QUESTÕES VESTIBULAR UNIT MACEIÓ - MEDICINA 2017.2

1. Em um grupo de pacientes de um hospital, 37% recebem o medicamento I, 24% recebem o medicamento II, e 53% não recebem qualquer desses medicamentos. Nessas condições, o percentual de pacientes, nesse grupo, que recebe ambos os medicamentos é de :

A) 10%

B) 11%

C) 12%

D) 13%

E) 14%

Vejamos :

Através de um diagrama podemos afirmar que :

Se X + Y = 37% ; Y + Z = 24%  e  X + Y + Z + 53% = 100% , então

(X + Y) + Z  = 100% - 53% → 37% + Z = 47% → Z = 10% → Y = 14%

2. Após passarem por um tratamento X, 3/7 dos portadores de uma enfermidade ficaram curados. Os que continuaram doentes receberam um segundo tratamento Y, e 1/6 deles se curou. Ao todo, a fração de enfermos que se curou é igual a :

A) 4/13

B) 7/16

C) 8/15

D) 11/21

E) 25/42

Vejamos :

● Tratamento X, 3/7 dos portadores ficaram curados, portanto 4/7 não ficaram curados.

● Os que continuaram doentes receberam um segundo tratamento Y, e 1/6 deles se curou → 1/6 de 4/7 = 4/42 = 2/21 curados.

● Ao todo, a fração de enfermos que se curou é igual a 3/7 + 2/21 =

(3.3 + 2)/21 = 11/21.

3. O número de pacientes que uma clínica é capaz de atender a cada dia é proporcional ao número de médicos, mas inversamente proporcional ao tempo médio gasto com cada consulta.

Assim, se houver um aumento de 20% no número de médicos, mas o tempo médio de consulta passar de 35min para 40min, a capacidade de atendimento irá aumentar :

A) 2%

B) 5%

C) 7,5%

D) 11%

E) 15%

Vejamos :

Pacientes : x  →  Médicos : y  →  Tempo médio : t

● Como o número de pacientes é proporcional ao número de médicos, mas inversamente proporcional ao tempo médio gasto com cada consulta → x = ky/t, onde k é a constante de proporcionalidade.

● Se houver um aumento de 20% no número de médicos →

x = (y + 20% de y)/t → x = (y + 0,2y)/t → x = 1,2y/t 

● O tempo médio de consulta passou de 35min para 40min, o que representa um aumento de 40/35 = (8/7)%.

x = 1,2y/(8/7)t = (1,2.7/8)y/t = (8,4/8)y/t = 1,05y/t

● Finalmente a capacidade de atendimento irá aumentar em

x = 1,2y/(8/7)t = (1,2.7/8)y/t = (8,4/8)y/t = 1,05y/t = 5%

4. Se z = - 1 + i√3 , então o argumento principal de 1/Z⁵ é :

A) π/3

B) 2π/3

C) π

D) 4π/3

E) 5π/3

Vejamos :

Sendo Z = - 1 + i√3, onde a = -1 e b = √3, a forma algébrica do complexo,

então podemos representá-lo na forma trigonométrica Z = p(cosϴ +

+ isenϴ), onde p = |Z| = √(a² + b²) e ϴ o argumento do complexo Z, tal que

senϴ = b/p e cosϴ = a/p. 

Portanto p = √(a² + b²) = √((-1)² + (√3)²) = 2 e senϴ = b/p = √3/2 e

cosϴ = a/p = -1/2 → ϴ = 2π/3 = 120⁰ .

Na forma trigonométrica Z = p(cosϴ + isenϴ) = 2 (cos120⁰ + isen120⁰).

Como Zⁿ = pⁿ(cos n.ϴ + isen n.ϴ), 1^a lei de Mouvre, Z⁵ = 2⁵(cos5.120⁰ +

isen5.120⁰) = 2⁵(cos600⁰ + isen600⁰).

Finalmente 1/Z⁵ = Z^-5 = 2^-5(cos (-600⁰) + isen (-600⁰)) = 2^-5(cos (-240⁰) + isen

(-240⁰)) = 2^-5(cos 120⁰ + isen 120⁰) → argumento principal de 1/Z⁵ = 120⁰

5. Se um bebê nascer com 3kg e ganhar 750g por mês durante seu primeiro ano de vida, então o coeficiente linear da função I(x), que descreve a idade I (em meses) com que ele atinge uma massa x (em kg), é igual a :

A) -4

B) -2

C) 1

D) 3

E) 5

Vejamos :

A função que descreve a massa M (em kg) em relação a idade I (em

meses) : (1mes ; 3,75 kg) → y = ax + b → 3,75 = a + b;

(2meses ; 4,5 kg) → 4,5 = 2a + b → 4,5 = a + (a + b) → 4,5 = a + 3,75 →

a = 0,75 → b = 3 → M(i) = 0,75i + 3.

Portanto a função I(x), que descreve a idade I (em meses) com que ele

atinge uma massa x (em kg), será (M - 3) = 0,75i → (M - 3)/0,75 = i →

i = M/0,75 - 3/0,75 → i = 4M/3 – 4 → I(x) = 4x/3 – 4.

6. Atualmente, certo procedimento hospitalar tem um custo de R$200,00, sendo realizados 60 desses procedimentos a cada mês.

Se, a cada mês, o custo por procedimento aumentar R$10,00, mas o número de procedimentos diminuir 1 unidade, então o gasto mensal com tais procedimentos deverá atingir um máximo de :

A) R$14.000,00

B) R$16.000,00

C) R$18.000,00

D) R$20.000,00

E) R$22.000,00

Vejamos :

● Condição inicial :

Custo dos procedimentos = 200  

Procedimentos mensais = 60

● Condição futura :

Custo dos procedimentos = 200 + 10x

Procedimentos mensais = 60 - x

Custo dos procedimentos mensais → Custo = (200 + 10x) . (60 - x) →

Custo = 12000 – 200x + 600x - 10x² → Custo = - 10x² + 400x + 12000

Portanto o gasto mensal com tais procedimentos deverá atingir um

máximo para y_vértice = - ∆/4a = - (b² – 4ac)/4a →

Custo máximo = - (400² – 4(-10).12000)/4.(-10)

Custo máximo = - (160000 + 480000)/- 40

Custo máximo = 640000/ 40 = R$ 16000,00

7. A população P, de bactérias, em uma cultura varia em função do tempo t (em horas), de acordo com a expressão P(t) = A.k^0,1.t em que A e k são constantes. Se a população triplica a cada 4 horas, então o valor de k é :

A) √2

B) √3

C) 4√2

D) 4√3

E) 9√3

Vejamos :

A população P, varia em função do tempo t (em horas), de acordo com a

expressão P(t) = A.k^0,1.t , se a população triplica a cada 4 horas, então

3A = A.k^0,1.4 → 3 = k^0,4 → 3 = k^4/10 → 3 = k^2/5 → (3)⁵ = (k^2/5)⁵→ 3⁵ = k² →

K = √3⁵ → k =  √3⁴.3 → k = 9√3

8. A concentração de um vírus no sangue de um paciente está aumentando em função do tempo t (em horas), de acordo com C(t) = Co.2^t/5, em que Co é a concentração inicial.

Usando, se preciso, log₂3 ≅ 1,6, é correto concluir que a concentração deve aumentar, aproximadamente, 50% a cada :

A) 1h

B) 2h

C) 3h

D) 4h

E) 5h

Vejamos :

Se a concentração de um vírus no sangue  em função do tempo t (em

horas), de acordo com C(t) = Co.2^t/5, então deve aumentar 50% em

C(t) = Co.2^t/5 → 1,5Co = Co.2^t/5  → 1,5 = 2^t/5  → log₂ 1,5 = log₂ 2^t/5  →

log₂ 3/2 = log₂ 2^t/5  → log₂ 3 – log₂ 2 = t/5 . log₂ 2 → 1,6 – 1 = t/5 . 1 →

0,6 = t/5  → t = 3 horas

9. Um polinômio p(x) = − x³ + bx² + cx + d, com b, c e d constantes, tem todas as suas raízes reais e distintas.

Sabendo-se que a média aritmética dessas raízes é um número inteiro par, é correto concluir que :

A) b é múltiplo de 6.

B) b é ímpar negativo.

C) c é par e é positivo.

D) d é um múltiplo de 3.

E) d é uma potência de 2.

Vejamos :

Seja o polinômio p(x) = − x³ + bx² + cx + d, a média aritmética de suas

raízes → (x^' + x^'' + x^''')/3.

Segundo as relações de Girard, a soma das raízes é igual ao ''oposto''

do quociente entre o segundo e o primeiro coeficientes, -b/a, portanto

(x^' + x^'' + x^''')/3 = (-b/a)/3 = -b/3.(-1) = b/3 é um número inteiro par,

consequentemente  b será um múltiplo de 6.

10. No 1º dia, após um vazamento tóxico em uma indústria, foram registrados 52 casos de intoxicação. O número de novos casos diminuiu a cada dia, a uma taxa constante, até zerar no 14º dia.

Nessas condições, é correto afirmar que o total de casos registrados nessa ocorrência foi igual a :

A) 208

B) 296

C) 364

D) 412

E) 488

Vejamos :

Como 52 casos de intoxicação no 1⁰ dia, diminui a cada dia, a uma

taxa constante, até zerar no 14º dia, então temos uma progressão

aritmética de a₁ = 52, n = 14 e a₁₄ = 0, portanto a_n = a₁ + (n - 1).r →

a₁₄ = a₁ + (14 - 1).r → 0 = 52 + 13r → r = - 4.

O total de casos registrados nessa ocorrência foi igual a S_n = (a₁ + a_n).n/2

S₁₄ = (a₁ + a₁₄).14/2 = (52 + 0).7 = 52.7 = 364

11. Suponha que o crescimento populacional brasileiro se mantenha em 1% ao ano e que o investimento do governo na área de saúde (descontada a inflação) fique congelado por 20 anos. Nesse caso, e usando 1,01^–5 é 0,95, se preciso, é correto concluir que, ao final desse período, o investimento com saúde, por habitante (descontada a inflação),

será, aproximadamente, x% menor, em comparação com o atual, e o valor de x é :

A) 15

B) 17

C) 19

D) 21

E) 23

Vejamos :

O crescimento populacional brasileiro se mantenha  em 1% ao ano e que

o investimento do governo na área de saúde fique congelado por 20 anos.

O investimento com saúde, por habitante, será em 20 anos, I(t) = I₀ . 1,01^-20

I(t) = I₀ . (1,01^-5) ⁴ → I(t) = I₀ . (0,95) ⁴ → I(t) = I₀ . 0,8145 → I(t) = I₀ . 81,45 % →

portanto houve uma redução de 100 – 81,45 = 18,55% ≈ 19%

12. Seja S o sistema definido abaixo , no qual k é uma constante real.

                                              2x + y + 2kz = 1

                                    S   =   kx + ky + z = - 1

                                              2x + y – 2z =  1 

Sabendo que S tem mais de uma solução (x, y, z), é correto concluir que o valor de k pode ser :

A) -1

B) 0

C) 1

D) tanto 0 quanto –1

E) tanto 0 quanto 1.

Vejamos :

Se o sistema tem mais de uma solução (x, y, z), então é indeterminado,

portanto o determinante dos coeficientes será nulo assim como os

determinantes das variáveis, ou seja ∆ = ∆x = ∆y = ∆z = 0

2.k.(-2) + 1.1.2 + 2k.k.1 – 1.k.(-2) – 2.1.1 – 2k.k.2 = 0

-4k + 2 + 2k² + 2k – 2 – 4k² = 0 →  – 2k² – 2k = 0 → k² + k = 0

 k(k + 1) = 0 → k' = 0 ou k'' = - 1

    

       

 1.k.(-2) + 1.1.1 + 2k.(-1).1 – 1.(-1).(-2) – 1.1.1 – 2k.k.1 = 0

  - 2k + 1 - 2k - 2 – 1 – 2k² = 0 → -2k² – 4k – 2 = 0 → k² + 2k + 1 = 0 →

  (k + 1)² = 0 → k' = k'' = - 1.

  Portanto o valor de k é -1

13. Clientes da modalidade I de um plano de saúde têm direito a apartamentos individuais, e os da modalidade II são alojados em enfermaria (se estiver lotada, podem ficar em apartamentos). Um hospital tem vagos 5 apartamentos e 3 leitos de enfermaria.

Com base nessa informação, pode-se afirmar que, se chegar 1 cliente da modalidade I, e 5 clientes da II, o número de maneiras distintas de acomodá-los é :

A) 66

B) 360

C) 720

D) 3600

E) 7200

Vejamos :

Um hospital tem vagos 5 apartamentos e 3 leitos de enfermaria.

Se chegar 1 cliente da modalidade I, então ele terá 5 possibilidades de ser

alojado.

Enquanto isso os 5 clientes da modalidade II, terão duas possibilidades

de serem alojados :

Na primeira, os 5 clientes nas 3 vagas da enfermaria, A_5,3 = 5!/(5-3)! =

5!/2! = 60 possibilidades.

Na segunda, os 2 clientes, da modalidade II, ainda não alojados teriam 4

possibilidades nos apartamentos, A_4,2 = 4!/2! = 12 possibilidades.

Finalmente 5.60.12 = 3600 possibilidades

14. Sabe-se que certo procedimento invasivo tem 25% de risco de complicações. Se forem realizados 3 desses procedimentos, a probabilidade de não haver complicação alguma é de, aproximadamente,

A) 25%

B) 42%

C) 56%

D) 75%

E) 93%

Vejamos :

● Se um procedimento invasivo tem 25% de risco de complicações, então 75% de não ter complicações.

● Se forem realizados 3 desses procedimentos, a probabilidade de não

haver complicação alguma :

P = 75%.75%.75% = 0,75 . 0,75. 0,75 = 0,4218 ≈ 42%

15. O número de soluções da equação cos3x = − 1/2 no intervalo

0 ≤ x < 2π é :

A) 0  

B) 1

C) 2

D) 4

E) 6

Vejamos :

Se cos3x = − 1/2, então cos3x = cos (± 2π/3 + 2kπ) → 3x = ± 2π/3 + 2kπ

x = ± 2π/9 + 2kπ/3.

Portanto para :

k = 0 → x = ± 2π/9 + 2.0.π/3 → x = ± 2π/9 → 2π/9 = 40⁰ ou 2π - 2π/9 =

16π/9 = 320⁰

k = 1 → x = ± 2π/9 + 2.1.π/3 → x = ± 2π/9 + 2π/3 → x = 8π/9 = 160⁰ ou x = 4π/9 = 80⁰

k = 2 → x = ± 2π/9 + 2.2.π/3 → x = ± 2π/9 + 4π/3 → x = 14π/9 = 280⁰ ou x = 10π/9 = 200⁰

Conjunto solução =  {2π/9 , 4π/9 , 8π/9 , 10π/9, 14π/9 , 16π/9}, portanto 6

soluções distintas.

16. A sala de recepção de uma clínica médica tem o formato de um hexágono regular cujas arestas medem 4m.

Se for preciso pintar seu teto, a área total a ser pintada terá uma medida, em m², igual a :

A) 12√3

B) 18√2

C) 18√3

D) 24√2

E) 24√3

Vejamos :

Área = hexágono regular = 6.área triângulo equilátero = 6.a²√3/4 =

6.4²√3/4 = 6.16√3/4 = 24√3 m²

17. Um osso tem o formato aproximado de um cilindro circular com 1,0cm de diâmetro e 20,0cm de comprimento.

Nessas condições, se a sua densidade média é de 1,5g/cm³, então a sua massa é de, aproximadamente,

A) 23,6g

B) 30,4g

C) 48,5g

D) 67,6g

E) 94,4g

Vejamos :

● Cilindro circular com 1,0 cm de diâmetro(raio = 0,5 cm) e 20,0cm de

comprimento → Volume = π.r².h = π.(0,5)².20 = 3,14.0,25.20 = 15,7 cm³

● Densidade média é de 1,5g/cm³ → densidade = massa/volume →

1,5 = m/15,7 → m = 1,5.15,7 → m = 23,55g

18. Uma célula esférica tem seu núcleo também esférico. Se a célula crescer até dobrar o valor do seu raio, mas o raio do núcleo aumentar apenas 50%, é correto afirmar que a razão entre os volumes, da célula e do núcleo, deverá aumentar, aproximadamente,

A) 33%

B) 50%

C) 133%

D) 137%

E) 237%

Vejamos :

                   

● Antes : Célula e Núcleo, raios  R e r →

Volume_célula  / Volume_núcleo  = (4/3.π.R³/ 4/3.π.r³) = (R/r)³

● Depois : Célula e Núcleo, raios  2R e 1,5r →

Volume_célula  / Volume_núcleo  = (4/3.π.(2R)³/ 4/3.π.(1,5)³) = (2R/1,5r)³ = (4R/3r)³

= (4/3)³ (R/r)³ = 64/27.(R/r)³ ≈ 2,37.(R/r)³ ≈ 1.(R/r)³ + 1,37(R/r)³.

Portanto a razão entre os volumes, da célula e do núcleo, deverá

aumentar, aproximadamente 137%

19. A área da região triangular delimitada pelas retas y = 0, y = x − 1 e x + y = k, sendo k uma constante real, terá medida menor do que 9 unidades de área se, e somente se,

A) k < 7

B) − 7 < k < 7

C) − 5 < k < 7

D) 0 < k < 7

E) 17 < k < 7

Vejamos :

A área da região triangular delimitada pelas retas y = 0, y = x − 1 e x + y =

k, ou seja :

● y = 0  e  y = x – 1 → 0 = x – 1 → x = 1 → A(1, 0)

● y = 0  e  x + y = k → x + 0 = k → x =  k  → B(k, 0)

● y = x - 1  e  x + y = k → x + x - 1 = k → 2x = k + 1 → x = (k + 1)/2 e

y = (k + 1)/2 – 1 → y = (k - 1)/2 → C((k + 1)/2; (k - 1)/2)

A área tenha medida menor do que 9 :

                        

= 1/2 . [ 1.0 + k.(k - 1)/2 + (k + 1)/2 .0 – 1.(k - 1)/2 - (k + 1)/2 .0 - k.0]        

 1/2 . [ k.(k - 1)/2  – (k - 1)/2 ] < 9 →  (k² - k)/2  – (k - 1)/2 < 18 →

k² - k  – k + 1 < 36 → k² – 2k – 35 < 0 →  ∆ = 144 → k = (2 ± 12)/2

k' = 14/2 = 7 ou k'' = - 5 → - 5 < k < 7              

              

20. A menor distância entre a reta r: 3x − 4y = 2 e a circunferência C: x² + y² − 12x + 32 = 0 é igual a :

A) 0,6

B) 0,8

C) 1,0

D) 1,2

E) 1,4

Vejamos :                                       

                                 

                                                                 

                          

Observando a circunferência x² + y² − 12x + 32 = 0 e comparando-a com a

forma geral x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0, obtemos -2a = -12 → a = 6

-2b = 0 → b = 0, então o centro é C(6, 0).

Como  a² + b² – r² = 32 → 6² + 0² – r² = 32 → então seu raio é r = 2

Agora vamos calcular a distancia do centro da circunferência à reta r,

através do dispositivo prático d_C,r = |ax_C + by_C + c|/√(a² + b²).

d_C,r = |3.6 – 4.0 - 2|/√(3² + (4)²) = 16/5 = 3,2.

Portanto a menor distância entre a reta r e a circunferência é 3,2 – 2 = 1,2