QUESTOES VESTIBULAR DE MEDICINA - fmabc 2016 – COMENTADAS

1.Atualmente, o Sistema Único de Saúde (SUS) tem um grande número de equipamentos fora de uso no país. São aparelhos para os mais diversos fins, desde equipamentos para diagnóstico por imagem, até máquinas que garantem a sobrevivência de pacientes. O quadro abaixo apresenta os números de equipamentos fora de uso na cidade de São Paulo, relativos a alguns tipos de aparelhos.

Com relação ao total de equipamentos fora de uso existentes na cidade de São Paulo, se X, Y e Z são as respectivas porcentagens desses equipamentos, referentes aos aparelhos dos tipos Métodos gráficos, Infraestrutura e Diagnóstico por imagem, então :

(A) X < Y< Z

(B) Y< X < Z

(C) Y< Z < X

(D) Z < Y< X

Vejamos :

Total de aparelhos fora de uso = 1848 + 636 + 194 + 145 + 137 + 96 + 94 + 18 = 3168.

Métodos gráficos → X = 145 → %X = 145/3168 → X = 4,6%

Infraestrutura → Y = 137 → %Y = 137/3168 → Y = 4,3%

Diagnóstico por imagem → Z = 96 → %Z = 96/3168 → Z = 3,0%

Portanto Z < Y < X

2.Um comerciante usa a equação y = log₂ 800 – log₂ x para estabelecer a relação entre y (número de unidades que  ele compra de certo produto), e x (preço pelo qual deve ser vendida a unidade desse mesmo produto). Nessas condições, pela compra de 6 unidades, que quantia o comerciante deverá estabelecer para o preço unitário de venda de tal produto?

(A) R$ 12,00

(B) R$ 12,50

(C) R$ 14,00

(D) R$ 14,50

Vejamos :

… usa a equação y = log₂ 800 – log₂ x.

… pela compra de 6 unidades → y = log₂ 800 – log₂ x = 6 → log₂ 800/x = 6

    800/x = 2⁶ → 800/x = 64 → x = 800/64 → x = R$ 12,50

3.Para confeccionar uma peça, um artesão fez um corte em um bloco de madeira maciça, gerando uma canaleta com a forma de um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero, conforme é mostrado na figura abaixo

Considerando que a densidade da madeira é igual a 0,87 g / cm³, então, se M é a massa da peça confeccionada, em quilogramas, é verdade que :

(A) M > 2,0

(B) 1,5 < M < 2,0

(C) 1,0 < M < 1,5

(D) M < 1,0

Vejamos :

Como a base é um triângulo equilátero, então seu lado mede 4 cm.

Portanto o volume da peça poderá ser determinado através da diferença

entre os volumes do paralelepípedo e do prisma de base triangular

regular.

Vamos considerar : a = 4 cm , b = 12√3 cm e c = 8√3 cm .

Então, V_PEÇA  = V_{PARALELEPÌPEDO} – V_{PRISMA TRIANGULAR}  = abc - a²√3/4 . b

V_PEÇA   = 4 . 12√3 . 8√3  -  (4)²√3/4 . 12√3 = 4 . 12 . 3 . 8  -  16.√3/4 . 12√3

V_PEÇA   = 4 . 12 . 3 . 8  -  16.√3/4 . 12√3 = 1152 – 48 = 1104 cm³

Finalmente, como densidade = massa / volume , então d = m/v →

0,87 = m/1104 → m = 0,87 . 1104 → m = 960,48 g → m = 0,96 kg

4. Sabe-se que em 15 litros de uma mistura de álcool e água, a porcentagem de álcool é de 50%. Nessas condições, a quantidade de litros de água que devem ser acrescentados a tal mistura para que a porcentagem de álcool se reduza a 30 %, é um número :

(A) múltiplo de 5.

(B) divisível por 3.

(C) quadrado perfeito.

(D) primo.

Vejamos :

Em 15 litros da mistura, 7,5 litros são de álcool e 7,5 litros são de água.

Para que a porcentagem de álcool reduza a 30% na mistura, devemos

acrescentar uma certa quantidade x, de água.

estabelecer a seguinte relação : 7,5 litros = 30% de x → 7,5  = 0,3. x →

x = 7,5/0,3 → x = 25 litros. Portanto devemos acrescentar 10 litros de água

5.Uma cirurgia teve início às 10 horas de certo dia e foi encerrada no período da tarde desse mesmo dia, quando os ponteiros de um relógio estavam superpostos entre os números 2 e 3 do mostrador. Considerando que esse relógio não atrasa nem adianta, a duração dessa cirurgia, em minutos, foi de, aproximadamente,

(A) 242

(B) 246

(C) 251

(D) 254

Vejamos :

Observando os ponteiros de um relógio podemos perceber que, enquanto o ponteiro grande gira 360⁰, o pequeno gira 30⁰.

Quando os ponteiros do relógio estão superpostos entre os números 2 e 3 do mostrador, o grande gira 60⁰ + um certo ângulo α e o pequeno o ângulo α.

Agora através de uma proporção : 360⁰ → 30⁰ assim como 60⁰ + α → α

360⁰/30⁰ = (60⁰ + α)/α → 12 = (60⁰ + α)/α → 12α = 60 + α → 11α = 60 →

α = 60/11 → α ≈ 5,45⁰ .

Como 30⁰ implica em 5 minutos, 5,45⁰ implicará em x → x ≈ 0,91minutos.

Finalmente, de 10hs as 14hs10minutos serão 250 minutos + 0,91minutos,

251 minutos, aproximadamente.

QUESTAO VESTIBULAR IME 2017 - MATEMÁTICA/FÍSICA - COMENTADA

(Ime 2017)  Uma partícula A, de carga positiva +Q está presa a um veículo em movimento, cujas coordenadas de sua posição X_A e Y_A em metros, estão descritas abaixo em função do tempo t, em segundos.

                       X_A(t) = 3√2 t + 2√2  e  Y_A(t) = t² + t - 11

A força elétrica provocada pela interação entre a partícula A e uma partícula B, de mesma carga, fixada no ponto de coordenadas (X_B, Y_B) = (0, 1), será ortogonal à trajetória do veículo quando o instante t > 0 for igual a:

a) 1   

b) 1/2   

c) 3/4   

d) 5/8   

e) 1/8   

 

Observação: A banca examinadora decidiu pela anulação da questão em

seu gabarito oficial devido a um erro no enunciado, onde se lê (X_A, Y_A) =

(0, 1), deveria ser (X_B, Y_B) = (0, 1). Para melhor aproveitamento da questão

o enunciado foi corrigido.

                           

Pelas equações descritas no movimento da partícula A (supondo todas as grandezas em unidades do SI) :                      

                  X_A(t) = 3√2 t + 2√2  e  Y_A(t) = t² + t – 11 (eq. I)

Conclui-se que em xx a partícula descreve um movimento retilíneo e uniforme, conforme a equação (II) a seguir :

                                X_A(t) = Vx_A t + x_0A  (eq. II) 

e que em yy a partícula descreve um movimento retilíneo uniformemente variado, conforme a equação (III) a seguir :

                        Y_A(t) = 1/2 a_yt² + V_0y t + y_0A   (eq. III)

Comparando-se as equações (II) e (III) com as equações (I), tem-se que:

                Vx_A = 3√2 m/s ;  V_0y = 1 m/s  ; 1/2 a_y = 1 → a_y = 2 m/s²

Pode-se afirmar que  Vx_A  e Vy_A são as componentes em xx e em yy, respectivamente, da velocidade vetorial v da partícula A conforme a figura, sendo que :

                                 v_yA = v_0y + a_yt = 1 + 2t

uma vez que em yy o movimento da partícula A é retilíneo uniformemente variado.

A velocidade vetorial v é sempre tangente à trajetória do carro.

Por outro lado, a força elétrica é de repulsão, uma vez que as cargas em A

e em B são iguais. A direção da força elétrica F_el é dada pelo vetor BA ou

seja, com origem em B e vértice em A (vide figura).

Seja m_V a declividade do vetor velocidade no plano, e m_F a declividade do

vetor força elétrica.

No instante t em que v e F_el são ortogonais : m_V . m_F = - 1 (eq. IV)

Dadas as considerações anteriores, pode-se afirmar que : m_V = V_yA / V_xA =

(1 + 2t)/3√2  e  m_F = (y_A - y_B)/ (x_A - x_B) = (t² + t – 11 - 1)/(3√2t + 2√2) (eq. V)

Substituindo-se as equações (IV) na equação (V), tem-se que:

m_V . m_F = - 1 → [(1 + 2t)/3√2] . [(t² + t – 11 - 1)/(3√2t + 2√2)] = -1

(t² + t - 12).(1 + 2t) = - 18t – 12 → (t² + t - 12).(1 + 2t) + 18t +12 = 0

2t³ + 3t² + 5t = 0 → t(2t² + 3t + 5) = 0

Como a única solução de interesse é tal que t > 0 então, tem-se que:

2t² + 3t + 5 = 0 → t = (- 3 ± √49)/2.2 → t = ( - 3 ± 7)/4 → t = 1 segundo

  

QUESTOES VESTIBULAR MEDICINA FASB 2017.1 – COMENTADAS

1.Três pessoas, X, Y e Z,  trabalham em um hospital, de segunda a

sexta feira e, em cada dia, apenas duas delas trabalham.

Sabendo-se que, semanalmente, X trabalha três dias e Y  trabalha

quatro  dias, pode-se afirmar que o número de dias trabalhados

por  Z, na semana, é igual a :

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Vejamos :

... três pessoas, X, Y e Z,  trabalham em um hospital, de segunda a

sexta feira e, em cada dia, apenas duas delas trabalham... →

C_3,2  = 3!/2!1! = 3, ou seja XY, XZ e YZ

                         Seg.   terça  quarta  quinta  sexta   

                            X         X         X            Z           Z                

                            Z        Y         Y            Y           Y                 

2. Um posto de saúde disponibilizou para a comunidade dois tipos

de vacinas, V1 e V2, tendo vacinado em um dia 30 pessoas das quais

• 23 tomaram apenas uma das vacinas.

• 16 são homens ou tomaram as duas vacinas.

• 27 são mulheres ou tomaram a vacina V2

.

Com base nessas informações, é correto afirmar que o número

de homens que recebeu apenas a vacina V2 é igual a :

A) 6

B) 8

C) 9

D) 10

E) 12

Vejamos : 

Com auxílio de um diagrama, podemos escrever :

... de vacinas, V1 e V2, tendo vacinado em um dia 30 pessoas das quais

    a + b + c + d + e + f + g = 30 (eq. I)

... 27 são mulheres ou tomaram a vacina V2 → a + c + d + e + f + g = 27 (eq. II)

Substituindo II em I, obtemos b = 3

... 23 tomaram apenas uma das vacinas → a + b + e + f  = 23 → 

a + b + e = 23 – f → a + 3 + e = 23 – f → a + e = 20 – f (eq. III)

... 16 são homens ou tomaram as duas vacinas → b + c + d + f + g = 16

b + c + d + g = 16 – f → 3 + c + d + g = 16 – f → c + d + g = 13 – f (eq. IV)

Substituindo III e IV em I,  obtemos : a + b + c + d + e + f + g = 30 →

   a + 3 + c + d + e + f + g = 30 → a + c + d + e + f + g = 27 →

  (a + e) + (c + d + g) + f  = 27 →   (20 - f) + (13 - f) + f  = 27 → 33 – f = 27

  - f = - 6 → f = 6

... o número de homens que recebeu apenas a vacina V2 é f = 6

3. A razão entre o número de rapazes e moças que cursam Medicina em uma Faculdade é 3/2. Sabendo-se que apenas 20% dos rapazes e 25% das moças participam do Fundo de Financiamento Estudantil do Governo Federal, Fies, pode-se afirmar que o percentual dos estudantes dessa Faculdade que não participam do Fies é de :

A) 56%

B) 64%

C) 70%

D) 78%

E) 80%

Vejamos :

Vamos imaginar uma certa quantidade de estudantes, exemplo, 100.

Rapazes/Moças = 3/2 → Rapazes = 60 e Moças = 40

... Sabendo-se que apenas 20% dos rapazes e 25% das moças participam do  Fies, então : 20% de 60 = 12 rapazes e  25% de 40 = 10 moças.

Portanto, se 22 estudantes participam do Fies, então 78 estudantes não participam.

Como a quantidade inicial foi 100 estudantes, então 78 estudantes correspondem a 78%.

4. Sete voluntários foram considerados aptos a representar os alunos de seu curso em um encontro científico a ser realizado fora do estado. Sabendo-se que o número de representantes dependerá do apoio financeiro que obtenham, o que pode variar de 1 a 6, pode-se afirmar que o maior número de composições distintas que o grupo representante poderá ter será igual :

A) 21

B) 56

C) 63

D) 112

E) 126

Vejamos :

C7,1 + C7,2 + C7,3 + C7,4 + C7,5 + C7,6 = 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 = 126

5. Um casal, X e Y,  tem duas crianças e uma delas, não se sabe se a mais nova ou a mais velha é um menino. Com base na informação, pode-se concluir que a probabilidade de a outra criança também ser um menino é de :

A) 1/4

B) 1/3

C) 1/2

D) 2/3

E) 3/4

Vejamos :

... tem duas crianças e uma delas, não se sabe se a mais nova ou a mais velha é um menino → Universo = 3, ou seja :

a mais nova ser menino → menino, menino ou menino, menina

a mais velha ser menino → menina, menino ou menino, menino

... pode-se concluir que a probabilidade de a outra criança também ser um menino é 1 de 3 , ou seja 1/3.

6. Um grupo com N micro-organismos começou a ser observado em um laboratório, sendo a sua evolução registrada ao final de cada semana subsequente ao início da observação. Ao final da primeira semana, verificou-se que o número inicial de micro-organismos havia se reduzido em 30%, na segunda semana, houve um crescimento de 20% em relação ao número computado no final da primeira semana e, a partir da terceira semana, o número de micro-organismos passou a crescer em progressão aritmética de razão r = 10. Se, ao final da décima semana o número de micro-organismos voltou a ser igual ao número do início da observação, pode-se afirmar que o valor de N é :

A) 300

B) 430

C) 500

D) 650

E) 700

Vejamos :

... Grupo com N micro-organismos.

... Ao final da primeira semana, verificou-se que o número inicial de micro-organismos havia se reduzido em 30% → N – 30%N = 0,7N.

... na segunda semana, houve um crescimento de 20% em relação ao número computado no final da primeira semana → 0,7N + 20% de 0,7N = 0,84N.

... a partir da terceira semana, o número de micro-organismos passou a crescer em progressão aritmética de razão r = 10 → a_n = 0,84N + 10n

... Se, ao final da décima semana o número de micro-organismos voltou a ser igual ao número do início da observação, pode-se afirmar que o valor

de N é . → a₈ = 0,84N + 10n → N = 0,84N + 10.8 → N - 0,84N = 80 →

0,16N = 80 → N = 500

7. Um termômetro descalibrado tem a relação entre a temperatura real,  Tr, e a temperatura que ele indica, Ti, estabelecida pela função afim representada no gráfico. Sabendo-se que a temperatura é medida em ⁰C, pode-se afirmar que a temperatura indicada coincide com a temperatura real quando for igual a :

A) 26 ⁰C

B) 28 ⁰C

C) 29 ⁰C

D) 31 ⁰C

E) 33 ⁰C

Vejamos :

... tem a relação entre a temperatura real,  Tr, e a temperatura que ele indica, Ti, estabelecida pela função afim → Tr = a.Ti + b.

Se (30, 28) ɛ Tr = a.Ti + b, entao 28 = 30a + b (eq. I)

Se (32, 29) ɛ Tr = a.Ti + b, entao 29 = 32a + b (eq. II)

Substituindo I em II, vem : 29 = 32a + 28 – 30a → 1 = 2a → a = 1/2 e b = 13

Portanto como Tr = a.Ti + b → Tr = Ti/2 + 13.

... pode-se afirmar que a temperatura indicada coincide com a temperatura real quando for ... → Tr = Tr/2 + 13 →Tr/2 = 13 → Tr = 26⁰C

8. Uma pessoa tem X centenas de seguidores no seu blog de artigos relacionados à saúde, sendo o número médio desses seguidores que leem um artigo, t horas após sua publicação, modelado pela função L(t) = X/(1+2^{- xt/4}).  Sabendo-se que, decorrida 1 hora de uma publicação, 2/3 dos seguidores do blog já haviam lido o artigo, pode-se estimar que o número de seguidores do blog é :

A) 280

B) 360

C) 400

D) 480

E) 840

Vejamos :

... Sabendo-se que, decorrida 1 hora de uma publicação, 2/3 dos seguidores do blog já haviam lido o artigo ...

L(t) = X/(1+2^{- xt/4}) → 2X/3 = X/(1+2^{- x.1/4}) → 2/3 = 1/(1+2^{- x/4}) → 2/3 = 1/(1+2^{- x/4})

2(1+2^{- x/4}) = 1.3 → 2 + 2. 2^{- x/4} = 3 →  2. 2^{- x/4} = 3 - 2 → 2. 2^{- x/4} = 1 → 2^{- x/4} = 1/2

2^{- x/4} = 2^-1 → - x/4 = - 1→ x = 4 centenas → x = 400

9. No decorrer de um tratamento médico, a concentração, em μg/μl, de uma droga na corrente sanguínea do paciente, a partir da segunda dose, flutua, durante um período de 8 horas, de acordo com a função C(t) = 15,4 – 4,7sen(πt/4+π/2), 0 ≤ t ≤ 8. Considerando-se, se necessário, √2 = 1,4, pode-se estimar a concentração, em μg/μl, dessa droga na corrente sanguínea do paciente, 5 horas após a administração de uma dose em, aproximadamente,

A) 18,4

B) 18,7

C) 19,0

D) 19,2

E) 19,4

Vejamos :

... pode-se estimar a concentração, em μg/μl, dessa droga na corrente sanguínea do paciente, 5 horas após a administração...

Como C(t) = 15,4 – 4,7sen(πt/4+π/2) → C(5) = 15,4 – 4,7sen(5π/4+π/2)

C(5) = 15,4 – 4,7sen(5π+2π)/4 → C(5) = 15,4 – 4,7sen7π/4 →

C(5) = 15,4 – 4,7.(- √2/2) → C(5) = 15,4 – 4,7.(- 0,7) → C(5) = 15,4 - (- 3,29)

C(5) = 15,4 + 3,29 → C(5) = 18,7

10. Dois amigos costumam fazer caminhadas, mas preferem caminhos diferentes  um deles caminha percorrendo a circunferência que limita uma praça, e o outro segue uma trilha retilínea. No gráfico, os dois caminhos estão representados por uma circunferência de centro C e por uma reta de equação y = – x/2, sendo a origem do sistema de coordenadas cartesianas o ponto de partida de ambos. Com base nesses dados pode-se afirmar que ao dar uma volta completa em torno da praça, um dos amigos percorreu, em unidades de comprimento,

 

A) 5√3π

B) 5√5π

C) 6√3π

D) 6√5π

E) 10√2π

Vejamos :

Como a equação da circunferência pode ser expressa por :

C : (x - a)² + (y - b)² = r², onde (a, b) é o seu centro e r o raio.

Se O(0, 0) ɛ C → (0 - a)² + (0 - b)² = r² → a² + b² = r² (eq. I)

Se P(6, 0) ɛ C → (6 - a)² + (0 - b)² = r² → (6 - a)² + b² = r² (eq. II)

Substituindo I em II, vem : (6 - a)² = a² → 36 – 12a + a² = a² →

36 – 12a = 0 → a = 3

Como sabemos, a distancia de um ponto P(x_P, y_P) a uma  reta r : αx + βy +

c = 0 pode ser obtida através da expressão d_P,r = | αx + βy + c |/ √( α² + β²)

 

Então, a distancia do centro (3, y_C) à reta y = - x/2 → x + 2y = 0, que

equivale ao raio, será | 1.3 + 2.b |/ √( 1² + 2²) = r → | 1.3 + 2.b | = √5r

(| 1.3 + 2.b |)² = (√5r)² → (3 + 2b)² = 5r² → 9 + 12b + 4b² = 5r² (eq. III).

Substituindo I em III, vem : 9 + 12b + 4b² = 5.( a² + b²) →

9 + 12b + 4b² = 5.( 3² + b²) → 9 + 12b + 4b² = 5.( 9 + b²) →

9 + 12b + 4b² = 45 + 5b² → b² - 12b + 36 = 0 →

b = [12 ± √(-12)²- 4.1.(36)]/2.5 = (12 ± 0)/2 → b = 6

Finalmente a² + b² = r² → 3² + 6² = r² → r²  = 45 → r = 3√5.

Comprimento da circunferência : C = 2.π.r = 2.π.3√5 = 6π√5 u.c.