QUESTOES CONCURSO PUBLICO Cfopm – Ba 2014 – COMENTADAS

1. De acordo com os conhecimentos sobre Lógica Matemática, é correto afirmar que a proposição “Não é verdade que se X participa da manifestação, então presencia atos de vandalismo” é logicamente equivalente a :

01) “É verdade que X participa da manifestação e presencia atos de vandalismo”.

02) “É verdade que X participa da manifestação ou presencia atos de vandalismo”.

03) “Não é verdade que X participa da manifestação ou não presencia atos de vandalismo”.

•04) “Não é verdade que X não participa da manifestação ou presencia atos de vandalismo”.

05) “Não é verdade que X não participa da manifestação ou não presencia atos de vandalismo”.

Como sabemos, segundo os principios da logica :

• a negação do condicional " se p, então q " é " p e não q ".

• a negação da conjunçao "  p e q " é " nao p ou não q ".

 Na proposição apresentada ...  “Não é verdade que se X participa da

manifestação, então presencia atos de vandalismo” temos a negação de

um condicional, que é equivalente ... “Não é verdade que X não participa

da manifestação ou presencia atos de vandalismo”, que é a negação de

uma cunjunçao .

2.O número de participantes em uma manifestação, após 3 horas de seu início, foi estimado em, aproximadamente, 1000 pessoas. Admitindo-se que esse número tenha aumentado 25% a cada hora, pode-se afirmar que, no início da manifestação, o número aproximado de participantes era igual a :

01) 250.

02) 356

03) 420

04) 500

•05)512

Vejamos, como o aumento é percentual, equivale a ser acumulativo, ou

seja exponencial, portanto do tipo N(t) = N₀.1,25^t.

... após 3 horas de seu início, foi estimado em, aproximadamente, 1000

pessoas → N(3) = 1000 → 1000 = N₀. 1,25³ → 1000 = N₀. (125/100)³→

1000 = N₀. (5/4)³→ 1000 = N₀. (125/64)→ 1000.64/125 = N₀ → N₀= 512

3.Por medida de precaução, a administração de um prédio resolveu restringir o número de pessoas transportadas por um de seus elevadores a 9 mulheres ou 6 homens, de média compleição. Respeitando-se a restrição imposta, quando, no elevador, já se encontram 6 mulheres, é correto afirmar que, nesse elevador, ainda podem entrar, no máximo,

      01) quatro homens.

      •02) dois homens.

      03) dois homens e uma mulher.

      04) dois homens e duas mulheres.

      05) um homem e duas mulheres.

 A condição imposta é : 9 mulheres ou 6 homens. Se já existem 6

mulheres poderiam entrar mais 3 mulheres, que equivale a 1/3 da

condição imposta. Portanto ainda poderiam entrar 1/3 de 6 homens, ou

seja 2 homens.

4.Todos os funcionários de determinada empresa deverão fazer um curso de atualização por ela oferecido. Tal curso é composto por três módulos distintos e independentes que poderão ser cursados simultaneamente ou não. Se cada módulo tiver uma taxa de participação de 70% dos funcionários, pode-se estimar o percentual mínimo de participação simultânea, nos três módulos, em :

    •01)10%.

     02)20%

     03)25%

     04)30%

     05)40%

Como ... Tal curso é composto por três módulos distintos e independentes .

... Se cada módulo tiver uma taxa de participação de 70% dos funcionários, então apresentara uma taxa de não participação de 30%.

Simultaneamente, serão 30% + 30% + 30% = 90% o máximo de não participaçao . Portanto o percentual mínimo de participação sera

100% - 90% = 10%.

5. X recebe R$320,00 por x horas de trabalho semanal em seu emprego. Y recebe o mesmo valor, por seu trabalho semanal, porém trabalha 4 horas a mais e recebe R$4,00 a menos do que X, por hora trabalhada. Nessas condições, pode-se afirmar que o número de horas semanais de trabalho de Y equivale a :

01) metade de um dia.

02) 3/4 de um dia

•03)5/6 de um dia.

04) um dia

 05)um dia e meio

Vejamos :    X → 320 = x hs . a_reais   e   Y → 320 = (x+4)hs.(a-4)_reais

320 = xa   e   320 = (x+4)(a-4)→ 320 = xa – 4x + 4a – 16 →

320 = 320 – 4x + 4a – 16 → 4x – 4a = - 16 (÷4) → x – a = - 4 ou a = x + 4

Substituindo em 320 = xa , vem → 320 = x(x + 4) → 320 = x² + 4x →

 x² + 4x – 320 = 0 → x = (- 4 ± √ 1296)/2 → x' = 16 ou x" = - 20(não convém)

Portanto a quantidade de horas de Y é x + 4 = 20 horas

6. A função polinomial f(t) = t³−14t² +53t−40 representa a evolução do lucro de uma microempresa, em milhares de reais, ao longo de t anos de funcionamento, 1 ≤ t ≤ 10. Excluindo-se, durante esse intervalo de tempo, o número de anos em que o lucro foi igual a zero, pode-se afirmar que o número de anos em que a empresa não teve prejuízo foi igual a :

01) 4.

•02)5

      03)6

      04)7

      05)8

Vejamos : ... Excluindo-se, durante esse intervalo de tempo, o número de

anos em que o lucro foi igual a zero, pode-se afirmar que o número de

anos em que a empresa não teve prejuízo ... → f(t) = t³−14t² +53t−40 > 0

Como o tempo vem expresso em anos , 1 ≤ t ≤ 10 , sera  sempre natural,

então a tentativa implicara na melhor maneira de se resolver .

Por tentativa :

 t = 1 → f(1) = 1³−14.1² + 53.1−40 = 1 – 14 + 53 – 40 = 0 (raiz)

t = 2 → f(2) = 2³−14.2² + 53.2−40 = 8 – 56 + 106 – 40 = 18 > 0

t = 3 → f(3) = 3³−14.3² + 53.3−40 = 27 – 126 + 159 – 40 = 20 > 0

t = 4 → f(4) = 4³−14.4² + 53.4−40 = 64 – 224 + 212 – 40 = 12 > 0

t = 5 → f(5) = 5³−14.5² + 53.5−40 = 125 – 350 + 265 – 40 = 0 (raiz)

t = 6 → f(6) = 6³−14.6² + 53.6−40 = 216 – 504 + 318 – 40 = -10 > 0

t = 7 → f(7) = 7³−14.7² + 53.7−40 = 343 – 686 + 371 – 40 = -12

t = 8 → f(8) = 8³−14.8² + 53.8−40 = 512 – 896 + 424 – 40 = 0 (raiz)

t = 9 → f(9) = 9³−14.9² + 53.9−40 = 729 – 1134 + 477 – 40 = 32 > 0

t = 10 → f(10) = 10³−14.10² + 53.10−40 = 1000 – 1400 + 530 – 40 = 90 > 0

Portanto f(t)  > 0 para t = 2, t = 3, t = 4 , t = 9 e t = 10 → 5 meses

 Note : outra maneira de resolução seria decompor o polinômio e estudar seu sinal,  f(t) = t³−14t² +53t−40 > 0 → f(t) = (t - 1).(t - 8). (t - 5) > 0   

7.

Após uma negociação entre credor e devedor, acordou-se que o pagamento de uma dívida de V = R$3000,00 será feito em 5 parcelas mensais, sendo o valor de cada parcela composto por 1/5 de V, acrescido de 2% de juros ao mês, cobrados sobre o saldo devedor, D(n), representado, a cada mês, pelos pontos destacados no gráfico. Supondo-se que todos os pagamentos sejam efetuados sem atraso, pode-se afirmar que :

01)  O saldo devedor decrescera segundo uma progressão geométrica  de razão r = 1/5

    02) o saldo devedor, a cada mês, poderá ser obtido através da fórmula

          D(n) = −4n+ 26.

    03) os valores das parcelas decrescerão segundo uma progressão  aritmética de razão r = 120.

    04) o valor de cada parcela poderá ser obtido através da fórmula

          P(n) = 600 − 12n.

    •05) o valor médio das prestações será igual a R$636,00.

Atraves do gráfico podemos obter a função do primeiro grau D(n) = an + b

Para n = 3, D(3) =1800→3a + b = 1800 e para n = 5, D(5) = 600→5a + b = 600

Resolvendo o sistema, obtemos 1800 – 3a = 600 – 5a → 2a = - 1200

a = - 600 → b = 1800 – 3a → b = 1800 + 1800 → b = 3600 → D(n) = -6n + 36,  

em centenas de reais ou D(n) = - 600n + 3600, em reais.

Como o saldo devedor ocorre segundo 1/5 de V (R$600,00), acrescido de

2% de juros ao mês, entao:

1^a parcela = 600 + 2% de 3000 = 660

2^a parcela = 600 + 2% de 2400 = 648

3^a parcela = 600 + 2% de 1800 = 636

4^a parcela = 600 + 2% de 1200 = 624

5^a parcela = 600 + 2% de 600 = 612

A sequencia e uma PA de razão 120.

A media = (660+648+636+624+612)÷5 = 636

8. Quando o número de queixas de roubo de aparelhos celulares registradas em uma delegacia chegou a 100, passou-se a monitorar essas queixas, constatando-se que o seu crescimento era, em média, de 20% a cada semana. Nessas condições, considerando, se necessário, log2 = 0,31 e log3 = 0,48, pode-se estimar que o número de queixas semanais deverá ultrapassar 1200 em um número de semanas, no mínimo, igual a :

01) 11.

•02)13

     03)15

     04)17

     05)19

Vejamos, como o crescimento é percentual, equivale a ser acumulativo,

ou seja exponencial, portanto podemos também resolver usando uma

progressão geométrica a_n = a₁ . q^{n - 1}, onde a₁ = 100.

Quando as queixas ultrapassarem 1200 → a_n = a₁ . q^{n -1} > 1200 →

100 . 1,2^{n -1} > 1200 → 1,2^{n -1} > 12 → log1,2^(n-1) > log12 →

(n-1).log1,2 > log12→ (n - 1) > log12/log1,2 → n - 1 > log12/log(12/10)

n - 1 > (2log2 + log3) /(2log2 + log3 – log10) →

n - 1 > (0,62+0,48)/(0,62+0,48-1) → n - 1 > 1,1 / 0,1 → n – 1 > 11 → n > 12

9. Com fins beneficentes, organizou-se um sorteio para o qual foram vendidas cartelas com nove números dispostos na forma de matrizes de ordem 3. Foi premiado o portador da cartela cujos números aij obedeciam à regra a aij = | i – 3j |. A matriz assim obtida tem determinante igual a :

01) − 14.

02)  - 10

•03) 0

04)10

      05)14

Vejamos, a matriz em questão e do tipo  A(3x3) / aij = | i – 3j | , entao:

a₁₁ = | 1 – 3.1 | = 2       a₁₂ = | 1 – 3.2 | = 5       a₁₃ = | 1 – 3.3 | = 8

a₂₁ = | 2 – 3.1 | = 1       a₂₂ = | 2 – 3.2 | = 4       a₂₃ = | 2 – 3.3 | = 7

a₃₁ = | 3 – 3.1 | = 0       a₃₂ = | 3 – 3.2 | = 3       a₃₃ = | 3 – 3.3 | = 6

Resolvendo o determinante pelo método de Sarrus, vem :

 2        5       8       2       5

 1        4       7       1       4   = 2.4.6 + 5.7.0 + 8.1.3 – 5.1.6 – 2.7.3 – 8.4.0 =

 0        3       6       0       3

48 + 0 + 24 – 30 – 42 – 0 = 72 – 72 = 0

Obs.: Não havia necessidade de resolver o determinante já que suas filas são combinações lineares. Necessariamente seu resultado seria nulo.

10.    Numero de salas        Numero de inscrições

                     01                          0001 a 0040

                     02                          0041 a 0080

                     03                          0081 a 0120

                    .......                           ................

Em determinado concurso, os candidatos foram distribuídos em salas, com 40 candidatos cada, segundo a ordem crescente dos seus números de inscrição, conforme indicado na tabela. Nessas condições, pode-se afirmar que um candidato cujo número de inscrição coincide com a média aritmética dos números de inscrição obtidos através de todas as permutações de 2, 7 e 9 ficou na sala de número :

01) 20.

02) 19

03) 18

•04)17

      05)16

 Vejamos todas as permutações → 279, 297, 729, 792, 927 e 972

Media = (279+297+729+792+927+972) ÷ 6 = 3996 ÷ 6 = 666

Dividindo-se 666 por 40( numero de inscrições por sala ), obtemos

666 ÷ 40 = 16,65 → então estará na 17^a sala.

11. Devido a um problema na emissão digital de senhas, um funcionário recebeu uma caixa contendo cartões numerados para serem distribuídos ao público como senhas de atendimento. Examinando-se esses cartões, observou-se que :

• 20 deles tinham numeração múltipla de 3;

• 15 deles tinham numeração múltipla de 4;

• 10 deles tinham numeração múltipla de 12.

Considerando-se que a caixa contém o menor número possível de cartões com essas características, pode-se afirmar que, retirando-se, aleatoriamente, um desses cartões, a probabilidade de que ele não tenha numeração múltipla de 12 é igual a :

01) 1/4

02) 3/10

03) 2/5

04) 1/2

•05)3/5

Vejamos : Considerando-se que a caixa contém o menor número possível de cartões, entao dos 20 multiplos  de 3, 10 são também de 12, e dos 15 multiplos de 4, 10 são também de 12. Portanto teremos, 10 multiplos so de 3 + 5 so de 4 e 10 de 12, totalizando 25 numeros(o universo).

Qual a probabilidade de que ele não tenha numeração múltipla de 12 ?

Resp. 15 de 25 = 15/25 = 3/5

12. Considere uma circunferência de centro C e raio 4 cm, que se apoia sobre uma reta tangente r, como indicado na figura, e P, um ponto da circunferência posicionado na horizontal à direita de C.

Sabe-se que P se desloca sobre a circunferência, no sentido horário, até ocupar uma posição em que sua distância à reta r mede 3cm. Se a mesma localização de P fosse obtida através de um deslocamento no sentido anti-horário, então é correto afirmar que a amplitude da rotação feita por P mediria, em :

01)  2π/3

02) 3π/4

 03)5π/6                  Questão com dados incoerentes ???

 04)7π/6

 05) 9π/4

Observando que, como o ponto ocupará uma posição a 3 cm da reta r e no sentido

horário, podemos então concluir que  varreu um arco α tal que sen α = 1/4 , ou seja

α = arc sen 1/4, que nao é um valor notável.

       

Por outro lado, se  o ponto ocupar uma posição a 3 cm de x e no sentido anti-horário, podemos então concluir que realmente varreu um arco π + α.

Portanto a amplitude de rotação feita por P, ou seja P"OP' mede π - 2α, ou seja

π  - 2.arc sen 1/4, apresentando completa incoerencia de dados.

13.

 

Os pontos A, B, C e D representam, no plano complexo, os vértices de uma mesa de sinuca, retangular, de lados paralelos aos eixos coordenados e cujo centro O coincide com a origem do referido sistema de coordenadas. Após uma tacada na direção de z = 1 + i, uma bola colocada no ponto P segue até Q, na lateral dessa mesa, indo, em seguida, até R. Sabendo-se que a bola se desvia com o mesmo ângulo com que incide e que os pontos A e P são afixos dos números complexos z1 = 3 + 2i e z2 = − 1/2, respectivamente, pode-se afirmar que o ponto R é afixo de um número complexo cujo argumento principal θ é tal que :

01) 6tgθ = −1

02) 6tgθ = 1              Questão com dados incoerentes 

03) 3tgθ = −2

04) 2tgθ = 3

05) 3tgθ = 4

Vejamos : ... Sabendo-se que a bola desvia com o mesmo ângulo com que incide e que os pontos A e P são afixos dos números complexos

z1 = 3 + 2i e z2 = − 1/2, respectivamente..., portanto A(3,2) e P(-1/2, 0).

O ângulo de incidência  da reta PQ é o mesmo do desvio da reta QR, então podemos determinar o coeficiente angular da reta PQ, pois a mesma apresenta direção de z = 1 + i.

a_PQ = tgα = ∆y/∆x = (1-0)/(1-(-1/2) = 1/(3/2) = 2/3.

Como consequência a reta PQ será do tipo y = 2/3 x + b → 1 = 2/3 . 1 + b

1 = 2/3 + b → b = 1/3, então a reta PQ será y = 2/3 x + 1/3.

Substituindo y_Q = 2, vem 2 = 2/3 x + 1/3 → x = 5/2 → Q(5/2 , 2)

a_QR = tgα = ∆y/∆x = (y_R-2)/(3 - 5/2) = -2/3(note que é a mesma inclinação de PQ, 

porém negativa, pois é decrescente) → y_R-2 = -2/3 . 1/2 → y_R = -1/3 + 2 

= 5/3, então R(3, 5/3) . Note uma incoerência com o desenho apresentado.

Finalmente tg Ɵ = (5/3) / 3 = (5/3).(1/3) = 5/9→ 9tgƟ = 5, Questão com dados 

incoerentes 

14. Sabe-se que a capacidade de uma taça na forma de um cone equilátero é de 72√3π cm³. Se uma pessoa colocou um líquido nessa taça até a altura correspondente a 2/3 do raio máximo da taça, então sobre o volume de líquido nela colocado, em cm³, pode-se afirmar:

01) É menor do que 6,2π.

•02) Está entre 6,2π e 7,5π.

03) É igual a 7,5π.

04) Está entre 7,5πe 8,8π.

05) É igual a 8,8π.

Vejamos : cone equilátero → geratriz(g) = diâmetro da base = 2r

g² = h² + r² → (2r)² = h² + r² → 3r² = h² → h = r√3

Volume : V = 1/3 . π . r² . h = 72√3π → 1/3 . r² . r√3 = 72√3

1/3 . r² . r = 72 → r³ = 216 → r = 6 cm

...... 2/3 do raio máximo da taça → h = 2/3 . 6 = 4 cm → 4 = r√3 → r = 4/√3

Volume liquido = 1/3 . π . (4/√3) ² . 4 = 1/3 . π . 16/3 . 4 = 64π/9 ≈ 7,1π

15. Devido ao crescimento no número de ocorrências violentas em determinado bairro decidiu-se instalar um posto policial cuja localização foi escolhida, por razões estratégicas, tomando-se como referência três regiões −R1, R2, R3 − de maior incidência de eventos dessa natureza. Se R1, R2, R3 forem representadas no plano cartesiano por (6,1), (6,9) e (13,1), respectivamente, então o posto deverá ser representado por um ponto P, o mais próximo possível de R1  e R2, equidistante destes e, além disso, a uma distância de 5u.c. de R3. Assim sendo, a medida da distância do ponto P a R2, em unidades de comprimento, deverá ser, aproximadamente, igual a :

01) 4,0.

02) 4,7.

03) 5,3.

•04)5,6.

05) 6,2.

   Vejamos : ... ponto P, o mais próximo possível de R1  e R2, equidistante destes .... → dPR₁ = dPR₂

√(XP – XR1)² + (yP – YR1)² = √(XP – XR2)² + (yP – YR2)², elevando ao

quadrado, vem : (XP – XR1)² + (yP – YR1)² = (XP – XR2)² + (yP – YR2)²

(X – 6)² + (y – 1)² = (X – 6)² + (y – 9)²→ y² – 2y + 1 = y² – 18y + 81

 – 2y + 1 =  – 18y + 81 → -2y + 18y = 81 – 1 → 16y = 80 → y_P = 5

...e, além disso, a uma distância de 5u.c. de R3 → dPR3 = 5

√(XP – XR3)² + (yP – YR3)² = 3 → √(X – 13)² + (5 – 1)² = 5

X² – 26x + 169 + 16 = 25 → X² – 26x + 160 = 0 → x = (26 ± √ (26²-640))/2

X = (26 ± √36)/2 → x = (26 ± 6)/2 → x' = 16(não convem) e x" = 10

Portanto dPR2 = √(XP – XR2)² + (yP – YR2)² = √(10 – 6)² + (5 – 9)² = √16+16

dPR2 = √32 ≈ 5,6