1.
(Ita 2018) Uma progressão aritmética (a1, a2,
a3, ... , an) satisfaz a propriedade: para cada n ɛ N a
soma da progressão é igual a 2n2 + 5n. Nessas condições, o
determinante da matriz A, é :
a) -
96
b) -
85
c) 63
d) 99
e) 115
Resposta da questão 1:[A]
Do enunciado, temos: Sn = 2n2
+ 5n.
Como a1 = S1 = 2.12
+ 5.1 → a1 = 7, então S2 = a1 + a2 → 2.22
+ 5.2 = 7 + a2 →
8 + 10 = 7 + a2 → 18 = 7 + a2
→ a2 = 11
Daí, sendo r a razão da progressão
aritmética, r = a2 - a1 =
11 – 7 → r = 4.
Dessa forma, a3 = 15, a4 =
19, a5 = 23, a6 = 27, a7 = 31, a8 = 35, a9 = 39
Assim, o determinante da matriz é:
Multiplicando a coluna 1 por (-1) e somando às
colunas 2 e 3,
Agora multiplicando a coluna 2 por (-2) e somando à
coluna 3,
Portanto, x = 2.2.(-24) → x = - 96
2.
(Ita 2018) Considere as funções f, g : R → R dadas por f(x) =
ax + b e g(x) = cx + d, com a, b, c, d ɛ R, a ≠ 0 e c ≠ 0. Se f-1 o
g-1 = g-1 o f-1, então uma relação entre as
constantes a, b, c e d é dada por :
a) b + ad = d + bc.
b) d + ba = c + db
c) a + db = b + cd
d) b + ac = d + ba
e) c + da = b + cd
Resposta
da questão 2: [A]
De f(x) = ax + b → y = ax + b e f-1(x)
= (x - b)/a
De g(x) = cx + d → y = cx + d e g-1(x)
= (x - d)/c
Então :
f-1 o g-1 = [(x –
d)/c - b]/a = (x – d - bc)/ac
g -1 o f - 1 = [(x
– b)/a - d]/c = (x – b - ad)/ac
Como f-1 o g-1 = g -1
o f – 1, então (x – d - bc)/ac = (x – b - ad)/ac →
x – d - bc = x – b – ad → – d - bc =
– b – ad → b + ad = d + bc
3.
(Ita 2018) As raízes do polinômio 1 + z + z2 + z3
+ z4 + z5 + z6 + z7, quando
representadas no plano complexo, formam os vértices de um polígono convexo cuja
área é :
a) (√2 - 1)/2
b) (√2 + 1)/2
c) √2
d) (3√2 + 1)/2
e) 3√2
Resposta
da questão 3:[D]
Como 1 + z + z2 + z3
+ z4 + z5 + z6 + z7 = 1.(z8
- 1)/(z - 1), então
(z8 - 1)/(z - 1) = 0 → z8
– 1 = 0, z ≠ 1
As raízes da equação z8 – 1 =
0, no plano de Argand-Gauss, representam
um octógono regular inscrito numa
circunferência de raio unitário
centrada na origem.
Como 1 não é solução do problema, temos a
figura abaixo:
JH = 1 - √2/2 = (2 - √2)/2
SABCDEFG : área do polígono ABCDEFG
SABCDEFGH : área do polígono ABCDEFGH
SAIH : área do polígono AIH = 1/2.1.1.sen450 =
√2/4
SAJH : área do polígono AJH = 1/2.√2/2.(2-√2)/2 = (√2 -
1)/4
SAHG : área do polígono AHG = 2. SAJH = 2.(√2 - 1)/4 = (√2 - 1)/2
SABCDEFGH = 8. SAIH = 8.√2/4
= 2√2
SABCDEFG = SABCDEFGH - SAHG = 2√2 - ( 2
- 1)/2 = (3√2 + 1)/2
4.
(Ita 2018) Sejam x1, ... , x5 e y1,
... , y5 números reais arbitrários e A = (aij) uma matriz
5x5 definida por aij = xi + yj , 1 ≤ i, j ≤ 5.
Se r é a característica da matriz A, então o maior valor possível de r é :
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Resposta
da questão 4:[B]
Do enunciado,
Vamos escrever a matriz A na forma
escalonada.
Na matriz A, multiplicando a linha 1 por (- 1) e
somando às linhas 2, 3, 4 e
5, temos:
Na matriz B, multiplicando a coluna 1 por
(-1) e
somando às colunas 2, 3,
4 e 5, temos:
que é possível obter matrizes de ordem 3,
4 e 5, com determinante nulo,
assim, a maior ordem possível de uma
matriz com determinante não nulo
é 2, ou seja, o maior valor para a
característica da matriz é 2.
Portanto, o maior valor possível de r é 2.
5.
(Ita 2018) Sejam A e B matrizes quadradas nxn tais que A + B =
A.B e In a matriz identidade nxn. Das afirmações:
I.
In - B é inversível;
II.
In – A é inversível;
III.
A.B = B.A
é
(são) verdadeira(s)
a) Somente
I.
b) Somente
II.
c) Somente
III.
d) Somente
I e II.
e) Todas.
Resposta da questão 5:[E]
Notemos que:
(In - A).(In - B) =
In . In – In . B – A . In + AB = In – B – A + AB
Como A +
B = AB então In – B – A + A + B → (In - A).(In
- B) = In
Portanto det (In - A).(In
- B) = det In → det (In - A) . det (In - B) =
1
Assim sendo, det (In - A) ≠ 0
e det (In - B) ≠ 0
Portanto, In
- B e In
- A são inversíveis, o que garante
que as afirmações [I]
e [II] são verdadeiras.
Notemos que:
(In - A).(In - B) =
In . In – In . B – A . In + AB = In – B – A + AB
Como (In - A).(In -
B) = (In - B).(In - A) então
(In - B).(In - A) =
In
Daí, In = In – A – B + BA → In = In – (A + B) + BA →
Mais uma vez, A + B = AB,
logo, In = In – AB + BA → AB = BA
Dessa forma, a afirmação [III] é
verdadeira.
Portanto, todas as afirmações são verdadeiras.
6.
(Ita 2018) Se o sistema :
x + y + z = 0; 2a2y + (2a4 - a)z = 0 e x +
ay + (a3 - 1)z = 0
admite
infinitas soluções, então os possíveis valores do parâmetro a são :
a) 0, -1, (-1 - √3)/2, (-1 + √3)/2
b) 0, -1, (1 - √3)/2, (1 + √3)/2
c) 0, -1, (-1 + √3)/2, (1 + √3)/2
d) 0, -1, (-1 - √3), (-1 + √3)
e) 0, -1, (1 - √3), (1 + √3)
Resposta
da questão 6: [B]
Como
o sistema, x + y + z = 0; 2a2y +
(2a4 - a)z = 0 e x + ay + (a3 - 1)z = 0
é
homogêneo e admite infinitas soluções, temos:
1
1 1
0 2a2 2a4 – a = 0
1 a a3 - 1
Daí, 2a2.(a3 - 1) +
2a4 – a – 2a2 – a.(2a4 - a) = 0 → 2a4
– 3a2 – a = 0
a(2a3 – 3a – 1) = 0 → a = 0 ou
2a3 – 3a – 1 = 0.
Na equação 2a3 – 3a – 1 = 0,
verifica-se, por tentativa, que -1 é raiz.
Então, com auxílio de Briot Ruffini, -
1 | 2
0 -3 -1
|
2 -2
-1 0
Assim, as raízes da equação 2a2 –
3a – 1 = 0 também são raízes da
equação 2a3 – 3a – 1 = 0.
Da equação 2a2 – 2a – 1 = 0 →
a = (1 - √3)/2 ou a = (1 + √3)/2
Portanto, os possíveis valores do
parâmetro a que fazem com que o
sistema dado admita infinitas soluções
são: 0, -1, (1 - √3)/2 e 1 + √3)/2
7.
(Ita 2018) Sobre duas retas paralelas r e s são tomados 13
pontos, m pontos em r e n pontos em s, sendo m > n. Com os pontos são
formados todos os triângulos e quadriláteros convexos possíveis. Sabe-se que o
quociente entre o número de quadriláteros e o número de triângulos é 15/11.
Então, os valores de n e m são, respectivamente,
a) 2
e 11
b) 3
e 10
c) 4
e 9
d) 5
e 8
e) 6 e
7
Resposta
da questão 7:[E]
Sejam, respectivamente, x e y, o total de
quadriláteros convexos e de
triângulos que podem ser formados com os
pontos dados.
Temos:
x = Cm,2 . Cn,2 =
m!/2!(m-2)! . n!/2!(n-2)! = m.(m-1)/2 . n.(n-1)/2
y = n.Cm,2 . m.Cn,2
= n.m!/2!(m-2)! . m.n!/2!(n-2)! = n.m.(m-1)/2 . m.n.(n-1)/2 =
= mn/2 . (m+n-2).
x/y = [m.(m-1)/2 . n.(n-1)/2]/[mn/2 .
(m+n-2)] → x/y = (m-1).(n-1)/2(m+n-2)
Mas, x/y = 15/11 e m + n = 13, logo,
15/11 = (m-1).(n-1)/2(13-2) →
15/11 = (m-1).(n-1)/2.11 → 30 =
(m-1).(n-1) → 30 = mn – m – n + 1→
30 = mn – (m + n) + 1 → 30 = mn – 13 + 1
→ mn = 42
Como m > n
então n =6 e m = 7
8.
(Ita 2018) Sejam a e b números inteiros positivos. Se a e b
são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica de razão 1/2
e o termo independente de (ax - b/√x)12 é igual a 7920, então a + b
é :
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Resposta
da questão 8: [B]
Do enunciado, a = 2b
O termo geral de (ax - b/√x)12
é C12,p .(ax)12 – p.(-b/√x)p =
C12,p .a12 – p. x12
– p.(-b)p/xp/2 = C12,p .a12 – p.(-b)p.
x (24 - 3p)/2
Portanto o termo independente de é obtido
tomando-se (24 – 3p)/2 = 0 ou
seja, p =
8.
Daí, 7920 = C12,8 . a4
. (-b)8 → 7920 = 495 . a4 . b8
Mas, a =
2b logo, 7920/495 = (2b)4
. b8 → 16 = 24.b4.b8
→ b12 = 1 → b = ± 1
Como b é positivo, b = 1 e a = 2 → a + b = 3
9.
(Ita 2018) São dadas duas caixas, uma delas contém três bolas
brancas e duas pretas e a outra contém duas bolas brancas e uma preta.
Retira-se, ao acaso, uma bola de cada caixa. Se P1 é a probabilidade
de que pelo menos uma bola seja preta e P2 a probabilidade de as
duas bolas serem da mesma cor, então P1 + P2 vale :
a) 8/15
b) 7/15
c) 6/15
d) 1
e) 17/15
Resposta
da questão 9: [E]
A probabilidade de se retirar uma bola
branca da primeira caixa e uma
bola branca da segunda caixa é 3/5 . 2/3
= 6/15.
Logo, P1 = 1 - 6/15 = 9/15
A probabilidade de se retirar uma bola
preta da primeira caixa e uma bola
preta da segunda caixa é 2/5 . 1/3 =
2/15.
Logo, P2 = 6/15 + 2/15 = 8/15
Portanto, P1 + P2 = 9/15 +
8/15 = 17/15
10.
(Ita 2018) Considere a classificação: dois vértices de um
paralelepípedo são não adjacentes quando não pertencem à mesma aresta. Um
tetraedro é formado por vértices não adjacentes de um paralelepípedo de arestas
3 cm, 4 cm e 5 cm. Se o tetraedro tem suas arestas opostas de mesmo
comprimento, então o volume do tetraedro é, em cm3.
a) 10
b) 12
c) 15
d) 20
e) 30
Resposta
da questão 10: [D]
Do
enunciado, temos:
ABCDEFGH é um paralelepípedo retângulo, AFEH,
HADC, CGFH, e FABC
são tetraedros trirretangulares.
VAFEH
= VHADC = VCGFH = VFABC = V1 =
1/3 . 1/2 . 3 . 4 . 5 = 10
Sendo V o volume do tetraedro ACFH e V2 o
volume do paralelepípedo,
então V = V2 – 4 . V1 =
3. 4. 5 – 4 . 10 → V = 20 cm3
11.
(Ita 2018) Os triângulos equiláteros ABC e ABD têm lado comum AB.
Seja M o ponto médio de AB e N o ponto médio de CD. Se MN = CN = 2 cm, então a
altura relativa ao lado CD do triângulo ACD mede, em cm,
a) √60/3
b) √50/3
c) √40/3
d) √30/3
e) 2√6/3
Resposta
da questão 11: [A]
Do
enunciado, temos:
No triângulo CNM, CM2 = 22
+ 22 → CM = 2√2
No triângulo CMA, sen600 =
2√2/l → l = 4√2/√3
No triângulo ACN, (4√2/√3)2 =
22 + AN2 → 32/3 – 4 = AN2 → AN2 =
20/3
AN = √(20/3) → AN = √20/√3 → AN = (√60)/3
12.
(Ita 2018) Considere a definição: duas circunferências são ortogonais
quando se interceptam em dois pontos distintos e nesses pontos suas tangentes
são perpendiculares. Com relação às circunferências C1 : x2
+ (y + 4)2 = 7, C2 : x2 + y2 = 9 e C3
: (x - 5)2 + y2 = 16, podemos afirmar que :
a) somente
C1 e C2 são ortogonais.
b) somente
C1 e C3 são ortogonais.
c) C2
é ortogonal a C1 e a C3.
d) C1, C2 e C3 são ortogonais duas a duas.
e) não
há ortogonalidade entre as circunferências.
Resposta
da questão 12:[C]
Do
enunciado, temos:
B é um dos pontos de intersecção entre C1 e C2
C é um dos pontos de intersecção entre C1 e C3
A é um dos pontos de intersecção entre C2 e C3
Para que C1 e C2 sejam
ortogonais, o triângulo EAF deve ser retângulo em
A. Temos: AE = 3, AF = 4 e EF = 5.
Como 52 = 32 + 42, o triângulo EAF
é retângulo em A, logo, C1 e C2 são
ortogonais. Para que C1 e C3
sejam ortogonais, o triângulo DCF deve ser
retângulo em C. Temos CD = √7, CF = 4 e dDF
= √(0-5)2+(0-4)2 → dDF = √41
(√41)2 ≠ (√7)2 + 42,
Como o triângulo DCF não é retângulo em C,
logo, C1 e
C3 não são ortogonais.
Para C2 e C3 sejam ortogonais, o triângulo EBD deve ser
retângulo em B.
Temos EB = 3, BD = √7 e ED = 4.
Como 42 = 32 + (√7)2,
o triângulo EBD é retângulo em B, logo, C2 e C3 são
ortogonais.
Dessa forma, C2 é ortogonal às circunferências C1 e C3
13.
(Ita 2018) Se log2π = a e log5π = b, então :
a) 1/a + 1/b ≤ 1/2.
b) 1/2 < 1/a + 1/b ≤ 1.
c) 1 < 1/a + 1/b ≤ 3/2
d) 3/2 < 1/a + 1/b ≤ 2
e) 2 < 1/a + 1/b.
Resposta
da questão 13: [E]
De log2π = a → 1/a = 1/log2π
De log5π = b → 1/b = 1/log5π
Então, 1/a + 1/b = 1/log2π +
1/log5π → 1/a + 1/b = 1/log2π + log25/log2π
→
1/a + 1/b = (1 + log25)/log2π
→ 1/a + 1/b = (log22 + log25)/log2π →
1/a + 1/b = log210/log2π
→ 1/a + 1/b = logπ10
Fazendo logπ10 = x
→ πx = 10, 2 < x < 3 → 2 < logπ 10 < 3.
Assim 2 < 1/a + 1/b < 3 → 2 < 1/a + 1/b
14.
(Ita 2018) Para que o sistema
x + y =
1 e
x3 + y3 = c2
admita
apenas soluções reais, todos os valores reais de "c" pertencem ao
conjunto:
a) ]- ∞, -1/4[
b) ]- ∞, -1/4[ U ]1/4, ∞[
c) ]- 1/2, -1/4]
d) ]1/2, ∞[
e) ]- ∞, -1/2] U [1/2 , ∞[
Resposta
da questão 14:[E]
De x + y = 1 → (x + y)3 = 13
→ x3 + 3x2y + 3xy2
+ y3 = 13
x3 + y3 + 3xy(x +
y) = 1
Como x +
y = 1 e x3 + y3 =
c2, temos: c2 + 3xy = 1
Da equação x + y = 1, y = 1 – x, logo, c2
+ 3x(1 - x) = 1
c2 - 3x2 + 3x - 1 =
0 → ∆ = 9 - 12(1 – c2)
Para que o sistema admita apenas soluções
reais, devemos ter:
9 - 12(1 – c2) ≥ 0 → c2
≥ 1/4 → c ≤ -1/2 ou c ≥ 1/2
15.
(Ita 2018) Os lados de um triângulo de vértices A, B e C medem
AB = 3 cm, BC = 7 cm e CA = 8 cm. A circunferência inscrita no triângulo
tangencia o lado AB no ponto N e o lado CA no ponto K. Então, o comprimento do
segmento NK em cm, é :
a) 2
b) 2√2
c) 3
d) 2√3
e) 7/2
Resposta
da questão 15:[A]
Do enunciado, temos:
M é ponto de tangência entre a
circunferência e o lado BC.
Sendo AK = x, AK + AN = x, BN = BM = 3 –
x e CK = CM = 8 – x.
Como BC
= 7 e BC = BM + MC, 7 = 3 – x + 8 – x
→ x = 2
Sendo BAC = α, temos: 72 = 32
+ 82 – 2.3.8.cosα → cosα = 1/2
Sendo NK = y, temos: y2 = 22
+ 22 – 2.2.2.cosα → y2 = 4 + 4 – 8.1/2 →
y2 = 4 → y = 2 → NK = 2 cm
16.
(Ita 2018) O lugar geométrico das soluções da equação x2
+ bx + 1 = 0, quando |b| < 2, b ɛ R, é representado no plano complexo por :
a) dois
pontos.
b) um
segmento de reta.
c) uma
circunferência menos dois pontos.
d) uma
circunferência menos um ponto.
e) uma
circunferência.
Resposta
da questão 16:[C]
De x2 + bx + 1 = 0, x = [-b ± √(b2 – 4.1.1)]/2.1 → x = [-b
± √(4 - b2).(– 1)]/2
x = [-b ± √(4 - b2). i]/2 → x
= -b/2 ± √(4 - b2)i/2
Então, |x| = √[(-b/2)2 + √(4 - b2)2
→ |x| = 1
Assim, o lugar geométrico das soluções da
equação
x2 + bx + 1 = 0, |b| < 2, b
ɛ R, determinam uma circunferência centrada na
origem e de raio unitário, exceto dois
pontos, pois a condição |b| < 2, b ɛ
R exclui os pontos (1, 0) e (- 1, 0) da
circunferência, ou seja, os números
complexos 1 e - 1 não são soluções da equação.
17.
(Ita 2018) Considere a matriz, com x ɛ R
Se
o polinômio p(x) é dado por p(x) = det A, então o produto das raízes de p(x) é :
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/5
d) 1/7
e) 1/11
Resposta
da questão 17: [D]
QUESTÃO COM
GABARITO INCOERENTE, OBSERVE.
Do enunciado, temos:
O produto das raízes de p(x) é -1/(-7) =
1/7
Observação: é possível mostrar que p(x) admite somente uma raiz
real,
portanto o produto das raízes de p(x) envolve as raízes
complexas, o que
faz com que a questão não admita resposta correta,
uma vez que o
enunciado diz que x é real.
Desconsiderando que x é real, a resposta correta é
a que está na
alternativa [D].
18.
(Ita 2018) Em um triângulo de vértices A, B e C são dados os
ângulos B = π/2, C = π/3 e o lado BC = 1 cm. Se o lado AB é o diâmetro de uma
circunferência, então a área da parte do triângulo ABC externa à
circunferência, em cm2 é :
a) π/8 - 3√3/16
b) 5√3/4 - π/2
c) 5π/8 - 3√3/4
d) 5√3/16 - π/8
e) 5π/8 - 3√3/16
Resposta
da questão 18:[D]
Do enunciado, temos:
● No triângulo ABC, cosπ/3 = 1/AC → AC =
2
● D é o centro da circunferência.
● Seja r a medida do raio da
circunferência, AB = 2r
● No triângulo ABC, senπ/3 = 2r/2 → r =
√3/2
A reta suporte do segmento AC é secante à
circunferência e o ponto de
intersecção entre tal reta e a circunferência
é o ponto E.
Assim, DE = DA = DB = √3/2
No triângulo ABC, CAB + π/3 + π/2 = π →
CAB = π/6
O triângulo AED é isósceles, com AD = DE,
logo, DAE = DEA = π/6.
BDE é
ângulo externo do triângulo AED, logo, BDE = 2 . π/6 = π/3
S :
área da parte do triângulo ABC externa à circunferência.
SDEFB : área do setor circular centrado no ponto D com
raio cuja medida é
√3/2 e
ângulo cuja medida é π/3.
SADE : área do triângulo ADE.
SABC : área do triângulo ABC.
S = SABC
- SADE
- SDEFB = √3.1/2 - 1/2. √3/2 . √3/2 . sen2π/3 - 1/6 . π
.(√3/2)2
S = 5√3/16 - π/8
19.
(Ita 2018) Com relação à equação (tg3 – 3tgx)/(1 –
3tg2x) + 1 = 0, podemos afirmar que :
a) no
intervalo ]- π/2, π/2[ a soma das
soluções é igual a 0.
b) no
intervalo ]- π/2, π/2[ a soma das
soluções é maior que 0.
c) a
equação admite apenas uma solução real.
d) existe
uma única solução no intervalo [0, π/2]
e) existem
duas soluções no intervalo ]- π/2, 0]
Resposta
da questão 19:[B]
Como tg3x = (3tgx – tg3x)/(1 –
3tg2x), logo, - tg3x = (tg3x – 3tgx)/(1 – 3tg2x).
Então, a equação (tg3x – 3tgx)/(1 – 3tg2x) + 1
= 0 é equivalente a
equação
- tg3x + 1 = 0 → tg3x = 1 → 3x = π/4 +
kπ, k ɛ Z → x = π(1 + 4k)/12
De
- π/2 < x < π/2 → - π/2 < π(1 + 4k)/12 → - 1/2 < (1 + 4k)/12 <
1/2 →
- 6 < 1 + 4k <
6 → - 7 < 4k <
5 → - 7/4 < k <
5/4
Como k ɛ
Z, k =
- 1 ou k = 0 ou
k = 1.
Assim, no intervalo ]-π/2, π/2[, há as soluções x
= - 3π/12, x = π/12 e
x = 5π/12, cuja soma é 3π/12 > 0.
É possível verificar que as alternativas [A], [C],
[D] e [E] são incorretas.
20.
(Ita 2018) Se x é um número real que satisfaz x3 =
x + 2, então x10 é igual a :
a) 5x2 + 7x + 9
b) 3x2 + 6x + 8
c) 13x2 + 16x + 12
d) 7x2 + 5x + 9
e) 9x2 + 3x + 10
Resposta
da questão 20:[C]
De x3 = x + 2 → (x3)3
= (x + 2)3 → x9 = x3 + 3.x2.2
+ 3.x.22 + 23.
Como x3 = x + 2, então x9
= x + 2+ 6x2 + 12x + 8 → x9 = 6x2 +
13x + 10
De x9 = 6x2 + 13x +
10, então x.x9 = x.(6x2 + 13x + 10)
x.x9 = x.(6x2 + 13x
+ 10) → x10 = 6x3 + 13x2 + 10x
Mais uma vez lembremos que x3
= x + 2, portanto,
x10 = 6.(x + 2) + 13x2
+ 10x → x10 = 13x2
+ 16x + 12
