01. Considere a cartela de adesivos
decorativos abaixo.
Desejando-se retirar aleatoriamente duas
figuras, sem reposição, qual a probabilidade que sejam ambas triângulos ?
a)8/28
b)2/27
c)2/7
d)8/27
Resolução :
Observando a cartela notamos que existem 28
adesivos (ou seja o
universo é 28) e 8 triângulos.
Portanto na 1a retirada a
probabilidade é P1 = 8/28 = 2/7 e na 2a retirada a
probabilidade é P2 = 7/27, pois
não há reposição após a 1a retirada .
Finalmente para as duas retiradas, sem
reposição, a probabilidade será
P = P1 . P2 = 2/7. 7/27 = 2/27
02. Sobre a função real f(x) definida
por f(x) = ax2 + bx + c, para todo x real, sabe-se que a, b e c são
constantes, a ǂ 0, f(- 1) = 2, f(1) = 18 e que seu gráfico, no sistema
cartesiano, e uma parábola de vértice em um ponto de abscissa – 2. Com base
nessas informações, Para quais valores de x, f(x - 2) ≤ 0 ?
a) x ≤ 2
b) x ≤ -2
c) x = 0
d) x ≤ - 1
Resolução :
Sendo f(x) = ax2 + bx + c,
para todo x real, então :
Como f(-1) = 2 → a - b + c = 2 (eq.I)
Como f(1) = 18 → a + b + c = 18 (eq.II)
Como xv = -2 → -b/2a = -2 → b
= 4a (eq.III)
Substituindo III em I e II, vem :
a - 4a + c = 2 → - 3a + c = 2 → c = 2 +
3a
a + 4a + c = 18 → 5a + c = 18→ c = 18 -
5a
Igualando as equações resultantes, obtém-se:
2 + 3a = 18 – 5a → 3a + 5a = 18 – 2 → 8a
= 16 → a = 2
Se a = 2, então b = 4a → b = 8 e c = 2 +
3a → c = 8
Portanto, a função e f(x) = 2x2
+ 8x + 8.
Se f(x) = 2x2 + 8x + 8, então f(x - 2) = 2.(x - 2)2
+ 8(x - 2) + 8 ≤ 0
2.(x2 – 4x + 4) + 8x – 16 + 8
≤ 0 →2x2 – 8x + 8 + 8x – 16 + 8 ≤ 0
2x2 ≤ 0 → 2x2 <
0 ( impossível ) ou 2x2 = 0 → x = 0
Portanto f(x - 2) ≤ 0 somente para x = 0.
03. Sejam f e g funções reais tais que
f(x) = 4x – 2 e f(g(x)) = 2x + 2. Assim sendo, pode-se afirmar que a
desigualdade f(g(x)) + g(f(x)) ≤ f(f(x)) ocorre para quais valores de x ?
a) x ≥ 1
b) x < 2
c) x = 0
d) x ≤ - 2
Resolução :
Se f(x) = 4x – 2 e f(g(x)) = 2x + 2,
então 4g(x) – 2 = 2x + 2 →
4g(x) = 2x + 4 → g(x) = x/2 + 1
f(g(x)) + g(f(x)) ≤ f(f(x)) → 2x + 2 +
(4x - 2)/2 + 1 ≤ 4(4x - 2) – 2
2x + 2 + 2x – 1 + 1 ≤ 16x – 8 – 2 → 4x –
16x ≤ - 8 – 2 – 2 →
- 12x ≤ - 12 .( - 1) → 12x ≥ 12
(:12) → x ≥ 1.
Portanto a desigualdade ocorre para todo
x real, x ≥ 1
04. Considere os polinômios P(x) = x3 – 9x2 + αx +
β e Q(x) = x2 + θx + 2, de coeficientes reais. Se P(x) e divisível
por x2 – 4 e Q(x) é tal que Q(2) = 8, então o resto da divisão de P(x).Q(x) por (x - 1) é :
a) 2/3
b) – 2
c) 13
d) 3/2
Resolução :
Como
P(x) e divisível por x2 – 4 então e divisível por (x – 2) e
(x + 2)
simultaneamente.
P(x) e
divisível por x – 2 → P(2) = 0 → 23 – 9.22 + α.2 + β = 0
→
8 – 36
+ 2α + β = 0 → 2α + β = 28.
P(x) e
divisível por x + 2 → P(-2) = 0 → (-2)3 – 9.(-2)2+ α.(-2)
+β = 0 →
- 8 –
36 - 2α + β = 0 → - 2α + β = - 44.
Resolvendo
o sistema formado pelas equações, vem :
2α + β
= 28
-2α + β
= -44
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
2 β = -
26 → β = - 13
Substituindo
β = - 13 em 2α + β = 28, vem : 2α + (-13) = 28 → 2α = 41 →
α =
41/2
Se Q(x)
= x2 + θx + 2 e Q(2) = 8, então 22 + 2θ + 2 = 8 → 2θ = 2→
θ = 1
Segundo o
teorema do resto, podemos determinar o resto da divisão de um
polinômio
M(x) por um binômio do primeiro grau N(x), do tipo (x - a), através do
valor de M(a).
Sendo
assim, já que P(x).Q(x) = (x3
– 9x2 + 41x/2 - 13) . (x2 + x + 2)
Então P(1).Q(1) = (13 – 9.12
+ 41.1/2 - 13) . (12 + 1 + 2) →
Resto =
( 1 – 9 + 41/2- 13 ) . ( 1 + 1 + 2 ) = (41/2 - 21).4 = (41-42).4/2 = - 2
05. Considerando, em um mesmo sistema
coordenado, que as circunferências de equações λ1 : x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0 e λ2 : x2
+ y2 – 4 = 0 são secantes,
então o comprimento da corda comum formada entre elas mede :
a) 2√2 u.c.
b) 3√2 u.c.
c) (3 + 2√2) u.c.
d) (3 - 2√2) u.c.
Resolução :
Como as circunferências são secantes
então admitem em comum dois pontos, que
poderão ser determinados através de um
sistema de suas equações, ou seja :
λ1 : x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0 ∩ λ2
: x2 + y2 – 4 = 0
Multiplicando uma equação por -1 e
somando ambas, membro a membro, obtemos a reta suporte da corda comum
λ1 + λ2 : x2 + y2 – 4x – 4y + 4 + (- x2 - y2
+ 4) = 0 →
x2 + y2
– 4x – 4y + 4 - x2
- y2 + 4 = 0 → - 4x – 4y + 8 = 0 (:- 4) →
x + y – 2 = 0 → y = - x + 2 (equação da
reta suporte)
Substituindo y = - x + 2 em uma das duas
equações das circunferências obtemos os pontos A e B, comuns.
Em λ2 : x2 + y2
– 4 = 0 → x2 + (- x + 2)2 – 4 = 0 → x2 + x2
– 4x + 4 – 4 = 0
2x2 – 4x = 0 → x2
– 2x = 0 → x(x - 2) = 0 → xʹ = 0 ou xʹʹ = 2
Quando xʹ = 0 → yʹ = 2 e xʹʹ = 2 → yʹʹ = 0, portanto A(0,2) e B(2,0)
Comprimento da corda : dAB =
√(xB - xA)2 + (yB - yA)2
→
dAB = √(2 - 0)2
+ (0 - 2)2 → dAB = √(4 + 4) → dAB = √8 → dAB
= 2√2 u.c.
06. Admita um número complexo Z = a +
bi, com a e b reais, tal que Z + (3 + 2i) = 8i – 2W, onde W e o conjugado de Z. O módulo do complexo Z2 – ZW e
igual a :
a) √37
b) √13
c) 13√37
d) 12√37
Resolução :
Se Z = a + bi então seu conjugado será W
= a – bi.
Z + (3 + 2i) = 8i – 2W → a + bi + 3 + 2i
= 8i – 2.(a – bi)
a + bi + 3 + 2i = 8i – 2a + 2bi → a + 2a
+ bi – 2bi = – 3 + 8i – 2i
3a – bi = - 3 + 6i → 3a = - 3 e – b = 6
→ a = - 1 e b = - 6
Como a = -1 e b = -6, então Z = - 1 – 6i
e W = -1 + 6i
Z2 – ZW = (- 1 – 6i)2
- (- 1 – 6i).(- 1 + 6i) = 1 + 12i + 36i2 - (1 – 36i2)
Z2 – ZW = 1 + 12i – 36 – 1-
36 = - 72 + 12i
O modulo do complexo Z2 – ZW
→ | Z2 – ZW | →
| -72 + 12i | = √[(-72)2 +
(12)2] = √ 5184+144 = √5328 = 12√37
07.
Considere um conjunto de circunferências concêntricas à de equação x2 + y2 – 4x
– 6y + 10 = 0, onde todos os raios estão em progressão geométrica de razão
√2. A área da coroa circular limitada
pela quinta e sexta circunferências mede :
a) 54π
u.a.
b) 48π
u.a.
c) 36π
u.a.
d) 80π
u.a.
Resolução :
Vamos
determinar o raio da primeira circunferência, através da comparação com a
equação geral.
x2 + y2 –
4x – 6y + 10 = 0 → x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 +
b2 – r2 = 0
Entao : - 4 = - 2a → a = 2 ; - 6 = - 2b
→ b = 3 , Centro (2, 3)
a2
+ b2 – r2 = 10 → (2)2 + (3)2 – r2
= 10 → 4 + 9 – r2 = 10 → r1 = √3
Como as
circunferências apresentam seus raios em PG de
razão √2, vem : PG = ( √3, ... ,..., ..., r5, r6 )
Podemos determinar os raios com a
equação do termo geral de uma P.G., ou seja an = a1 . qn
– 1
r5 = r1 . qn
– 1 → r5 = √3 . (√2)5 – 1 → r5 = √3 . 4
→ r5 = 4√3
r6 = r1 . qn
– 1 → r6 = √3 . (√2)6 – 1 → r6 = √3 .
(√2)5 → r6 = √3 . 4√2 = 4√6
Calculando a área da coroa circular :
ACOROA = π(r62
– r52) = π[ (4√6)2 - (4√3)2] = π(96
– 48) = 48π u.a.
08. Considere os pontos A(4, 4), B(-2,
6), C(-4, -4) e D(6, -2) vértices de um quadrilátero. O comprimento do segmento
formado pelo ponto de interseção de suas diagonais e o baricentro do triângulo
BCD, é :
a) 3√5 - 2
b) 2 + √3
c) 2√2 + 1
d) 2 √2
Resolução :
Cálculo da reta suporte da diagonal AC:
Como yAC = axAC +
b , então :
para A(4,4) → 4 = 4a + b (eq.I) e para
C(-4,-4) → -4 = -4a + b (eq.II)
Somando I + II, obtemos 0 = 2b → b = 0 ;
a = 1 → y = x
Calculo da reta suporte da diagonal BD:
Como yBD = axBD +
b , então :
para B(-2,6) → 6 = -2a + b (eq.III) e
para D(6,-2) → -2 = 6a + b (eq.IV)
Substituindo III + IV, obtemos - 2 = 6a
+ 6 + 2a → a = -1 ; b = 4 → y =
-x + 4
Para calcular as coordenadas do ponto de
interseção destas diagonais
basta resolver um sistema de equações
entre y = x e y = - x + 4, ou seja
x = - x + 4 → 2x = 4 → x = 2 → y = 2.
Portanto as coordenadas deste ponto são
P(2, 2).
Cálculo das coordenadas do baricentro do
triângulo BCD :
xG = (xB + xC
+ xD) / 3 → xG = (-2 - 4 + 6) / 3 → xG = 0
yG = (xB + xC
+ xD) / 3 → yG = (6
-4 - 2) / 3 → yG = 0
O
baricentro coincide com a origem do sistema cartesiano G(0,0)
Cálculo do comprimento do segmento
formado pelo ponto de interseção
de suas diagonais e o baricentro do triângulo
BCD :
dPG = √(xP – xG)2
+ (yP – yG)2 → dPG = √(2 – 0)2
+ (2 – 0)2 = √4 +
4 = 2√2u.c.
09. Devido ao crescimento no número de novas linhas de celulares, numa
região formada por 3 cidades, A, B e C, decidiu-se instalar uma torre de
retransmissão cuja localização foi escolhida, por razões técnicas, tomando-se como
referência o maior sinal dessa natureza.
Se A, B e C, forem representadas no plano cartesiano por (6,1), (6,9) e
(13,1), respectivamente, então a torre deverá ser representada por um ponto P,
o mais próximo possível de A e B,
equidistante destas e, além disso, a uma distância de 5 km de C.
Assim sendo, a medida da distância do ponto P a B, em km, deverá ser,
aproximadamente, igual a :
a) 4,0.
b) 4,7.
c) 5,3.
d) 5,6.
Resolução :
Vejamos : ... ponto P, o mais próximo possível de A e B, equidistante
destes .... → dPA = dPB → √(xP – xA)2
+ (yP – yA)2 = √(xP – xB)2
+ (yP – yb)2
Elevando ao quadrado, ambos os membros, vem :
(xP – xA)2
+ (yP – yA)2 = (xP – xB)2
+ (yP – yb)2
(x – 6)2 +
(y – 1)2 = (x – 6)2 + (y – 9)2→ y2
– 2y + 1 = y2 – 18y + 81
– 2y + 1 = – 18y + 81 → -2y + 18y = 81 – 1 → 16y = 80 →
yP = 5
...e, além disso, a uma distância de 5u.c. de C → dPC = 5 km
√(xP – xC)2 + (yP – yC)2
= 5 → (xP – 13)2 + (5 – 1)2 = 25
x2 – 26x + 169 + 16 = 25 → x2 – 26x + 160 = 0 → x =
(26 ± √ (262-640))/2
X = (26 ± √36)/2 → x = (26 ± 6)/2 → x' = 16(não convém) e x" = 10
Portanto dPB = √(xP – xB)2 + (yP
– yB)2 = √(10 – 6)2 + (5 – 9)2 =
√(16+16)
dPB = √32 ≈ 5,6 km
10. Considere as
operações a © b = a + b + 2ab e a ® b = a2 + b2 – 2.ab
definida para a e b reais, então o valor de
(2 ® 3) © (1 ® 4) é :
a) – 3
b) 15
c) 3
d) -78
Resolução :
Se a ® b = a2 + b2 – 2ab , então 2 ® 3 = 22
+ 32 – 2.23 = 4 + 9 – 16 = - 3 e
1 ® 4 = 12
+ 42 – 2.14 = 1 + 16 – 2 = 15.
Portanto, se a © b = a + b
+ 2ab, então - 3 © 15 = - 3 + 15 + 2.(-3).15 = - 78
11. Deseja-se forrar completamente uma caixa de papelão na forma de um
paralepípedo reto, cujas arestas são expressas por números pares e consecutivos
, de soma 300 cm. Para tanto serão utilizadas folhas
retangulares de papel de presente com dimensoes 60 por 80, centímetros. Então o número mínimo de folhas de presente usadas no trabalho será de :
a) 34
b) 13
c) 5
d) 7
Resolução :
Como as arestas são expressas por números
pares e consecutivos podemos representá-las por a = x, b = x + 2 e c = x + 4.
Como somam 300 cm, vem : a + b + c = 300
→ x + x + 2 + x + 4 = 300 → 3x + 6 = 300 →3x = 294 → x = 98.
Portanto as arestas serão a = 98, b =
100 e c = 102.
Cada folha de papel de presente cobre
uma área de 60 x 80 = 4800 cm2.
Para forrar a caixa de papelão devemos
determinar sua área total, assim Atotal = 2ab + 2ac + 2bc.
Atotal = 2.98.100 + 2.98.102
+ 2.100.102 = 19600 + 19992 + 20400
Atotal = 59992 cm2
O número de folhas poderá ser calculado
através do quociente entre a
área total e a área de cada folha de
papel de presente, ou seja :
n0 = Atotal / Afolha
= 59992 /4800 ≈ 12,498 folhas.
Finalmente o número mínimo de folhas será
igual a 13.
12.Seja f : R → R uma função definida
por f(x) = α.3βx, onde α e β são constantes reais. Sabendo que f(0)
= 2700 e f(10) = 300, determine, adotando, se preciso, log2 = 0,30 e log3 =
0,48, o valor de x tal que f(x)
= 5400.
a) 25/2
b) -25/2
c) 25/8
d) - 25/8
Resolução :
Se f(0) = 2700, então 2700 = α . 3β.0
→ 2700 = α
Se f(10) = 300, então 300 = 2700 . 3β.10
→ 3 = 27 . 310β → 1/9 = 310β
3-2 = 310β → -2 =
10β → -2 = 10β → β = -1/5
Quando f(x) = 5400, então 5400 = 2700 .
3-x/5 → 5400/2700 = 3-x/5 →
2 = 3-x/5 → log 2 = log 3-x/5 →log 2 = -x/5 .
log 3 → -x/5 = log2/log3 →
- x/5 = 0,30/0,48 → - x/5 = 5/8 → -x =
25/8 → x = - 25/8
13.Sobre a função f(x) = α cos (βx)
sabe-se que, α e β são constantes, 0
< β < π/2, f(0) = 14 e f(1) = 7√3 . Com base nessas informações, o valor
de f(-6) + f(6) é igual a :
a) - 14
b) 14
c)
0
d) – 28
Resolução :
Se f(0) = 14, então 14 = α cos (β.0) → 14 = α cos 0 → α = 14
Se f(1) = 7√3, então 7√3 = 14. cos (β.1) → 7√3 = 14. cos β →
cos β =
7√3/14 → cos β = √3 /2, como 0 < β < π/2, então β = π/6 rad.
Portanto f(x) = α cos (βx) → f(x) = 14cos (πx/6).
Logo :
f(-6) =
14cos (-6π/6)→f(-6) = 14cos (-π)→f(-6) =14.(-1)→f(-6) = -14 e
f(6) =
14cos (6π/6) → f(6) = 14cos (π) → f(6) = 14.(-1) → f(6) = -14
Finalmente
f(-6) + f(6) = - 14 + ( - 14 ) = - 28
14 . Considere um bloco maciço de ouro na
forma de um cubo de aresta 4 cm. Sabendo que a densidade do ouro é de
aproximadamente 19g/cm3, e que a grama do ouro e R$ 119,30, então o
valor em reais dessa peça é :
a) R$1450,00
b) R$ 14500,00
c) R$ 145000,00
d) R$ 1450000,00
Resolução :
Volume do cubo = aresta3 = 43
= 64 cm3
Densidade = massa/volume → 19 = m/64 → m
= 19 . 64 → m = 1216g
Valor da peça = 1216 .119,30 = R$ 145.068,80.
15. Considere um bloco maciço de ouro na
forma de um cubo de aresta 4 cm. Quantos pingentes maciços esféricos , com raio
de 0,2cm, podemos confeccionar, admitindo π = 3, com essa quantidade de ouro ?
a) 200
b) 2000
c) 22200
d) 20000
Resolução :
Volume do cubo = aresta3 = 43
= 64 cm3
Volume de cada pingente = 4/3 . π . r3
= 4/3 . 3 . (0,2)3 = 4.0,008 = 0,032 cm3.
Quantidade de pingentes = Vcubo
/ Vpingente = 64 / 0,032 = 2000
16. Hoje 50% da produção de uma fábrica
é de suco de graviola e 50% é de suco de manga. Se a produção suco de graviola
aumentar em 10% ao mês e a de suco de manga aumentar em 20% ao mês, daqui a
dois meses a porcentagem de suco de manga produzido em relação ao total
produzido no mês, será de, aproximadamente :
a) 72%
b) 60,5%
c) 57,3%
d) 54,3%
Resolução :
Graviola → 50% + 10% de 50% = 55% (10 mes) e
55% +
10% de 55% = 60,5% (20 mes)
Manga → 50% + 20% de 50% = 60% (10 mes) e
60% + 20% de 60% = 72% (20 mes)
Total = Graviola + Manga = 60,5% + 72% =
132,5%
Porcentagem de manga em relação ao total
= 72% ÷ 132,5% = 54,3%
17. Se aumentarmos as dimensões a, b e c, de um paralelepípedo,
em 10%, 20% e 30%, respectivamente, o
que acontecerá com seu volume ?
a) aumentará de 60%
b) aumentará de 71,6%
c) aumentará de 30%
d) aumentará de 90%
Resolução :
Dimensões
iniciais : a, b e c
Dimensões
aumentados : a + 10% de a = a + 0,1a = 1,1a ,
b + 20% de b = b + 0,2b = 1,2b e c +
30% de c = c + 0,3c = 1,3c
Volume inicial = a . b . c
Volume após aumento = 1,1a . 1,2b . 1,3c
= 1,716abc → portanto o volume
aumentará de 0,716 = 71,6%
18. Uma fábrica produz motores
a um preço de custo de R$18000,00 cada um, pagando ainda 15% de imposto;
ao revendedor é dada uma comissão de 10%, sobre o preço de venda. Se os motores
são vendidos a R$ 34500,00 cada, o lucro da fábrica, sobre o preço de venda, é
de:
a) 4,7%
b) 10,35%
c) 30%
d) 32,1%
Resolução :
Preço de custo → R$ 18000,00
Imposto →15% de 18000,00 = R$ 2700,00
Preço de venda → R$ 34500,00
Comissão do revendedor → 10% sobre o preço de venda → 10% de
34500,00 → R$ 3450,00.
Lucro = Venda – Custo – Imposto – Comissão = 34500,00 – 18000,00
– 2700,00 – 3450,00 = R$ 10350,00
Lucro sobre o preço de venda → 10350 de 34500 = 10350 ÷ 34500 =
0,3 = 30%
19. Deseja-se pintar,
completamente, uma pirâmide quadrangular regular, de altura 4 m, cuja base
apresenta perímetro 24 m, com latas de tinta acrílica, com capacidade
operacional de 12 m² cada. Qual a quantidade mínima de latas usadas ?
a)20 latas
b)23 latas
c)13 latas
d)18 latas
Resolução :
Se a base da pirâmide quadrangular regular apresenta perímetro 24 m, então P = 4a = 24m →
aresta = 6 m.
Para pintar a pirâmide quadrangular regular devemos calcular sua área total.
ATotal
= ABase + ALateral
→ ATotal = a2 + 4.a.Ap , onde a é a aresta da
base e AP o apótema da pirâmide.
Cálculo do apótema
da pirâmide:
(Ap)2
= (a/2)2 + h2 → (Ap)2
= 32 + 42 → (Ap)2
= 25 → Ap = 5
Portanto ATotal =
a2 + 4.a.Ap → ATotal = 62 + 4.6.5 →
ATotal = 36 + 120 = 156 m2
Como cada lata apresenta a capacidade operacional de 12 m², então serão
necessário 156 ÷ 12
= 13 latas
20. Alberto deseja montar um aquário de vidro na forma de um
prisma reto de base hexagonal regular como sugere a figura. Determine sua
capacidade, em litros, admitindo √3 = 1,7.
a) 865000 litros
b) 73400 litros
c) 734400 litros
d) 86500 litros
Resolução :
Volume do prisma = área da base . altura
A base é um hexágono regular = 6 triângulos equiláteros
ABase = 6 . a2√3/4 = 6 . 62√3/4
= 216√3/4 = 54√3 = 91,8m2
Finalmente, Volume = 91,8 . 8 = 734,4m3 ou V =
734400 litros
21. Uma empresa resolveu repartir a quantia R$40.000,00 com seus
três funcionários que tiveram melhor índice de produtividade. Uma vez que os
três tiveram o mesmo índice, a quantia foi dividida de forma diretamente
proporcional ao tempo de serviço de cada um. Sabendo-se que os três
funcionários escolhidos tinham 10, 6 e 4 anos de serviço, respectivamente, o
valor recebido pelo funcionário mais novo na empresa foi igual a:
a) R$20.000,00
b) R$12.000,00
c) R$10.000,00
d) R$8.000,00
Resolução :
Quantia a ser dividida, R$ 40.000,00, por três funcionários, A,
B e C, em partes diretamente proporcionais a seus tempos de serviço, 10, 6 e 4 anos.
Portanto : A/10 = B/6 = C/4 = (A + B + C)/(10 + 6 + 4) =
constante de
proporcionalidade.
Então : A/10 = B/6 = C/4 = 40000/20 = 2000
A/10 = 2000 → A = R$ 20.000,00
B/6 = 2000 → B = R$
12.000,00
C/4 = 2000 → C = R$ 8.000,00
22. O termo geral de uma matriz quadrada
A, de ordem 2, é dado por aij
= (-1)2i+j. Com base nessa informação, e considerando a função real f(2x - 1) = 2 + 3x, então é correto afirmar
que f(f(det A)), onde det A é o determinante da matriz A, vale:
a) – 2
b) 5
c) 0
d) 20
Resolução :
Calculando a matriz A :
A(2x2)
/ aij = (-1)2i+j → a11 = (-1)2.1+1
= (-1)3 = - 1 , a12 = (-1)2.1+2 = (-1)4
= 1
a21 = (-1)2.2+1 = (-1)5
= - 1 e
a22 = (-1)2.2+2 = (-1)6 = 1
Calculando
o determinante da matriz A :
det A = a11 . a22 – a12
. a21 = (- 1). 1 – 1 . (- 1) = - 1 + 1 = 0
Se f(2x - 1) = 2 + 6x, então f(x) = 2 + 6(x +
1)/2 → f(x) = 3x + 5
Portanto
f(f(det A)) = f(f(0) = f(5) = 20
23. Um triângulo equilátero tem lado
medindo 100 cm. Ligando os pontos médios de seus lados, obtém-se um outro triângulo
equilátero. Ligando os pontos médios dos lados do novo triângulo, obtém-se um
outro triângulo equilátero e assim sucessivamente. Então a soma das alturas de
todos os triângulos assim construídos vale :
a) 25√3 cm
b) 50√3 cm
c) 100 cm
d) 50 cm
Resolução :
Como o primeiro triângulo apresenta lado
medindo 100 cm, então o segundo apresentará lado 50 cm, o terceiro 25 cm e
assim sucessivamente.
Portanto a sequência infinita
determinada por esses lados será um PG de razão 1/2, ou seja (100, 50, 25, ...
)
Como a altura de um triângulo equilátero
pode ser obtida através da relação h = lado√3/2, então as alturas desses
triângulos também formarão uma PG de razão 1/2, ou seja ( 50√3, 25√3, 25√3/2,
.... )
Finalmente para determinarmos a soma de
todas as alturas, basta usar a expressão da PG de soma infinita, ou seja S∞
= a1/(1 - q), então
S∞ = 50√3(1 - 1/2) =
50√3.(1/2) → S∞ = 25√3 cm
24. Considere um trapézio retângulo
cujos vértices estão nos pontos A(0,
0), B(5, 0), C(2, 4) e D(0, 4). Ao girar essa figura 360º em torno do eixo y,
obtém-se um tronco de cone sólido. Qual a área desse tronco?
a) 28π
b) 31π
c) 64π
d) 35π
Resolução :
A rotação do trapézio gera o tronco de cone.
Observando a figura notamos que: r = 2; R =
5 e h = 4.
Para calcular a área desse tronco, é
necessário determinar a sua geratriz
''g'' por meio do teorema de Pitágoras,
o que resulta em g2 = (R - r)2 + h2 →
g2 = (5 - 2)2 + 42
→ g2 = 32 + 42 → g2 = 9 + 16
→ g = √25 → g = 5
Desse modo, a área do tronco será a união da
área lateral, Aℓ = π(R + r)g,
com as áreas da base superior, ASp
= πr2, com a inferior, AIn = πR2.
Portanto A = Aℓ + ASp
+ AIn → A = π(R +
r)g + πr2 + πR2 →
A = π[(R + r)g + r2 + R2]
= A = π[(5 + 2)5 + 22 + 52] = π(35 + 4 + 25) = 64π
25 . Em 12 países do mundo a expectativa
de vida superava os 82 anos em 2015: Suíça (83,4 anos), Espanha (82,8), Itália
(82,7), Islândia (82,7), Israel (82,5), França (82,4), Suécia (82,4), Japão
(83,7), Cingapura (83,1), Austrália (82,8), Coreia do Sul (82,3) e Canadá
(82,2).
Baseando-se nesses valores citados sobre
a expectativa de vida nos 12 países do
mundo, podemos dizer que seu desvio padrão vale, aproximadamente :
a) 0,76
b) 0,44
c) 1,24
d) 4,44
Resolução :
Cálculo da Média :
(83,4 + 2 . 82,8 + 2 . 82,7 + 82,5 + 2 .
82,4 + 83,7 + 83,1 + 82,3 + 82,2) ÷ 12 = 993 ÷ 12 = 82,75
Cálculo dos desvios:
82,2 – 82,75 = - 0,55 ; 82,3 – 82,75 = -
0,45 ; (2x)82,4 – 82,75 = - 0,35
82,5 – 82,75 = - 0,25 ; (2x)82,7 – 82,75 = - 0,05 ; (2x)82,8 – 82,75 = 0,05
83,1 – 82,75 = 0,35 ; 83,4 – 82,75 = 0,65 ; 83,7 – 82,75 = 0,95
Cálculo da Variância :
[ (-0,55)2 + (-0,45)2 +
2.(-0,35)2 + (-0,25)2 + 2.(-0,05)2 + 2.(0,05)2
+ (0,35)2 + (0,65)2 + (0,95)2 ] ÷ 12 =
(0,3025+0,2025+0,245+0,0625+0,005+0,005+0,1225+0,4225+0,9025)
÷ 12 =
2,27 ÷ 12 ≈ 0,189
Cálculo do Desvio Padrão = √variância ≈
√0,189 ≈ 0,435
