QUESTOES VESTIBULAR PUCSP 2017 - COMENTADAS

 

1. (Pucsp 2017)  Considere a progressão aritmética (3, a₂, a₃, ...) crescente, de razão r, e a progressão geométrica (b₁, b₂, b₃, 3, ...) decrescente, de razão q, de modo que a₃ = b₃ e r = 3q. O valor de b₂ é igual a :

a) a₆   

b) a₇   

c) a₈   

d) a₉   

  

Resposta da questão 1: [B]

Calculando:

PA → (3, a₂, a₃, ...) → ( 3, 3 + r, 3 + 2r, ... )

PG → (b₁, b₂, b₃, 3, ...) → ( 3/q³, 3/q², 3/q, 3, ... )

Como a₃ = b₃ e  r = 3q → 3 + 2r = 3/q → 3 + 2.3q = 3/q →2q² + q – 1 = 0

q' = -1 ( não convem ) ou q'' = 1/2 → r = 3/2

Logo,

PG → ( 24, 12, 6, 3, …) → b₂ = 12   e

PA → ( 3, 9/2, 6, 15/2, 9, 21/2, 12,…) → a₇ = 12

2. (Pucsp 2017)  Uma pessoa dispõe das seguintes cores de tinta: amarela, azul, verde, vermelha e branca, e irá utilizá-las para pintar um pote. Nesse pote serão pintadas a tampa, a lateral e uma lista na lateral, de modo que a tampa e a lateral poderão ter a mesma cor ou cores diferentes. O número de maneiras distintas de pintar esse pote é :

a) 100   

b) 80   

c) 60   

d) 40   

  

Resposta da questão 2:[A]

Pelo enunciado pode-se deduzir que a cor da listra e a da lateral precisam

ser diferentes para que a listra seja visível. Assim, a listra só precisa ser de uma cor distinta da cor da lateral, logo as possibilidades são: 5 possibilidades de cor na tampa, 5 possibilidades de cor na lateral e 4 possibilidades de cor na listra. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, tem-se: 5 . 5 . 4 = 100 possibilidades

  

3. (Pucsp 2017)  O volume de um cilindro de 8 cm de altura equivale a 75% do volume de uma esfera com 8 cm de diâmetro. A área lateral do cilindro, em cm² é :

a) 42√2 π   

b) 36√3 π   

c) 32√2 π   

d) 24√3 π   

  

Resposta da questão 3:[C]

Calculando: V_cilindro = πR²h = 8πR²  e V_esfera = 4/3 πR_e³ = 4/3 π4³ = 256π/3

V_cilindro = 0,75 . V_esfera → 8πR²  = 0,75 . 256π/3 → R² = 8 → R = 2√2

S_lateral  = 2πRh = 2.π.2√2.8 = 32π√2 cm²

4. (Pucsp 2017)  O jornal Folha de S. Paulo publicou em 11 de outubro de 2016, a seguinte informação:

                     

De acordo com as informações apresentadas, suponha que para uma velocidade de 35 km/h a probabilidade de lesão fatal seja de 5% e que para velocidades no intervalo [35, 55] o gráfico obedeça a uma função do 1º grau. Nessas condições, se um motorista dirigindo a 55 km/h quiser reduzir a probabilidade de lesão fatal por atropelamento à metade, ele terá que reduzir a sua velocidade em, aproximadamente,

a) 20%   

b) 25%   

c) 30%   

d) 35%   

  

Resposta da questão 4:[A]

Desenhando o gráfico (intervalo [35, 55] representado pelo trecho em vermelho):

Para encontrar a equação da reta em vermelho pode-se escrever:

m = (50 - 5) / (55 - 35) → m = 3, então y – 5 = 3.(x - 35) → y = 3x - 100

Para x = 55, tem-se y = 3 . 55 – 100 → y 65%

Para reduzir esse risco à metade, pode-se escrever:

y = 65%/2= 32,5% → 32,5 = 3x – 100→x ≈ 44,2 , então

(55 - 44,2)/55 ≈ 0,2 = 20% de reduçao

  

5. (Pucsp 2017)  A circunferência λ : x² + y² – 4x – 10y + 13 = 0, de centro C, e a reta r : x + y – 11 = 0 se interceptam nos pontos P e Q. A área do triângulo PCQ, em unidades de área, é :

a) 6   

b) 7   

c) 8   

d) 9   

Resposta da questão 5:[C]

Se P e Q são pontos de intersecção, então pode-se escrever:

x² + y² – 4x – 10y + 13 = 0  e  x + y – 11 = 0

x² + (11 - x)² – 4x – 10.(11 - x) + 13 = 0 → x' = 2 ou x'' = 6

Portanto quando x = 2 → y = 9 →(2, 9) e quando x = 6 → y = 5 →(6, 5)

Calculando as coordenadas do ponto C :

x² + y² – 4x – 10y + 13 = 0  → (x - 2)² + (y - 5)² = 4² → C(2, 5)

Esboçando os gráficos:

Pode-se escrever: PC = QC = 4 e S = 4 . 4 / 2 = 8

  

6. (Pucsp 2017)  Atribui-se aos pitagóricos a regra para a determinação da tríade que fornece os três lados de um triângulo retângulo. Essa regra é dada por ( (m²-1)/2 , m, (m²+1)/2) sendo m um número inteiro ímpar e m ≥ 3

Fonte: Carl B. Boyer: História da matemática - Editora Edgard Blücher - 1974 (Adaptado)

Considere um triângulo retângulo de hipotenusa  e catetos b e c, com

b > c, cujos lados obedeçam a essa regra. Se a + b + c = 90, o valor de a.c, é :

a) 327   

b) 345   

c) 369   

d) 381   

  

Resposta da questão 6:[C]

Calculando: a + b + c = 90 com b > c

Sendo a = (m²+1)/2 ; b = (m²-1)/2 ; c = m , então

(m²+1)/2 + (m²-1)/2 + m = 90 → m² + m – 90 = 0 →

m' = 9 ou m'' = -10 ( não convem ) .

Logo a = 41; c = 9 e a . c = 369

7. (Pucsp 2017)  Considere uma circunferência tangente aos eixos ortogonais cartesianos nos pontos A e B, com 10 cm de raio, conforme mostra a figura.

                                     

Sabendo que os pontos E, F, C, D (K,4) estão alinhados, a medida do segmento EF é :

a) 1,0 cm   

b) 1,5 cm   

c) 2,0 cm   

d) 2,5 cm   

  

Resposta da questão 7:[D]

Como a circunferência é tangente aos eixos coordenados e está no

primeiro quadrante, as coordenadas do seu centro são C(10,10). Logo:

                           

Analisando o triângulo destacado em vermelho, percebe-se que ele tem

catetos 6 e 8 (por Pitágoras). Assim, a coordenada do ponto D será (18,4)

Ainda: o triângulo em vermelho é semelhante ao triângulo EBC (em azul).

 Logo, pode-se escrever: EC/10 = 10/8→EC = 12,5 e EF = EC - 10→EF = 2,5

  

  

8. (Pucsp 2017)  Em relação ao número complexo z = i⁸⁷. ( i¹⁰⁵ + √3 )    é correto afirmar que :

a) sua imagem pertence ao 3⁰ quadrante do plano complexo.   

b) é imaginário puro.   

c) o módulo de  é igual a 4   

d) seu argumento é igual ao argumento do número complexo v = 1/2-√3/2 i   

  

Resposta da questão 8:[D]

Simplificando: z = i⁸⁷. ( i¹⁰⁵ + √3 )  = i³ . ( i + √3 ) → z = 1 - i√3

Analisando as alternativas uma a uma:

[A] FALSA. Seu afixo está no 4º quadrante.

[B] FALSA. Não é imaginário puro.

[C] FALSA. Seu módulo é igual a 2.

[D] VERDADEIRA. Ambos tem o mesmo argumento: v = 1/2 z.   

9. (Pucsp 2017)  A soma dos quatro algarismos distintos do número N = abcd, é 16. A soma dos três primeiros algarismos é igual ao algarismo da unidade e o algarismo do milhar é igual à soma dos algarismos da centena e da dezena. O produto dos algarismos da dezena e da centena é

a) 4   

b) 3   

c) 2   

d) 1   

Resposta da questão 9:[B]

Calculando: a + b + c + d = 16  ,   a + b + c = d  ,  a = b + c  ,  2a = d

Logo, a + a + 2a = 16 → 4a = 16 → a = 4 e d = 8

b + c = 4 , b ≠ c → b = 3 e c = 1  ou  b = 1 e c = 3

Entao : b . c = 3 . 1 = 1 . 3 = 3

  

10. (Pucsp 2017)  Uma pessoa montou um quebra-cabeça de 1000 peças em 11 dias. No 1º dia foram montadas 40 peças, e o número diário de peças montadas do 2º ao 11º dia obedeceram a uma progressão aritmética. Se o número de peças montadas no 2º dia correspondeu a 60% do número de peças montadas no 7º dia, então, o número de peças montadas no 9º dia foi :

a) 120   

b) 118   

c) 116   

d) 114   

  

Resposta da questão 10:[C]

Se r é a razão da progressão aritmética e o número de peças montadas no

2º dia correspondeu a 60% do número de peças montadas no 7º dia, então

a₂ = 0,6.a₇ → a₂ = 0,6.(a₂ + 5r) → r = 2a₂/15

Sabendo que o número de peças montadas do 2º ao 11º dia foi 1000 – 40 =

960, vem [a₂ + (9. 2a₂/15)/2].10 = 960 → a₂ + 3a₂/5)/2 = 96 → a₂ = 60

Portanto, temos a₉ = a₂ + 7. 2a₂/15 = 29.60/15 = 116

11. (Pucsp 2017)  Considere as funções f(x) = x²/2 + b e g(x) = x + k, com b e k números reais.

Sabendo que f(g(-5)) = g(-2) e que g(f(-2)) = 12, o valor de f(-4) é igual a :

a) g(g(0))   

b) f(g(-3))   

c) 2.f(2)   

d) 5 + g(1)   

  

Resposta da questão 11:[B]

Se g(f(-2)) = 12, então (-2)²/2 + b + k = 12 → b = 10 - k

Se f(g(-5)) = g(-2), então (-5 + k)²/2 + 10 – k = - 2 + k → k = 7

Portanto, vem b = 3 e, assim, encontramos f(-4) = (-4)²/2 + 3 = 11 = f(g(-3))

  

12. (Pucsp 2017)  Em um pote de vidro não transparente, foram colocados mini sabonetes, todos de mesmo tamanho, sendo 16 deles na cor amarela, 6 na cor verde e 4 na cor azul. Retirando-se aleatoriamente 3 desses mini sabonetes, um após o outro, sem reposição, a probabilidade de saírem pelo menos 2 deles na cor amarela, sabendo que o primeiro mini sabonete retirado era na cor amarela, é :

a) 11/20   

b) 13/20   

c) 15/20   

d) 17/20   

  

Resposta da questão 12:D]

A probabilidade de não ser retirado nenhum sabonete na cor amarela nas

duas últimas extrações, dado que um sabonete amarelo foi retirado na

primeira extração, é igual a 10/25 . 9/24 = 3/20, portanto o resultado pedido

é 1 - 3/20 = 17/20  

13. (Pucsp 2017)  Um bloco maciço de madeira na forma de um prisma reto de base retangular medindo 18 cm por 24 cm e com 30 cm de altura, foi totalmente dividido em cubinhos iguais e de maior aresta possível. Supondo que não tenha ocorrido perda alguma no corte do bloco, o volume de um cubinho é :

a) 64 cm³   

b) 125 cm³      

c) 216 cm³      

d) 343 cm³      

  

Resposta da questão 13: [C]

A medida da aresta de cada cubinho, em centímetros, corresponde ao

máximo divisor comum das dimensões do bloco, isto é, mdc(18, 24, 30)= 6

Em consequência, a resposta é 6³ = 216 cm³.  

14. (Pucsp 2017)  A figura mostra um triângulo retângulo ABC, de hipotenusa AC, com A(2, 7), B(7, 2) e C(k, k - 5).

                                 

Sabendo que a área do triângulo ABC é 15 cm² o valor da abscissa do ponto C é :

a) 8   

b) 9   

c) 10   

d) 11   

  

Resposta da questão 14:[C]

Do gráfico, vem k > 7 e 2 < k – 5 < 7, implicando em 7 < k < 12 Logo, sendo

a área de ABC igual a 15 cm² temos :

            

Portanto, a resposta é x_c = k = 10.  

15. (Pucsp 2017)  Uma senha é formada por quatro algarismos distintos ABCD que obedecem às seguintes condições:

I. A + B + C + D = 11

II. A.B.C = 30

III. A + B = C

IV. A.B = C + D

Sabendo que A < B o valor de A + C é :

a) 4   

b) 5   

c) 6   

d) 7   

  

Resposta da questão 15:[D]

Se A + B = C e A + B + C + D = 11 então D = 11 – 2C, com 1 ≤ C ≤ 5 e C ɛ N. 

Além disso, como A.B = C + D e A.B.C = 30 temos (C + D).C= 30,

implicando em C² – 11C + 30 = 0. Logo, vem C = 5 e, portanto, D = 1.    

Em consequência, temos A + B = 5 e A.B = 6 donde segue que A = 2 e B =

3 pois A < B Assim, podemos concluir que A + C = 2 + 5 = 7.  

16. (Pucsp 2017)  Um número é chamado “perfeito” se ele for igual à soma de seus divisores, excluindo ele mesmo.

Se S = 2ⁿ - 1 é um número primo, então o número P = 2^{n – 1}. S será um número “perfeito”.

Fonte: A Magia dos Números/ Paul Karlson. (Adaptado)

Sabendo que o número 496 é um número “perfeito”, os valores de n e S são, respectivamente :

a) 5 e 31   

b) 5 e 29   

c) 3 e 29   

d) 3 e 31   

  

Resposta da questão 16:[A]

Se S = 2ⁿ - 1 e P = 2^{n – 1}. S, então P = 2^{n – 1}. (2ⁿ - 1)  = (2²ⁿ-2ⁿ)/2

sendo 496 um número perfeito, temos (2²ⁿ-2ⁿ)/2 = 496

2²ⁿ- 2ⁿ = 992, fazendo 2ⁿ = a →a² – a – 992 = 0 → ∆ = (-1)² – 4.1.(-992) = 3969

a = (1 ± 63)/2 → a = 64/2 = 32 ou a = - 62/2 = - 31(não convém)

Portanto, se 2ⁿ = 32 → n = 5 →  S = 2⁵ – 1 = 31

17. (Pucsp 2017)  Considere o retângulo ABCD, com AB = 8 cm, BC = 5 cm e o segmento PS que intersecta os prolongamentos dos lados AD e BC nos pontos P e S, respectivamente, conforme mostra a figura.

                                           

Sabendo que AP = 3 cm e CS = 2 cm a área do quadrilátero QBCR é :

a) 18 cm²   

b) 20 cm²   

c) 22 cm²   

d) 24 cm²   

  

Resposta da questão 17:[A]

Desde que os ângulos AQP ≈ SQB são opostos pelo vértice, podemos

afirmar que os triângulos retângulos APQ e SQB são semelhantes por AA.

Logo, temos QB(8 - QB) = SB/AP → QB(8 - QB) = 7/3 →  QB = 28/5 cm.

Sendo os triângulos SRC e SQB também semelhantes por AA, vem 

QB/RC = SB/SC → (28/5)/RC = 7/2 → RC = 8/5 cm.

Portanto, a resposta é (QBCR) = 1/2.(28/5 . 8/5).5 = 18 cm²

  

18. (Pucsp 2017)  Considere os números complexos z₁ = - 1 – i, z₂ = k + i, com k um número real positivo e z₃ = z₁ . z₂

Sabendo que |z₃| = √10, é correto afirmar que :

a) |z₁ + z₂| = √7   

b) z₂/z₃ = (-1 + i)/2   

c) O argumento de z₂ é 225⁰   

d) z₃ . z₂ = -1 + 2i   

 
Resposta da questão 18: [B]

Se z₁ = - 1 – i, z₂ = k + i e z₃ = z₁ . z₂, então z₃ = z₁ . z₂ = (- 1 – i).(k + i)

z₃ = (-k + 1) + (-k - 1)i

Logo, sendo k ɛ R₊* e |z₃| = √10, temos (-k + 1)² + (-k - 1)² = 10 → k² = 4

k = ± 2 → k = 2 → z₂ = 2 + i e z₃ = - 1- 3i

[A] Falsa. Temos |z₁ + z₂| = |-1 –i + 2 + i| = 1 ǂ√7

[B] Verdadeira. De fato, pois z₂/z₃ = (2 + i)/(-1 – 3i) = (-1 + i)/2

[C] Falsa. Sendo Ɵ o argumento principal de z₂ tem-se que

tg Ɵ = 1/2 ǂ 1 = tg 225⁰.  

[D] Falsa. Na verdade, sabemos que z₃ . z₂ = (-1-3i).(2+i) = 1–7i