QUESTÕES VESTIBULAR MACKENZIE 2016 – COMENTADAS

1. Os gráficos de f(x) = 2│x²-4│ e g(x) = ( x-2 )² se interceptam em

a) apenas um ponto.    

b) dois pontos.   

c) três pontos.   

d) quatro pontos.   

e) nenhum ponto.   

  

2.  O número de triplas (a,b.c) de números inteiros positivos menores ou iguais a 50 tais que a, b e c, nesta ordem, estejam em progressão geométrica é

a) 22   

b) 23   

c) 27

d) 30   

e) 35 

  

3.  Sejam l₁, l₂, ..., l₁₀₀,  os lados dos quadrados Q₁, Q₂, ..., Q₁₀₀,  respectivamente.

Se l₁ = 1 e l_k = 2l_k-1,  para k = 2, 3, ..., 100, a soma das áreas desses quadrados é igual a

a)  3/4 . 4⁹⁹   

b) 1/4 . 4⁹⁹      

c) 1/3 . ( 4¹⁰⁰ – 1 )     

d) 1/4 . 4¹⁰⁰      

e) 1/3 . 4¹⁰⁰ - 1     

  

4. Se um dado honesto é arremessado 4 vezes, a probabilidade de obtermos, pelo menos, 3 resultados iguais é

a) 5/36

b) 12/108 

c) 5/54 

d) 7/72   

e) 15/216   

  

5. Se 4 bolas são retiradas sucessivamente, ao acaso e sem reposição, de uma caixa contendo bolas numeradas de 1 a 100, a probabilidade de que a primeira bola retirada tenha um número maior que o da última é

a) 1/2

b) 1/4

c) 1/8 

d) 1/50

e) 1/100

  

6. Em um triângulo retângulo, a medida do menor cateto é 6cm. Rotacionando esse triângulo ao redor desse cateto, obtém-se um sólido de revolução, cujo volume é 128╥cm³. Nessas condições, a área total da superfície do sólido obtido na revolução, em cm², é

a) 144╥

b) 120╥ 

c) 80╥

d) 72╥   

e) 64╥

 

  

7.  A equação da circunferência concêntrica à circunferência (x+2)² + (y-1)² = 1 e tangente à reta 4x+3y-20=0 é

a) (x+2)² + (y-1)² = 36   

b) (x+2)² + (y-1)² = 25   

c) (x+2)² + (y-1)² = 20   

d) (x+2)² + (y-1)² = 16   

e) (x+2)² + (y-1)² = 9   

  

8.  A equação do 2º grau x² + x.log t + 0,5.log t = 0 tem duas raízes reais distintas, se

a) t > 0   

b) t > 1   

c) t = 0 ou t = 2

d) 0 < t < 2   

e) 0 < t < 1 ou t > 100   

  

9.  A soma entre as medidas da altura e da base de um retângulo é de 14cm. Se a diagonal mede 10cm, então as medidas da altura e da base do retângulo são, respectivamente,

a) 2cm e 12cm   

b) 9cm e 5cm   

c) 10cm e 4cm    

d) 8cm e 6cm     

e) 11cm e 3cm      

  

10. Se w é um número complexo, satisfazendo Re(w) > 0 e ( w + i )² + │w’ + i│² = 6 , onde w’ é o conjugado de w , então w é igual a

a) -1 - i 

b) -1 + i

c) 1 - i 

d) -1

e) -i   

  

11. Na equação ( x³ – x² + x – 1 )²⁰ = 0, a multiplicidade da raiz x = 1 é

a) 1   

b) 18 

c)  9

d) 20 

e) 40 

  

12. A equação 2x³ + 3x² - 3x – 2 = 0 tem como raízes -1/2, m e n. Então, mⁿ é igual a

a) -1 ou 0 

b) -1/2 ou 2

c) -2 ou -1

d) 1/2 ou – 1/2 

e) -2 ou 1 

  

                                        Gabarito Comentado

Resposta da questão 1:
 [C]

Para determinarmos os pontos de intersecção dos gráficos das funções devemos resolver um sistema com as suas equações.

f(x) = 2│x²-4│ e g(x) = ( x-2 )² →  2│x²-4│ = ( x-2 )²

Logo,

2 (x²-4 ) = ( x-2 )² → 2x² – 8 = x² – 4x + 4 → x² + 4x – 12 = 0 → x = 2 ou x = -6  ou

2 (x²-4 ) = - ( x-2 )² → 2x² – 8 = - x² + 4x – 4 → 3x² – 4x – 4 = 0 → x = 2 ou x = -2/3

Como temos 3 valores distintos para x,  os gráficos se interceptam em três pontos distintos.  

Resposta da questão 2:
 ANULADA

Questão anulada no gabarito oficial.

A questão foi anulada, pois na resposta não foram consideradas as PGs constantes

(1, 1, 1), (2, 2, 2),(3, 3, 3)...(48, 48, 48),(49, 49, 49) e (50, 50,50) .

Portanto, já teríamos 50  progressões geométricas nas condições apresentadas pelo enunciado. Além das outras formadas por números distintos.  

Resposta da questão 3:
 [C]

Sendo A_k  a área do quadrado de lado l_k ,  podemos escrever que:

A_k  = ( l_k )² = ( 2 . l_k-1 )² = 4 . A_k-1

Portanto, a sequência das áreas forma uma P.A. ( 1, 4, 16, ... ) de razão q = 4.

Logo, a soma dos 100  primeiros termos será dada por:

  S₁₀₀ = 1/3( 4¹⁰⁰ – 1 )

  

Resposta da questão 4:
 [D]

Probabilidade dos quatro resultados serem iguais:  6/6⁴ = 1/216

Probabilidade de apenas três resultados serem iguais: 6 . 5. P³₄ / 6⁴ = 20/216

Portanto, a probabilidade pedida será dada por: P = 1/216 + 20/216 = 21/216 = 7/12

  

Resposta da questão 5:
 [A]

A probabilidade de se retirar uma bola é de 1/100.

Se a primeira bola a ser retirada for 1, a probabilidade dela ser maior que a segunda será 0 (zero).

Se a primeira bola a ser retirada for o 2,  o número da segunda bola poderá ser apenas 1.

Se a primeira bola a ser retirada for o 3,  os números associados à segunda bola poderão ser 1 ou 2 e assim por diante até quando a primeira bola a ser retirada for o 100, os números associados à segunda bola poderão ser  1, 2, 3, ..., 98, 99, 100.

Portanto, a probabilidade pedida será dada por:

P = 1/100 . 1/99 + 1/100 . 2/99 + 1/100 . 3/99 + ... + 1/100 . 99/99

P = 1/100 . ( 1/99 + 2/99 + 3/99 + ... + 99/99 )

P = 1/100 . 50 → P = 1/2

  

Resposta da questão 6:
 [A]

Calculando o volume do cone, temos:

1/3 . ╥ . R² .  6 = 128 ╥ → R² = 64 → R = 8

Determinando a geratriz do cone, temos:

g ² = 6² + 8² → g = 10

Logo, sua área total será dada por:

A_t = ╥ . R . g  + ╥ . R² = ╥ . 8 . 10 + ╥ . 8² = 144╥cm²

  

Resposta da questão 7:
 [B]

O centro da circunferência dada é dado por (-2,1),  logo a circunferência pedida terá equação da forma (x + 2)² + (y – 1)² = R². Sendo R  a distância do ponto (-2,1) à reta de equação 4x + 3y – 20 = 0.

R = │4 . (-2) + 3 . 1 - 20│/ √4² + 3² → R = 25/5 = 5

Portanto, a equação pedida será dada por:

(x + 2)² + (y – 1)² = 25  

Resposta da questão 8:
 [E]

Vamos lembrar, inicialmente o domínio da função logarítmica:  t > 0. Para que a equação tenha duas raízes distintas seu discriminante deverá ser maior que zero, portanto:

( log t )² – 2log t > 0 → log t < 0 ou logt > 2 → t < 1 ou t > 100

Considerando o domínio da função, temos como solução o seguinte intervalo:

0 < t < 1 ou t > 100

  

Resposta da questão 9:
 [D]

De acordo com as informações do enunciado, podemos escrever:

X + y = 14 e x² + y² = 10² → y = 14 – x ou x² + y² = 10²

Substituindo a primeira equação na segunda, temos:

x² + ( 14 – x )² = 100 → x² – 14x + 48 = 0 → x = 6 ou x = 8

Se x = 6, temos y = 8 e se x = 8, temos y = 6

Portanto, a única alternativa correta é a [D].  

Resposta da questão 10:
 [C]

( x + yi+ i )² + │x - yi + i│² = 6 → x^z + 2(y+1).i + (y+1).i² + x² + (1-y)² = 6

Lembrando que i² = -1 e desenvolvendo os quadrados, temos:

2x² – 4y +( 2y + 2 ) = 6i

Considerando a igualdade de complexos, temos:

2y + 2 = 0 → 2y = -2 → y = -1

Fazendo y – 1,  temos:

2x² – 4.(-1) = 6 → 2x² = 2 → x² = 1 → x = -1 (não convém) ou x = 1

Portanto, W = 1 – i

  

Resposta da questão 11:
 [D]

( x³ – x² + x – 1 )²⁰ = [ x²( x – 1 )+ x ( x – 1 )]²⁰ = [ ( x – 1 )( x² + 1 ) ]²⁰ = ( x – 1 )²⁰ . ( x² + 1 )²⁰

Como o fator x – 1  aparece 20 vezes na fatoração desse polinômio, podemos afirmar que  é uma raiz de multiplicidade 20.

Resposta da questão 12:
 [E]

Dividindo a equação por ( x + 1/2 ),  temos:

- 1/2    │   2       3       -3       -2

           │   2       2       -4        0

2x³ + 3x² – 3x – 2 = 0 → ( x + 1/2 ) . ( 2x² + 2x – 4 ) = 0

Determinando as raízes m e n,  temos:

2x² + 2x – 4 = 0 → x² + x – 2 = 0 →x = -2 ou x = 1

Portanto,  mⁿ  poderá ser ( -2 )¹ = -2 ou1^-2 = 1  

TREINAMENTO LOGARÍTMO ESTILO ENEM (nível elevado) -COMENTADO

1. Sobre a Cisplatina – PtCl₂H₆N2 (droga comumente utilizada no combate a tumores, que atua sobre o DNA evitando a replicação das células), é importante considerar que a variação de sua quantidade na corrente sanguínea é usada na determinação da quantidade da droga a ser administrada ao paciente, tendo em conta sua alta toxicidade; a meia-vida da droga é definida como sendo o tempo que leva para que uma quantidade da droga decresça à metade da quantidade inicial; a variação da quantidade de droga na corrente sanguínea decresce exponencialmente com o tempo; uma certa injeção de Cisplatina gera imediatamente na corrente sanguínea uma concentração de 6µg/mL, a qual decresce para 2µg/mL após 48 min.

Com base nessa informação e com o apoio da tabela de valores do logaritmo abaixo, identifica-se que a meia-vida da Cisplatina, em minutos, é de aproximadamente:

                    X         2        3        4        5        6        7        8        9

                    lnx    0,7     1,1     1,4     1,6     1,8     1,9     2,1     2,2

a) 25   

b) 28   

c) 31   

d) 34   

e) 37   

  

Resposta da questão 1:
 [C]

A quantidade Q da substância no organismo, em µg/mL, após t  minutos, pode ser dada por  Q = Q₀.e^k.t , com e sendo o número de Euler. Logo, se a concentração inicial é 6µg/mL é 48min, depois passa a ser de 2µg/mL,

Então 2 = 6 . e^{k . 48} →e^k = 3^-1/48.

Portanto, a meia-vida da cisplatina é tal que :

Q₀/2 = Q₀ . (3^-1/48)^t →ln 2_-1 = ln 3^-t/48 → -ln 2 = -t/48 . ln 3 → t = (0,7/11).48→t ≈31min.

                                  

2. Em 2010, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realizou o último censo populacional brasileiro, que mostrou que o país possuía cerca de 190 milhões de habitantes. Supondo que a taxa de crescimento populacional do nosso país não se altere para o próximo século, e que a população se estabilizará em torno de 280 milhões de habitantes, um modelo matemático capaz de aproximar o número de habitantes (P), em milhões, a cada ano (t), a partir de 1970, é dado por:

                             P(t) = [280 – 190.e^{-0,019(t-1970)}]

Baseado nesse modelo, e tomando a aproximação para o logaritmo natural ln(14/95) ≈ -1,9, a população brasileira será 90% da suposta população de estabilização aproximadamente no ano de:

a) 2065.   

b) 2070.   

c) 2075.   

d) 2080.   

e) 2085.   

Resposta da questão 2:
 [B]

Para que a população brasileira seja 90% da suposta população de estabilização, deveremos ter

 0,9 . 280 = 280 – 190.e^{-0,019(t-1970)} → e^{-0,019(t-1970)} = 14/95

ln e^{-0,019(t-1970)} = ln 14/95 → -0,019(t-1970) = - 1,9

 t – 1970 = 1,9/0,019 = 2070

  

  

3.  Um médico, apreciador de logaritmos, prescreveu um medicamento a um de seus pacientes, também apreciador de logaritmo, conforme a seguir.

Tomar x gotas do medicamento α de 8 em 8 horas. A quantidade de gotas y diária deverá ser calculada pela fórmula log₈y = log₂6

Considerando log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, é correto afirmar que log₂xé um número do intervalo

a) [3,4[   

b) [4,5[      

c) [5,6[      

d) [6,7[  

e) [7,8[       

Resposta da questão 3:
 [D]

Mudando para a base 2, temos:

log₂y / log₂8 = log₂6  → log₂y / 3 = log₂6  →log₂y  = 3. log₂6  →log₂y  = log₂6³ → y = 6³ → y = 216

Logo x = 216 /3 = 72 gotas, então 6 < log₂72 < 7.  

4. Escalas logarítmicas são usadas para facilitar a representação e a compreensão de grandezas que apresentam intervalos de variação excessivamente grandes. O pH, por exemplo, mede a acidez de uma solução numa escala que vai de 0 a 14; caso fosse utilizada diretamente a concentração do íon H^- para fazer essa medida, teríamos uma escala bem pouco prática, variando de 0,00000000000001 a 1.

Suponha que um economista, pensando nisso, tenha criado uma medida da renda dos habitantes de um país chamada Renda Comparativa (RC), definida por RC = log(R/R₀)

em que R é a renda, em dólares, de um habitante desse país e R₀ é o salário mínimo, em dólares, praticado no país. (Considere que a notação log indica logaritmo na base 10).

As rendas, em dólares, de Paulo e Rafael, dois habitantes desse país, são respectivamente iguais a R₁  e R_2, se a Renda Comparativa de Paulo supera a de Rafael em 0,5, então a razão R₁/R₂ vale aproximadamente  

a) 5,0.   

b) 3,2.   

c) 2,4.   

d) 1,0.   

e) 0,5.   

Resposta da questão 4:
 [B]

Do enunciado, segue que

RC₁ = RC₂ + 0,5 →log(R₁/R₀) = log(R₂/R₀) + 0,5

log(R₁/R₀) -  log(R₂/R₀) + 0,5 → log(R₁/R₂) = 0,5→R₁/R₂=10^0,5=√10≈3,2

  

5. O conceito de número primo, um número natural maior que 1, divisível apenas por 1 e por ele mesmo, remonta aos matemáticos da Grécia Antiga. Por volta de 350 a.C., Euclides provou que qualquer número inteiro maior que 1 ou é primo ou pode ser escrito como o produto de números primos de forma única, exceto pela ordem em que os primos são escritos. Essa propriedade, que é formalizada por meio do teorema fundamental da aritmética, pode ser transposta à química, estabelecendo uma comparação entre números primos e átomos: blocos fundamentais a partir dos quais os números/estruturas moleculares são construídos. Assim como conhecer a estrutura molecular única de uma substância pode nos dizer muito sobre suas propriedades, conhecer a decomposição única de um número em fatores primos pode nos dizer muito sobre suas propriedades matemáticas.

Euclides provou indiretamente que existem infinitos números primos ao mostrar que não existe o maior número primo. Supondo que existisse tal número e representando-o pela letra P, Euclides provou que, ao se multiplicar todos os números primos de 2 a P, incluindo estes, e acrescentando-se 1 ao resultado, obtém-se um novo número primo, naturalmente maior que P.

Outro fato importante é que, à medida que se consideram números cada vez maiores, os primos parecem escassear. Enquanto existem 4 primos menores que 10, existem apenas 25 menores que 100, só 168 menores que 1.000 e 1.229 menores que

10.000. Podemos considerar esses dados como a taxa média segundo a qual os primos surgem: 0,4 abaixo de 10; 0,25 abaixo de 100; 0,168 abaixo de 1.000; e 0,1229 abaixo de 10.000. Essas quantidades podem ser tomadas como “densidades” (D_N) dos primos menores ou iguais ao número natural N, calculadas assim: D_N =P(N)/N,

 em que P(N) é o total de primos menores ou iguais a N. Assim, ficam as perguntas: D_N diminui à medida que N aumenta, ou chega-se a um ponto em que a situação se inverte e encontram-se agrupamentos de primos? Existe algum tipo de padrão para a maneira como os primos se localizam no conjunto dos números naturais, ou eles se distribuem de maneira caótica?

Em 1791, quando tinha apenas 14 anos de idade, Gauss percebeu que a densidade dos primos é aproximadamente igual a 1/ln(N), em que ln(N) é o logaritmo natural de N. De acordo com Gauss, quanto maior for N, melhor será essa aproximação. De acordo com o texto, Euclides provou de maneira indireta que a quantidade de números primos existentes é infinita. Um fato fundamental utilizado por ele para chegar a essa conclusão é que

a) o produto de números primos distintos maiores que um número natural P fixado resulta em um número primo.   

b) as potências inteiras de um número primo acrescidas de uma unidade resultam em um número primo.   

c) o produto de números primos distintos acrescido de uma unidade pode gerar um número primo.   

d) o acréscimo de uma unidade a um número infinitamente grande resulta em um número primo.   

  

Resposta da questão 5:
 [C]

Consideremos o número primo 7. Como 7 = 23 +1, temos que 7 pode ser escrito como o produto de dois números primos distintos (2 e 3) acrescidos de uma unidade.  

6. A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na base 10, do inverso da concentração de íons H⁺.

Considere as seguintes afirmações:

I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justifica-se pelas variações exponenciais das grandezas envolvidas.

II. A concentração de íons H⁺ de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma solução alcalina com pH 8.

III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, de magnitude 3.

Está correto o que se afirma somente em

a) I.   

b) II.   

c) III.   

d) I e II.   

e) I e III.   

Resposta da questão 6:
 [D]

I. Correta, uma vez que função logarítmica e função exponencial são funções inversas. log_ab = k Þ a^k = b (b > 0).

II. Correta. pH = log₁₀ 1/[H^-] Þ 10^ph= [H⁺]^-1Þ[H⁺]=10^-ph

Assim: [H⁺]₁=10^-4 e [H⁺]₂=10^-8 Þ[H⁺]₁/[H⁺]₂ = 10^-4/10^-8= 10⁴= 10000.

III. Errada. O enunciado afirma que a magnitude (M) é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia liberada (E) no abalo. Transformando essa afirmação numa sentença matemática temos: M = k log₁₀E, sendo k a constante de proporcionalidade. Assim, com M₁ = 6  e  M₂ = 3, vem:

6 = k log₁₀E₁  e  3 = k log₁₀E₂ Þ 6/3 = klogE₁/klogE₂ =2ÞlogE₁/logE₂=2 Þ logE₁=2logE₂ Þ E₁=(E₂)².

Na afirmação consta que E₁ = 2 E₂^.