QUESTAO VESTIBULAR IME 2017 - MATEMÁTICA/FÍSICA - COMENTADA

(Ime 2017)  Uma partícula A, de carga positiva +Q está presa a um veículo em movimento, cujas coordenadas de sua posição X_A e Y_A em metros, estão descritas abaixo em função do tempo t, em segundos.

                       X_A(t) = 3√2 t + 2√2  e  Y_A(t) = t² + t - 11

A força elétrica provocada pela interação entre a partícula A e uma partícula B, de mesma carga, fixada no ponto de coordenadas (X_B, Y_B) = (0, 1), será ortogonal à trajetória do veículo quando o instante t > 0 for igual a:

a) 1   

b) 1/2   

c) 3/4   

d) 5/8   

e) 1/8   

 

Observação: A banca examinadora decidiu pela anulação da questão em

seu gabarito oficial devido a um erro no enunciado, onde se lê (X_A, Y_A) =

(0, 1), deveria ser (X_B, Y_B) = (0, 1). Para melhor aproveitamento da questão

o enunciado foi corrigido.

                           

Pelas equações descritas no movimento da partícula A (supondo todas as grandezas em unidades do SI) :                      

                  X_A(t) = 3√2 t + 2√2  e  Y_A(t) = t² + t – 11 (eq. I)

Conclui-se que em xx a partícula descreve um movimento retilíneo e uniforme, conforme a equação (II) a seguir :

                                X_A(t) = Vx_A t + x_0A  (eq. II) 

e que em yy a partícula descreve um movimento retilíneo uniformemente variado, conforme a equação (III) a seguir :

                        Y_A(t) = 1/2 a_yt² + V_0y t + y_0A   (eq. III)

Comparando-se as equações (II) e (III) com as equações (I), tem-se que:

                Vx_A = 3√2 m/s ;  V_0y = 1 m/s  ; 1/2 a_y = 1 → a_y = 2 m/s²

Pode-se afirmar que  Vx_A  e Vy_A são as componentes em xx e em yy, respectivamente, da velocidade vetorial v da partícula A conforme a figura, sendo que :

                                 v_yA = v_0y + a_yt = 1 + 2t

uma vez que em yy o movimento da partícula A é retilíneo uniformemente variado.

A velocidade vetorial v é sempre tangente à trajetória do carro.

Por outro lado, a força elétrica é de repulsão, uma vez que as cargas em A

e em B são iguais. A direção da força elétrica F_el é dada pelo vetor BA ou

seja, com origem em B e vértice em A (vide figura).

Seja m_V a declividade do vetor velocidade no plano, e m_F a declividade do

vetor força elétrica.

No instante t em que v e F_el são ortogonais : m_V . m_F = - 1 (eq. IV)

Dadas as considerações anteriores, pode-se afirmar que : m_V = V_yA / V_xA =

(1 + 2t)/3√2  e  m_F = (y_A - y_B)/ (x_A - x_B) = (t² + t – 11 - 1)/(3√2t + 2√2) (eq. V)

Substituindo-se as equações (IV) na equação (V), tem-se que:

m_V . m_F = - 1 → [(1 + 2t)/3√2] . [(t² + t – 11 - 1)/(3√2t + 2√2)] = -1

(t² + t - 12).(1 + 2t) = - 18t – 12 → (t² + t - 12).(1 + 2t) + 18t +12 = 0

2t³ + 3t² + 5t = 0 → t(2t² + 3t + 5) = 0

Como a única solução de interesse é tal que t > 0 então, tem-se que:

2t² + 3t + 5 = 0 → t = (- 3 ± √49)/2.2 → t = ( - 3 ± 7)/4 → t = 1 segundo