QUESTÕES VESTIBULAR EPCAR (AFA) 2017 – COMENTADAS

1. No plano cartesiano abaixo estão representados o gráfico da função real f definida por f(x) = -x² – x + 2 e o polígono ABCDE. Considere que:

- o ponto C é vértice da função f.

- os pontos B e D possuem ordenadas iguais, e D é o encontro da função f com o eixo y.

- as abscissas dos pontos A e E são raízes da função f.

Pode-se afirmar que a área do polígono ABCDE, em unidades de área, é

a) 129/16   

b) 33/4   

c) 17/4   

d) 17/2   

  

2. Durante 16 horas, desde a abertura de certa confeitaria, observou-se que a quantidade q(t) de unidades vendidas do doce “amor em pedaço”, entre os instantes (t-1) e t, é dada pela lei q(t) = ││t-8│+ t-14│, em que t representa o tempo, em horas, e t ϵ { 1, 2, 3, ..., 16 }

É correto afirmar que

a) entre todos os instantes foi vendida, pelo menos, uma unidade de “amor em pedaço”.   

b) a menor quantidade vendida em qualquer instante corresponde a 6 unidades.   

c) em nenhum momento vendem-se exatamente 2 unidades.   

d) o máximo de unidades vendidas entre todos os instantes foi 10

  

3.  A função real f definida por f(x) = a . 3^x + b, sendo a e b constantes reais, cujo gráfico contém os pontos ( 0 , -1 ) e ( 2 , 8 ). Pode-se afirmar que o produto a . b pertence ao intervalo real

a) [-4 , -1[   

b) [-1 , 2 [   

c) [ 2, 5 [   

d) [ 5, 8 ]   

  

4. Seja a matriz A tal que a₁₁ = a₂₂ = a₃₃ = 1 ; a₁₂ = a₂₁ = cos x ; a₁₃ = a₃₁ = sen x ; a₂₃ = 0 e a₃₂ = 2. Considere a função f de R em R definida por f(x) = det A. Sobre a função g de R em R definida por g(x) =  1 – 1/2 . │f(x)│, em que │f(x)│,  é o módulo de f(x) é correto afirmar que :

a) possui período ╥   

b) seu conjunto imagem é [-1/2, 0]   

c) é par.   

d) é crescente no intervalo [- ╥/4 , ╥/4 ]   

  

5. Considere A, B, C e X matrizes quadradas de ordem n e inversíveis. Assinale a alternativa FALSA.

a) (A^-1)^-1=A   

b) (ABC)^-1 = C^-1B^-1A^-1   

c) AXC = B →X = A^-1C^-1B   

d) det(2AB^-1) = 2ⁿdetA/detB

  

  

6.  A solução do sistema:

(x-y)/2 – (x-y)/6 + (x-y)/18 – (x-y)/54 + ... = -1  e  3x – y = -2

é tal que x+y é igual a

a) 11/3   

b) 10/3   

c) -7/3   

d) -8/3

  

  

7.  Um baralho é composto por 52 cartas divididas em 4 naipes distintos (copas, paus, ouros e espadas). Cada naipe é constituído por 13 cartas, das quais 9 são numeradas de 2 a 10 e as outras 4 são 1 valete (J), 1 dama (Q), 1 rei (K) e 1 ás (A). Ao serem retiradas desse baralho duas cartas, uma a uma e sem reposição, a quantidade de sequências que se pode obter em que a primeira carta seja de ouros e a segunda não seja um ás é igual a

a) 612   

b) 613   

c) 614   

d) 615

  

  

8.  Num auditório da Academia da Força Aérea estão presentes 20 alunos do Curso de Formação de Oficiais Aviadores dos quais apenas 10 usam agasalho. Estão presentes, também, 25 alunos do Curso de Formação de Oficiais Intendentes dos quais apenas 15 usam agasalho. Um dos alunos presentes é escolhido ao acaso.

É correto afirmar que é igual a 2/9 a probabilidade de que o aluno escolhido

a) seja do Curso de Formação de Oficiais Intendentes ou use agasalho.   

b) use agasalho, sabendo que é do Curso de Formação de Oficiais Intendentes.   

c) seja do Curso de Formação de Oficiais Aviadores que não use agasalho.    

d) não use agasalho, sabendo que é do Curso de Formação de Oficiais Aviadores.   

  

9. Se uma pirâmide hexagonal regular está inscrita num cone equilátero cujo volume é igual a (10√3) ╥ / 7 cm³, então o volume dessa pirâmide, em cm³ é igual a

a) 45/7   

b) (15√3) / 7   

c) (30√3) / 7   

d) 135/7   

  

10. Seja λ ; 3x² + 3y² – 6x – 12y + k = 0, uma circunferência que no plano cartesiano tem intersecção vazia com os eixos coordenados.

Considerando K ϵ R, é correto afirmar que

a) P( k/3,k/3 ) é interior a λ . 

b) existem apenas dois valores inteiros para k.   

c) a reta r : x = k intersecta λ.   

d) se c é o comprimento de λ então c > 2╥ unidades de comprimento.   

  

11. Considere, no triângulo ABC abaixo, os pontos P ϵ AB, Q ϵ BC, R ϵ AC e os segmentos PQ e QR paralelos, respectivamente, a AC e AB . Sabendo que BQ = 3cm, QC = 1cm  e que a área do triângulo ABC é 8cm² então a área do paralelogramo APQR, em cm², é igual a

a) 2   

b) 3   

c) 4   

d) 5   

  

12.  Resolva a equação z³-1 = 0 no conjunto dos números complexos. Considerando as raízes encontradas, analise as proposições abaixo e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA).

(     ) A equação possui três raízes de multiplicidade

(     ) Os afixos das raízes formam um triângulo equilátero cuja área é 3√3/2 unidades de área.

(     ) Duas das raízes são conjugadas.

(     ) Todas as raízes têm o mesmo módulo.

A sequência correta é

a) V – F – V – V   

b) V – V – F – V   

c) F – F – V – F   

d) V – F – V – F   

  

13. O polinômio P(x) = x³ + mx² + nx + 12  é tal que P(x) = 0 admite as raízes x_1, x₂ e x₃ . Se x_1.x₂ =-3 e x₂ + x₃ =5, então é correto afirmar que

a) P(m)=0   

b) m-n = -13   

c) m.n = 20   

d) n-2m= -7   

  

14.  As notas de oito alunos numa prova de matemática foram escritas pelo professor numa tabela como a que segue:

Aluno        A        B        C        D        E        F        G        H

Nota         6,5      10       8        9,4       8        6,4      x        7,4

Sabe-se que a média aritmética dessas notas é 8,2

Considerando as notas dos oito alunos, é correto afirmar que a nota do aluno G é

a) igual à moda.   

b) inferior a 9,8   

c) superior à mediana.   

d) inferior à média aritmética das outras sete notas.   

  

15. Sejam os números reais

a = [√(-1)² ) . 0,1222...] ÷ (1,2)^-1

b = comprimento de uma circunferência de raio 1

c = √12 . √90 . √160 . √147

Sendo N, Z, Q e R os conjuntos numéricos, assinale a alternativa FALSA.

a) {a,c} está contido em Q   

b) c ϵ ( Z ∩ N )   

c) ( R – Q ) contém {b, c}   

d) {a,c} está contido em ( R ∩ Q )   

16. No gráfico abaixo estão representadas as funções

f : R → R  e g : R → R  

 

Sobre estas funções é correto afirmar que :

a) g(x)/f(x) ≤ 0 , Ɐ x ε R tal que.    

b) f(x) > g(x) apenas para 0 < x < d.   

c) [f(a)+g(f(a))] / [g(c)+f(d)] > 1.   

d) f(x).g(x) ≥ 0 , Ɐ x ε R tal que x ≤ b ou x≥ c.   

                    Gabarito Comentado:  

Resposta da questão 1:

Como X_v = -b/2a = -(-1)/2.(-1) = -1/2 e Y_v = -(-1/2)²-(-1/2)+2 = 9/4,

então C(-1/2,9/4).

Como f(x) = -x²-x+2 = 0, então x = 1 ou x = -2, portanto A(-2,0) e E(1,0)

Como D(0,y_D), então f(0) = -0²-0+2 = 2, então D(0,2)

Como B(x_B,2), então 2 = -x²-x+2 → -x(x+1) = 0 → portanto B(-1,2)

Como S = 2{[(1,5+0,5)/2]/2 + (0,5.0,25)/2} então S = 4 + 1/8 = 33/8

  

Resposta da questão 2 :
 [D]

Calculando:

q(t) = ││t-8│+ t-14│, em que  t ϵ { 1, 2, 3, ..., 16 }

t = 8 → q(t) = │8-14│= 6

t < 8 → q(t) = │-(t-8)+t-14│< 6

t = 16 → q(t) = │8 + 16 -14│→ q(t) = 10

8 < t < 16 → q(t) = 2.│t - 11│, q(t) ϵ {0, 2, 4, 6, 8, 10}

Assim, a única alternativa correta é a letra D.   

Resposta da questão 3 :
 [A]

Calculando:

f(x) = a.3^x + b

f(0) = -1 → a . 3⁰ + b = -1 → a + b -1 →b = -1- a

f(2) = 8 → a. 3² + b = 8 → 9a + b = 8 → 9a - 1 – a = 8 → a = 9/8 e b = -17/8,

portanto a . b = 9/8 . (-17/8) = - 153/64 ϵ [ - 4, -1[

  

Resposta da questão 4 :
 [C]

Calculando:

               │     1          cosx          senx  │

det A   = │  cosx         1                0      │ = 1+2.senx.cosx – cos²x = sen2x

               │  senx         2                1      │

Analisando as alternativas uma a uma:

[A] FALSO. O período é igual a T = ╥/2 

[B] FALSO. O conjunto imagem é [ 1/2 , 1 ]

[C] VERDADEIRO. A função g é par: g(-x) = g(x)

[D] FALSO. A função não é sempre crescente no intervalo mencionado: g(- ╥/4 ) = ½, g(0) = 1 e g(╥/4) = ½

   

Resposta da questão 5:
 [C]

Analisando as alternativas, percebe-se que a única incorreta é a alternativa [C], pois:

A . X . C = B

A^-1. A = I

B^-1 . B = I 

C^-1 . C = I 

X^-1 . X = I

A^-1 . A . X . C = A^-1 . B → X . C = A^-1 . B

X . C . C^-1 = A^-1 . B . C^-1 → X = A^-1 . B . C^-1

  

Resposta da questão 6:
 [B]

A soma apresentada é uma PG com razão -1/3. Logo, pode-se escrever:

S = a₁/1-q = [(x-y)/2] ÷ (1 + 1/3) = (3x-3y)/8 → (3x-3y)/8 = -1

3x – 3y = -8 e 3x – y = -2 → x = 1/3 e y = 3 . Portanto x+y = 10/3

  

Resposta da questão 7:
 [A]

Calculando:

1. Retira um ás de ouros e não retira um às → 1 . 48 = 48

   

2. Retira uma carta que seja de ouros (exceto ás) e que a segunda não seja um ás → 12 . 47 = 564

Total = 48 +  564 = 612 possibilidades

  

Resposta da questão 8:
 [C]

De acordo com o enunciado:

                                           Sem agasalho (SA)     Com agasalho (CA)     Total

Oficiais Aviadores (x)                10                                 10                          20

Oficiais Intendentes (y)             10                                 15                          25

Total                                            20                                 25                          45

Analisando as alternativas uma a uma:

[A] P(y U CA) = 35/45 = 7/9

[B] P(y/CA) = 15/25 = 3/5

[C] P(x∩SA) = 10/45 = 2/9

[D] P(SA/x) = 10/20=1/2

  

Resposta da questão 9:
 [A]

Calculando:

Cone → 10╥√3/7 = ╥R³√3/3 → 10/7 = R³/3 → R³ = 30/7

Pirâmide → l = R (hexágono regular); h=R√3 (cone equilátero); V = B.h/3 = 1/3(6R²√3/4).R√3 = 18/12 . 30/7 = 90/14= 45/7

   

Resposta da questão 10:
 [B]

Colocando na equação geral da circunferência:

3x² + 3y² – 6x – 12y + k = 0

3(x²-2x) + 3(y²-4y) + k = 0

3(x²-2x+1) + 3(y²-4y+4) = 15 – k

(x-1)² + (y-2)² = (15-k)/3 = R²

Assim, conclui-se que o centro da circunferência será em (1,2) e que para que a mesma possua intersecção vazia com os eixos coordenados é necessário que:

0< R <1 → 0 < R² < 1, ou seja 0 < (15-k)/3 < 1 → 0 < 15-k < 3 → 12 < k < 15

Analisando as alternativas conclui-se que apenas a alternativa [C] é a correta, pois entre o intervalo 12 e 15 há apenas dois números inteiros: 13 e 14

  

Resposta da questão 11:
 [B]

Calculando:

CQ/CB = 1/4 → S_RQC/S_ABC = (1/4)²=1/16 →S_RQC/8 = 1/16 →S_RQC = ½

S_PBQ/S_RQC = (3/1)² = 9 → S_PBQ/1/2  = 9 → S_PBQ = 9/2

S_{paralelogramo} = S_ABC – S_PBQ - S_RQC  = 8 – 9/2 – 1/2 = 3

  

Resposta da questão 12:
 [A]

[I] Verdadeira. Calculando as raízes:

Z³ = 1→ Z³ = cis(2k╥) → Z = cis(2k╥/3)

Para k = 0 → Z = 1

Para k = 1 → Z = (-1+i√3)/2

Para k = 2 → Z = (-1-i√3)/2

[II] Falsa. Calculando:

( -1/2 , √3/2 ) e ( -1/2 , -√3/2 )

l² = ( -1/2 + 1/2 )² + ( √3/2 + √3/2 )² → l² = 3

S = l².√3/4 = 3√3/4

[III] Verdadeira. Sim, quando K=1 ou k=2 obtém-se raízes conjugadas.

[IV] Verdadeira. Calculando:

│Z│= 1 ou │Z│ = √(-1/2)² + (√3/2)² = 1 ou │Z│ = √(-1/2)² + (-√3/2)² = 1

  

Resposta da questão 13:
 [D]

Calculando:

P(x) = x³ + mx² + nx + 12

Por Girard:

x₁ . x₂ . x₃ = - 12

x₁ . x₂ = -3 → x₃  = 4

x₂ + x₃ = 5 → x₂ = 1

x₁ . x₂ = -3 → x₁ = -3

P(x) = (x-1).(x+3).(x-4) = x³ – 2x² – 11x + 12

n – 2m = -7 → -11-(-2) = -7

  

Resposta da questão 14:
 [C]

Calculando:

Média = (6,5 + 10 + 8 + 9,4 + 8 + 6,4 + x + 7,4 ) ÷ 8 = 8,2

            = 6,5 + 10 + 8 + 9,4 + 8 + 6,4 + x + 7,4  = 65,6 → x = 9,9

Moda = 8

Mediana = (8 + 8) ÷ 2 = 8

Média das outras 7 noyas = (6,5 + 10 + 8 + 9,4 + 8 + 6,4 + 7,4) ÷ 7 = 7,96

Assim, a única alternativa correta é a letra C.  

Resposta da questão 15:
 [C]

Analisando as alternativas, percebe-se que a única incorreta é a alternativa [C], pois:

a = [√(-1)² . 0,1222...] ÷ (1,2)^-1 = (1 . 11/90) ÷ 10/12 = 11/75

b = 2╥

c = 2√3 . 3√10 . 4√10 . 7√3 = 5040

Resposta da questão 16: 

[D]

Analisando as alternativas uma a uma:

[A] FALSO. 0 ≤ x ≤ d  → f(x) = 0 → g(x) < 0 ou g(x) > 0

[B] FALSO. f(x) > g(x) em 0 < x < d ou x < a

[C] FALSO. [f(a)+g(f(a))] / [g(c)+f(d)]  = [ 0+g(0)] / [c^'+ 5] = g' /(c' + 5) < 1

[D] VERDADEIRO. f(x).g(x) ≥ 0  em g(x)≥0 e f(x)≥0 ou g(x)≤0 e f(x)≤0 →

x ≤ b e x ≥ c