1.Se uma pessoa possuir certo gene, poderá vir a ter os
problemas P, Q ou R. Um portador desse gene só terá Q se tiver R, e, se tiver
P, então também terá Q. Se 36% dos portadores do gene têm R, e um terço desses
também têm P, então, o percentual de portadores que têm 1 ou 2 dos problemas,
está no intervalo :
A) [0%,10%[
B) [10%,20%[
C) [20%,30%[
D) [30%,40%[
E) [40%,50%[
Vejamos :
● Se uma pessoa possuir certo gene, poderá vir a ter os
problemas P, Q ou R .
P, Q
ou R ; P, R ou Q ; Q, P ou R ; Q, R ou P ; R, Q ou P ; R, P ou Q.
● Um portador desse gene só terá Q se tiver R → gene X → P, R ou Q ;
R, Q ou P ; R, P ou Q.
● Se tiver P, então também terá Q → P, R, Q ou R, P, Q.
Se 36% dos portadores do gene têm R, e um terço (12%) desses
também
têm P → 36% - 12% = 24% possuem 1 ou 2 problemas, alternativa C.
2. Em uma pesquisa com um grupo de pacientes, cada um tomou n doses do medicamento X, e m doses do medicamento Y. Ao todo,
foram tomadas 483 doses de X e 575 de Y.
Para repetir a pesquisa, com o mesmo número de doses por
paciente, o total de doses necessárias, para um grupo de 40 pacientes, é :
A) 855
B) 1058
C) 1310
D) 1632
E) 1840
Vejamos :
Em uma pesquisa com um grupo de pacientes (''a'' pacientes),
cada um
tomou ''n'' doses
do medicamento X, e ''m'' doses
do medicamento Y. Ao
todo, foram tomadas 483 doses de X e 575 de Y → a.n = 483 e a.m
= 575 →
n = 483/a e m = 575/a .
Como a, n e m são números inteiros, então ''a'' deverá ser
divisor comum
a 483 e 575, ou seja 23, consequentemente n = 483/23 → n = 21 e
m = 575/23 → m = 25.
Para repetir a pesquisa, com o mesmo número de doses por
paciente, o
total de doses necessárias, para um grupo de 40 pacientes, será
40n + 40m = 40(n + m) = 40(21 + 25) = 40.46 = 1840 doses.
3. Dado o número complexo z = √2/2 cos (2π/9) + i√2/2 .sen
(2π/9), o módulo de z7 é
igual a :
A) √2/32
B) √2/16
C) √2/8
D) √2/4
E) √2/2
Vejamos :
Segundo a segunda lei de Mouvre, se z = ƿ(cosӨ + isen) entao
zn = ƿn(cos n.Ө + isen n.Ө).
Portanto, se z = √2/2 cos (2π/9) + i√2/2 .sen (2π/9) = √2/2 [cos
(2π/9) + i.sen
(2π/9)], então z7 = (√2/2)7.[cos 7.(2π/9)
+ i.sen 7.(2π/9)], e seu módulo será
√27/27 = √26.2/27 =
23.√2/27 = √2/24 = √2/16
QUESTÕES
4 e 5
No dia 10 de setembro de certo ano, ocorreram 14 óbitos
causados por certa epidemia, e o número de novos óbitos aumentou, a cada dia,
como uma função do 1º grau, chegando a 101 mortes no último dia daquele mês
O número de óbitos pela epidemia no dia 15 daquele mês foi :
A) 55
B) 56
C) 57
D) 58
E) 59
Vejamos :
O número de novos óbitos aumentou, a cada dia, como uma função
do 1º
grau, f(x) = ax + b.
No dia 10 de setembro de certo ano, ocorreram 14
óbitos → (1, 14) ɛ f(x) =
ax + b → 14 = a.1 + b → a
+ b = 14.
Chegando a 101 mortes no último dia daquele mês → (30, 101) ɛ
f(x) = ax +
b → 101 = a.30 + b → 30a
+ b = 101
Resolvendo o sistema 30a + 14 - a = 101 → 29a = 87 → a = 3 → b
= 11
O número de óbitos pela epidemia no dia 15 → f(15) = 3.15 + 11 = 56
5. O total de óbitos pela epidemia naquele mês foi :
A) 1580
B) 1615
C) 1667
D) 1725
E) 1770
Vejamos :
Como a função do primeiro grau caracteriza uma PA, então o total
de
óbitos no mês poderá ser obtido através de sua soma finita, ou
seja
Sn = (a1 + an).n/2 → S30 =
(14 + 101).30/2 → S30
= 1725
6. Para que a dosagem x, em mg, de um medicamento seja eficaz,
mas também segura, é preciso que (50 - x) . (x -15) ³ 5x + 86. O intervalo completo no qual isso ocorre é :
A) 20 £ x £ 39
B) 21 £ x £ 36
C) 22 £ x £ 38
D) 23 £ x £ 37
E) 24 £ x £ 35
Vejamos :
Resolvendo a inequação,
(50 - x) . (x -15) ³ 5x + 86 → 50x – 750 – x2
+ 15x ≥ 5x + 86 →
– x2 + 60x – 836 ≥ 0 (-1) → x2 - 60x + 836
≤ 0 → ∆ = (-60)2 – 4.1.836 →
∆ = 3600 – 3344 = 256 → x = (60 ± 16)/2 → x' = 38 ou x'' = 22
+ _ +
Portanto
---------●-------------●---------- 22
≤ x ≤ 38
22 38
QUESTÕES 7 e 8
7. O número de bactérias em uma amostra está aumentando 50% a
cada n minutos. Às 8h, haviam
150 bactérias e, às 18h, esse número havia aumentado para 1200.
Nessas condições, é correto estimar, usando log2 3 ≈
1,585, se preciso, que o valor de n é,
aproximadamente,
A) 117
B) 158
C) 214
D) 266
E) 317
Vejamos :
Se o número de bactérias está aumentando 50% a cada n minutos, então
Q(n) = Q0 . 1,5n.
Admitindo 8h como o momento inicial, e que nesse instante haviam
150
bactérias, então Q0 = 150.
Às 18h, esse número havia aumentado para 1200 → 1200 = 150 . 1,5n
1200/150 = 1,5n
→ 8 = 1,5n → log2 8 = log2 1,5n →
log2 23 = n . log2 1,5 →
3 . log2 2 = n . log2 15/10 → 3 = n . log2
3/2 → 3 = n. (log2 3 – log2 2) →
3 = n. (1,585 – 1) → 3 = 0,585n → n = 3/0,585 → n ≈ 5,13 intervalos em 10
horas ou 600 minutos, portanto n ≈ 600 ÷ 5,13 → n ≈ 117
8. Assim, usando √2 ≈ 1,4, se preciso, é correto estimar que o
número de bactérias na amostra, às 13h, era de, aproximadamente,
A) 420
B) 495
C) 580
D) 675
E) 760
Vejamos :
Se às 13 horas, ou seja 5 hs após 8 hs, equivalente a 300 minutos,
metade
do
tempo para 1200 bactérias, então Q(n) = 150 . 1,5n
= 150 . (8)1/2 =
= 150 . Ö8 = 150 . 2Ö2 = 420
bactérias
9. O gasto de uma clínica para comprar 3600 unidades de um
comprimido é de R$2.430,00. Há duas marcas no mercado, uma de melhor qualidade,
custando R$0,80 por unidade, e outra de menor preço, que custa R$0,60 por
unidade.
Para cada 10 unidades compradas da marca de menor custo, a
clínica pode adquirir, no máximo, n da
melhor marca, e o valor de n é :
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Vejamos :
Há duas marcas no mercado, uma de melhor qualidade (x), custando
R$0,80 por unidade, e outra de menor preço (y), que custa R$0,60
por
unidade → x + y = 3600 e 0,8x + 0,6y = 2430.
Resolvendo o sistema,
0,8(3600 - y) + 0,6y = 2430 → 2880 – 0,8y + 0,6y = 2430 → - 0,2y
= - 450
y = 2250 → x = 1350.
Para cada 10 unidades compradas da marca de menor custo 10.0,60
=
R$ 6,00 a clínica pode adquirir, n da melhor marca → 6,00 : 0,8 = n →
n = 7,5.
Portanto,
no máximo, pode adquirir 7 unidades.
10. Nos primeiros 12 meses de funcionamento de uma clínica,
foram realizados 1100 atendimentos. Se, no primeiro mês, houve 50 atendimentos,
e, a cada mês, o número de novos atendimentos aumentou em uma progressão
geométrica de razão q, é correto
afirmar que q satisfaz a equação
:
A) q11 - 22q +
21 = 0
B) q11 + 22q − 21 = 0
C) q12 − 22q + 21 = 0
D) q12 + 22q − 21 = 0
E) q13 − 22q + 21 = 0
Vejamos :
Nos primeiros 12 meses de funcionamento de uma clínica, foram
realizados 1100 atendimentos → S12 = 1100
Se, no primeiro mês, houve 50 atendimentos → a1 = 50,
e, a cada mês, o
número de novos atendimentos aumentou em uma PG de razão q →
Sn = a1 .
(qn - 1)/(q - 1) → S12 = 50 . (q12 - 1)/(q -
1) = 1100 →
(q12 - 1)/(q - 1) =
22 → (q12 - 1) = 22.(q - 1) → q12 - 1 = 22q - 22 →
q12 = 22q - 21 → q12
- 22q + 21 = 0
11. Dentre 4 médicos e 7 enfermeiros disponíveis, deve-se escolher,
para montar uma equipe, um médico principal, 2 médicos assistentes e 5
enfermeiros. O número de maneiras distintas de se formar a equipe é :
A) 28
B) 82
C) 252
D) 576
E) 1008
Vejamos :
Dentre 4 médicos e 7 enfermeiros, deve-se escolher, um médico
principal,
2 médicos assistentes e 5 enfermeiros :
C4,1 . C3,2 . C7,5 = 4!/1!3! .
3!/2!1! . 7!/5!2! = 4 . 3 . 21 = 252
12. Idosos têm 10% de probabilidade de desenvolver o problema X
e 5% de desenvolver o problema Y. Sabendo-se que esses problemas não estão
relacionados, a probabilidade de um idoso desenvolver, pelo menos, um deles é
de :
A) 14%
B) 14,5%
C) 15%
D) 15,5%
E) 16%
Vejamos :
Problema X = 10%
Problema Y = 5%
Problemas X e Y = 10% de 5% = 0,5%
A probabilidade de um idoso desenvolver, pelo menos, um deles é
de :
10% + 5% - 0,5% = 14,5%
13. O número de soluções da equação cos 2x = cos x no intervalo
0 £ x £ 2π é :
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Vejamos :
Se cos 2x = cosx e cos 2x = cos2 x – sen2
x → cos2 x – sen2 x = cos x →
cos2 x – (1 - cos2 x) = cos x → cos2
x – 1 + cos2 x - cos x = 0 →
2cos2 x - cos x - 1 = 0 → ∆ = (-1)2 –
4.2.(-1) = 9
cos x = (1 ± 3)/4 → cos x = 1
ou cos x = -1/2.
Como o universo é 0 £ x £ 2π então, quando cos x = 1 → x = 00
ou x
=
3600 ; quando cos x
= -1/2 → x = 1200 ou x = 2400.
Portanto
o número de soluções é 4.
14. Se a coxa de uma pessoa tiver o formato aproximado de um
cilindro circular de 40cm de comprimento e 25cm de diâmetro, então,
aproximando-se π ≈ 3, é correto estimar que a área de pele, em cada coxa, mede,
em cm2, aproximadamente,
A) 1500
B) 3000
C) 4500
D) 6000
E) 7500
Vejamos :
A área de pele será igual a área lateral de um cilindro, ou seja
A = 2.π.r.h = 2.3.(25/2).40 = 3.25.40 = 3000 cm2
15. O intervalo de valores da constante k que faz com que o sistema
de equações apresentado S : x2 + y2 – 6y = 0 e x2
+ y2 – 8x = k tenha, exatamente, duas soluções distintas é :
A) 2 < k < 8
B) 20 < k < 80
C) − 8 < k < 36
D) − 12 < k < 48
E) − 14 < k < − 8
Vejamos :
Resolvendo o sistema, x2 + y2 – 6y = 0 e x2
+ y2 – 8x = k → x2 + y2 = 6y e
x2 + y2 = k + 8x → 6y = k + 8x → y = (k +
8x)/6.
Substituindo y = (k + 8x)/6 em x2 + y2 –
6y = 0 (ou em x2 + y2 – 8x = k), vem
x2 + [(k + 8x)/6]2 – 6. (k + 8x)/6. = 0 → x2
+ (k + 8x)2/36 – (k + 8x) = 0 →
36x2 + (k + 8x)2 – 36(k + 8x) = 0 → 36x2
+ k2 + 16kx + 64x2 – 36k - 288x = 0
100x2 + 16kx - 288 x + k2– 36k = 0 → 100x2 + 16(k - 18)x + k2– 36k = 0
Para que se tenha duas soluções distintas, o discriminante
deverá ser
positivo, ou seja ∆ = [16(k - 18)]2 – 4. 100. (k2–
36k) > 0 →
256(k - 18)2 – 400. (k2– 36k) > 0 →
256(k2 - 36k + 324) – 400k2 + 14400k >
0 (:16)
16(k2 - 36k + 324) – 25k2 + 900k > 0 →
16k2 - 576k + 5184 – 25k2 + 900k > 0
- 9k2 + 324k + 5184 > 0 (: - 9) → k2 -
36k - 576 > 0
∆ = (- 36)2 –
4.1.(-576) = 1296 + 2304 = 3600 → k = (36 ± 60)/ 2 →
+ _ +
k' = 48
ou k'' = – 12 → -----------○-----------○---------- → - 12 < k < 48
- 12 48
