1. Bento e Manoel são churrasqueiros e
prestam serviço em confraternizações. Bento cobra R$ 6,00 por pessoa além de R$
125,00 por evento; já Manoel cobra apenas o valor de R$ 7,50 por pessoa. O
preço do serviço cobrado por Bento é inferior ao preço cobrado por Manoel para
uma festa cujo número de pessoas é, no mínimo,
(A) 90.
(B) 80.
(C) 96.
(D) 100.
(E) 84.
Vejamos :
Bento → CBento(n)
= 6n + 125 e
Manoel → CManoel(n) = 7,5n, onde C(n)
representa o custo e n o
número de pessoas.
O preço do serviço cobrado por Bento é inferior ao preço cobrado por
Manoel para → CBento(n) < CManoel(n) → 6n +
125 < 7,5n →
6n – 7,5n < -125 → - 1,5n < - 125 .(-1) → 1,5n > 125 → n > 125/1,5 →
n > 83,33. O
número mínimo de pessoas será 84.
2. Considere a sequência (z1, z2,
z3, …, zn, …) de números complexos com zn = an
+ bn · i, sendo an = (– 5) + (n –1).2 e bn =
16.(0,5).n–1, com n ∈ N .
Diz-se que zn é um número real se bn = 0 e que zn é
um número imaginário se an = 0 e bn ≠ 0. Nessas condições,
é correto afirmar que entre os elementos da sequência :
(A) z6 é um número imaginário e
nenhum elemento é classificado como número real.
(B) z3 é um número real e nenhum
elemento é classificado como número imaginário.
(C) z1 é um número imaginário e
nenhum elemento é classificado como número real.
(D) nenhum é real ou imaginário.
(E) z7 é um número real e nenhum
elemento é classificado como número imaginário.
Vejamos :
Se zn = an + bn · i, com an = (– 5) + (n –1).2 e bn
= 16.(0,5).n–1, n ∈ N, então :
Se a1 = (– 5) + (1 –1).2 = - 5 e b1 =
16.(0,5).1–1 = 7 → z1
= -5 + 7i.
Se a2 = (– 5) + (2 –1).2 = - 3 e b2 =
16.(0,5).2–1 = 15 → z2
= -3 + 15i.
Se a3 = (– 5) + (3 –1).2 = - 1 e b3 =
16.(0,5).3–1 = 23 → z3
= -1 + 23i.
Se a4 = (– 5) + (4 –1).2 = 1 e b4 = 16.(0,5).4–1
= 31 → z4
= 1 + 31i.
Se a5 = (– 5) + (5 –1).2 = 3 e b5 = 16.(0,5).5–1
= 39 → z5
= 3 + 39i.
Se a6 = (– 5) + (6 –1).2 = 5 e b1 = 16.(0,5).6–1
= 47 → z6
= 5 + 47i.
Se a7 = (– 5) + (7 –1).2 = 7 e b7 = 16.(0,5).7–1
= 55 → z7
= 7 + 55i.
Portanto
nenhum é real ou imaginário.
3. Três empresários queriam se hospedar em
um hotel, porém não tinham feito reservas. Então, o recepcionista acessou o
sistema do hotel para verificar os quartos individuais que estavam disponíveis
e encontrou a seguinte tela:
Considerando todas as maneiras possíveis de
acomodação nesse hotel, se os empresários solicitarem ficar todos hospedados em
um mesmo andar, o número de maneiras que o recepcionista terá para acomodá-los
será reduzida em :
(A) 33 vezes.
(B) 7 vezes.
(C) 44 vezes.
(D) 5 vezes.
(E) 12 vezes.
Vejamos :
Considerando todas as maneiras possíveis de acomodação nesse hotel,
10 andar = 2 quartos, 20 andar = 2 quartos 2,
30 andar = nenhum, 40 andar =
3 quartos , 50 andar = nenhum, 60 andar = 1 quarto
, 70 andar = 4 quartos,
80 andar = nenhum, ou seja 12 quartos disponíveis,
possibilitando C12,3 =
12!/9!3! = 12.11.10.9!/9!3! = 12.11.10/6 = 220 acomodações.
Contudo como os empresários solicitaram ficar todos hospedados em um
mesmo andar, isso somente poderia ocorrer em 5 possibilidades, uma
no
40 andar e quatro no 70 andar, ou seja 5
possibilidades.
Finalmente se 220 ÷ 5 = 44, então reduziu
44 vezes.
4. Um laboratório farmacêutico realizou um
teste para analisar a incidência de reações adversas em função do uso de sua
nova fórmula para um medicamento. O teste contou com a participação de 1 250
voluntários, dos quais 80% não apresentaram qualquer tipo de reação adversa.
Dos demais, 70% apresentaram tontura e 50% apresentaram dores abdominais. Com
base no resultado desse teste, a probabilidade de um indivíduo apresentar
tontura e dores abdominais após utilizar essa nova fórmula é, no mínimo, de :
(A) 4%.
(B) 2%.
(C) 10%.
D) 20%
(E) 0,8%.
Vejamos :
O teste contou com a participação de 1 250 voluntários, dos quais
80%
não apresentaram qualquer tipo de reação adversa, ou seja 80% de
1250 =
1000 voluntários.
Dos demais, 70% apresentaram tontura, ou seja 70% de 250 = 175 e 50%
apresentaram dores abdominais, ou seja 50% de 250 = 125.
Observando os dados através de um diagrama, podemos concluir que:
Como x + y = 175, y + z = 125 e x + y + z = 250,então z = 75, y = 50
e x = 125
A probabilidade de um indivíduo apresentar tontura e dores abdominais
(50) após utilizar essa nova fórmula é, no mínimo, de : 50/1250 =
1/5 = 4%
5. Um colecionador organizou seus 126 selos
em três catálogos de acordo com o possível valor de venda deles:
Catálago
Valor de venda
Ouro entre R$ 18,00 e R$ 24,00
Prata entre R$ 9,00 e R$ 12,00
Bronze entre R$ 3,50 e R$ 6,50
Considerando que todos os selos sejam
vendidos por um valor igual à média entre o menor e o maior valor de seus
respectivos catálogos, a arrecadação obtida seria igual a R$ 1.665,00. Sabendo
que o número de selos do catálogo Ouro é igual à metade da soma dos selos dos
outros dois catálogos, a quantia que seria arrecadada com a venda dos selos do
catálogo Ouro corresponde, em relação ao total, a um percentual entre :
(A) 45% e 50%.
(B) 30% e 35%.
(C) 35% e 40%.
(D) 40% e 45%.
(E) 50% e 55%.
Vejamos :
Um colecionador organizou seus 126 selos → x + y + z = 126 (eq. I)
x selos Ouro → média = (18 + 24)/2 = R$ 21,00
y selos Prata → média = (9 + 12)/2 = R$ 10,50
z selos Bronze → média = (3,50 + 6,50)/2 = R$ 5,00
Arrecadação seria igual a R$ 1.665,00 → 21x + 10,5y + 5z = 1665 (eq. II)
Sabendo que o número de selos do catálogo Ouro é igual à metade da
soma dos selos dos outros → x = (y + z)/2 → 2x
= y + z (eq. III)
Substituindo (eq.III) em (eq.I), vem : x + 2x = 126 → x = 42
A quantia que seria arrecadada com a venda dos selos do catálogo
Ouro,
42 . 21 = R$ 882,00, corresponde, em relação ao total R$ 1665,00, a
um
percentual de → 882 = i% de 1665 → 882 = i/100 de 1665 → 882.100 =
1665i
i = 88200/1665 ≈ 52,97 → i
= 52,97%
6. Um grupo de ambientalistas alocou, no
início de 1990, uma pequena população de 270 indivíduos de uma espécie animal
em extinção em uma área de proteção ambiental. Devido ao ambiente propício para
o desenvolvimento e procriação da espécie, os ambientalistas projetaram que o
número N(t) de indivíduos dessa população cresceria exponencialmente ao longo dos
primeiros 30 anos, segundo a função N(t)
= 270.(4/3)k.t , sendo t o número de anos transcorridos após 1990.
Se após 20 anos o número de indivíduos dessa população passou a ser 480,
confirmando a projeção feita pelos ambientalistas, então no início do ano 2020,
quando serão completados os primeiros 30 anos, é esperado que o número de
indivíduos dessa população seja igual a :
(A) 725.
(B) 860.
(C) 585.
(D) 640.
(E) 690.
Vejamos :
Um grupo de ambientalistas "alocou"
→ Dispor ou pôr (alguma coisa ou alguém) num local específico.
Os ambientalistas projetaram que o número N(t) de indivíduos dessa
população cresceria exponencialmente ao longo dos primeiros 30 anos, segundo a
função N(t) = 270.(4/3)k.t , sendo t o número de anos transcorridos
após 1990.
Se após 20 anos o número de indivíduos passou a ser 480 →
480 = 270.(4/3)20k → 48/27 = (4/3)20k → 16/9 =
(4/3)20k →(4/3)2 = (4/3)20k
2 = 20k → k = 1/10.
Quando serão completados os primeiros 30 anos → N(30) = 270.(4/3)30/10
N(30) = 270.(4/3)3 → N(30) = 270.64/27 → N(30) = 640
7. Um tanque semielíptico é constituído de
um cilindro reto acoplado a duas calotas esféricas idênticas, conforme mostra a
figura.
Sendo o volume de uma calota esférica dado
por V = πa(3r2 + a2)/6 , no qual r é a metade do diâmetro
interno do tanque, é correto afirmar que o volume interno desse tanque, em
litros, está entre :
(A) 20 000 e 22 000.
(B) 24 000 e 26 000.
(C) 22 000 e 24 000.
D) 18 000 e 20 000.
(E) 26 000 e 28 000.
Vejamos :
Como podemos observar na figura, o volume interno do tanque é
constituído pela soma de duas calotas esféricas com o cilindro reto,
ou
seja VTanque = 2.πa(3r2 + a2)/6 +
πr2.(h – 2a) →
VTanque = 2.π.0,5[3.(1)2 + (0,5)2]/6
+ π.(1)2.[8 – 2.(0,5)] →
VTanque = π(3 + 0,25)/6 + π(8 – 1) → VTanque =
3,25π/6 + 7π →
VTanque = (3,25π + 42π)/6 → VTanque = 45,25π/6 → VTanque
≈ 45,25.3,14/6
VTanque ≈ 23,68 m3 → VTanque ≈ 23680 litros
