QUESTÕES VESTIBULAR MACKENZIE 2016 – COMENTADAS

1. Os gráficos de f(x) = 2│x²-4│ e g(x) = ( x-2 )² se interceptam em

a) apenas um ponto.    

b) dois pontos.   

c) três pontos.   

d) quatro pontos.   

e) nenhum ponto.   

  

2.  O número de triplas (a,b.c) de números inteiros positivos menores ou iguais a 50 tais que a, b e c, nesta ordem, estejam em progressão geométrica é

a) 22   

b) 23   

c) 27

d) 30   

e) 35 

  

3.  Sejam l₁, l₂, ..., l₁₀₀,  os lados dos quadrados Q₁, Q₂, ..., Q₁₀₀,  respectivamente.

Se l₁ = 1 e l_k = 2l_k-1,  para k = 2, 3, ..., 100, a soma das áreas desses quadrados é igual a

a)  3/4 . 4⁹⁹   

b) 1/4 . 4⁹⁹      

c) 1/3 . ( 4¹⁰⁰ – 1 )     

d) 1/4 . 4¹⁰⁰      

e) 1/3 . 4¹⁰⁰ - 1     

  

4. Se um dado honesto é arremessado 4 vezes, a probabilidade de obtermos, pelo menos, 3 resultados iguais é

a) 5/36

b) 12/108 

c) 5/54 

d) 7/72   

e) 15/216   

  

5. Se 4 bolas são retiradas sucessivamente, ao acaso e sem reposição, de uma caixa contendo bolas numeradas de 1 a 100, a probabilidade de que a primeira bola retirada tenha um número maior que o da última é

a) 1/2

b) 1/4

c) 1/8 

d) 1/50

e) 1/100

  

6. Em um triângulo retângulo, a medida do menor cateto é 6cm. Rotacionando esse triângulo ao redor desse cateto, obtém-se um sólido de revolução, cujo volume é 128╥cm³. Nessas condições, a área total da superfície do sólido obtido na revolução, em cm², é

a) 144╥

b) 120╥ 

c) 80╥

d) 72╥   

e) 64╥

 

  

7.  A equação da circunferência concêntrica à circunferência (x+2)² + (y-1)² = 1 e tangente à reta 4x+3y-20=0 é

a) (x+2)² + (y-1)² = 36   

b) (x+2)² + (y-1)² = 25   

c) (x+2)² + (y-1)² = 20   

d) (x+2)² + (y-1)² = 16   

e) (x+2)² + (y-1)² = 9   

  

8.  A equação do 2º grau x² + x.log t + 0,5.log t = 0 tem duas raízes reais distintas, se

a) t > 0   

b) t > 1   

c) t = 0 ou t = 2

d) 0 < t < 2   

e) 0 < t < 1 ou t > 100   

  

9.  A soma entre as medidas da altura e da base de um retângulo é de 14cm. Se a diagonal mede 10cm, então as medidas da altura e da base do retângulo são, respectivamente,

a) 2cm e 12cm   

b) 9cm e 5cm   

c) 10cm e 4cm    

d) 8cm e 6cm     

e) 11cm e 3cm      

  

10. Se w é um número complexo, satisfazendo Re(w) > 0 e ( w + i )² + │w’ + i│² = 6 , onde w’ é o conjugado de w , então w é igual a

a) -1 - i 

b) -1 + i

c) 1 - i 

d) -1

e) -i   

  

11. Na equação ( x³ – x² + x – 1 )²⁰ = 0, a multiplicidade da raiz x = 1 é

a) 1   

b) 18 

c)  9

d) 20 

e) 40 

  

12. A equação 2x³ + 3x² - 3x – 2 = 0 tem como raízes -1/2, m e n. Então, mⁿ é igual a

a) -1 ou 0 

b) -1/2 ou 2

c) -2 ou -1

d) 1/2 ou – 1/2 

e) -2 ou 1 

  

                                        Gabarito Comentado

Resposta da questão 1:
 [C]

Para determinarmos os pontos de intersecção dos gráficos das funções devemos resolver um sistema com as suas equações.

f(x) = 2│x²-4│ e g(x) = ( x-2 )² →  2│x²-4│ = ( x-2 )²

Logo,

2 (x²-4 ) = ( x-2 )² → 2x² – 8 = x² – 4x + 4 → x² + 4x – 12 = 0 → x = 2 ou x = -6  ou

2 (x²-4 ) = - ( x-2 )² → 2x² – 8 = - x² + 4x – 4 → 3x² – 4x – 4 = 0 → x = 2 ou x = -2/3

Como temos 3 valores distintos para x,  os gráficos se interceptam em três pontos distintos.  

Resposta da questão 2:
 ANULADA

Questão anulada no gabarito oficial.

A questão foi anulada, pois na resposta não foram consideradas as PGs constantes

(1, 1, 1), (2, 2, 2),(3, 3, 3)...(48, 48, 48),(49, 49, 49) e (50, 50,50) .

Portanto, já teríamos 50  progressões geométricas nas condições apresentadas pelo enunciado. Além das outras formadas por números distintos.  

Resposta da questão 3:
 [C]

Sendo A_k  a área do quadrado de lado l_k ,  podemos escrever que:

A_k  = ( l_k )² = ( 2 . l_k-1 )² = 4 . A_k-1

Portanto, a sequência das áreas forma uma P.A. ( 1, 4, 16, ... ) de razão q = 4.

Logo, a soma dos 100  primeiros termos será dada por:

  S₁₀₀ = 1/3( 4¹⁰⁰ – 1 )

  

Resposta da questão 4:
 [D]

Probabilidade dos quatro resultados serem iguais:  6/6⁴ = 1/216

Probabilidade de apenas três resultados serem iguais: 6 . 5. P³₄ / 6⁴ = 20/216

Portanto, a probabilidade pedida será dada por: P = 1/216 + 20/216 = 21/216 = 7/12

  

Resposta da questão 5:
 [A]

A probabilidade de se retirar uma bola é de 1/100.

Se a primeira bola a ser retirada for 1, a probabilidade dela ser maior que a segunda será 0 (zero).

Se a primeira bola a ser retirada for o 2,  o número da segunda bola poderá ser apenas 1.

Se a primeira bola a ser retirada for o 3,  os números associados à segunda bola poderão ser 1 ou 2 e assim por diante até quando a primeira bola a ser retirada for o 100, os números associados à segunda bola poderão ser  1, 2, 3, ..., 98, 99, 100.

Portanto, a probabilidade pedida será dada por:

P = 1/100 . 1/99 + 1/100 . 2/99 + 1/100 . 3/99 + ... + 1/100 . 99/99

P = 1/100 . ( 1/99 + 2/99 + 3/99 + ... + 99/99 )

P = 1/100 . 50 → P = 1/2

  

Resposta da questão 6:
 [A]

Calculando o volume do cone, temos:

1/3 . ╥ . R² .  6 = 128 ╥ → R² = 64 → R = 8

Determinando a geratriz do cone, temos:

g ² = 6² + 8² → g = 10

Logo, sua área total será dada por:

A_t = ╥ . R . g  + ╥ . R² = ╥ . 8 . 10 + ╥ . 8² = 144╥cm²

  

Resposta da questão 7:
 [B]

O centro da circunferência dada é dado por (-2,1),  logo a circunferência pedida terá equação da forma (x + 2)² + (y – 1)² = R². Sendo R  a distância do ponto (-2,1) à reta de equação 4x + 3y – 20 = 0.

R = │4 . (-2) + 3 . 1 - 20│/ √4² + 3² → R = 25/5 = 5

Portanto, a equação pedida será dada por:

(x + 2)² + (y – 1)² = 25  

Resposta da questão 8:
 [E]

Vamos lembrar, inicialmente o domínio da função logarítmica:  t > 0. Para que a equação tenha duas raízes distintas seu discriminante deverá ser maior que zero, portanto:

( log t )² – 2log t > 0 → log t < 0 ou logt > 2 → t < 1 ou t > 100

Considerando o domínio da função, temos como solução o seguinte intervalo:

0 < t < 1 ou t > 100

  

Resposta da questão 9:
 [D]

De acordo com as informações do enunciado, podemos escrever:

X + y = 14 e x² + y² = 10² → y = 14 – x ou x² + y² = 10²

Substituindo a primeira equação na segunda, temos:

x² + ( 14 – x )² = 100 → x² – 14x + 48 = 0 → x = 6 ou x = 8

Se x = 6, temos y = 8 e se x = 8, temos y = 6

Portanto, a única alternativa correta é a [D].  

Resposta da questão 10:
 [C]

( x + yi+ i )² + │x - yi + i│² = 6 → x^z + 2(y+1).i + (y+1).i² + x² + (1-y)² = 6

Lembrando que i² = -1 e desenvolvendo os quadrados, temos:

2x² – 4y +( 2y + 2 ) = 6i

Considerando a igualdade de complexos, temos:

2y + 2 = 0 → 2y = -2 → y = -1

Fazendo y – 1,  temos:

2x² – 4.(-1) = 6 → 2x² = 2 → x² = 1 → x = -1 (não convém) ou x = 1

Portanto, W = 1 – i

  

Resposta da questão 11:
 [D]

( x³ – x² + x – 1 )²⁰ = [ x²( x – 1 )+ x ( x – 1 )]²⁰ = [ ( x – 1 )( x² + 1 ) ]²⁰ = ( x – 1 )²⁰ . ( x² + 1 )²⁰

Como o fator x – 1  aparece 20 vezes na fatoração desse polinômio, podemos afirmar que  é uma raiz de multiplicidade 20.

Resposta da questão 12:
 [E]

Dividindo a equação por ( x + 1/2 ),  temos:

- 1/2    │   2       3       -3       -2

           │   2       2       -4        0

2x³ + 3x² – 3x – 2 = 0 → ( x + 1/2 ) . ( 2x² + 2x – 4 ) = 0

Determinando as raízes m e n,  temos:

2x² + 2x – 4 = 0 → x² + x – 2 = 0 →x = -2 ou x = 1

Portanto,  mⁿ  poderá ser ( -2 )¹ = -2 ou1^-2 = 1