABC, para que qualquer que seja o ponto de tangência T.

Resposta da questão 5:
Vamos mostrar agora, que o perímetro de qualquer triângulo, citado no enunciado, será igual à soma dos segmentos de medidas AM e AN tangentes à circunferência.

O perímetro P do triângulo ABC será dado por: P = AC + CT + AB + BT

Sabemos pela propriedade dos segmentos tangentes que CT = CM e que

BT = BN, portanto: P = AC + CM + AB + BN → P = AM + NA

Prova-se que o perímetro do triângulo ABC é sempre uma constante.

6. (G1 - cftrj 2017) O conceito de Esporte Eletrônico (e-Sport) foi desenvolvido a partir do cenário competitivo de alguns jogos on-line. Há jogos individuais e coletivos.

Num dos jogos coletivos, a equipe é formada por 5 membros divididos em 3 rotas (TOP, MID e BOT) e uma SELVA, que é o nome da região entre as rotas. Em cada rota, há um jogador responsável pelo farm, que é o processo de obter ouro a partir da eliminação de tropas da equipe inimiga, controladas por inteligência artificial, também chamada de minions. Cada minion dá, em média, 23 unidades de ouro.

Em média, enquanto o TOP farma 3 minions, o BOT farma 2 minions. Além disso, enquanto o BOT farma 1 minion, o MID farma 3 minions.

Qual o total de unidades de ouro das três rotas (MID, BOT e TOP), quando o TOP farmou 12 minions?

Resposta da questão 6:
De acordo com o texto, se a Top farma 3x minions, a Bot farma 2x minions e a MID farma 6x

Fazendo 3x = 12 temos x = 4. A partir de agora podemos elaborar a tabela abaixo com as respostas pedidas.

*TOP farma3x*	12minions	276 unidades de ouro
*BOT farma2x*	8 minions	96 unidades de ouro
MID farma6x	24minions	288 unidades de ouro

7. (G1 - cftrj 2017) O município de Cefetópolis teve no segundo turno da última eleição para prefeito grande número de abstenções, 40%. Isso significa que dos eleitores aptos a votar, 40% não compareceram às urnas.

Considerando os eleitores que compareceram para votar tivemos a seguinte distribuição:

- Candidato A : 30% dos votos.

- Candidato B : 45% dos votos.

- Votos nulos ou brancos: 25% dos votos.

O TRE divulga os resultados a partir dos votos válidos, dos quais NÃO são computados os votos nulos ou brancos. Nesse caso de segundo turno, por exemplo, foram computados como válidos apenas os votos recebidos pelos candidatos A e B.

a) Qual o percentual de votos válidos recebidos polo candidato A ?

b) Considerando o total de eleitores aptos a votar, qual o percentual de votos recebidos pelo candidato eleito?

Resposta da questão 7:
Considerando que x é o número de eleitores aptos a votar, podemos escrever que:

- Número de eleitores que votaram: x – 0,4x = 0,6x

- Número de eleitores que votaram no candidato A: 0,3 . 0,6x = 0,18x

- Número de eleitores que votaram no candidato B: 0,45 . 0,6x = 0,27x

- Total de votos válidos: 0,27x + 0,18x = 0,45x

a) 0,18x/0,45x = 0,4, ou seja, 40% dos votos válidos.

b) O candidato B é o vencedor com 0,27x votos, ou seja, 27% do número de eleitores aptos a votar.

8. (G1 - cftrj 2017) Para as operações apresentadas na tabela a seguir, Pedro registrou os resultados obtidos utilizando uma calculadora. Assim como nos números 8 e 13, envolvidos nas operações, os resultados apresentam um padrão com os algarismos 7 e 1.

	Operação matemática	Resultado
Linha 1:	8x8 + 13	77
Linha 2:	8x88 + 13	717
Linha 3:	8x888 + 13	7117
Linha 4:	8x8888 + 13	71117
........	.....................	...........

Admitindo que sua tabela seja válida para toa linha n ɛ N* em que linha da tabela, pela primeira vez, o resultado apresentado tem mais de 2016 dígitos e é múltiplo de 3 ?

Resposta da questão 8:
Soma dos elementos da linha 1: 7 + 7 = 14

Soma dos elementos da linha 2: 7 + 1 + 7 = 15

Soma dos elementos da linha 3: 7 + 1 + 1 + 7 = 16

Soma dos elementos da linha 2016: 7 + 2015 .1 + 7 = 2029 (não é múltiplo de 3)

Soma dos elementos da linha 2017: 7 + 2016.1 + 7 = 2030 (não é múltiplo de 3)

Soma dos elementos da linha 2018: 7 + 2017 .1 + 7 = 2031 (é múltiplo de 3)

Portanto, a linha pedida é a de número n = 2018

9. (G1 - cftrj 2017) Usando alguns números inteiros fixos e operações de aritmética é possível fazer algumas mágicas.

Nesse contexto, um professor de matemática propõe a seguinte tarefa a dois alunos:

1. Um aluno pensa num primeiro número x e outro aluno num segundo número y, ambos positivos e de dois algarismos.

2. Depois realizam-se as operações aritméticas a seguir, em sequência:

I. multiplicar o primeiro número por 4,

II. somar o resultado de I com 7,

III. multiplicar o resultado de II por 25

IV. somar o resultado de III ao segundo número;

V. somar o resultado de IV com 125

Ao concluírem todas as operações e falarem o resultado final, o professor disse exatamente quais eram os dois números pensados pelos alunos.

Se o resultado final mencionado foi 2016, qual o número x e o número y?

Resposta da questão 9:
Sejam A, B, C e D números inteiros.

Podemos então considerar que x = 10A + B e y = 10C + D.

Realizando, agora, as operações indicadas acima:

[I] 4x = 40A + 4B

[II] 40A + 4B + 7

[III] 25(40A + 4B + 7) = 1000A + 100B + 175

[IV] 1000A + 100B + 175 + 10C + D = 1000A + 100B + 175 + 10C + D

[V] 1000A + 100B + 175 + 10C + D + 125 = 1000A + 100B + 175 + 10C + D

Fazendo 1000A + 100B + 175 + 10C + D = 2016, temos:

A = 2, B = - 3, C = 1 e D = 6, então: x = 17 e y = 16

10. (G1 - cftrj 2017) Um grupo de alunos desenvolveu um embaralhador de números para apresentar na Semana de Extensão do Cefet/RJ. O funcionamento do embaralhador pode ser explicado pela figura a seguir que mostra um exemplo de seu funcionamento:

I. Entra com uma sequência que se desloca para a direita.

II. A sequência encontra um buraco e alguns números caem até completar o buraco.

III. Os números que não caem no buraco passam.

IV. Após a passagem de todos os números que não caíram no buraco, os números saem em ordem.

A sequência e os buracos são configuráveis.

Determine cada uma das três sequências obtidas após a passagem da sequência original pelos buracos.

Resposta da questão 10:
Efetuando todas as passagens previstas, temos o seguinte esquema:

Portanto, as sequências pedidas são 1234765, 5612347 e 7435612.

Professor Luiz Bolinha

sábado, 25 de fevereiro de 2017

F E L I Z C A R N A V A L !

QUESTOES VESTIBULAR G1 cftrj 2017 – TIPO ANALITICA - COMENTADAS