Questões Vestibular Faculdade Israelita de Ciências da Saúde Albert Einstein 2017 – Comentadas.

1. Para um concurso militar, o número de vagas para homens correspondia a 80% do número de vagas para mulheres. Dada a grande procura de candidatos,  decidiu-se ampliar o número de vagas, sendo 30 novas vagas para homens e 15 para mulheres. Após a mudança, o número total de vagas para homens passou a ser 84% do número total de vagas para mulheres. Com isso, o total de vagas para ambos os sexos passou a ser :

(A) 276

(B) 552

(C) 828

(D) 1 104 

Vejamos :

Como as vagas para homens são iguais a 80% das vagas para mulheres,

então se o número de vagas para mulheres for igual a x,  o número de

vagas para homens será 0,8x.

Dada a grande procura.... → Homens = 0,8x + 30  e  Mulheres = x + 15

... Após a mudança, o número total de vagas para homens passou a ser

84% do número total de vagas para mulheres...→0,8x + 30 = 84% de x + 15

0,8x + 30 = 0,84.(x + 15) →0,8x + 30 = 0,84x + 12,6 →30 – 12,6 = 0,84x – 0,8x

17,4 = 0,4x → x = 17,4/0,04 → x = 435

Total de vagas, Homens + Mulheres = 0,8x + 30 + x + 15 = 1,8x + 45 =

1,8.435 + 45 = 783 + 45 = 828

2. Dois pilotos treinam em uma pista de corrida. Um deles fica em uma faixa interna da pista e uma volta completa nessa faixa possui 2,4 km de comprimento; o outro fica em uma faixa mais externa cuja volta completa tem  2,7 km. O piloto que possui o carro mais rápido está na faixa interna e a cada volta que ele completa o outro piloto percorre 2 km. Se os pilotos iniciaram o treino sobre a marca de largada da pista, a próxima vez em que eles se encontrarão sobre essa marca, o piloto com o carro mais lento terá percorrido, em km, uma distância igual a :

(A) 40,5

(B) 54,0

(C) 64,8

(D) 72,9

Vejamos :

Se a cada volta do mais rápido, o mais lento percorre 2 de 2,7 de uma

volta, então em x voltas percorridas pelo mais rápido o mais lento

percorrerá 2x/2,7 = 20x/27 = (20/27)x.

Como x é um número inteiro, múltiplo de 27, para a próxima vez em que

eles se encontrarão deverá ser 27.

Finalmente 27 voltas de 2 km equivalem a 54 km.

3. A função f tem lei de formação f(x) = 3 – x e a função g tem lei de formação g(x) = 3x² . Um esboço do gráfico da função f(g(x)) é dado por

Vejamos :

Se f(x) = 3 – x e g(x) = 3x², então f(g(x)) = 3 – 3x².

Seu gráfico será uma parábola com concavidade voltada para baixo,

cortando o eixo y em (0, 3) e o eixo x em (-1, 0) e (1, 0), portanto a

resposta será a letra A.

4. Um patrão tem 6 tarefas diferentes para serem distribuídas entre 3 empregados. Ele pode delegar todas elas a um só empregado, ou delegar apenas para alguns, ou ainda garantir que cada empregado receba pelo menos uma tarefa. O número de maneiras distintas de distribuir essas tarefas é :

(A) 639

(B) 714

(C) 729

(D) 864 

       

Vejamos :

Como ele pode delegar todas as tarefas a um só empregado, ou delegar

apenas para alguns, ou ainda garantir que cada empregado receba pelo

menos uma tarefa, então cada tarefa pode ser distribuída para os 3

empregados, ou seja : 3 . 3 . 3 . 3 . 3 .3 = 3⁶ = 729

5. Uma matriz B possui i linhas e j colunas e seus elementos são obtidos a partir da expressão bij = i – 2j. Seja uma matriz A = (a _ij ) 2x3 cujos elementos da primeira coluna são nulos e I₂ a matriz identidade de ordem 2, tal 2 que AB = I₂ . O valor numérico do maior elemento da matriz A é igual a :

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

Vejamos :

Se AB = I₂ e A é do tipo 2x3, então B deverá ser do tipo 3x2, pois

A(2x3).B(3x2) = I(2x2).    

Resolvendo os sistemas, vem : y = 1 e -2x – y = 0 → x = -y/2 → x = -1/2

t = 0  e  -2z – t = 1 → -2z = 1 + t → z = (-1-t)/2 → z = - 1/2

Finalmente o maior elemento da matriz A é 1.

6. Os pontos B e F são extremidades da circunferência de equação x² + y² = 81 e o segmento DE é tangente à circunferência dada no ponto C(0, 9).

No trapézio BDEF o ângulo F mede 120º e o ângulo B mede 150º, conforme mostra a figura. A área do trapézio BDEF vale :

(A) 27 (3 √ 3 – 1)

(B) 54 (2 √  3 – 1)

(C) 27 (2 √  3 + 3)

(D) 54 ( √3 + 3)

Vejamos :

Como a equação da circunferência é x² + y² = 81, então seu raio mede 9.

Se traçarmos duas paralelas ao eixo y, nos pontos F e B, iremos observar

dois triângulos retângulos .

Como tg 30⁰ = EG/GF → √3/3 = EG/9 → EG = 3√3

Como tg 60⁰ = HD/HB → √3 = HD/9 → HD = 9√3

Finalmente, a área do trapézio = (base maior + base menor).altura/2

A = (ED + FB).AC/2 = [(12√3 + 18) + 18].9/2 = (12√3 + 36).9/2 = 54(√3 + 3)

7. Em uma aula de geometria, o professor passou a seguinte instrução: Desenhe um retângulo de lados 8 cm por 14 cm. Nomeie os vértices desse retângulo de A, B, C e D, sendo que AB deve ser um dos menores lados. Determine o ponto médio do lado AB e nomeie esse ponto pela letra M. A partir do ponto M trace um segmento paralelo aos lados maiores e que tenha 3 cm de comprimento. Nomeie esse segmento de MN. Determine a área do triângulo NCD. Natália e Mariana seguiram as instruções dadas, porém chegaram a resultados diferentes. Se o professor considerou correta as duas resoluções, a diferença, em cm² , entre as áreas obtidas por Natália a Mariana foi :

(A) 16

(B) 20

(C) 24

(D) 28

Vejamos :

Area ₁ = (8 . 11)/2 = 44 cm²  e  Area ₂ = (8 . 17)/2 = 68 cm² , portanto a

diferença será : Area ₂ - Area ₁ = 68 – 44 = 24 cm²

8. Adriana e Beatriz precisam produzir 240 peças. Juntas elas levarão um tempo T, em horas, para produzir essas peças. Se Adriana trabalhar sozinha, ela levará (T + 4h) para produzir as peças. Beatriz, sozinha, levará (T + 9h) para realizar o serviço. Supondo que cada uma delas trabalhe em ritmo constante, o número de peças que Adriana produz a mais do que Beatriz, a cada hora, é igual a :

(A) 6

(B) 8

(C) 9

(D) 10

Vejamos :

Adriana e Beatriz : Se 240 peças em T horas, entao x peças em 1 hora →

x = 240.1/T → x = 240/T

Adriana : Se 240 em (T + 4) horas, entao y peças em 1 hora →

y = 240 . 1/(T + 4) → y = 240/(T + 4)

Beatriz : Se 240 em (T + 9) horas, entao z peças em 1 hora →

z = 240 . 1/(T + 9) → z = 240/(T + 9)

Portanto em 1 hora → x = y + z → 240/T = 240/(T + 4) + 240/(T + 9) →

1/T = 1/(T + 4) + 1/(T + 9) → (T + 4).(T + 9) = T(T + 9) + T(T + 4) →

T² + 9T + 4T + 36 = T² + 9T + T² + 4T → T² = 36 → T = 6 horas

Qual o número de peças que Adriana produz a mais do que Beatriz, a cada hora ?

Adriana = 240/(6 + 4) = 24  e  Beatriz = 240/(6 + 9) = 16.

Finalmente Adriana produz, 24 – 16 = 8 peças a mais de Beatriz.

9. Para a feira cultural da escola, um grupo de alunos irá construir uma pirâmide reta de base quadrada. A pirâmide terá 3 m de altura e cada aresta da base medirá 2 m. A lateral da pirâmide será coberta com folhas quadradas de papel, que poderão ser cortadas para um melhor acabamento. Se a medida do lado de cada folha é igual a 20 cm, o número mínimo dessas folhas necessárias à execução do trabalho será : (utilize   √10 = 3,2 )

(A) 285

(B) 301

(C) 320

(D) 333

Vejamos :   

                               

Segundo a figura podemos afirmar que : h = 3m ;  a = 2m ; a_p = 1m →

A_p² = 3² + 1²→A_p= √10 m = 3,2m

Área lateral = 4.a.A_p/2 = 4.2.3,2/2 = 12,8 m²

Área de cada folha de papel = 0,2.0,2 = 0,04 m²

Número de folhas = Área lateral / Área de cada folha  = 12,8/0,04 = 320

10. Um polinômio de quinto grau tem 2 como uma raiz de multiplicidade 3. A razão entre o coeficiente do termo de quarto grau e o coeficiente do termo de quinto grau é igual a –7. A razão entre o termo independente e o coeficiente do termo de quinto grau é igual a 96. A menor raiz desse polinômio vale :

(A) 0

(B) –1

(C) –2

(D) –3

Vejamos :

... Um polinômio de quinto grau tem 2 como uma raiz de multiplicidade 3.

P(x) = ax⁵ + bx⁴ + cx³ + dx² + ex + f onde x' = x'' = x''' = 2

... A razão entre o coeficiente do termo de quarto grau e o coeficiente do termo de 

quinto grau é igual a –7 → b/a = - 7

... A razão entre o termo independente e o coeficiente do termo de quinto grau é 

igual a 96 → f/a = 96

Segundo as relações de Girard :

Soma da raízes = - b/a → x' + x'' + x''' + x'''' + x''''' = 7 → 2 + 2 + 2 + α + β = 7

6 + α + β = 7 → α + β = 1

Produto da raízes = - f/a → x' . x'' . x''' . x'''' . x''''' = - 96 → 2.2.2.α.β = -96

8.α.β = - 96→ α.β = - 12

Resolvendo o sistema, vem α.β = - 12 → (1 - β).β = - 12 → β – β² = - 12

β² – β – 12 = 0 → β = (1 ± 7)/2 → β' = 4 ou β'' = - 3 → α' = -3 ou α'' = 4

Finalmente a menor raíz é - 3

QUESTOES FACULDADE MEDICINA DE MARÍLIA 2017 - COMENTADAS

1.Um laboratório comprou uma caixa de tubos de ensaio e, ao abri-la, constatou que 5% deles apresentavam defeitos e não poderiam ser utilizados. Dos tubos sem defeitos, 36 foram utilizados imediatamente, 60% dos demais foram guardados no estoque e os 92 tubos restantes foram colocados nos armários do laboratório. O número total de tubos de ensaio da caixa era :

(A) 240.

(B) 300.

(C) 320.

(D) 260.

(E) 280.

Vejamos :

Total de tubos de ensaio = x – 5% de x com defeito = x – 0,05x =0,95x

... 36 foram utilizados imediatamente → 0,95x - 36

... 60% dos demais foram guardados no estoque → 60% de (0,95x - 36)

... e os 92 tubos restantes foram colocados nos armários do laboratório →

40% de (0,95x - 36) = 92 → 0,4. (0,95x - 36) = 92 → 0,38x – 14,4 = 92 →

0,38x = 92 + 14,4 → 0,38x = 106,4 → x = 280

2. Na figura, ABCD é um quadrado de lado 6 cm e AFE é um triângulo retângulo de hipotenusa AE. Considere que AD = AF e DE = 4 cm.

Sabendo que os pontos A, D e E estão alinhados, o valor da área destacada, em cm², é :

(A) 24.

(B) 18.

(C) 22.

(D) 20.

(E) 16.

Vejamos :

Como o triangulo AEF é retângulo, então AE² = AF² + FE² → 10² = 6² + FE²

100 = 36 + FE² → FE² = 64 → FE = 8 cm

 Como os triângulos AFE e DEG são semelhantes então DG/AF = DE/FE

DG/6 = 4/8 →8DG = 24 → DG = 3 cm.

Área do ΔDEG = 4.3/2 = 6 cm²

Área do ΔAEF = 6.8/2 = 24 cm²

Área do quadrilátero ADGF = Área  ΔAEF - Área  ΔDEG = 24 – 6 = 18cm²

Finalmente Área destacada = Área do quadrado - Área do quadrilátero ADGF = 36 – 

18 = 18 cm²

3. Em um plano cartesiano, a parábola y = –x² + 4x + 5 e a reta y = x + 5 se intersectam nos pontos P e Q. A distância entre esses dois pontos é :

(A) 2√3

(B) √2

(C) 3

(D) 3√2

(E) 4

Vejamos :

Se a parábola y = –x² + 4x + 5 e a reta y = x + 5 se intersectam nos pontos

P e Q, entao igualando-as, vem : –x² + 4x + 5 = x + 5 → –x² + 4x = x →

–x² + 4x – x = 0 → x² – 3x = 0 → x_P = 0 e x_Q = 3 → y_P = 5 e y_Q = 8 →

P(0, 5) e Q(3, 8).

Como a distancia entre dois pontos se calcula através da expressão

d_PQ = √(x_P - x_Q)² + (y_P - y_Q)² , vem d_PQ = √(0 - 3)² + (5 - 8)² = √18 = 3√2

4. Um professor colocou em uma pasta 36 trabalhos de alunos, sendo 21 deles de alunos do 1⁰ ano e os demais de alunos do 2⁰ ano. Retirando-se aleatoriamente 2 trabalhos dessa pasta, um após o outro, a probabilidade de os dois serem de alunos de um mesmo ano é :

(A) 1/2

(B) 1/3

(C) 1/4

(D) 1/5

(E) 1/6

Vejamos :

... 36 trabalhos de alunos, sendo 21 deles de alunos do 1⁰ ano e os demais de 

alunos do 2⁰ ano, ou seja 15.

... Retirando-se aleatoriamente 2 trabalhos dessa pasta, um após o outro, a 

probabilidade de os dois serem de alunos de um mesmo ano é :

1⁰ ano → P = 21/36 . 20/35 → P = 7/12 . 4/7 → P = 1/3

2⁰ ano → P = 15/36 . 14/35 → P = 5/12 . 2/5 → P = 1/6

1⁰ ano ou 2⁰ ano → P = 1/3 + 1/6 → P = (2 + 1)/6 → P = 1/2

5. Uma pessoa dispõe de 5 blocos de papel colorido nas cores azul, amarelo, verde, branco e rosa, sendo cada um deles de uma única cor, e irá utilizar 3 folhas para anotações. O número total de maneiras possíveis de essa pessoa escolher essas 3 folhas, sendo pelo menos 2 delas de uma mesma cor, é :

(A) 22.

(B) 12.

(C) 15.

(D) 18.

(E) 25.

Vejamos :

Uma pessoa dispõe de 5 blocos de papel colorido nas cores azul, amarelo, verde, 

branco e rosa ...

Se duas tiverem a mesma cor e a terceira uma outra cor, então teremos

5 . 4 = 20 possibilidades.

Se as três tiverem a mesma cor então teremos 5 possibilidades.

Finalmente 20 + 5 = 25 possibilidades.

 6. Considere a progressão aritmética (a₁, 4, a₃, a₄, a₅, 16, ...) de razão r e a progressão geométrica (b₁, b₂, b₃, b₄, 4, ...) de razão q. Sabendo que r/q = 6, o valor de a₉ – b₃ é :

(A) 12.

(B) 6.

(C) 3.

(D) 15.

 (E) 9.

Vejamos :

... PA (a₁, 4, a₃, a₄, a₅, 16, ...) → a₂ = 4 → a₁ + r = 4 e a₆ = 16 → a₁ + 5r = 16.

Resolvendo o sistema, vem 4 – r = 16 – 5r → 5r – r = 16 – 4 →4r =12→r = 3

... sabendo que r/q = 6 → 3/q = 6 → 6q = 3 → q = 3/6 → q = 1/2

como a₉ = a₁ + 8r e a₁ = 4 – r então a₉ = 4 - r + 8r → a₉ = 4 + 7r → a₉ = 25

como b₅ = 4 e b₅ = b₃. q² então 4 = b₃. (1/2)² → 4 = b₃/4 → b₃ = 16

Portanto o valor de a₉ – b₃ = 25 – 16 = 9

7. Em um plano cartesiano, o ponto P(a, b), com a e b números reais, é o ponto de máximo da função f(x) = –x² + 2x + 8. Se a função g(x) = 3^{–2x + k}, com k um número real, é tal que g(a) = b, o valor de k é :

(A) 2.

(B) 3.

(C) 4.

(D) 1.

 (E) 0.

Vejamos :

... Se P(a, b), com a e b números reais, é o ponto de máximo da função

f(x) = –x² + 2x + 8 → x_V = - b/2a = - 2/- 2 = 1  e  y_V = -Δ/4a = - 36/- 4 = 9 →

P(a, b) = P(1, 9) → a = 1 e b = 9

... Se a função g(x) = 3^{–2x + k}, com k um número real, é tal que g(a) = b,

 Então 3^{-2.a + K} = b → 3^{-2.1 + K} = 9 → 3^{-2.1+ K} = 3² → - 2 + k = 2 → k = 4

8.Uma pessoa comprou 2 pacotes de algodão, 5 rolos de gaze e 3 rolos de esparadrapo. Na farmácia onde realizou a compra, o preço de um pacote de algodão mais um rolo de gaze e mais um rolo de esparadrapo é R$ 16,00. Um rolo de esparadrapo custa R$ 2,00 a menos que um pacote de algodão e R$ 1,00 a mais que um rolo de gaze. Sabendo que essa pessoa pagou a compra com uma nota de R$ 50,00, o valor do troco recebido foi :

(A) R$ 0,50.

(B) R$ 1,00.

(C) R$ 1,50.

(D) R$ 2,50.

(E) R$ 2,00.

Vejamos :

... o preço de um pacote de algodão(x) mais um rolo de gaze(y) e mais um

rolo de esparadrapo(z) é R$ 16,00 → x + y + z = 16.

... Um rolo de esparadrapo custa R$ 2,00 a menos que um pacote de

algodão, z = x – 2 → x = z + 2, e R$ 1,00 a mais que um rolo de gaze,

z = y + 1 → y = z – 1.

Como x + y + z = 16 → z + 2 + z – 1 + z = 16 → 3z = 16 – 1 →3z =15 →z = 5 ,

x = z + 2 → x = 7 e y = z – 1 → y = 4.

… Uma pessoa comprou 2 pacotes de algodão, 5 rolos de gaze e 3 rolos

de esparadrapo → 2x + 5y + 3z → 2.7 + 5.4 + 3.5 → 14 + 20 + 15 → R$ 49,00

... Sabendo que essa pessoa pagou a compra com uma nota de R$ 50,00, o valor  

do troco recebido foi R$ 1,00

9. Considere as matrizes A(2x3) tal que a₁₁ = a₁₃ = a₂₃ = k, a₁₂ = 0, a₂₁ = 3,  a₂₂ = - 2  , sendo k um número real, com k < 2, B = (bij)_3x2, com bij = (i – j)², e C = A ⋅ B. Sabendo que det C = 12, o valor de k² é :

(A) 0.

(B) 9.

(C) 4.

(D) 16.

(E) 1.

Vejamos :

Se  det C = 12 → 4K.(3+K) – 2K.(-2+4K) = 12 → 12K + 4K² + 4K – 8K² = 12

- 4K² + 16K – 12 = 0(÷-4) → k² - 4K + 3 = 0 → k = (4±√4)/2 = (4±2)/2 = 2 ± 1

K = 3 (não convém) ou K = 1 → K² = 1

       

10. Um cilindro circular reto A, com raio da base igual a 6 cm e altura H, possui a mesma área lateral que um cilindro circular reto B, com raio da base r e altura h, conforme mostram as figuras.

Sabendo que h/H = 1,2 e que o volume do cilindro B é 240π cm³, é correto afirmar que a diferença entre os volumes dos cilindros é :

(A) 50π cm³.

(B) 42π cm³.

(C) 45π cm³.

(D) 48π cm³.

(E) 37π cm³.

Vejamos :

Sabendo que, área lateral de um cilindro é igual a  2πRH, vem :

Cilindro A → A_A = 2π.6.H → A_A = 12πH

Cilindro B → A_B = 2π.r.h → A_B = 2πrh

Como A_A = A_B → 12πH = 2πrh →6H = rh → 6/r = h/H → 6/r = 1,2 → r = 5cm

Sabendo que volume de um cilindro é igual a πR² H, vem :

Cilindro B → V_B = π.r².h = π.5².h = 240π → h = 9,6 cm .

Como H= h/1,2 → H = 9,6/1,2 → H = 8 cm

Cilindro A → V_A = π.r².H → V_A = π6².8 → V_A = 288π cm³

Finalmente a diferença entre os volumes é 288π - 240π = 48π cm³