QUESTÕES VESTIBULAR G1- Col. NAVAL 2017 – COMENTADAS

1. (G1 - col. naval 2017)  Sobre o sistema ⁵√y + x^-3 = 3/5  e  y^2/5 - (x^-2) ³ = 4/25 pode-se afirmar que o valor de  :

a) y² é 169/900   

b) x⁴ é 13/30   

c) x é ³√3   

d) y é zero.    

e) x³ é 6.   

  

Resposta da questão 1: [E]

⁵√y + x^-3 = 3/5  ↔ ⁵√y = 3/5 - x^-3 (eq. I)   e

y^2/5 - (x^-2)³ = 4/25 ↔ (⁵√y)² - (x^-3)² = 4/25 (eq. II)

Substituindo (I) em (II), temos: (3/5 - x^-3)² - (x^-3)² = 4/25 ↔

9/25 – 6.x^-3/5 + (x^-3)² - (x^-3)² = 4/25 ↔ 9/25 – 6.x^-3/5 = 4/25 ↔

 – 6.x^-3/5 = 4/25 - 9/25 ↔  – 6.x^-3/5 = -5/25  ↔ 6.x^-3/5 = 1/5  ↔

6.x^-3 = 1  ↔ x^-3 = 1/6  ↔ x³ = 6

  

2. (G1 - col. naval 2017)  Se √2 = 1 +  1/ [2 + 1/(2 + x)], é correto afirmar que o valor de x está no intervalo :

a) 0,1 < x < 0,2   

b) 0,2 < x < 0,3      

c) 0,3 < x < 0,4      

d) 0,4 < x < 0,5      

e) 0,5 < x < 0,6      

  

Resposta da questão 2:[D]

√2 = 1 +  1/ [2 + 1/(2 + x)] → √2 - 1 =  [2(2 + x) + 1]/(2 + x) →

√2 - 1 = 1/ [(5 + 2x)/(2 + x)] → √2 - 1 = (2 + x)/(5 + 2x) →

(√2 - 1).(5 + 2x)  = (2 + x) → 5√2 + 2x√2 - 5 - 2x  = 2 + x →

 2x√2 - 3x  = 7 - 5√2 → x = (7 - 5√2)/(2√2 - 3) →

 x = (7 - 5√2)(2√2 + 3)/(2√2 - 3)(2√2 + 3) → x = (-√2 + 1)/-1 → x = √2 – 1

Portanto x ≈ 1,4 – 1 → x ≈ 0,4 → 0,4 < x < 0,5

3. (G1 - col. naval 2017)  Observe a figura a seguir.

                                  

A figura acima exibe um total de n peças idênticas de um quebra-cabeça que, resolvido, revela uma coroa circular. Sabe-se que 6 cm é a menor distância entre as circunferências concêntricas pontilhadas da figura e que o raio da menor dessas circunferências é igual a 9 cm.

Se a área de cada peça é 12π cm², é correto afirmar que n é igual a :

a) 6   

b) 8   

c) 9   

d) 12   

e) 15   

  

Resposta da questão 3:[D]

O raio da circunferência maior será dado por 9 + 6 = 15 cm.

Calculando inicialmente a área da coroa circular, temos: A = π.(15² – 9²)

A = π.(225 – 81) → A = 144π cm²

Admitindo que cada peça tenha área 12π cm², concluímos que o número

n de pessoas utilizadas será dado por: n = 144π/12π → n = 12  

4. (G1 - col. naval 2017)  Analise a figura a seguir.

                                

Pelo centro O do quadrado de lado √6 cm acima, traçou-se a circunferência que corta o lado BC nos pontos P e Q O triângulo OPQ tem área √3/2 cm².

Sendo assim, é correto afirmar que o raio dessa circunferência, em cm, é igual a :

a) 1   

b) √2   

c) √3   

d) 2√2/3   

e)√3/2   

  

Resposta da questão 4:[B]

A altura h do triângulo é metade do lado do quadrado: h = √6/2

                                

Determinando a medida  utilizando o valor da área do triângulo;

1/2 . PQ. √6/2 = √3/2 → PQ = 4√3/2√6 → PQ = √2 → PM = √2/2

Aplicando, agora, o Teorema de Pitágoras no triângulo POM, temos a

medida R do raio da circunferência: R² = (√6/2)² + (√2/2)² → R = √2

  

5. (G1 - col. naval 2017)  Dois aumentos consecutivos de i% e 2i% correspondem a um aumento percentual igual a :

a) (i + i²)%   

b) (3i + i²/50)%      

c) (2i)² %      

d) (3i + 2i/100)%      

e) (3i)%      

  

Resposta da questão 5:[B]

Admitindo que x_o seja o valor inicial, vamos calcular x_o acrescido dos dois

aumentos consecutivos :

x_o .(1+ i/100).(1+ 2i/100) = x_o .(1+ 3i/100 + 2i²/10000)

Calculando o aumento, temos:

x_o .(1+ 3i/100 + 2i²/10000) – x_o = 3i/100 + i²/5000

Em porcentagem : (3i/100 + i²/5000).100% = (3i + i²/50)%

6. (G1 - col. naval 2017)  Observe a figura a seguir.

                      

A figura acima representa o trapézio escaleno de altura 6 cm, com base menor medindo 13 cm um dos ângulos internos da base maior medindo 75⁰ e lado transversal oposto a esse ângulo igual a 12 cm.

Qual a área, em cm² desse trapézio?

a) 120   

b) 118   

c) 116   

d) 114   

e) 112   

Resposta da questão 6: [D]

                       

Na figura acima, temos: tg 75⁰ = 6/x → tg (45⁰ + 30⁰) = 6/x →

(tg45⁰ + tg30⁰)/(1- tg45⁰.tg30⁰) = 6/x → (1 + √3/3)/(1- 1.√3/3) = 6/x →

(3 + √3)/(3 - √3) = 6/x → x/6 = (3 - √3)/(3 + √3) → x = 6(3 - √3)/(3 + √3) →

x = 12 - 6√3.

Calculando, agora, o valor de y, temos: y² + 6² = 12² → y = 6√3

Portanto, a medida da base maior do trapézio será dada pela soma

x + 13 + y = 12 - 6√3 + 13 + 6√3 = 25

Logo sua área A será dada por: A = (25 + 13).6/2 → A = 114 cm²

  

7. (G1 - col. naval 2017)  O produto das idades de quatro irmãos é 180. Além disso, todos os irmãos têm idades diferentes. Se o mais velho tem menos de 12 anos, é correto afirmar que a maior soma possível dessas quatro idades é igual a :

a) 16   

b) 19   

c) 20   

d) 22   

e) 25   

Resposta da questão 7:[D]

O número 180 pode ser decomposto da seguinte forma.

180 = 2².3².5.1 → 180 = (2.5)(3.3).2.1

Portanto, as maiores idades, considerando as condições apresentadas no

problema, são: 10, 9, 2 e 1, ou seja a maior soma para estas 4 idades é 22.  

8. (G1 - col. naval 2017)  Observe a figura a seguir.

                          

A figura acima apresenta o quadrilátero ABCD, com ângulos retos internos nos vértices B e D, AB = 3 cm, AD = 2 cm e CD = 2AD.

Nessas condições, pode-se afirmar :

a) AC < BD e AC + BD < 10 cm.   

b) AC > BD e AC + BD < 10 cm

c) AC = BD e AC + BD < 10 cm

d) AC > BD e AC + BD < 6 cm

e) AC < BD e AC + BD < 6 cm 

  

Resposta da questão 8:[B]

No triângulo retângulo ADC, obtemos: AC² = 2² + 4²→ AC = √20

No triângulo ABC, temos: AC² = AB² + BC² → √20² = 3² + BC² → BC = √11

Pela desigualdade triangular, temos: BD < 3 + 2 → BD < 5

Como AC < 5 temos: AC + BD < 5 + 5 → AC + BD < 10.

Utilizando agora, o Teorema de Ptolomeu no quadrilátero ABCD inscrito

na circunferência, temos: AC . BD = AD . BC + AB . DC →

√20 . BD = 2 . √11 + 4 . 3 → BD = (2√11 + 12)/2√5 → BD = (√11 + 6)/√5 →

BD ≈ (3,3 + 6)/2,2 → BD ≈ 4,2

Portanto, √20 > 4,2 → AC > BD.

Logo, a resposta correta será: AC > BD e AC + BD < 10 cm.

9. (G1 - col. naval 2017)  Observe a figura a seguir.

                                          

A figura acima mostra um triângulo isósceles ABC, com BAC = 36⁰ e AB = AC = 1 m. A bissetriz interna de B corta AC em D. Por D, traçam-se as distâncias até AB e até BC, determinando os pontos E e F, respectivamente.

Sendo assim, é correto afirmar que o valor do produto DE/AD . DF/BF é :

a) (√5 - 1)/4   

b) (3√5 - 5)/4   

c) (3 - √5)/2   

d) (3√5 - 1)/2   

e) (4 - √5)/2 

  

Resposta da questão 9: [B]

                                   

O triângulo ADB é isósceles, portanto, AE = BE = 1/2  e AD = BD = x e

DC = 1 – x.

O ângulo CDB = 36⁰ + 36⁰ = 72⁰ e DCB = 180⁰ – 36⁰ – 72⁰ = 72⁰

Concluímos então que o triângulo BDC é isósceles e BD = BC = x.

Aplicando o teorema da bissetriz interna no triângulo ABC, obtemos:

x/(1 - x) = 1/x → x² + x – 1 = 0 → x = (-1-√5)/2 (não convém) ou x = (-1+√5)/2

Determinando a medida DE no triângulo ADE, obtemos:

DE² + (1/2)² = [(-1+√5)/2]² → DE² = (5 - 2√5 + 1)/4 - 1/4 → DE² = (5 - 2√5)/4

Portanto: DE/AD . DF/BF = DE/AD . DE/AE = DE²/AD.AE =

[(5-2√5)/4]/[(√5-1)/2 . (1/2)] = (5-2√5)/(√5-1) = (5-2√5)(√5+1)/(√5-1)(√5+1) =

(5√5 + 5 – 10 -2√5)/(5-1) = (3√5 - 5)/4

  

10. (G1 - col. naval 2017)  Considere um losango ABCD de lado igual a 5 cm, diagonais AC e BD, e ângulo interno BAD = 120⁰. Sabe-se que um ponto M sobre o lado AB está a 2 cm de A enquanto um ponto N sobre o lado BC está a 3 cm de C.

Sendo assim, a razão entre a área do losango ABCD e a área do triângulo de vértices MBN é igual a :

a) 15/2   

b) 21/4   

c) 25/3   

d) 32/5   

e) 49/4   

  

Resposta da questão 10:[C]

                                       

O losango pode ser dividido em dois triângulos equiláteros de lado 5.

Portanto, sua área será dada por: A_ABCD = 2 . (5²√3)/4 = 50√3/4

A área do triângulo BMN será dada por: A_BMN = 1/2 . 3.2.sen60⁰ = 6√3/4

Logo, a razão pedida será dada por: A_ABCD/A_BMN = (50√3/4)/(6√3/4) = 25/3

  

11. (G1 - col. naval 2017)  Considere # o operador matemático que associa a raiz quadrada do menor quadrado perfeito maior que a soma das parcelas envolvidas, isto é, 3 # 8 = √16 = 4 porque o menor quadrado perfeito maior que a soma (3 + 8 = 11) é 16 e sua raiz quadrada é 4. Assim, se x = {5 # [6 # (7 # 8)]}^2#11 e y = {[(5 # 6) # 7] # 8}^3#5  é correto afirmar que o valor de x # y é :

a) 11   

b) 12   

c) 13   

d) 14   

e) 15   

  

Resposta da questão 11: QUESTÃO ANULADA

● x = {5 # [6 # (7 # 8)]}^2#11 → x = {5 # [6 # √16]}^√16 → x = {5 # √16}^√16 →

x = √16^√16 → x = 4⁴ → x = 256

● y = {[(5 # 6) # 7] # 8}^3#5  → y = {[√16 # 7] # 8}^√9  → y = {√16 # 8}^√9  →

y = √16³ → y = 4³ → y = 64

Portanto, x # y = 256 # 64 = √324 = 18

Logo, não temos resposta correta nas opções apresentadas pela questão.  

12. (G1 - col. naval 2017)  O número h tem 241 algarismos e h = (z.w)^x. O MDC(x, 25), com x natural, resolvido pelo algoritmo das divisões sucessivas de Euclides, gera o esquema a seguir:

Sendo assim, é correto afirmar que a soma x + y + z + w é igual a :

a) 274   

b) 224   

c) 199   

d) 149   

e) 99   

  

Resposta da questão 12: [D]

De acordo com o método de Euclides para o cálculo do MDC, temos:

x = 25y + z ; 25 = z + w  e z = 4w

Substituindo a terceira equação na segunda, obtemos:

25 = z + w  → 25 = 4w + w  → 25 = 5w → w = 5  e  z = 20

Sabemos que: h = (z.w)^x → 100 = 10^2x

Como h possui 241 algarismos, concluímos que 2x = 240, ou seja, x = 120.

Considerando a primeira equação do sistema,temos: 120 = 25y + 20→y = 4

Logo, x + y + z + w = 120 + 4 + 20 + 5 = 149

  

13. (G1 - col. naval 2017)  Sejam os conjuntos A = {9, 27, 45, ..., 423, 441}, B = {18, 36, 54, ..., 432, 450}, C = {3, 9, 15, ..., 141, 147} e D = {6, 12, 18, ..., 144, 150}. Define-se P_K como sendo produto de todos os elementos do conjunto K.

Nas condições apresentadas, é correto afirmar que a expressão              

(P_A . P_B /P_C P_D)  . 243^-10 é igual a :

a) 1000   

b) 500   

c) 100   

d) 10   

e) 1   

  

Resposta da questão 13:[E]

 (P_A . P_B /P_C P_D)  . 243^-10 =

[9²⁵(1.3.5...49).18²⁵(1.2.3...25)]. 243^-10/[9²⁵(1.3.5...49).18²⁵(1.2.3...25)] =

3⁵⁰ . 3²⁵ . 6²⁵ . 243^-10/3²⁵ . 6²⁵ = 3⁵⁰.(3⁵)^-10 = 3⁰ = 1

14. (G1 - col. naval 2017)  Sejam a, b e c números reais tais que a² + b² + c²

– 4a + 2b – 2c + 6 = 0. Sobre a, b e c são feitas as seguintes afirmações:

Sendo assim, é correto afirmar que a quantidade de afirmativas verdadeiras é :

a) 0   

b) 1   

c) 2   

d) 3   

e) 4   

Resposta da questão 14:[C]

a² + b² + c² – 4a + 2b – 2c + 6 = 0→ a² + b² + c² – 4a + 2b – 2c + 4 + 1 + 1 = 0

(a² – 4a + 4) + (b² + 2b + 1)+ (c² – 2c + 1) = 0

(a – 2)² + (b + 1)² + (c – 1)² = 0

 Logo, a – 2 = 0 → a = 2 ; b + 1 = 0 → b = - 1 e  c – 1 = 0 → c = 1

 Portanto:

[I] Verdadeira, 1/2 < 1

[II] Verdadeira, 1¹ = 1

[III] Falsa, 1 = - 1

[IV] Falsa, a > c > b

15. (G1 - col. naval 2017)  Seja o número real x tal que W = 2x²/9 - √6/6 x + 21. Sendo assim, qual o valor de x para que W seja mínimo?

a) 3√6   

b) 3√6/8   

c) 7√9   

d) 2√6/3   

e) 6√6   

  

Resposta da questão 15:[B]

Sabemos que W é uma função do segundo grau na variável x real,

portanto, o valor de x para o qual W é mínimo será dado por:

x = -b/2a = -(-√6/6)/(2.2/9) = (√6/6).(9/4) =  3√6/8

16. (G1 - col. naval 2017)  Sabendo que 5^k = 561 + 2^2p e 5^k/2 = 17 + 2^p, o valor de (p^k - k^p)/ (p^k + k^p) é igual a :

a) 7/11   

b) 19/35   

c) 17/145   

d) 11/127   

e) 13/368   

  

Resposta da questão 16:[C]

Consideremos o seguinte sistema: 5^k = 561 + 2^2p  e  5^k/2 = 17 + 2^p

Fazendo 5^k/2 = x e 2^p = y, temos: x² = 561 + y² (eq. I) e  x = 17 + y (eq. II)

Substituindo (II) em (I), temos: (17 + y)² = 561 + y² →

289 + 34y + y² = 561 + y² → 34y = 272 → y = 8 e x = 25

Logo: 5^k/2 = x e 2^p = y → 5^k/2 = 25 e 2^p = 8 → k = 4 e p = 3

Portanto, (p^k - k^p)/ (p^k + k^p) = (3⁴ – 4³)/ (3⁴ + 4³) = 17/145

  

17. (G1 - col. naval 2017)  Seja x real tal que 3/(x+1) + 4/(1-x) = 1/x. Sendo assim, o valor de (1/x² - 7/x) é igual a :

a) 3   

b) 2   

c) 1   

d) 0   

e) – 1

Resposta da questão 17:[B]

3/(x+1) + 4/(1-x) = 1/x →

[3(1 - x)x + 4(x + 1)x]/x(x + 1)(1-x) = 1.x(x + 1)(1-x)/x(x + 1)(1-x)  →

3x – 3x² + 4x + 4x² = 1 – x² → 2x² + 7x – 1 = 0

Isolando 2x², temos: 2x² + 7x – 1 = 0 → 2x² = 1 – 7x → (1 – 7x)/x² = 2 →

(1/x² – 7x/x²) = 2 → (1/x² – 7/x) = 2

  

  

18. (G1 - col. naval 2017)  Analise as afirmativas a seguir.

I. Sejam a, b e c os lados de um triângulo, com c > b ≥ a. Pode-se afirmar que c² = a² + b² se, e somente se, o triângulo for retângulo.

II. Se um triângulo é retângulo, então as bissetrizes internas dos ângulos agudos formam entre si um ângulo de 45⁰ ou 135⁰.

III. O centro de um círculo circunscrito a um triângulo retângulo está sobre um dos catetos.

IV. O baricentro de um triângulo retângulo é equidistante dos lados do triângulo.

Assinale a opção correta.

a) Somente I e II são verdadeiras.    

b) Somente II e III são verdadeiras.   

c) Somente I e IV são verdadeiras.    

d) Somente I, II e IV são verdadeiras.   

e) As afirmativas I, II, III e IV são verdadeiras.   

  

Resposta da questão 18: [A]

[I] Verdadeira, pois todo triângulo que obedece o teorema de Pitágoras é retângulo.

[II] Verdadeira. Seja α e β as medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo e x e y as medidas dos ângulos formados pelas suas bissetrizes. Observe a figura abaixo que representa essa situação.

                          

x + α/2 + β/2 = 180⁰ → x = 180⁰ - (α + β)/2 → x = 180⁰ - 45⁰ →

x = 135⁰ e x = 45⁰

[III] Falsa. O círculo do círculo circunscrito em um triângulo retângulo é o ponto médio da hipotenusa deste triângulo.

[IV] Falsa. O ponto que equidista dos lados é o incentro.  

19. (G1 - col. naval 2017)  Um triângulo isósceles ABC tem base BC  16 cm e lados congruentes AB = AC = 17 cm. O raio do círculo inscrito ao triângulo ABC em cm é igual a:

a) 32/15   

b) 24/5   

c) 35/8   

d) 28/5   

e) 17/4   

  

Resposta da questão 19:[B]

Calculando, inicialmente, a altura e a área do triângulo ABC.

                                        

No triângulo AMC, temos: h² + 8² = 17² → h = 15 cm.

Logo, a área do triângulo AMC será dada por: A = 16.15/2 = 120 cm²

Considerando agora a circunferência de raio r inscrita no triângulo ABC,

podemos considerar três triângulos de bases AB, AC e BC e cujas alturas

são os raios desta circunferência.

A soma das áreas destes triângulos é igual à área do triângulo ABC.

                                         

17r/2 + 17r/2 + 16r/2 = 120 → 25r = 120 → r = 120/25 → r = 24/5

  

20. (G1 - col. naval 2017)  Os números x e y pertencem ao conjunto           C = {17, 20, 23, 26, ..., 2018} e são tais que x > y. Sendo assim, pode-se concluir que 2017.2^x + 8^y, na divisão por 7, deixa resto :

a) 0   

b) 1   

c) 3   

d) 4   

e) 5   

Resposta da questão 20: [E]

Sabemos que

2¹ quando dividido por 7 deixa resto 2

2² quando dividido por 7 deixa resto 4

2³ quando dividido por 7 deixa resto 1

2⁴ quando dividido por 7 deixa resto 2

..................................................................

E assim por diante formando uma sequência periódica de restos (2. 4, 1, ... ).

Observando que todos os números do conjunto acima, quando divididos por 3 deixam resto 2.

Portanto, o resto da divisão de 2^x por 7 é igual ao resto de 2² por 7, ou seja, 4.

Sabemos também que 8^x quando dividido por sete sempre deixa resto 1.

Portanto, podemos escrever que: 2017.2^x + 8^y = 2016.2^x + 2^x + 8^y

Sabemos que o resto da divisão de 2016.2^x por 7 é zero, pois 2016 é

múltiplo de 7 (2016 = 288.7), o resto da divisão de 2^x por 7 é igual a 4,

o resto da divisão de 8^y por 7 é igual a 1.

Portanto, o resto da divisão de 2017.2^x + 8^y por 7 é 4 + 1 = 5.