TREINAMENTO FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ESTILO ENEM 2016 / COMENTADO

                                   

1.Em muitas cidades, os poluentes emitidos em excesso pelos veículos causam graves problemas a toda população. Durante o inverno, a poluição demora mais para se dissipar na atmosfera, favorecendo o surgimento de doenças respiratórias.

Suponha que a função N(x) = 180 – 54cos[╥/6(x-1)] represente o número de pessoas com doenças respiratórias registrado em um Centro de Saúde, com x = 1 correspondendo ao mês de janeiro, x = 2, ao mês de fevereiro e assim por diante. A soma do número de pessoas com doenças respiratórias registrado nos meses de janeiro, março, maio e julho é igual a

a) 693.

b) 720.

c) 747.

d) 774.

e) 936.

Resolução

Alternativa correta: B

Sabendo-se que ângulos suplementares têm cossenos simétricos, concluímos que:
f(1) + f(3) + f(5) + f(7) = 4 . 180 - 54 .(cos0 + cos╥/3 + cos2╥/3 = cos╥ ) = 720

2. Suponha que a expansão P = 100 + 20 . sen(2╥t) descreve de maneira aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, t representa o tempo em segundos. A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 120 por 80. Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste.
Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo?

a) 0,85 s.

b) 0,75 s.

c) 0,65 s.

d) 0,55 s.

e) 0,45 s.

Resolução

Alternativa correta: B

Obviamente, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo quando sen (2╥t) = -1.

Então, sen(2╥t) = -1  2╥t = 3╥/2+ k . 2╥, com k inteiro. Simplificando, encontramos:

t = 3/4+ k, com k inteiro Logo: t = 3/4 = 0,75 s.

3. Do solo, você observa um amigo numa roda-gigante. A altura h, em metro, de seu amigo em relação ao solo é dada pela expressão h(t) = 11,5 + 10.sen[╥/12(t-26)] , em que o tempo t é dado em segundo e a medida angular, em radiano.  Marque a opção que corresponde à diferença, em metros, entre as alturas máxima e mínima que seu amigo alcança.

a) 10

b) 15

c) 18

d) 20

e) 25

Resolução

Alternativa correta: D

Os valores máximos e mínimos ocorrem, respectivamente, quando

sen [╥/12(t-16)] = 1 e sen [╥/12(t-26)] = -1

Portanto:
h_máx = 11,5 + 10  1 = 21,5
h_min = 11,5 + 10  (-1) = 1,5
21,5 - 1,5 = 20,00

4. A produção de certo tipo de alimento numa determinada propriedade rural pode ser modelada pela função N(x) = 320 + 180sen (╥x/3 - ╥/2),  em que x representa o mês do ano (1 para janeiro, 2 para fevereiro, 3 para março, e assim sucessivamente) e N(x) é o número de toneladas produzidas no mês x. A maior e a menor quantidade produzidas, em toneladas, são, respectivamente, iguais a

a) 320 e 140.

b) 500 e 320.

c) 500 e 280.

d) 500 e 140.

e) 410 e 320.

Resolução

Alternativa correta: D

N(x) = 320 + c

I.              Produção máxima

sen (╥x/3 - ╥/2) = 1 → N(x) = 320 + 180 . 1  → N(x) = 500

II.             Produção mínima

sen (╥x/3 - ╥/2) = -1 → N(x) = 320 + 180 . (-1)→ N(x) = 140 

5. A produção de certo tipo de alimento numa determinada propriedade rural pode ser modelada pela função N(x) = 320 + 180sen (╥x/3 - ╥/2),
, em que x representa o mês do ano (1 para janeiro, 2 para fevereiro, 3 para março, e assim sucessivamente) e N(x) é o número de toneladas produzidas no mês x.

Os meses do ano em que a produção é máxima são

a) janeiro e julho.

b) fevereiro e agosto.

c) março e setembro.

d) abril e outubro.

e) maio e novembro.

Resolução

Alternativa correta: C

sen (╥x/3 - ╥/2) = 1 →  ╥x/3 - ╥/2 = ╥/2 + 2k╥ →  ╥x/3 = ╥ + 2k╥ →  x = 3 + 6k

Quando k = 0
x = 3 ⇒ março
Quando k = 1
x = 9 ⇒  setembro

6. O preço dos produtos agrícolas oscila de acordo com a safra de cada um: mais baixo no período da colheita, mais alto na entressafra. Suponha que o preço aproximado P, em reais, do quilograma de tomates seja dado pela função a seguir: P(t) = 2,7 + 0,8.sen[2╥/360(t-101)] onde t é o número de dias contados de 1º de janeiro até 31 de dezembro de um determinado ano. Para esse período de tempo, o menor valor de t para qual o preço P seja igual a R$ 3,10 é

a) 101.

b) 131.

c) 171.

d) 201.

e) 261.

Resolução

Alternativa correta: B

De acordo com o exposto, devemos ter: P(t) = 3,1  3,1 = 2,7 + 0,8 . sen 2╥/360(t-101)]

Então, 2╥/360(t-101)] = 1/2. No ciclo trigonométrico, a igualdade ocorrerá quando: 

2╥/360(t-101)] =╥/6+k.2╥,k inteiro → t = 131 = 360k → t = 131 ( menor ) ou

2╥/360(t-101)] =5╥/6+k.2╥, k inteiro → t = 251 + 360k → t = 251

7. Em certa cidade litorânea, verificou-se que a altura da água do mar em um certo ponto era dada por f(x) = 4 + 3 cos(╥x/6)  em que x representa o número de horas decorridas a partir de zero hora de determinado dia, e a altura f(x) é medida em metros.
Em que instantes, entre 0 e 12 horas, a maré atingiu a altura de 2,5 m naquele dia?

a) 5 e 9 horas.

b) 7 e 12 horas.

c) 4 e 8 horas.

d) 3 e 7 horas.

e) 6 e 10 horas.

Resolução

Alternativa correta: C

Devemos ter 4 + 3 cos(╥x/6)  = 2,5 → ( cos╥x/6 ) = -1/2

No intervalo considerado, as possibilidades são:

╥x/6 = 2╥/3 → x = 4   ou   ╥x/6 = 4╥/3 → x = 8

8. O departamento de Meteorologia de uma cidade modelou a variação da temperatura média local, num determinado dia, por meio da função: T = 20 + 8sen [╥(t-8)/12] em que T é a temperatura em graus Celsius, e t é a hora do dia, com 0 ≤ t ≤ 24. Qual era a temperatura média na cidade às 22 horas?

a) 20°C

b) 16°C

c) 18°C

d) 28°C

e) 22°C

Resolução

Alternativa correta: B

T = 20 + 8sen[╥(22-8)/12] → T = 20 + 8sen14╥/12 → T = 20 + 8sen210° → T = 20 + 8 · (-1/2)

T = 20 - 4  = 16°C

9. Estima-se que, em 2014, a receita mensal de um hotel seja dada (em milhares de reais) por

R(t) = 1 500 + 3 000 . sen² (╥/2 - ╥t/12 ), em que t = 1 representa o mês de janeiro, t = 2 o mês de fevereiro e assim por diante. Diante do exposto, podemos concluir que a receita de março será inferior à de fevereiro em

a) R$ 650 000,00.

b) R$ 700 000,00.

c) R$ 750 000,00.

d) R$ 800 000,00.

e) R$ 850 000,00.

Resolução

Alternativa correta: C

Temos que:

i) Receita de março = R(3) = 1 500 + 3 000 · sen² ╥/4 = 3 000 (milhares de reais).

ii) Receita de fevereiro = R(2) = 1 500 + 3 000 · sen² ╥/3 = 3 750 (milhares de reais).

Logo:

Diferença solicitada = 750 000,00 reais.

10. A população de peixes em uma lagoa varia conforme o regime de chuvas da região. Ela cresce no período chuvoso e decresce no período de estiagem. Essa população é descrita pela expressão P(t)=10³{cos[╥(t-2)/6]+5} , em que o tempo t é medido em meses. É correto afirmar que

a) o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano.

b) a população atinge seu máximo em t = 6.

c) o período de seca corresponde a 4 meses do ano.

d) a população média anual é de 6 000 animais.

e) a população atinge seu mínimo em t = 4, com 6 000 animais.

Resolução

Alternativa correta: A

Construindo o gráfico da função, temos: para t = 2→P(2)=6000 ; para t = 5 →P(5) = 5000

Para t = 8 → P(8) = 4000 ; para t = 11 → P(11) = 5000 e para P(13) = 6000

De acordo com os resultados, o período chuvoso acontece em seis meses, ou seja, dois trimestres.

11. Suponha que a expressão P = 100 + 20 . sen(2πt) descreve de maneira aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, t representa o tempo em segundos.
A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 120 por 80. Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste.
Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo?

a) 0,85 s

b) 0,75 s

c) 0,65 s

d) 0,55 s

e) 0,45 s

Resolução

Alternativa correta: B

Obviamente, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo quando sen(2πt) = – 1.
Então: sen(2πt) = – 1  2πt = 3╥/2+ k.2π, com k inteiro.Simplificando, encontra-se:
t = 3/4 + k, com k inteiro. Logo: t = ¾ = 0,75seg 

12. Um terremoto de magnitude 8 graus da escala Richter atingiu, em setembro de 2009, a região de Samoa. O terremoto causou ondas de até 3 metros. A maré alta nesse local ocorreu à meia-noite.
Suponha que o nível de água, na maré alta, fosse de 3 metros; mais tarde, na maré baixa, fosse de 3 cm. Supondo que a próxima maré alta seja exatamente ao meio-dia e que a altura da água é dada por uma curva seno ou cosseno, qual das alternativas a seguir corresponde à fórmula para o nível da água na região em função do tempo?

a) H(t) = 1,515 + 1,485.cos(╥t/6)

b) H(t) = 1,515 + 1,485.sen(╥t/6)

c) H(t) = 1,485.cos(╥t/6)

d) H(t) = 1,485.sen(╥t/6)

e) H(t) = 1,485 + 1,515.cos(╥t)

Resolução

Alternativa correta: A

De acordo com o enunciado, temos:
i) Maré alta = 3 m
ii) Maré baixa = 3 cm
iii) para t = 0 h ➝ H_max = 3 m
iv) para t = 12 h ➝ H_max = 3 m
v) Período = 12 h
A única função que satisfaz todas as condições acima encontra-se no item (a).

 13. Uma equipe de pesquisadores coletou dados da temperatura (em ºC) de determinada região, durante uma semana, em intervalos de uma hora. A função a seguir representa a temperatura f(x) (em ºC) variando em função do tempo x (em horas), f(x) = 20 + 4.sen[(╥x/6)+╥].

Sabendo que a temperatura começou a ser medida às 6 horas da manhã, marque a alternativa em que aparece o instante em que a primeira temperatura mínima do primeiro dia ocorreu e qual era essa temperatura.

a) 9 horas da manhã e 16 ºC.

b) 8 horas da manhã e 18 ºC.

c) 8 horas da noite e 22 ºC.

d) 9 horas da noite e 18 ºC.

e) Meio-dia e 22 ºC.

Resolução

Alternativa correta: A

De acordo com o exposto, devemos ter:

sen[(╥x/6)+╥] = -1 → ╥x/6 + ╥ = 3╥/2 + k.2╥, k inteiro . Então: x = 3 + 12k → x = 3 Como a medição começou às 6 horas da manhã, concluímos que: Primeira temperatura mínima: ƒ(3) = 20 + 4.(−1) = 16 ºC Instante = (6 + 3) = 9 horas

14. No setor de trabalho da pintura de peças de uma fábrica, a pressão em um tambor de ar comprimido varia com o tempo conforme a função: f(x) = 50 + 50.sen( t - ╥/2 ) , t > 0. O instante t correspondente ao valor mínimo da pressão é

a) t = ╥/2

b) t = ╥

c) t = 3╥/2

d) t = 2╥

e) t =3╥

Resolução

Alternativa correta: D

Pelo enunciado dado, temos 

ƒ(x) = 50 + 50 . sen( t - ╥/2 )

Para que a função assuma um valor mínimo devemos ter:

sen( t - ╥/2 ) = -1 → sen( t - ╥/2 ) = sen3╥/2 → t - ╥/2 = 3╥/2 → t = 2╥

TREINAMENTO ESTILO ENEM 2016 / PARTE 3

1. Em um certo instante, uma caixa-d’água está com um volume de líquido correspondente a um terço de sua capacidade total. Ao retirarmos 80 litros de água, o volume de água restante na caixa corresponde a um quarto de sua capacidade total. Nesse último instante, o volume de água, em litros, necessário para encher totalmente a caixa-d’água é

A)760.

B)750.

C)740.

D)730.

E)720.

2. Em uma creche, temos crianças de 2 a 12 anos de idade que foram separadas em uma tabela por classe de idade.

Idades	Frequência
2 Ⱶ─ 4 4 Ⱶ─ 6 6 Ⱶ─ 8 8 Ⱶ─ 10 10Ⱶ─ 12	5 10 14 8 3

Podemos afirmar que a média de idade, nessa creche, é de

A)6 anos.

B)6 anos e 6 meses.

C)6 anos e 8 meses.

D)6 anos, 8 meses e 4 dias.

E)6 anos, 8 meses e 12 dias.

3. O Departamento de Comércio Exterior do Banco Central possui 30 funcionários com a seguinte distribuição salarial em reais:

Nº de funcionários	Salários em R$
10	2 000,00
12	3 600,00
5	4 000,00
3	6 000,00

Quantos funcionários que recebem R$ 3 600,00 devem ser demitidos para que a mediana desta distribuição de salários seja de R$ 2 800,00?

A)7

B)8

C)10

D)11

E)12

4. Um aluno do curso de Mecânica, do IFPE, recebeu o desenho de uma peça, fez as devidas medições e, a partir de sua escala, fabricou a peça. Se a largura da peça no desenho tinha 1,5 mm e a largura da peça já fabricada tinha 45 cm, qual a escala do desenho?

A)1 : 3

B)1 : 30

C)1 : 300

D)1 : 3 000

E)1 : 30 000

5. Na mecânica clássica, podemos considerar que o centro de massa de um corpo é o ponto onde toda sua massa se concentra. Este ponto pode ser no centro geométrico (centroide), que ocorre caso o corpo seja homogêneo. Porém, se o corpo não for homogêneo, o centro de massa pode estar em qualquer ponto. Vamos supor, por exemplo, que estes pontos pertençam a um plano α. Admitamos, ainda, conhecidas as coordenadas de A, B e C em relação a um sistema cartesiano ortogonal pertencente ao plano α. A figura a seguir representa uma borboleta com excelente simetria, onde os pontos A(4, 5), B(2, 2) e C(6, 2) são vértices de um triângulo. Considerando que o centro de massa dessa borboleta se encontra sobre o ponto de intersecção das medianas desse triângulo, as coordenadas desse ponto serão

A) (6, 4).

B) (6, 3).

C) (4, 3).

D) (4, 6).

E) (3, 3).

6. Duas grandezas positivas x e y são inversamente proporcionais quando existe uma correspondência bijetiva entre os valores de x e os valores de y e um número constante positivo k tal que, se o valor y é o correspondente do valor x, então y . x = k. Nestas condições, se o valor y = 6 é o correspondente ao valor x = 25, então o valor y, que corresponde ao valor x = 15, é

A)8.

B)10.

C)12.

D)14.

E)16.

7. Para cortar um tronco reto de eucalipto em 6 partes, o madeireiro Josué faz 5 cortes. Ele leva meia hora para fazer todos os cortes, e todos são feitos sempre da mesma maneira. Quanto tempo Josué levará para cortar outro tronco igual em 9 pedaços?

A)40 minutos

B)44 minutos

C)45 minutos

D)48 minutos

E)54 minutos

8. Uma gráfica irá produzir um material publicitário de forma circular com raio 15 cm. Para isso, utiliza uma folha de papel no formato 1,10 m de largura por 1,20 m de comprimento. Como não é possível reaproveitar o restante do papel nesse projeto, a quantidade máxima do produto por folha é

A)12.

B)16.

C)20.

D)24.

E)28.

9. Já que em determinadas situações e também para algumas pessoas “tempo é dinheiro”, uma ação na Bolsa de Valores apresentou a seguinte evolução: nos primeiros 30 minutos do pregão, o seu preço, para ser comprada, passou de R$ 12,00 para R$ 12,75. Um investidor comprou 1000 dessas ações ao preço de R$ 12,00 no início do pregão e vendeu todas elas após 18 minutos. Supondo que a variação desse preço tenha ocorrido igualmente distribuída nos 30 minutos iniciais do pregão, o lucro bruto alcançado por esse investidor, em 18 minutos, foi de

A)R$ 900,00.

B)R$ 750,00.

C)R$ 450,00.

D)R$ 325,00.

E)R$ 250,00.

10. Uma pessoa compra um terreno de 40 metros de comprimento por 20 metros de largura. Ela deseja construir uma casa e estabelece ao arquiteto contratado pelo projeto certas condições:

l. A área destinada ao lazer deve ter 200 m²;

ll. A área interna da casa mais a área de lazer devem ultra­passar 50% da área total do terreno;

III. O custo da construção da casa deve ser menor que R$ 450.000,00.

Sabendo que o metro quadrado construído custa R$ 1.500,00, a área interna da casa que o arquiteto irá projetar será

A)entre 400 m² e 500 m².

B)entre 300 m² e 400 m².

C)maior que 500 m².

D)entre 200 m² e 300 m².

E)menor que 200 m².

11. Em um processo seletivo para contratação de estagiários, foram aplicadas duas provas: uma de Conhecimentos Gerais e outra de Conhecimentos Específicos, valendo de 0 a 10 pontos cada prova. A média foi calculada, utilizando--se peso 2 para a primeira prova e peso 3 para a segunda prova, essa média é denominada ponderada. Um candidato, que obteve média 5,2, solicitou o valor de suas notas em cada prova. Ele recebeu a seguinte resposta: a nota na prova de Conhecimentos Específicos foi 50% maior que a nota da prova de Conhecimentos Gerais. Considerando a fórmula citada e as informações fornecidas ao candidato, calcule a média aritmética simples das notas que o candidato obteve em cada prova.

A)4,5

B)5,0

C)5,2

D)5,4

E)6,0

12. Uma escala de temperaturas foi feita com base nas temperaturas máxima e mínima em Nova Iguaçu. A correspondência com a escala Celsius é afim e sabemos o seguinte:

ºN	ºC
0	18
100	43

Em que temperatura ferve a água na escala N?

A)100º

B)126º

C)148º

D)226º

E)328º

13. Um encanador X cobra por cada serviço feito um valor fixo de 100 reais mais 50 reais por hora de trabalho. Um outro encanador Y cobra um valor fixo de 80 reais mais 60 reais por hora de trabalho. Em quantas horas de trabalho, é indiferente a escolha do encanador em relação ao valor pago?

A)1 hora

B)2 horas

C)3 horas

D)4 horas

E)5 horas

14. Em um grupo de 6 pessoas, considerando apenas idades inteiras, a média das idades é 17 anos, a mediana é 16,5 anos e a moda é 16 anos. Se uma pessoa de 24 anos se juntar ao grupo, a média e a mediana das idades do grupo passarão a ser, respectivamente,

A)17 anos e 17 anos.

B)18 anos e 17 anos.

C)18 anos e 16,5 anos.

D)20,5 anos e 16,5 anos.

E)20,5 anos e 20,25 anos.

15. O preço de venda de uma mercadoria é obtido através da expressão 5p – 7, em que p é a quantidade de produtos vendidos. Já o preço de custo para produzi-la é obtido através da expressão 2p + 11, em que p é a quantidade de produtos produzidos. A quantidade mínima de itens produzidos e vendidos para que não se tenha prejuízo é

A)4.

B)5.

C)6.

D)7.

E)8.

16. Um dos conceitos básicos que vimos na geometria é que a menor distância entre dois pontos é dada por um segmento de reta. Contudo, na geometria analítica, esses pontos recebem coordenadas no plano cartesiano e por meio dessas coordenadas podemos encontrar o valor da distância entre dois pontos. Portanto, compreender a expressão algébrica para o cálculo da distância entre dois pontos colabora para uma compreensão fidedigna de outros conceitos da geometria analítica. Com base nos seus conhecimentos, suponha que um ponto material móvel  P(1 + t, 2t – 1), que desloca-se no plano cartesiano, e suas coordenadas variam em função do tempo t (t ≥0). A distância percorrida por esse ponto material móvel, em unidades de comprimento, entre o ponto A(t = 0) e o ponto B(t = 3), é

A)√5

B) 2√5

C) 3√5

.

D) 4√5

.

E) 5√5

17. A geometria analítica é de extrema importância na engenharia civil, pois, para todo projeto de estrutura, áreas, planos, ângulos, paredes perpendiculares, precisa-se fazer cálculos usando a geometria, para que assim tudo saia correto. Para a realização da construção de uma ponte, uma equipe de engenheiros, adotando um sistema cartesiano de coordenadas, assinalou os pontos A(2m+1, 2), B(–6, –5) e C(0, 1) como sendo os locais para a colocação de três pilares de sustentação dessa ponte. Sabendo que a obra só será realizada se os três pilares juntos estiverem alinhados perfeitamente, o valor de m para que a realização da obra seja concluída será

A)–1.

B)–0,5.

C)0,5.

D)1.

E)0.

18. Quatro antenas de TV (A, B, C e D) estão dispostas em um terreno plano de tal maneira a formarem um quadrado. As antenas A e B possuem, respectivamente, as coordenadas (1, 3) e (–1, 1) e são vértices consecutivos do polígono. A medida de uma das diagonais do quadrado vale, em unidades de comprimento,

A)4 .

B)2.

C)4.

D)3 .

E)2 .

19. Um motorista de táxi cobra, para cada corrida, uma taxa fixa de R$ 5,00 e mais R$ 2,00 por quilômetro rodado. O valor total arrecadado (R) em um dia é função da quantidade total (x) de quilômetros percorridos e calculado por meio da função R(x) = ax + b, em que a é o preço cobrado por quilômetro e b a taxa fixa recebida por corrida. Se, em um dia, o taxista realizou 10 corridas e arrecadou R$ 410,00, então a média de quilômetros rodados por corrida foi de

A)14.

B)16.

C)18.

D)20.

E)24.

20. Manuel, Antônio e Joaquim começam a pintar, no mesmo instante, três muros iguais de 60 metros de comprimento, um muro para cada um. Nos 10 primeiros minutos de trabalho, Manuel pinta 2 metros; Antônio, 3 metros e Joaquim, 5 metros. Quem termina a sua parte, imediatamente passa a ajudar os outros, até que os três juntos terminem todo o trabalho, cada um mantendo o seu ritmo até o final. Quanto tempo levou para o trabalho ser feito?

A)3 horas

B)4 horas

C)5 horas

D)6 horas

E)7 horas

21.Um omelete feito com 2 ovos e 30 gramas de queijo contém 280 calorias, enquanto um omelete feito com 3 ovos e 10 gramas de queijo contém, também, 280 calorias. O número de calorias contido em um ovo é

A)10 vezes mais que em 1 g de queijo.

B)20 vezes mais que em 1 g de queijo.

C)15 vezes mais que em 1 g de queijo.

D)30 vezes mais que em 1 g de queijo.

E)5 vezes mais que em 1 g de queijo.

22.Uma melancia de massa 10 kg contém 99% de água. Após deixá-la aberta durante algum tempo, um agricultor verificou que alguma água tinha evaporado, deixando-a com 98% de água. Após a evaporação, a nova massa da melancia, em quilos (kg), é igual a

A)5.

B)6.

C)7.

D)8.

E)9.

                                  GABARITO: EECCCBDACDBEBBCCECCABA