QUESTOES VESTIBULAR MEDICINA FACULDADE GUANANBI 2017 – COMENTADAS.

1. Existe uma variedade de alimentos indicados para determinadas pessoas que possuem uma dieta diferenciada ou querem perder peso, sendo os produtos light e diet incluídos nessa categoria. Considere-se que um alimento “light” contém um número de calorias igual a, no máximo, um terço do número de calorias de sua versão “normal” ou, contém menos da metade da quantidade de gordura contida em sua versão “normal”. Nessas condições e sabendo-se que a versão “normal” de determinado alimento contém 54 calorias e 3,0g de gordura, é correto afirmar que sua versão “light” contém :

01) 18 calorias e 1,5g de gordura.

02) mais de 27 calorias e menos de 1,0g de gordura.

03) menos de 18 calorias ou mais de 1,5g de gordura.

04) no mínimo, 27 calorias ou mais de 1,0g de gordura.

05) no máximo, 18 calorias ou menos de 1,5g de gordura

Vejamos :

Um alimento “light”(L) contém um número de calorias igual a, no máximo, um terço 

do número de calorias de sua versão “normal”(N) → L ≤ N/3

Ou, contém menos da metade da quantidade de gordura contida em sua versão 

“normal” → L < N/2

Sabendo-se que a versão “normal” de determinado alimento contém 54 calorias e 

3,0g de gordura → L ≤  54/3 → L  ≤ 18 ou L < N/2 → L < 3/2

2. Apesar de o chocolate amargo ser um alimento com elevados níveis de calorias e gorduras, o seu consumo regular traz diversos benefícios para a saúde, pois ele é uma ótima fonte de substâncias que contribuem positivamente para o organismo, como os antioxidantes. Os dados na tabela se referem às respostas dadas por um grupo de x pessoas quanto

ao número de dias da semana em que costumam comer algum tipo de chocolate.

             N⁰ de dias              0        1            2          4         7

            N⁰ de pessoas       30    0,35x     0,10x     18     0,15x

Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa do grupo dentre as que consomem chocolate, ao menos uma vez por semana, a probabilidade de ela comer todos os dias é de :

01) 15%

02) 20%

03) 25%

04) 30%

05) 35%

Vejamos :

N⁰ de pessoas :  30 +  0,35  +  0,10x + 18 + 0,15x = x → 48 + 0,60x = x →

48 = x – 0,60x → 0,40x = 48 → x = 48/0,40 → x = 120 pessoas

Uma pessoa do grupo dentre as que consomem chocolate, ao menos uma

vez por semana → 0,35x + 0,10x + 18 + 0,15x = 0,60x + 18 = 0,60.120 + 18 =

72 + 18 = 90 pessoas.

A probabilidade de ela comer todos os dias é de → 0,15x/90 = 18/90 = 20%

3. Dez alunos da Faculdade X, cinco do curso A e cinco do curso B, devem representá-la em um encontro de estudantes. A participação em um determinado seminário deve contar com seis desses alunos, sendo, de cada curso, no máximo, quatro alunos. Nessas condições, os seis alunos podem ser escolhidos de um número máximo, de formas distintas, igual a :

01) 150

02) 186

03) 200

04) 210

05) 252

Vejamos :

Curso A = 5 alunos e Curso B = 5 alunos.

A participação em um determinado seminário deve contar com seis

desses alunos, sendo, de cada curso, no máximo, quatro alunos →

Note que o problema consiste em Combinações, ou seja

C5,4.C5,2 + C5,3.C5,3 + C5,2.C5,4  =

(5!/4!1!).(5!/2!3!) + (5!/3!2!).(5!/3!2!) + (5!/2!3!).(5!/4!1!) =

5.10 + 10.10 + 10.5 = 50 + 100 + 50 = 200

 4. Sabendo-se que p, q e −1 são raízes do polinômio P(x)=3x³+9x²+13x+7, é correto afirmar que o valor de p² + q² é :

01) 4

02) 6

03) −2

04) - 2/3

05) 7/3

Vejamos :

 Através das relações de Girard, x' + x'' + x''' = - b/a e x' . x'' . x''' = - d/a

p + q + (-1) = - 9/3 e p . q . (-1) = - 7/3 → p + q = - 2 e p . q = 7/3 →

Como (p + q)² = p² + 2pq + q² → (- 2)² = p² + 2.(7/3) + q² →

(- 2)² – 2.7/3 = p² + q² → p² + q² = 4 - 14/3 → p² + q² = -2/3

5. Uma partícula se move ao longo do eixo oy de acordo com a equação

y = x³/3 - (cos2x)/2 + 7/2 . Dessa forma, é correto afirmar que a distância percorrida pela partícula entre x = 0 e x = π/2 ,em unidades de comprimento, é :

01) 1

02) 2

03) π³/6 + 2

04) π²/24 + 1

05) π³/24 + 1

Vejamos :

Uma partícula se move de acordo com a equação y = x³/3 - (cos2x)/2 + 7/2

Para x = 0 → y = 0³/3 - (cos2.0)/2 + 7/2 = - (cos0)/2 + 7/2 = -1/2 + 7/2 = 3

Para x = π/2 → y = (π/2)³/3 - (cos2.π/2)/2 + 7/2 = π³/24 - (cosπ)/2 + 7/2 =

π³/24 + 1/2 + 7/2 = π³/24 + 4.

Portanto a distância percorrida = (π³/24 + 4) – 3 = π³/24 + 1

6. A função do 2º grau, f(x), é tal que f(2) + f(−6) = 2k −6, k ∈ R.

Sabendo-se que a representação gráfica dessa função é uma parábola cujo vértice é o ponto de abscissa −1, pode-se garantir que o valor de   f(4) + f(−4) é :

01) 2k − 6

02) 4k − 4

03) k

04) −4k + 4

05) −6k + 2

Vejamos :

Como uma  função do 2º grau é tal que f(x) = ax² + bx + c, então :

f(2) + f(−6) = 2k −6 → a(2)² + b(2) + c + a(-6)² + b(-6) + c = 2k – 6

4a + 2b + c + 36a - 6b + c = 2k – 6 → 40a – 4b + 2c = 2k – 6 (eq.I)

Como a função é uma parábola cujo vértice é o ponto de abscissa −1,

                                        

então x_V = - b/2a → - 1 = - b/2a → b = 2a (eq. II)

Substituindo I em II, vem 40a – 4.2a + 2c = 2k – 6 → 32a + 2c = 2k - 6

O valor de   f(4) + f(−4) = a(4)² + b(4) + c + a(-4)² + b(-4) + c = 16a + 4b + c

+ 16a - 4b + c = 32a + 2c = 2k - 6

7. Uma caixa na forma de um paralelepípedo reto retângulo cuja altura mede (x + 4)cm tem volume, em cm³, dado por V(x) = x³ + 12x² + 44x + 48.

Sabendo-se que x é uma constante real positiva, é correto afirmar que dimensões da caixa, em cm, formam uma :

01) progressão aritmética de razão 3.

02) progressão aritmética de razão 2.

03) progressão geométrica de razão 2.

04) progressão geométrica de razão 3.

05) sequência que não é progressão

Vejamos :

Supondo a caixa com dimensões "a", "b" e "h", cuja altura "h" mede x + 4

Como o volume da caixa é V = a.b.x e corresponde a V(x) = x³ + 12x² + 44x   

+ 48, então a.b.(x + 4) = x³ + 12x² + 44x + 48 →

a.b = (x³ + 12x² + 44x +48)/(x+4) → a.b = x² + 8x + 12 → a.b = (x + 2).(x + 6)

Portanto as dimensões são (x + 2), (x + 4) e (x + 6), que formam uma PA de

razão r = 2.

8. Uma das formas de se fazer o controle glicêmico da pessoa com diabetes é através da medição das taxas percentuais da hemoglobina A1C, considerando-se resultados normais, taxas percentuais de A1C, de 4 a 6 e, diabetes moderadamente controlado, taxas percentuais de A1C, de 6 a 7. As coordenadas dos pontos P e Q, no gráfico, correspondem aos resultados obtidos em testes com um paciente diabético, realizados em momentos distintos. 

Admitindo-se que o nível de glicose desse paciente varia como uma função do 1º grau da taxa de hemoglobina, é correto afirmar que, para um resultado normal, o menor nível médio de glicose é igual a :

01) 50

02) 55

03) 60

04) 65

05) 70

Vejamos :

Analisando a função do primeiro grau → y = ax + b que contém

Q(6; 120) → 120 = 6a + b e P(6,5; 135) → 135 = 6,5a + b.

Resolvendo o sistema por substituição → 120 – 6a = 135 – 6,5a →

6,5a  – 6a = 135 – 120 → 0,5a = 15 → a = 30 → b = 120 – 6.30 → b = - 60

Como o nível normal apresenta taxas entre 4 e 6, a menor será  

y = 30.4 – 60 → y = 60

9. Um pequeno número da bactéria E.Coli, no intestino grosso de uma pessoa, pode desencadear uma séria infecção em poucas horas, pois cada uma delas se reproduz exponencialmente, dividindo-se em duas, a cada meia hora. Admitindo-se que uma infecção se inicie com 100 dessas bactérias e que nenhuma bactéria morre em um intervalo de k horas, então o tamanho da população de E. Coli t horas pós o início da infecção, 0 ≤ t  ≤ k, pode ser determinado através da expressão matemática :

01) P(t) = 100^2t

02) P(t) = 100 + 2^t

03) P(t) = 100 + 2^2t

04) P(t) = 100.2^t

05) P(t) = 100.2^2t

Vejamos :

Como a reprodução é exponencial, será do tipo P(t) = P₀.2^2t →                

P(t) = 100.2^2t  onde "t" expressa intervalos de meia hora, ou seja :

 para t = 0,5 hora → P(0,5) = 100.2^2.(0,5) = 100.2¹ = 200

 para t = 1 hora → P(1) = 100.2^2.1 = 100.2² = 400

 para t = 1,5 hora → P(1,5) = 100.2^2.(1,5) = 100.2³ = 800 .....

10. Sob certas condições, a capacidade de certa pessoa memorizar fatos aleatórios pode ser modelada pela equação M(x) = 95 − 14log₂ x, em que M(x) é o percentual dos fatos retidos, ainda na memória depois de x dias, x ≥ 1. O número de dias decorridos, quando esse percentual chegar a 46%, será, aproximadamente, igual a :

01) 8

02) 11

03) 13

04) 16

05) 20

Vejamos :

Como M(x) = 95 − 14log₂ x, então o valor de x para M(x) = 46% é

46 = 95 − 14log₂ x → 46 - 95 = − 14log₂ x → 14log₂ x = 49 → log₂ x = 7/2

x = 2^7/2 → x = √2⁷ → x = √2⁶.2 → x = 2³.√2 → x = 8√2 → x = 8.1,4 → x ≈ 11,2

11. Considerando-se a matriz A(3x3) abaixo, a ∈ R e det A = 8a, é correto afirmar que o valor da soma dos elementos da diagonal principal de A é :

01) 16

02) 13

03) 10

04) 9

05) 8

Vejamos :

Na matemática, uma matriz quadrada é triangular quando os elementos acima ou 

abaixo da diagonal principal são zeros.

Como o determinante de uma matriz triangular pode ser obtido através do produto 

dos elementos de sua diagonal principal, então det A = (a + 2)²

Portanto, se det A = 8a, ent ão (a + 2)² = 8a → a² + 4a + 4 = 8a →

a² - 4a + 4 = 0 → ∆ = (-4)² – 4.1.4 = 0 → a = (4 ± 0)/2.1 → a = 2

Finalmente, a soma dos elementos da diagonal principal é a + 2 + 1 + a + 2

2 + 2 + 1 + 2 + 2 = 9

12. Uma circunferência passa pelo ponto O, origem do sistema de coordenadas cartesianas, tem raio r = 2 e centro em um ponto C

do primeiro quadrante. Sabendo-se que o raio CO faz um ângulo

Ɵ = π/3 com o eixo ox, é correto afirmar que a circunferência intersecta oy

em um ponto de ordenada :

01) 2√3

02) 2 + √2

03) 2√2

04) 4 − √2

05) 4 − √3

Vejamos :  

                  

Observando o ∆_OCP , podemos calcular "y" através da lei dos cossenos, ou

seja y² = 2² + 2² – 2.2.2 cos 120⁰ → y² = 4 + 4 – 8.(- 1/2) → y² = 12 → y = 2√3

13. Na figura, a área do paralelogramo ABCD é igual a 6 u.a. e a do trapézio AECD é igual a 10 u.a.. Então :

01) 6,5 ≤ y < 7,5

02) 5,5 ≤ y < 6,5

03) 4,5 ≤ y < 5,5

04) 3,5 ≤ y < 4,5

05) 2,5 ≤ y < 3,5

Vejamos :

Área do paralelogramo ABCD é igual a 6 u.a. → 6 = base x altura →

6 = 3h → h = 2 u.c.

Área do trapézio AECD é igual a 10 u.a → 10 = (Base maior + Base

menor).altura/2 → (3 + y + 3).2/2 = 10 → 6 + y = 10 → y = 4 u.c.

14. Na figura, tem-se o esboço de uma seção transversal de uma

caixa de base quadrada, contendo quatro embalagens cilíndricas

de um medicamento. Além disso, sabe-se que a área da base

da caixa mede 16cm² e que as embalagens são tangentes, duas

a duas, e tangentes às faces laterais da caixa. Com base nessas informações, é correto afirmar que a área da região sombreada na

figura, em cm², mede :

01) 3(π − 1)

02) 4(4 − π)

03) 8 − π

04) 4 − π

05) 2π − 3

Vejamos :

Sabe-se que a área da base da caixa mede 16cm² → a² = 16, onde a é a

aresta da base → a = 4 cm.

Como as embalagens são tangentes, duas a duas, e tangentes às faces

laterais da caixa, então a aresta da base equivale a 4r, onde r é o raio de

cada embalagem → a = 4r → 4 = 4r → r = 1 cm.

Observando a figura, percebemos que a área hachurada equivale à

diferença entre a área de um quadrado de lado 2r e um círculo de raio r,

ou seja : A_hachurada  = (2r)² – πr² = 4r² – πr² = 4(1)² – π(1)² = 4 - π

15.

A figura representa a planta baixa de um pomar, na forma da base de um prisma que possui oito faces laterais. Sabendo-se que a área total

composta pelas três regiões quadrangulares é 200 m² e que a área da menor dessas três regiões é 36 m², conclui-se que a área total do pomar é

igual, em m², a :

01) 284

02) 248

03) 228

04) 184

05) 148

Vejamos :

Sabendo-se que a área total composta pelas três regiões quadrangulares

é 200m² → A_A + A_B + A_C = 200 m²   e  que a área da menor dessas três

regiões é 36m² → A_A = 36 m²

Se A_A = 36 m² → x² = 36 → x = 6 m

Se A_A + A_B + A_C = 200 m² → x² + y² + z² = 200 → 36 + y² + z² = 200 →

y² + z² = 200 – 36 → y² + z² = 164 (eq. I)

No ∆_E → z² = x² + y² → z² = 36 + y² → z² - y² = 36 (eq. II)

Substituindo II e I, vem :  y² + 36 + y² = 164 → 2y² = 164 – 36 →  2y² = 128

y² = 64 → y = 8 m  e  z = 10 m.

Portanto a área total será → A_TOTAL = (A_A  + A_B  + A_C)  + A_D + A_E →   

 

A_TOTAL = 200 + xy/2 + xy/2 = 200 + xy → A_TOTAL = 200 + 48 = 248 m²